6.4因式分解的简单应用同步练习(浙教版七下)

6.4 因式分解的简单应用同步练习

【知识盘点】

1．计算：（x2+2x+1）÷（x+1）=______________．

2．方程－2x（x+3）=0的解是_______________；

3．方程（x－4）（x+3）=0的解是__________________；

4．多项式x2y+2xy2除以整式A，得x+2y，则整式A=_________________；

5．一个长方形面积为（x2－4y2）cm2，长为（x+2y）cm，则宽为________________；6．若x+y=6，x2－y2=42，则x－y=________________．

【基础过关】

7．下列多项式不能分解因式的是（）

A．（－x）2+y2B．x2－y2C．x2+2xy+y2D．x2－2xy+y2

8．若（2+x）（x－5）=0，则x的值是（）

A．x=－2 B．x=5 C．x=－2或x=5 D．x=－2且x=5

9．方程（x－4）2=81的解是（）

A．x=13 B．x=－5 C．x=13或－5 D．以上都不对

10．若n为任意整数，（n+11）2－n2的值总可以被k整除，则k等于（）A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数

【应用拓展】

11．计算：

（1）（3x2－6xy+x）÷（3x－6y+1）（2）（－9+4m2）÷（2m+3）

（3）（ax2y2－a）÷（xy+1）（4）（4x2－4x+1）÷（2x－1）

12．计算：

（1）[（m+n）2－4（m－n）2]÷（3n－m）

（2）[（a－2b）2－4（a－2b）+4]÷（a－2b－2）

13．判断下列解方程的过程是否正确，若不正确，请改正．（1）3x2=6x

解：3x2－6x=0

3x（x－2）=0

x1=0，x2=2

（2）x2－16=0

解：x2=16

x=4

（3）2x2－5x=0

解：2x2=5x

2x=5

x=5 2

（4）（5x－1）2=（2－3x）2解：5x－1=2－3x

8x=3

x=3 8

14．已知x－y=3，求3x2－6xy+3y2的值．

【综合提高】

15．当a取哪些整数时，代数式x2+ax+20在整数范围内可以因式分解？?这个问题可以这样考虑：假设x2+ax+20能分解成两个因式，则可设x2+ax+20=（x+s）（x+t），其中s、?t为整数．由于（x+s）（x+t）=x2+（s+t）x+st，所以必有s+t=a，st=20，至此，问题转化为只需将20分解成两个整数相乘，例如st=20=1×20，令s=1，t=20，则a=s+t=21，?此时x2+21x+20=（x+1）（x+20）．根据这种方法，你还能写出几个满足条件的a的值？

答案:

1．x+1 2．x1=0，x2=－3 3．x1=4，x2=－3

4．xy 5．（x－2y）cm 6．7

7．A 8．C 9．?C 10．D

11．（1）x （2）2m－3 （3）axy－a （4）2x－1 12．（1）3m－n （2）a－2b－2

13．（1）正确（2）x1=4，x2=－4 （3）x1=0，x2=5 2

（4）x1=－1

2

，x2=

3

8

14．27

15．20=（－1）×（－20）=2×10=（－2）×（－10）=4×5=（－4）×（－5）a=－21，12，－12，9，－9

人教版初中数学因式分解易错题汇编及答案

人教版初中数学因式分解易错题汇编及答案 一、选择题 1．若a b +=1ab =，则33a b ab -的值为（ ） A ．± B ． C ．± D ．【答案】C 【解析】 【分析】 将原式进行变形，3322 ()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-，然后利用完全平方公式的 变形22()()4a b a b ab -=+-求得a-b 的值，从而求解． 【详解】 解：∵3322 ()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+- ∴33)a b b ab a =-- 又∵22()()4a b a b ab -=+- ∴22()414a b -=-?= ∴2a b -=± ∴33(2)a b ab =±=±- 故选：C ． 【点睛】 本题考查因式分解及完全平方公式的灵活应用，掌握公式结构灵活变形是解题关键． 2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222111x y x x y -+=-++ C ．()()2111x x x -=+- D ．()ax bx c x a b c ++=+ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 【详解】 解：A 、是整式的乘法运算，故选项错误； B 、右边不是积的形式，故选项错误； C 、x 2-1=（x+1）（x-1），正确； D 、等式不成立，故选项错误． 故选：C ． 【点睛】 熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式．

初中数学因式分解常见的6种方法和7种应用

因式分解的六种方法及其应用 因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用．在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式法，然后考虑公式法．对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等． 方法一提公因式法 题型1 公因式是单项式的因式分解 1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2，则另一个因式是() A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1 C．3y－4x＋1 D．3y－4x 【解析】B 2．分解因式：2mx－6my＝__________． 【解析】2m(x－3y) 3．把下列各式分解因式： (1)2x2－xy； (2)－4m4n＋16m3n－28m2n. 【解析】(1)原式＝x(2x－y)．(2)原式＝－4m2n(m2－4m＋7)． 题型2公因式是多项式的因式分解 4．把下列各式分解因式： (1)a(b－c)＋c－b； (2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2. 【解析】(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)． (2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)． 方法二公式法 题型1直接用公式法 5．把下列各式分解因式： (1)－16＋x4y4； (2)(x2＋y2)2－4x2y2； (3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81. 【解析】(1)原式＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)．

(2)原式＝(x 2＋y 2＋2xy )(x 2＋y 2－2xy )＝(x ＋y )2(x －y )2. (3)原式＝(x 2＋6x ＋9)2＝[(x ＋3)2]2＝(x ＋3)4. 题型2 先提再套法 6．把下列各式分解因式： (1)(x －1)＋b 2(1－x )；(2)－3x 7＋24x 5－48x 3. 【解析】(1)原式＝(x －1)－b 2(x －1)＝(x －1)(1－b 2)＝(x －1)(1＋b )(1－b )． (2)原式＝－3x 3(x 4－8x 2＋16)＝－3x 3(x 2－4)2＝－3x 3(x ＋2)2(x －2)2. 题型3 先局部再整体法 7．分解因式：(x ＋3)(x ＋4)＋(x 2－9)． 【解析】原式＝(x ＋3)(x ＋4)＋(x ＋3)·(x －3)＝(x ＋3)[(x ＋4)＋(x －3)]＝(x ＋3)(2x ＋1)． 题型4 先展开再分解法 8．把下列各式分解因式： (1)x (x ＋4)＋4；(2)4x (y －x )－y 2. 【解析】(1)原式＝x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2. (2)原式＝4xy －4x 2－y 2＝－(4x 2－4xy ＋y 2)＝－(2x －y )2. 方法三 分组分解法 9．把下列各式分解因式： (1)m 2－mn ＋mx －nx ；(2)4－x 2＋2xy －y 2. 【解析】(1)原式＝(m 2－mn )＋(mx －nx )＝m (m －n )＋x (m －n )＝(m －n )(m ＋x )． (2)原式＝4－(x 2－2xy ＋y 2)＝22－(x －y )2＝(2＋x －y )(2－x ＋y )． 方法四 拆、添项法 10．分解因式：x 4＋14 . 【解析】原式＝x 4＋x 2＋14－x 2＝????x 2＋122 －x 2＝????x 2＋x ＋12(x 2－x ＋12 )． 方法五 整体法 题型1 “提”整体 11．分解因式：a (x ＋y －z )－b (z －x －y )－c (x －z ＋y )． 【解析】原式＝a (x ＋y －z )＋b (x ＋y －z )－c (x ＋y －z ) ＝(x ＋y －z )(a ＋b －c )． 题型2 “当”整体

因式分解练习题及答案.pdf

因式分解练习题 一、填空题： 2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)； 12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______； 15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式． 二、选择题： 1．下列各式的因式分解结果中，正确的是（） A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a)B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1) C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy)D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c)

2．多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于（） A ．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2) C ．m(n－2)(m＋1)D．m(n－2)(m－1) 3．在下列等式中，属于因式分解的是（） A ．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bn B ．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1 C ．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b) D ．x2－7x－8=x(x－7)－8 4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（） A ．a2＋b2 B．－a2＋b2 C ．－a2－b2 D．－(－a2)＋b2 5．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m 的值是（） A ．－12 B．±24 C ．12 D．±12 6．把多项式14++-n n a a 分解得（ ） A ．)(4a a a n -B．)1(31--a a n C ．1+n a (a－1)(a2－a＋1)D．1+n a (a－1)(a2＋a＋1) 7．若a2＋a＝－1，则342a a +－3a2－4a＋3的值为（） A ．8 B．7 C ．10 D．12 8．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y 的值分别为（） A ．x=1，y=3 B．x=1，y=－3 C ．x=－1，y=3 D．x=1，y=－3 9．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得（ ） A ．(m＋1)4(m＋2)2B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2)C ．(m＋4)2(m－1)2 D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)2 10．把x2－7x－60分解因式，得（） A ．(x－10)(x＋6) B．(x＋5)(x－12) C ．(x＋3)(x－20)D．(x－5)(x＋12) 11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得（） A ．(3x＋4)(x－2) B．(3x－4)(x＋2)C ．(3x＋4y)(x－2y) D．(3x－4y)(x＋2y)

2020—2021年湘教版七年级数学下册《因式分解及其应用》综合测试题及答案解析.docx

新课标2017-2018学年湘教版七年级数学下册 综合练习因式分解及其应用 1.下列式子从左到右变形是因式分解的是( ) A．a2+4a-21=a(a+4)-21 B．a2+4a-21=(a-3)(a+7) C．(a-3)(a+7)=a2+4a-21 D．a2+4a-21=(a+2)2-25 2.下面分解因式正确的是( ) A．x2+2x+1=x(x+2)+1 B.(x2-4)x=x3-4x C.ax+bx=(a+b)x D.m2-2mn+n2=(m+n)2 3.若代数式x2+ax可以因式分解，则常数a不可以取( ) A．-1 B．0 C．1 D．2 4.下列各式不能用平方差公式因式分解的是( ) A.-y2+1 B.x2+(-y)2 C.m2-n2 D.-x2+(-y)2 5.下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( ) A．-a2-4ab+4b2B．a2+6ab-9b2 C．a2+6a+9b2D．4（a-b）2+4（a-b）+1 6.若多项式ax2+bx+c可分解为(1-3x)2，那么a、b、c的值分别为( ) A.-9，6，-1 B.9，-6，1 C.9，6，1 D.9，6，-1 7.利用因式分解简便计算57×99+44×99-99正确的是( ) A.99×(57+44)=9 999 B.99×(57+44-1)=9 900

C.99×(57+44+1)=10 098 D.99×(57+44-99)=198 8.(-1 2)2 015+(- 1 2)2 016的结果是( ) A.-1 2 B. 1 2 C.( 1 2)2 015 D.-(1 2)2 016 9.将3a2（x-y）-6ab（y-x）用提公因式法因式分解，应提出的公因式是__________. 10.计算：32×3.14+3×(－9.42)=__________. 11.因式分解：x2+3x(x-3)-9=__________. 12.设a＝192×918，b＝8882-302，c＝1 0532-7472，则数a，b，c 按从小到大的顺序排列，结果是__________＜__________＜__________． 13.若x2+(m-3)x+4是完全平方式，则数m的值是__________. 14.如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是____________________. 15.58-1能被20至30之间的两个整数整除，那么这两个整数是__________. 16.若a※b=a2-ab2，则x2※y所表示的代数式因式分解的结果是__________.

因式分解易错题汇编及答案

因式分解易错题汇编及答案 一、选择题 1．下列变形，属于因式分解的有（ ） ①x 2﹣16＝（x +4）（x ﹣4）；②x 2+3x ﹣16＝x （x +3）﹣16；③（x +4）（x ﹣4）＝x 2﹣16；④x 2+x ＝x （x +1） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：①x 2-16=（x+4）（x-4），是因式分解； ②x 2+3x-16=x （x+3）-16，不是因式分解； ③（x+4）（x-4）=x 2-16，是整式乘法； ④x 2+x =x (x +1))，是因式分解． 故选B ． 2．若()()21553x kx x x --=-+，则k 的值为（ ） A ．-2 B ．2 C ．8 D ．-8 【答案】B 【解析】 【分析】 利用十字相乘法化简()()253215x x x x -+=--，即可求出k 的值． 【详解】 ∵()()253215x x x x -+=-- ∴2k -=- 解得2k = 故答案为：B ． 【点睛】 本题考查了因式分解的问题，掌握十字相乘法是解题的关键． 3．下列分解因式正确的是（ ） A ．x 3﹣x=x （x 2﹣1） B ．x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1） C ．x 2﹣x+2=x （x ﹣1）+2 D ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2 【答案】B 【解析】 试题分析：根据提公因式法分解因式，公式法分解因式对各选项分析判断利用排除法求

解． 解：A 、x 3﹣x=x （x 2﹣1）=x （x+1）（x ﹣1），故本选项错误； B 、x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1），故本选项正确； C 、x 2﹣x+2=x （x ﹣1）+2右边不是整式积的形式，故本选项错误； D 、应为x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2，故本选项错误． 故选B ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 4．把代数式322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ） A ．(3)(3)x x y x y +- B ．223(2)x x xy y -+ C ．2(3)x x y - D ．23()x x y - 【答案】D 【解析】 此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解． 解答：解：322363x x y xy -+， =3x （x 2-2xy+y 2）， =3x （x-y ）2． 故选D ． 5．已知12,23x y xy -==，则43342x y x y -的值为( ) A ．23 B ．2 C ．83 D ．163 【答案】C 【解析】 【分析】 利用因式分解以及积的乘方的逆用将43342x y x y -变形为(xy)3(2x-y)，然后代入相关数值进 行计算即可． 【详解】 ∵12,23x y xy -==， ∴43342x y x y - =x 3y 3(2x-y) =(xy)3(2x-y) =23×13

因式分解应用

因式分解 因式分解练习: （1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22 （3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++- （5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+-- （7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a 方法讲解: 一、十字相乘法. （一）二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 例1、分解因式：652++x x 例2、分解因式：672+-x x 练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x （二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2 条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c

（3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++ 例3、分解因式：101132+-x x 练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y （三）二次项系数为1的齐次多项式 例4、分解因式：221288b ab a -- 练习4、分解因式(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)226b ab a -- （四）二次项系数不为1的齐次多项式 例5、22672y xy x +- 例6、2322+-xy y x 练习5、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a 二、主元法. 例7、分解因式：2910322-++--y x y xy x 练习7、分解因式(1)56422-++-y x y x (2)6 7222-+--+y x y xy x

2018-2019学年度冀教版七年级数学下册同步练习 第十一章 因式分解及其应用( 无答案)

因式分解及其应用1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（） A．9x2 y3 z = 3x2 z ?y3 B．x2 +x -5 =x(x +1) -5 C．a2b +ab2 =ab(a +b) D．x2 +1=x( x+1 x ) 2. 下列各式中，代数式（）是x3y+4x2y2+4xy3 的一个因式． A．x2y2 B．x+y C．x+2y D．x-y 3. 因式分解： （1）3a2b + 6ab2 -3ab ；（2）y(x -y) -(y -x) ；（3）16 -8(x -y) + (x -y)2 ；（4）(a2 +1)2 - 4a2 ； （5）3m(2x -y)2 -3mn2 ；（6）(x -1)(x -5) +4；（7）(x -1)(x + 4) -3x ；（8）4(m +n)2 -12m(m +n) +9m2 ；（9）1012 -992 ；（10）2 0182 - 2 018? 4 032 + 2 0162 ．4. 要使4a2 +ab +mb2 成为一个完全平方式，则m=． 5. 要使4a2 -ma +1 4 成为一个完全平方式，则m=． 6. 若x2 - 2x +y2 +6y+10 =0，则x=，y=．

7. 观察下列各式： 12 + 32 + 42 = 2 ?(12 + 32 + 3) 22 + 32 + 52 = 2 ?(22 + 32 + 6) 32 + 62 + 92 = 2 ?(32 + 62 +18) …… （1）小明用a，b，c 表示等式左边的由小到大的三个数，你能发现c 与a， b 之间的关系吗？ （2）你能发现等式右边括号内的三个数与a，b 之间的关系吗？请用字 母a，b 写出你发现的等式，并加以证明． 8. 观察下面的几个算式： ①14×16=100×1×2+24=224； ②24×26=100×2×3+24=624； ③34×36=100×3×4+24=1 224； …… （1）仿照上面的书写格式，请你迅速写出84×86 和124×126 的结果； （2）请利用多项式的乘法表示你所发现的规律，并进行验证．

初二数学因式分解所有易错题-----极为重要

初二数学整式乘除与因式分解所有 易错题偏难题---非常经典 一.填空题 1.已知31=+ a a ，则 221a a +的值是 。 2．分解因式：2212a b ab -+-= . 3. 若16)3(22 +-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 4.()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 。 5. 若2 29y k x ++是完全平方式，则k=_______。 6.若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。 二.选择题 1.在△ABC 中，三边a 、b 、c 满足010616222=++--bc ab c b a ，求证：a+c=2b 代数式a 3b 2－21a 2b 3, 2 1a 3b 4＋a 4b 3,a 4b 2－a 2b 4的公因式是（ ） A 、a 3b 2 B 、a 2b 2 C 、a 2b 3 D 、a 3b 3 2.把16－x 4分解因式，其结果是（ ） A 、(2－x)4 B 、(4＋x 2)( 4－x 2) C 、(4＋x 2)(2＋x)(2－x) D 、(2＋x)3(2－x) 3.若9a 2＋6(k －3)a ＋1是完全平方式，则 k 的值是（ ） A 、±4 B 、±2 C 、3 D 、4或2 4.把x 2－y 2 －2y －1分解因式结果正确的是（ ）。 A ．（x ＋y ＋1）(x －y －1) B ．（x ＋y －1）(x －y －1) C ．（x ＋y －1）(x ＋y ＋1) D ．（x －y ＋1）(x ＋y ＋1) 5.分解因式：222x xy y x y -++-的结果是（ ） Ａ．()()1x y x y --+ Ｂ．()()1x y x y ---

因式分解公式大全

公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 常用的因式分解公式：

例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，

比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7． 分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有 由bd=7，先考虑b=1，d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．

(完整版)因式分解练习题(计算)[含答案]

因式分解练习题（计算）一、因式分解： 1．m2(p－q)－p＋q； 2．a(ab＋bc＋ac)－abc； 3．x4－2y4－2x3y＋xy3； 4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2； 5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)； 6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1； 7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2； 8．x2－4ax＋8ab－4b2； 9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)；10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2； 11．(x＋1)2－9(x－1)2； 12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2； 13．ab2－ac2＋4ac－4a； 14．x3n＋y3n； 15．(x＋y)3＋125； 16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3； 17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)； 18．8(x＋y)3＋1； 19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3； 20．x2＋4xy＋3y2； 21．x2＋18x－144；

22．x4＋2x2－8； 23．－m4＋18m2－17； 24．x5－2x3－8x； 25．x8＋19x5－216x2； 26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24； 27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2； 28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2； 29．x2＋y2－x2y2－4xy－1； 30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48； 31．x2－y2－x－y； 32．ax2－bx2－bx＋ax－3a＋3b； 33．m4＋m2＋1； 34．a2－b2＋2ac＋c2； 35．a3－ab2＋a－b； 36．625b4－(a－b)4； 37．x6－y6＋3x2y4－3x4y2； 38．x2＋4xy＋4y2－2x－4y－35； 39．m2－a2＋4ab－4b2； 40．5m－5n－m2＋2mn－n2． 二、证明(求值)： 1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值． 2．求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数．3．证明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．

初三数学因式分解的应用教案

初三数学因式分解的应用教案【】初三数学因式分解的应用教案教案让学生学会运用因式分解进行简单的多项式除法并且学会运用因式分解解简单的方程。 教学目标1、会运用因式分解进行简单的多项式除法。2、会运用因式分解解简单的方程。 二、教学重点与难点教学重点：因式分解在多项式除法和解方程两方面的应用。 教学难点：应用因式分解解方程涉及较多的推理过程。三、教学过程（一）引入新课1、知识回顾(1) 因式分解的几种方法: ①提取公因式法: ma+mb=m(a+b) ②应用平方差公式: = (a+b) (a-b)③应用完全平方公式:a 2ab+b =(ab) (2) 课前热身：①分解因式:(x +4) y - 16x y （二）师生互动，讲授新课1、运用因式分解进行多项式除法例1 计算: (1) (2ab -8a b) (4a-b)(2)(4x -9) (3-2x)解:(1) (2ab -8a b)(4a-b) =-2ab(4a-b) (4a-b) =-2ab (2) (4x -9) (3-2x) =(2x+3)(2x-3) [-(2x-3)] =-(2x+3) =-2x-3 一个小问题:这里的x能等于3/2吗?为什么? 想一想:那么(4x -9) (3-2x) 呢?练习：课本P162课内练习12、合作学习 想一想:如果已知( )( )=0 ，那么这两个括号内应填入怎样的数或代数式子才能够满足条件呢? (让学生自己思考、相互之

间讨论!)事实上，若AB=0 ，则有下面的结论：(1)A和B同时都为零，即A=0，且B=0(2)A和B中有一个为零，即A=0，或B=0 试一试:你能运用上面的结论解方程(2x+1)(3x-2)=0 吗?3、 运用因式分解解简单的方程例2 解下列方程：(1) 2x +x=0 (2) (2x-1) =(x+2) 解：x(x+1)=0 解：(2x-1) -(x+2) =0则x=0，或2x+1=0 (3x+1)(x-3)=0原方程的根是x1=0，x2= 则3x+1=0，或x-3=0 原方程的根是x1= ，x2=3注：只含有一个未知数的方程的解也叫做根，当方程的根多于一个时，常用带足标的字母表示，比如：x1 ，x2 等练习：课本P162课内练习2 做一做！对于方程:x+2=(x+2) ，你是如何解该方程的，方程左右两边能同时除以(x+2)吗?为什么? 教师总结：运用因式分解解方程的基本步骤(1)如果方程的右边是零，那么把左边分解因式，转化为解若干个一元一次方程;(2)如果方程的两边都不是零，那么应该先移项，把方程的右边化为零以后再进行解方程;遇到方程两边有公因式，同样需要先进行移项使右边化为零，切忌两边同时除以公因式!4、知识延伸解方程：(x +4) -16x =0解：将原方程左边分解因式，得(x +4) -(4x) =0(x +4+4x)(x +4-4x)=0(x +4x+4)(x -4x+4)=0 (x+2) (x-2) =0接着继续解方程，5、练一练①已知a、b、c为三角形的三边，试判断a -2ab+b -c 大于零?小于零?等于

因式分解易错题和经典题型精选

因式分解易错题精选 班级 姓名 成绩 一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()2 2)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。15、方程042 =+x x ，的解是________。

1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=12、 3、下列名式：4 422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公 式分解因式的有（ ）A 、1个，B 、2个，C 、3个，D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ） A 、21 B 、2011.,101.,201D C 5、1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是………………………………………（ ） （A ）（x ＋2）（x –2）＝x 2－4（B ）x 2－4＋3x ＝（x ＋2）（x –2）＋3x （C ）x 2－3x －4＝（x －4）（x ＋1）（D ）x 2＋2x －3＝（x ＋1）2－4 6．分解多项式 bc c b a 2222+--时，分组正确的是……………………………（ ） （A ）（)2()222bc c b a --- （B ）bc c b a 2)(222+-- （C ）)2()(222bc b c a --- （D ）)2(222bc c b a -+- 7．当二次三项式 4x 2 ＋kx ＋25＝0是完全平方式时，k 的值是…………………（ ） （A ）20 （B ） 10 （C ）－20 （D ）绝对值是20的数 8．二项式15++-n n x x 作因式分解的结果，合于要求的选项是………………………（ ） （A ）)(4n n x x x -+ （B ）n x )(5x x - （C ）)1)(1)(1(21-+++x x x x n （D ）)1(41-+x x n 9.若 a ＝－4b ，则对a 的任何值多项式 a 2＋3ab －4b 2 ＋2 的值………………（ ） （A ）总是2 （B ）总是0 （C ）总是1 （D ）是不确定的值

因式分解的应用

因式分解的应用 一、知识体系 1. 因式分解是代数变形的重要工具，在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础．现阶段，因式分解在数值计算、代数式的化简求值、不定方程（组）、代数等式的证明等方面都有广泛的应用；同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高。其应用主要体现在以下几个方面： ①．整体代换，代数式变形求值问题； ②．简化复杂的数值计算，利用因式分解找可以相消，凑整的部分； ③．证明数论相关问题，通过因式分解进行倍数、约数的分析； ④．解决几何问题，特别是三角形三边关系的恒等变形与证明． 2. 有些多项式因式分解后的结果在解决问题过程中常常用到，我们应该熟悉这些结果，记住一些常用公式，有助于我们快速解题： ①1(1)(1)ab a b a b +++=++，1(1)(1)ab a b a b --+=--； ②4224(22)(22)x x x x x +=-+++，42241(221)(221)x x x x x +=-+++； ③2222 2()()a b c ab bc ca a b c +++++=++； ④3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---. 二、例题讲解 例1.计算： （1）)219961993()2107)(285)(263)(241()219971994()2118)(296)(274)(222(+?+?+?+?+?+?+?+?+?+? ； （2）32 322017220172015201720172018-?-+- 1.1 设322320162015(20162017)2015(20142013)2014a -?+=?--，3223 20172016(20172018)2016(20152014)2015b -?+=?--，则a ，b 的大小关系为（ ） A. a b > B. a b = C. a b < D. 无法确定 1.2 设n 为某一自然数，代入代数式3n n -计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结 果是( ) A ．5814 B ．5841 C ．8415 D ．845l

新初中数学因式分解易错题汇编及解析

新初中数学因式分解易错题汇编及解析 一、选择题 1．下列分解因式正确的是（ ） A ．24(4)x x x x -+=-+ B ．2()x xy x x x y ++=+ C ．2()()()x x y y y x x y -+-=- D ．244(2)(2)x x x x -+=+- 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底． 【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()2 1x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2 x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确； D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误， 故选C. 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底． 2．已知4821-可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ） A ．61、63 B ．61、65 C ．61、67 D ．63、65 【答案】D 【解析】 【分析】 由()()()()()() 24242412686421212121221121=+-=+++--，多次利用平方差公式化简，可解得. 【详解】 解：原式()()24242121=+-， ()()()()()()() ()()24 12122412662412212121212 1212163652121=++-=+++-=??++ ∴这两个数是63,65. 选D. 【点睛】 本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键.

初二-因式分解练习题及答案

初二 因式分解练习题及答案 1．若，则的值为 （ ） A ． B ．5 C ． D ．2 2．若x 2+mx+1是完全平方式，则m=（ ）。 A 、2 B 、-2 C 、±2 D 、±4 3．若2,3=-=+ab b a ，则=+22b a ，()=-2 b a 4．已知a －1a =3，则a 2＋21a 的值等于 · 5．如果x 2－kx ＋9y 2 是一个完全平方式，则k ＝________________； 6．若???-=-=+3 1b a b a ，则a 2－b 2＝ ； 7．下列变形，是因式分解的是（ ） A ． 16)4)(4(2-=-+x x x B ． 6)5)(2(1632-+-=-+x x x x C ． )4)(4(162-+=-x x x D ． )2)(8(1662-+=-+x x x x 8．下列各式中，不含因式1+a 的是（ ） A ． 3522++a a B ． 322--a a C ．342+-a a D ．2 1232++ a a 9．下列各式中，能用平方差分解因式的式子是（ ） A ．162+a B ．a b a 422- C ．27)(32-+b a D ．33b a - 10．若10m n +=，24mn =，则22m n += . 11．已知9ab =，3a b -=-，求223a ab b ++的值 . 12．已知：()()212 -=---y x x x ，则xy y x -+22 2= . 13．248168(17)(17)(17)(17)++++的结果为 . 14．因式分解（1）232)()(x y b y x a ---； （2）42332412242xy y x y x y x -+-； （3）2 2264)(x y x -- （4） 21862----n n n x x x

因式分解易错题

学科教师辅导教案 辅导科目：数学学员姓名：年级:新九年级学科教师：王玉伟课时数： 3 第次课授课主题因式分解易错题 复习巩固提公式法、公式法分解因式的方法，掌握因式分解易错题型及教学目标 做题技巧 授课日期及时段2015 年7 月日 10：00——12：00 教学内容

知识点一因式分解概念 1、因式分解：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解 （也叫作分解因式）。例如：m2-n2= （m+n ）（m-n) 注意： （1）分解要彻底 （2）最后结果只有小括号 （3）最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1) ）

知识点二因式分解的方法 ⑴提公因式法 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留 1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a2 -b2=(a+b)(a-b) ； 完全平方公式：a2±2ab＋b2 ＝(a±b) 2 ； （3））分组分解法：将多项式分组后能提公因式进行因式分解； 如: am an bm bn a(m n) b(m n) ( a b)( m n) 将多项式分组后能运用公式进行因式分解 注意: 分组时要注意符号的变化. x2 ( p q)x pq (x p)(x q) 形式的多项式，可以考虑用此种方法）（4）十字相乘法: 形如 方法：常数项拆成两个因数p和q ，这两数的和p q 为一次项系数

因式分解定理的应用

因式分解定理的两个应用 刘学勇 (浙江省象山县荔港学校 315731) 因式分解定理：用一次多项式x a -去除多项式()f x （()f x 表示关于x 的多项式）所得的余式是一个常数，这个常数等于()f a （当x a =时关于x 的多项式的值）。 推论：多项式()f x 能被x a -整除，则()0f a =；反之若()0f a =，则x a -整除多项式()f x 。通俗的说成：如果x a =时，关于x 的多项式的值为零，那么x a -是该多项式的一个因式。反之亦然。 利用此定理可以进行因式分解和解特殊的高次方程。 例1.若()()x a x b k ---中含有因式x b +，则k = 分析：根据因式分解定理把x b =-代入()()x a x b k ---=0得2()0b a b k +-=，则k=2()b a b + 例2.已知多项式32ax bx cx d +++ 除以1x -时，所得的余数是1，除以2x -时，所得的 余数是3，那么多项式32ax bx cx d +++除以(1)(2)x x --时，所得的余式是（ ） A 。21x - B 。21x + C 。1x + D 。1x - （第12届初二第二试） 解：设32 ()f x ax bx cx d =+++=(1)(2)a x x px q --++，由因式分解定理(1)1(2)3f f =??=? 解得21 p q =??=-?，所以多项式32ax bx cx d +++除以(1)(2)x x --时，所得的余式是21x -。 例3.已知a ，b ，c 均为实数，且多项式32x ax bx c +++能够被234x x +-整除。（1）求 4a c +的值。（2）求 22a b c --的值；（3）若 a ，b ，c 为整数，且1c a ≥> 试确定 a ， b ， c 的大小。 （第8届初二第二试） 解：（1）因为234(1)(4)x x x x +-=-+，所以1x -，4x +都能整除32 x ax bx c +++，所以 (1)0(4)0f f =??-=?，即10641640a b c a b c +++=??-+-+=?，整理得116464 a b c a b c ++=-??-+=?解得313b a =-，124c a =-，所以412a c +=， （2）22a b c --=22(313)(124)a a a ----=14。

因式分解培优练习题及答案

因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+8 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 4．分解因式： （1）2x2﹣x （2）16x2﹣1 （3）6xy2﹣9x2y﹣y3 （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2 5．因式分解： （1）2am2﹣8a （2）4x3+4x2y+xy2 6．将下列各式分解因式：

（1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 7．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）（x+2y）2﹣y2 8．对下列代数式分解因式： （1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1 9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b210．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1 11．把下列各式分解因式： （1）x4﹣7x2+1 （2）x4+x2+2ax+1﹣a2 （3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1 12．把下列各式分解因式： （1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．

解答：解：（1）3p2﹣6pq=3p（p﹣2q）， （2）2x2+8x+8，=2（x2+4x+4），=2（x+2）2． 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可； （2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 解答：解：（1）原式=xy（x2﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）； （2）原式=3a（a2﹣2ab+b2）=3a（a﹣b）2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2． 解答：解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2． 4．分解因式： （1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2． 解答：解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）； （2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）； （3）6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y）2； （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，=[2+3（x﹣y）]2，=（3x﹣3y+2）2． 5．因式分解： （1）2am2﹣8a；（2）4x3+4x2y+xy2 解答：解：（1）2am2﹣8a=2a（m2﹣4）=2a（m+2）（m﹣2）； （2）4x3+4x2y+xy2，=x（4x2+4xy+y2），=x（2x+y）2． 6．将下列各式分解因式： （1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2． 解答：解：（1）3x﹣12x3=3x（1﹣4x2）=3x（1+2x）（1﹣2x）； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2=（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）=（x+y）2（x﹣y）2． 7．因式分解： （1）x2y﹣2xy2+y3；（2）（x+2y）2﹣y2． 8．对下列代数式分解因式： （1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1． 9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2．10．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1