一道高考题的几何审视

一道高考题的几何审视

吴时月

浙江温州中学325014摘要：本文从椭圆切线的定义出发,从几何角

度重新审视椭圆切线的定

义及性质,从

纯几何角

度完美

诠释

了‘高考试题中的定值 情结 “一文(缪瑞红)中给出的圆锥曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹,既挖掘了圆锥曲线的几何特征,又深刻地揭露了问题的本质.

关键词：椭圆；圆；切线；几何法

解析几何的基本思想是用代数方

法来研究几何问题.但归根到底,其研究对象是几何问题,因此,在研究解析几何问题时,若从几何的角度去审视研究对象,挖掘研究对象的几何特征,是可以更深刻揭露问题的本质的,同时研究过程对提高思维的灵活性和创造性都是有帮助的

.‘高考试题中的定值 情结 “一文（缪瑞红）通过代数方法解决并推广了2014年广东卷的第20题,得到了以下命题1：已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的两条互相垂直的切线的交点为P ,则点P 的轨迹为圆x 2+y 2=a 2+b 2.接下来,笔者尝试从几何角度出发,重新审视该问题,进一步揭露该问题的本质.为了更好地从几何角度来探究椭圆切线的几何特征,我们先给出并证明椭圆切线定义的等价形式.性质1如图1,直线XY 经过椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a＞b＞0,c=a 2-b 2?)上的点P ,F 1,F 2为椭圆的两个焦点,则直线XY 为椭圆C 的切线的充要条件是?XPF 1=?YPF 2.（椭圆的光学性质）证明：（充分性）如图2,作F 2关于直线XY 的对称点F

2＇,连接PF 2＇,在直线XY 上任取一点P ＇,连接P ＇F 2＇,P ＇F 1,P ＇F 2.x O y X Y F 1F 2P P ＇F 2＇

图2因为?XPF 1=?YPF 2,所以F 1,P ,F 2＇三点共线,从而_______________F 1F 2＇=F 1P+F 2P=2a .所以P ＇F 1+P ＇F 2=P ＇F 1+P ＇F 2＇?F 1F 2＇=2a ,当且仅当P ＇与P 重合时取到等号.这说明直线XY 上除点P 外的其他点均在椭圆C 外部,所以,直线XY 与椭圆C 只有唯一的公共点P ,由定义知直线XY 是椭圆C 的切线.（必要性）如图3,作F 2关于直线XY 的对称点F 2＇.

x

O y X Y F 1F 2

P

U F 2＇

P ＇图3

下面用反证法证明F 2＇,P ,F 1三点共线,从而易证得?XPF 1=?YPF 2._事实上,若F 2＇,P ,F 1三点不共线,连

接F 1F 2＇交XY 于点P ＇,交椭圆C 于点U .__一方面,

F 1F 2＇＜F 1P+F 2＇P=F 1P+F 2P=2a ；__另一方面,

F 1F 2＇=F 1U+UP ＇+P ＇F 2＇________=F 1U+UP ＇+P ＇F 2________＞F 1U+UF 2

________=2a ,矛盾.

另外,再给出一个常见的平面几何

结论.

性质2在矩形ABCD 中,O 为平面

内任一点,则有OA 2+OC 2=OB 2+OD 2.证明：在平行四边形ABCD 中,有：2(AB 2+AD 2)=AC 2+BD 2,

因此,在三角形ABC 中,D 为BC 中

中等教育￡图1

x O y X Y F 1F 2P 63

直于平面PBE.然后,过点B 作AD 的垂线,垂足为F ,则不难证明BF 垂直于平面

PAD.连接PF.过点G 作BF 的平行线交PF 于H ,则不难证明GH 也垂直于平面PAD.连接AH （见图5）,则我们不难利用解三角形的方法求得?AGH 的大小,进而得到二面角的大小.D

A B C E P H G

F 图5解法1是一种常用的解法.这一方法包含两个转化：把几何问题转化为代数问题；把求二面角大小的问题转化为求法向量的夹角问题.这是 问题是可以转化的 这一解题思想的直接体现.解法2也是一种常见的解法.这种解法包含两个 关卡 .本题中,由于已知图形中并没有画出二面角的棱,所以,要想作出二面角的一个平面角,首先就要作出它的棱.为此,必须首先弄清相关直线与直线二直线与平面之间的位置关

系

.而这取决于解题者的观察能力和空

间想象能力,所以是解答本题的第一个 关卡 .另外,就二面角的平面角的构造而言,由于不是在棱上任取一点构造出来的,而是借助于特殊的点或线间接地确定的（其目的是确保该角的大小不难求得）,这样一来,作图的难度就大大增加.这是解答本题的第二个 关卡 .这种作图方法采用的策略是 利用特殊点或

线间接定位 的策略

.解法3与解

法2类似

,都

是先作出一个平面角,然后利用解三角形的方法求得其大小.同时,平面角的构造方法也相同：利用特殊点间接地确定平面角.当然,通过构造二面角的平面角来解决问题其实也是一种转化 把二面角转化为平面角进行处理.这两种方法之间的差异是：解法2是先作出二面角的棱,然后构造二面角；而解法3是首先平移其中的一个面或构造一个面的平行平面,从而构造出一个与原二面角大小相等的新二面角.后者体现了 图形是可以移动的 解题信念.解法4与解法1有异曲同工之妙.都把面面夹角的问题转化为线线夹角的问题.不同的是,在求垂线之间的夹角时,

解法1采用的是向量法,且不必作出法向

量；而解法4先分别构造出两个面的垂

线,且保证这两条垂线经过原图中的特

殊点,同时成为一个三角形的两边（只有

这样，解题者才能使用解三角形的方法

求出其夹角的大小）.如此一来,由于这

两条垂线的限制条件多,结果导致构造辅助线或辅助图形难度增大.解法4中

的作图体现了 辅助图形往往是可以构造的 这一解题信念.总的来说,这四种方法也有共同之处.第一,都采用了·转·化·的·思·想,即

把求

二面角大小的问题转化为求线线夹角的

问题.第二,都是通过构造辅助图形来实现这种转化的（解法1构造的辅助图形

是空间直角坐标系）,而且辅助图形都是

利用图形中特殊点间接地构造而成的,

或者说都采用了·间

·接·构

·造

·的

·策·略.第

三,不论是构造辅助图形还是求某些量

的大小,都依赖于解题者对子图形之间

的大小关系或位置关系的正确把握.第四,支撑这四种解法的基石是一些重要的

·解

·题·信·念,即 问题是可以转化

的 二 辅

助图形往往是可以构造的 二 子图形之

间往往存在着制约关系 等等.总之,上

述四种解法所采用的这些解题思想二策略和信念具有普遍意义,在一定程度上体现了立体几何问题解决的一般规律,立体几何解题教学只有围绕它们展开才能收到良好成效.D A B C E P H 图4G K F (上接第58页)点,有：2(AB 2+AC 2)=4AD 2+BC 2.于是,在矩形ABCD 中,O 为平面内任意一点,由AC=BD ,M 为AC 与BD 交点有：OA 2+OC 2=12(4OM 2+AC 2)_OB 2+OD 2=12(4OM 2+BD 2)_??????

???????

?OA 2+OC 2=OB 2+OD 2.下面,给出缪瑞红老师一文中命题1的几何证明：如图4,设F 1关于PA ,PB 的对称点分别为F 1＇,F 2＇,有：A F 1＇=AF 1,BF 2＇=BF 1.由性质1得：F 1＇F 2=F 2＇F 2=2a ,因此,OG=OH=a ,因为四边形PGF 1H 为矩形,由性质2得：OF 21+OP 2=OG 2+OH 2,即OP 2=a 2+b 2.同样地,可以借助几何法得到双曲线和抛物线中的类似性质.命题2：已知双曲线x 2

a 2-y 2

b 2=1(a＞b＞0)的两条互相垂直的切线的交点为P ,则点P 的轨迹为圆x 2+y 2=a 2-b 2.命题3：已知抛物线y 2=2px (p＞0)的

两条互相垂直的切线的交点为P ,则点P

的轨迹方程为x=-p

2.

圆锥曲线是平面解析几何的重要

组成部分,解析几何的基本思想是用坐标法来研究几何问题,但有些圆锥曲线问题运用坐标法求解

,往往要用到烦琐

的推理和计算.因此,在研究解析几何问题时,若能从几何的角度去审视研究对象,结合平面几何知识另辟蹊径,往

往事半功倍二别样精彩.

x O y P F 1F 2B H F 2＇F 1＇A

G 图464