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第一章：有理数

一、有理数的基础知识

1、三个重要的定义

（1）正数：像1、、这样大于0的数叫做正数；

（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；

（3）0即不是正数也不是负数，0是一个具有特殊意义的数字，0是正数和负数的分界，不是表示不存在或无实际意义。

概念剖析：①判断一个数是否是正数或负数，不能用数的前面加不加“+”“－”去判断，要严格按照“大

于0的数叫做正数；小于0的数叫做负数”去

识别。

②正数和负数的应用：正数和负数通常表示具有相反意义的量。

③所有正整数组成正整数集合；所有负整数组成负整

数集合；正整数、0、负整数统称为整数，正整数、

0、负整数组成整数集合；

④常常有温差、时差、高度差(海拔差)等等差之说，其算法为高温减低温等等；

例1 下列说法正确的是( )

A、一个数前面有“－”号，这个数就是负数；

B、

非负数就是正数；

C、一个数前面没有“－”号，这个数就是正数；

D、0既不是正数也不是负数；

例2 把下列各数填在相应的大括号中 8，

4

3，，0，

3

1

-，6

-，25

.0

-，

正整数集合{}整数集合{ }

负整数集合{}正分数集合{ }

例 3 如果向南走50米记为是50

-米，那么向北走782米记为是 ____________, 0米的意义是______________。

例4 对某种盒装牛奶进行质量检测，一盒装牛奶超出标准质量2克，记作+2克，那么5

-克表示_________________________

知识窗口：正数和负数通常表示具有相反意义的量，一个记为正数，另一个就记为负数，我们习惯上把向东、

向北、上升、盈利、运进、增加、收入、高于海

平面等等规定为正，把相反意义的量规定为负。

例 5 若0

>

a，则a是；若0

<

a，则a 是；若b

a<，则b

a-是；若b

a>，则b

a-是；（填正数、负数或0）

2、有理数的概念及分类

整数和分数统称为有理数。

有理数的分类如下：

（1）按定义分类：（2）按性质符号分类：

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

负分数

正分数

分数

负整数

正整数

整数

有理数

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

负分数

负整数

负有理数

正分数

正整数

正有理数

有理数0

概念剖析：①整数和分数统称为有理数，也就是说如果一个数是有理数，则它就一定可以化成整数或分数；

②正有理数和0又称为非负有理数，负有理数和

0又称为非正有理数；

③整数和分数都可以化成小数部分为0或小数部分

不为0的小数，但并不是所有小数都是有理数，只

有有限小数和无限循环小数是有理数；

例 6 若a为无限不循环小数且0

>

a，b是a的小数部分，则

b

a-是（）

A、无理数

B、整数

C、有理数

D、

不能确定

例7 若a为有理数，则a不可能是（）

A、整数

B、整数和分数

C、)0

(≠

p

p

q

D、π

3、数轴

标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。

数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。

画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。

在数轴上所表示的数，右边的数总比左边的数大，即从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。

概念剖析：①画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不可；

②数轴的方向不一定都是水平向右的，数轴的方向可以是任意的方向；

③数轴上的单位长度没有明确的长度，但单位长度与单位长度要保持相等；

④有理数在数轴上都能找到点与之对应，一般地，

设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的

右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数a -的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。 ⑤在数轴上求任意两点a 、b 的距离L,则有公式

a b L b a L -=-=或，这两个公式选择那个都一样。

例8 在数轴上表示数3的点到表示数a 的点之间的距离是

10，则数=a ；若在数轴上表示数3的点到表示数a 的点之间的距离是b ，则数

=a 。

例9 a,b 两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（ ）

A 、

a +

b ＜0 B 、 ab ＜0 C 、b

a

＜0 D 、

0<-b a

例10

下列数轴画正确的是（ ）

4、相反数

如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。

0的相反数是0，互为相反的两个数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等。

概念剖析：①“如果两个数只有符号不同，那么其中一个数

就叫另一个数的相反数”，不要茫然的认为“如果两个数符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”。

A

1-

2

-1

-

②很显然，数a 的相反数是a -，即a 与a -互为相

反数。要把它与倒数区分开。

③互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个

在原点的左边，一个在原点的右边，且离原点的距离相等，也就是说它们关于原点对称。

④在数轴上离某点的距离等于a 的点有两个。

⑤如果数a 和数b 互为相反数，则a +b =0；

)0(1≠-=ab b a 或)0(1≠-=ab a

b

； ⑥求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上

“—”即可；

例如b a -的相反数是a b -；

例11 下列说法正确的是（ ）

A 、若两个数互为相反数，则这两个数一定是一个正数，一个负数；

B 、如果两个数互为相反数，则它们的商为-1；

C 、如果a +b =0，则数a 和数b 互为相反数；

D 、互为相反数的两个数一定不相等；

例12 求出下列各数的相反数

①4

a

②1+a ③b a - ④23c

例13 化简下列各数的符号

①)5.4(-+ ②)5

31(-- ③[])2(+-- ④

()[]{}2.0----

知识窗口：①一个数前面加上“—”号，该数就成了它的相反数；

②一个数前面的符号确定方法：奇数个负号相当

于一个负号，偶数个负号相当于一个正号，而与正号的个数无关。

5、绝对值

数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值。 （1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。

（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的

绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a

表示如下：??

???<-=>=)0()0(0)0(a a a a a

a

（3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

概念剖析：①“一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点

与原点的距离”，而距离是非负，也就是说

任何一个数的绝对值都是非负数，即0≥a 。

②互为相反数的两个数离原点的距离相等，也

就是说互为相反数的两个数绝对值相等。

例14 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数是( )

A 、互为相反数

B 、相等

C 、积为0

D 、互为相反数或相等

例15 已知ab >0,试求

ab

ab b b a a |

|||||+

+的值。 例16 若|x |=-x ，则x 是_________数；

例17 若│x +3∣+∣y —2∣=0，则2005)y x +（ = ；

例18 将下列各数从大到小排列起来

0、 6

5

-、 4

3-、0001.0

例19 如果两个数a 和b 的绝对值相等，则下列说法正确的是（ ）

A 、b a =

B 、1-=b

a C 、0=+

b a D 、

不能确定

二、有理数的运算 1、有理数的加法

（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。 例20 计算下列各式

①（– 3）–（– 4）+7 ②

）（）（3

2

312105--+---

③()3.5-+()2.3-()5.2--()8.4+- （2）有理数加法的运算律：

加法的交换律 ：a+b=b+a ；加法的结合律：( a +b ) +c = a + (b +c )

知识窗口：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先

把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。 例21 计算下列各式 ①

2

)10()8()3()7(+-+++++- ②

)25.0()3

2

11()813(413125.0-+++-++

2、有理数的减法

（1）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

（2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。

（3）有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算；

概念剖析：减法是加法的逆运算，用法则“减去一个数等于

加上这个数的相反数”即可转化。

转化后它满足加法法则和运算律。

例22

计算：59117+---

例23

月球表面的温度中午是C o 101，半夜是C o 153-，中午比半夜高多少度

例24 已知m 是6的相反数，n 比m 的相反数小5，求n 比m 大多少

3、有理数的乘法

（1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异

号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。

（2）有理数乘法的运算律：交换律：ab =ba ；结合律：(ab )c =a (bc )；交换律：a (b +c )=ab +ac 。

（3）倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab=1，

那么a 和b 互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母

的位置颠倒过来。

概念剖析：①“两个有理数相乘，同号得正，异号得负”不

要误认为成“同号得正，异号得负”

②多个有理数相乘时，积的符号确定规律：多个

有理数相乘，若有一个因数为0，则积为0；

几个都不为0的因数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数的个数为奇数时，积

为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。

③有理数乘法的计算步骤：先确定积的符号，再

求各因数绝对值的积。

例25 计算下列各式：

① )8

7()5.2(7

11)25.1(-?-??- ②

)121

6141()12(-+-?-

③)94

7(5.10)952()25.35(952)75.45(-?+-?-+?- ④

)5(25

24

49-?

4、有理数的除法

有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0不能做除数。这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0。

概念剖析：①除法是乘法的逆运算，用法则“除以一个数，

等于乘上这个数的倒数”即可转化，转化后它满足乘法法则和运算律。

②倒数的求法：求一个整数的倒数，直接可写成

这个数分之一，即a 的倒数为)0(1

≠a a

；求一个真分数和假分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一下即可，即

m n 的倒数为n

m

；求一个带分数的倒数，应先将带分数化为假分数，再求其倒数；求一个小数的倒数，应先将小数化为分数，再求其倒数。注意：0没有倒数。

例25 倒数是其本身的数有_________；

例26 计算下列各式：

①)8(8115.2-?÷- ②2

17)5(÷- ③

)6()48(-÷-

5、有理数的乘方

（1）有理数的乘方的定义：求几个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“n a”其中a叫做底数，表示相同的因数，n叫做指数，表示相同因数的个数，它所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a，乘方的结果叫做幂。

（2）正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数，0的任何非0次幂都是0，1的任何非0次幂都是1，1-偶数次幂是1、1-奇数次幂是1-；

概念剖析：①“n a”所表示的意义是n个a相乘，不是n 乘以a；

②n

n a

a-

≠

-)

(。因为n a-表示n个a-相乘，而n a)

(-表示n个a的相反数；

③任何数的偶次幂都得非负数，即0

2≥

n

a。例27 ①32的意义是_________________________；

②45

-的意义是________________________；

③5)

7

6

(-的意义是_________________________；

例28 当3-

=

a，

2

3

=

b时，则=

+2

2b

a_________；

例29 计算：2009

2008)2

(

)2

(-

+

-

例30 若)0

,0

(

,≠

≠b

a

b

a互为相反数，n是自然数，则（）A、n

a2和n

b2互为相反数 B、1

2+

n

a和12+n b互为相反数C、2a和2b互为相反数 D、n a和n b互为相反数

知识窗口：所有的奇数可以表示为1

2+

n或1

2-

n；所有的偶数可以表示为n2。

6、有理数的混合运算

（1）进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、

除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算。

（2）进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力。

知识窗口：有理数混合运算的关键时把握好运算顺序，即先

乘方、再乘除、最后加减；有括号的先算括号；若是同级运算，应按照从左到右的顺序进行。

例31 计算下列各式

①6

311121

10????

??????

?

?+--÷ ②

()??

? ??-?-+??? ??-?÷-31243241232

2

3

例31 已知a 的绝对值为3、且a 满足x 的一元一次方程

02)3()(2=-++-x a x b a ，则b

a

b a +

+23的值为多少 7、科学记数法

（1）把一个大于10的数记成n a 10?的形式，其中a 是整数位只有一位的数，这种记数方法叫做科学记数法。 （2）与实际完全符合的数叫做准确数，与准确数接近的

数叫做近似数。一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

（3）一个数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到

的数位止（最末尾一位），所得的数字，叫做这个数的

有效数字。

概念剖析：I 把一个数b 用科学记数法表示为n a 10?，其中

101<≤a ，n 为自然数，

①当10≥b 时， n 为这个数b 的整数位数减1；例如：用科学记数法表示04.188000得5

108800004.1?，它满足

108800004.11<≤，165-= （04.188000的整数部分有

6位数）；

②当101<≤b 时，n 为0；例如：用科学记数法表示

8800004.1得0

108800004.1?；

③当1

数的相反数；

④科学记数法既然是将很大的数或很小的数一种简单的记数方法，那么就在记数的过程中不能出现几百、几千、几万或几百分之一、几千分之一、几万分之一等等词出现。

II 在让数字精确和数有效数字时应注意：

①在四舍五入法精确小数时不可轻视，即如果要求将一个小数精确到千分位，而四舍五入所得到的结果千分位为0时，该0不能省略。如：将08965601.2精确到千分位，应为090.2，不应为09.2。其他分位也应注意。

②在数一个数的有效数字时应该严格按照“从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止（最末尾一位），所得的数字”； 科学记数法n a 10?的形式

中，效数字只与a 有关，而与n 10无关。

例32 用科学记数法表示下列各数

①00 ②0 ③ ④120万人民币；

例33 ①有_________位效数字，它们分别是_________________________；

②有_________位效数字，它们分别是