最新北师大版八年级数学上期末复习提纲
北师大版八年级数学上期末复习提纲 姓名
第一章 勾股定理
1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即2
22a b c +=。
2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。
3．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足2
22a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。满足222a b c +=的三个正
整数称为勾股数。 第二章 实数
1．平方根和算术平方根的概念及其性质：
（1）概念：如果2
x
a =，那么x 是a
的平方根，记作：
叫做a 的算术平方根。
（2）性质：①当a ≥0
0；当a
＝a
a =。 2．立方根的概念及其性质：
（1）概念：若3
x a =，那么x 是a
；
（2
a =；
②
3
a =
3．实数的概念及其分类：
（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；
（2）分类：按定义分为有理数和无理数；有理数可分为整数和分数；实数按性质分为正数、负数和零。无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。
4．与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。 5．算术平方根的运算律： )0,0(≥≥=?b a ab b a （a ≥0，b ≥0）；
（a ≥0，b ＞0）。
第三章 图形的平移与旋转
1．平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形大小和形状，改变了图形的位
置；经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。
2．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这点定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过旋转，图形点的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度；任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等。 3．作平移图与旋转图。 第四章 四边形性质的探索
1．多边形的分类：
2．平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别：
（1）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
（2）菱形：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的四条边都相等；对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形。
=实数
无理数(无限不循环小数)
有理数
正分数 负分数
正整数
负整数
(有限或无限循环性数) 整数
分数
正无理数 负无理数
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半（面积计算，即S 菱形=L 1.L 2/2）。
（3）矩形：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形的对角线相等；四个角都是直角。有一个角是直角的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半； 在直角三角形中30°所
对的直角边是斜边的一半。
（4）正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形。正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
（5）等腰梯形：同一底上的两个内角相等，对角线相等。两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形。经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 ； 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边 。
重要辅助线：①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。
（6）三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
（7）梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b ）÷2，S=L ×h
3．多边形的内角和=（n-2）.180°；多边形的外角和都等于360；正n 边形的每一个内角都等于（n-2）.180°/n 。 正三角形面积
3a 2／4 （a 表示边长）
4．中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
中心对称的性质：关于中心对称的两个图形是全等的；关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称 。 第五章 位置的确定
1．直角坐标系及坐标的相关知识。
2．点的坐标间的关系：如果点A 、B 横坐标相同，则AB ∥y 轴；如果点A 、B 纵坐标相同，则AB ∥x 轴。
3．将图形的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1-倍，所得到的图形与原图形关于y 轴对称；将图形的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的1-倍，所得到的图形与原图形关于x 轴对称；将图形的横、纵坐标都变为原来的1-倍，所得到的图形与原图形关于原点成中心
对称。
第六章 一次函数
1．一次函数定义：若两个变量,x y 间的关系可以表示成y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）的形式，则称y 是x 的一次函数。当0
b =时称
y 是x 的正比例函数。正比例函数是特殊的一次函数。
2．作一次函数的图象：列表取点、描点、连线，标出对应的函数关系式。 3．正比例函数图象性质：经过()0,0；k ＞0时，经过一、三象限；k ＜0时，经过二、四象限。
4．一次函数图象性质： （1）当k ＞0时，
y 随x 的增大而增大，图象呈上升趋势；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，图象呈下降趋势。
（2）直线y kx b =+与轴的交点为()0,b ，与x 轴的交点为 。 （3）在一次函数y kx b =+中：k ＞0，b ＞0时函数图象经过一、二、三象限；k ＞0，b ＜0时函数图象经过一、三、四象限；k ＜0，b ＞0时函数图象经过一、二、四象限；k ＜0，b ＜0时函数图象经过二、三、四象限。
（4）在两个一次函数中，当它们的k 值相等时，其图象平行；当它们的k 值不等时，其图象相交；当它们的k 值乘积为1-时，其图象
垂直。
4．已经任意两点求一次函数的表达式、根据图象求一次函数表达式。 5．运用一次函数的图象解决实际问题。
第七章 二元一次方程组
1．二元一次方程及二元一次方程组的定义。
2．解方程组的基本思路是消元，消元的基本方法是：①代入消元法；②加减消元法；③图象法。 3 4．解应用题时，按设、列、解、答 四步进行。
5．每个二元一次方程都可以看成一次函数，求二元一次方程组的解，可看成求两个一次函数图象的交点。 第八章 数据的代表
1．算术平均数与加权平均数的区别与联系：算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，（它特殊在各项的权相等），当实际问题中，各项的权不相等时，计算平均数时就要采用加权平均数，当各项的权相等时，计算平均数就要采用算术平均数。
2．中位数和众数：中位数指的是n 个数据按大小顺序（从大到小或从小到大）排列，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）。众数指的是一组数据中出现次数最多的那个数据。
,0b k ??-
???
★一次函数及图象复习要点
1、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。数轴上的点与实数一一对应。数轴上的点A 、B 的坐标为x 1、x 2, 则AB ＝│x 1-x 2 │ 。
2、具有公共原点且互相垂直的两条数轴就构成平面直角坐标系。坐标平面内的点与有序实数对（x,y ）一一对应。
3、坐标轴上的点不属于任何象限。x 轴上的点纵坐标y ＝0；y 轴上的点横坐标x ＝0。
第一象限内的点x>0,y>0；第二象限内的点x<0,y>0；第三象限内的点x<0,y<0；第四象限内的点x>0,y<0；
由此可知，x 轴上方的点，纵坐标y ＞0；x 轴下方的点，纵坐标y ＜0；y 轴左边的点，横坐标x ＜0；y 轴右边的点，横坐标x ＞0. 4、关于某坐标轴对称的点，这个轴的坐标不变，另一个轴的坐标互为相反数。关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数。关于第一、三象限角平分线对称的点，横纵坐标交换位置；关于第二、四象限角平分线上对称的点，不但横纵坐标交换位置，而且还要变成相反数。 5、第一、三象限角平分线上的点，横纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点，横纵坐标互为相反数。
6、在一个变化过程中，存在两个变量x 、y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一的一个值与之对应，我们就说y 是x 的函数。x 是自变量，y 是因变量。 函数的表示方法有：解析式法、图象法、列表法。
7、函数自变量的取值范围：①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；②函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母≠0；③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．④函数的解析式是负整指数和零指数时，底数≠0；⑤对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．
8、如果y ＝kx ＋ b ( k 、b 是常数，k≠0),那么，y 叫x 的一次函数。如果y ＝kx (k 是常数，k≠ 0),那么，y 叫x 的正比例函数。
9、点在函数的图象上的代数意义是：这一点的坐标满足函数的解析式。两个函数有交点的代数意义是：两个函数的解析式组成的方程组的解就是交点的坐标。
10、一次函数y ＝kx ＋b 的性质：
（1）一次函数图象是过两点的一条直线，|k|的值越大，图象越靠近于y 轴。
（2）当k>0时，图象过一、三象限，y 随x 的增大而增大；从左至右图象是上升的（左低右高）； （3）当k<0时，图象过二、四象限，y 随x 的增大而减小；从左至右图象是下降的（左高右低）；
（4）当b>0时，与y 轴的交点（0，b ）在正半轴；当b<0时，与y 轴的交点(0,b)在负半轴。当b ＝0时，一次函数就是正比例函数，图象是过原点的一条直线。
（5）几条直线互相平行时，k 值相等而b 不相等。当它们的k 值不等时，其图象相交。
1． 正比例函数
⑴定义：y=kx(k ≠0) ⑵图象：直线（过原点）⑶性质：①k>0，…②k<0，…
2． 一次函数 ⑵ 义：y=kx+b(k ≠0)
⑵图象：直线过与y 轴的交点为（0,b ）和 与x 轴的交点为（-b/k,0）。 ⑶性质：①k>0,…②k<0,… ⑷图象的四种情况： ★四边形
1、四边形的内角和定理：四边形内角和等于360°；
2、多边形内角和定理：n 边形的内角和等于(n －2)×180°；
3、多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°；
4、n 边形对角线条数公式：n(n －3)/2(n≥3)；
5、中心对称：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称。
6、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果它能够和原来的图形互相重合，那么就说这个图形叫做中心对称图形。平行四边形是中心对称图形。
7、中心对称的性质：关于中心对称的两个图形是全等形；关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
8、四边形一般性质（角） ⑴内角和：360°；外角和：360° ⑵顺次连结各边中点得平行四边形。
推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。 2．特殊四边形
⑴研究四边形的一般方法: 定义→性质→判定
⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定 ⑶
判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形
角线
积
称性
轴对称
中心对
称
┗→菱形──↑ （4）对角线的纽带作用：
八、（一）二元一次方程组
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（ 2、二元一次方程的解
使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。 3、二元一次方程组
两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 4二元一次方程组的解
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 5、二元一次方组组的解法 （1）代入法（2）加减法 6、三元一次方程
把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 7、三元一次方程组
由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 ㈡常用的相等关系 1． 行程问题（匀速运动） 基本关系：s=vt
甲s +乙s =AB s ;乙甲t t =
⑴相遇问题(同时出发)：⑵追及问题（同时出发）：
)()(;CB AB AC t t s s s 乙甲乙甲=+=
若甲出发t 小时后，乙才出发，而后在B 处追上甲，则
乙甲乙甲t t t s s +==;
⑶水中航行：水速船速顺
+=v ;水速船速逆-=v
2.配料问题：溶质=溶液×浓度 溶液=溶质+溶剂 3．增长率问题：11)1(-±=n n
r a a
4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。 5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式等。
A
C
甲→
←乙
相遇处 C
甲→
乙→ （相遇处）
乙→
A (（相遇处）
2.如图7，梯形中，，，,，，点
为线段上一动点（不与点重合），关于的轴对称图形为，连接，设，的面积为，的面积为．（1）当点落在梯形的中位线上时，求的值；(全等)
（2）试用表示，并写出的取值范围；（相似）
（3）当的外接圆与相切时，求的值．（垂径定理+中线+等面积+相似）
【答案】解：（1）如图1，为梯形的中位线，则，过点作于点，则有：
在中，有
在中，
又
解得：
（2）如图2，交于点，与关于对称，
则有：，
又
又与关于对称，
（3）如图3，当的外接圆与相切时，则为切点.
的圆心落在的中点，设为