电磁感应透明介质中的慢光操控

山 西 大 学

2005届硕士研究生学位论文

电磁感应透明介质中的慢光操控

姓 名： 贾新娟

导 师： 张云波 教授

专 业： 理论物理

研究方向： 玻色-爱因斯坦凝聚

学院（中心、所）： 物理电子工程学院

学习年限： 2002年９月－2005年6月

二○○五年六月

Master Thesis of Shanxi University 2005

Manipulation of Slow Light

in Electromagnetically Induced Transparency Medium

Student Name:Jia Xinjuan

Supervisor:Professor Zhang Yunbo

Major: Theoretical Physics

Field of Research:Bose-Einstein Condensation

Institute:Institute of Theoretical Physics Research Duration: 2002.9-2005.7

June 2005

摘 要

本文基于在电磁感应透明介质中超慢光和光信息储存的基本理论和技术，从理论上研究了用几种特殊强度分布的控制光：U-型、V-型、δ-型和周期分布对慢光运动进行操控，以及不同的控制光参数对慢光运动的影响。对于像方阱的耦合场强度的空间分布，仅当探测光为精确共振0ωω=时，才能完全透过介质；通过调节阱宽0z 或探测光频率使其满足共

振透射条件，也可以使探测光完全透射；增加阱宽0z 或阱深都会使透明

窗变窄。对于耦合场强度的三角空间分布，界面Z 形成一个光学事件视界，从而产生类似于黑洞问题的波奇异。对于像δ阱的耦合场强度的空间分布，仅当探测光为确切共振0ωω=时，才能完全透过介质；增大δ阱的参数β，会使透明窗变窄。对于耦合场强度的空间周期分布，产生不同折射率的周期交替排列，从而得到依赖于耦合场强度周期a 的光子带隙，类似于光子晶体中常见的光局域效应。

关键词：电磁感应透明; 群速度; 慢光; 暗态极化子; 透射系数

ABSTRACT

Based on the fundamental theories and techniques of ultraslow light and storing light information in Electromagnetically Induced Transparency (EIT) medium, we theoretically adopt several special control-light intensity profiles ：U-， V- and δ-type and periodic profile to manipulate slow-light propagation, and investigate the influences of different control-light parameters on slow-light propagation. For a coupling field with a square-well-like spatial variation of the intensity, only probe light at exact resonance 0ωω= can totally pass through the medium. Adjusting the well

width 0z or probe -light frequency to the condition of resonant penetration

also permits probe light totally transmit. Increasing the width 0z or depth of

the well can narrow the transparency window. For a triangle spatial variation of the intensity, the interface forms an optical analogue of event horizon, which causes a wave singularity similar to that associated with black holes. For a coupling field with a δ-well-like spatial variation of the intensity, only probe light at exact resonance 0ωω= can totally pass through the medium.

Increasing the parameter βof δwell can make the transparency window narrower. For a periodically spatial variation of the intensity, a periodically alternating sequence of dielectric domains with high contrast in their refractive index is formed. Hence, a photonic band gap arises depending on the period of intensity. This phenomenon is similar to what happens in photonic crystals, i.e., the well-known light localization effects.

KEY WORDS: electromagnetically induced transparency; group velocity; slow light; dark-state polariton; transmission coefficient

目 录

引言 (1)

第一章 慢光产生的基本原理 (2)

1.1 光的相速速与群速度 (2)

1.2 实现慢光的方法——电磁感应透明（EIT） (3)

1.2.1 EIT 的微观理论 (3)

1.2.2 对EIT的物理解释——暗态 (6)

1.2.3 用EIT实现慢光 (7)

第二章 在EIT介质中慢光的运动 (8)

2.1 暗态极化子 (8)

2.2 从EIT到量子记忆 (9)

2.3 近期实验和未来应用 (10)

第三章 利用具有空间分布的驱动光控制慢光 (12)

3.1 慢光的唯像量子理论 (12)

3.2 “U型”模型 (14)

3.3 “V型”模型 (17)

3.4 “δ阱”模型 (19)

3.5 控制光强度的空间周期分布模型 (20)

结论 (23)

参考文献 (24)

致谢 (26)

Contents

Introduction (1)

1.Basic principle of generating slow light (2)

1.1Phase velocity and group velocity of light (2)

1.2A method of slowing light-----electromagnetically induced transparency

(EIT) (3)

1.2.1Microscopic theory of EIT (3)

1.2.2Physics of EIT—dark state (6)

1.2.3Slowing light by EIT (7)

2.Propagation of slow light in an EIT medium (8)

2.1Dark-state polaritons (8)

2.2From EIT to quantum memory (9)

2.3Recent experiments and future applications (10)

3.Manipulation of slow light using control light with spatial

variation of intensity (12)

3.1Phenomenological quantum field theory of slow light (12)

3.2U-type model (14)

3.3V-type model (17)

3.4δ-well model (19)

3.5Model of control-light intensity with periodically spatial variation (20)

Conclusions (23)

References (24)

Acknowledgments (26)

引言

通常光子间不会发生相互作用，这一性质使光信号中所载入的信息对环境的扰动不会很敏感。因此，光学作为信息通信的一种较好的方法应运而生。而信息过程要求信号载体间的相互作用，即不同光子间或光子与电子间的相互作用。光学的许多其它应用，从医学到光谱学，也都基于光与物质的强相互作用。非线性光学的主要挑战之一是如何“剪裁”材料性质来增强这样的相互作用，同时，大大减弱破坏性过程（如光子吸收）的作用。

众所周知，介电介质可以用来操控光脉冲的性质。然而，光吸收限制了可能操控的范围：对弱光脉冲，这一点尤其重要。在非透明介质中的吸收可以通过一种被称作电磁感应透明（EIT）[1，2]的量子干涉的机制来克服。在这样的原子介质中，光子间的相互作用会比在一般光学介质中的大许多数量级。

现在，人们正积极研究能使光传播的相干控制更容易的一些物理过程[1-3]。光脉冲可控制的局域化和贮存也提供了用非线性光学过程来控制光的新方法[4]。EIT[1，2]被用来减慢运动光脉冲的群速度[6]，同时，可以可逆地把运动光脉冲转化成原子介质中的静态自旋激发[6-8]。除此之外，慢光技术已被扩展到如下领域：通过建立一个光的“路障”，研究在玻色-爱因斯坦凝聚体中小密度缺陷的形成[9]；利用EIT能使折射率大大增强的性质，可以方便地测量旋量BEC的旋转速度[10]；采用具有轨道角动量的慢光，研究简并费米原子气体的热力学性质[11]；用具有抛物线分布的控制光，慢光可以理论上模拟事件视界[12]。最近，孙昌璞的小组发现，同时采用具有轨道角动量的探测光和具有特殊空间分布的控制光，可以模拟磁单极[13]。

本文的结构安排如下：第一章系统介绍产生慢光的一种方法——电磁感应透明（EIT）；第二章论述在EIT介质中，通过控制光的开和关控制慢光的运动——暗态极化子的运动，从而实现量子信息的存储和释放；以及近几年慢光和量子信息存储的一些实验进展。第三章基于慢光的一种唯像量子理论，我们研究控制光强度的几种特殊空间分布：U-型、V-型、δ-型和周期分布对慢光运动性质的影响。在U-型和δ-型模型中，我们讨论了探测光完全透射的条件以及不同的控制光参数值对透明窗大小的影响。在V-型模型中，论述了在界面处会出现类似于黑洞中的波奇异行为。控制光强度周期分布的模型可以被看作光子晶体，产生光子带隙。最后，对本文做简要总结。

第一章 慢光产生的基本原理

1.1光的相速度与群速度

在真空中，光速为c=299,792,458m/s, 当一束光进入某种折射率为n 的介质中时，它的速度变为

n

c k v ==ω

（1-1） 但实际上，我们知道，n 是ω的函数n=n(ω), 且光脉冲不会有精确固定的频率，它实际上是许多行进平面波的叠加，每一个平面波成分有不同的速度，即相速度 )

(n c k v p ωω

== （1-2） 群速度g v 是一个光脉冲（波包）中心的传播速度，

dk

d v g ω=

（1-3） 由（1-2）式得 d dn n (c 1d dk ω

ωω+= （1-4） 因此, 我们得到群速度的表达式[18]:

ωωωωωd )(dn )(n c dk d v g +== （1-5）

现在, 让我们讨论这个重要式子的两个方面: 正常色散与反常色散[18]。

对普通介质来说，当光脉冲的能量不等于介质中原子的电子能级的能量差(即光是远离共振)时, 发生“正常”色散。即在色散曲线中，折射率)(n ω随频率ω的增加而单调增加，这意味着0/)(>ωωd dn 。因此，这种“正常”色散减小了群速度。

n

c |

d )(dn |)(n c

v g <+=ωωωω （1-6） 如果色散曲线的坡度非常陡，我们可以得到ωd dn /的巨大值，从而在这个频率附近，有效地降低了光速。

当光脉冲的能量非常接近于共振能量时，会发生所谓的“反常色散”，即折射率)(n ω随频率ω的增加而单调减小，这意味着0/)(<ωωd dn 。如果|/|ωd dn 足够大，使1|/|n

c |

d )(dn |)(n c

v g >?=ωωωω （1-7）

我们甚至可以进一步预期：当分母中的|)d dn (|ωω?项起主要作用时，0v g <。

1.2 实现慢光的方法——电磁感应透明（EIT）

我们可以用普通物质如水和玻璃来使光速减慢到c 的1/n 倍（n=1.5---2.0）。但伴随更慢的光运动，会出现更大的折射率，这样，不可避免地会导致光吸收的增加。从在一般介电介质中光的谱极化率图（图1），可以看出，有趣的低群速度谱区域，整个被吸收掩盖了。

图 1： 在一般介电介质中，光的谱极化率图。该图显示了极化率的实部（实线，

与折射率相关）和虚部（虚线，表示光吸收）随失谐Δ（任意单位）的变化曲线[18]。 EIT 可以弥补以上不足。 EIT 最初是由Stanford 的S. E. Harris[2]的小组于20世纪90年代观察到的一种现象。它是指用一束仔细选择好频率的激光照射原子云，从而对另一束特殊频率的光来说，原本不透明的介质变得透明，即有效地去除了介质的作用。

1.2.1 EIT 的微观理论

在Harris 小组的EIT 中，用一束强的相干光场来驱动一个三能级原子系统的两个上能级，见图2，从而引进量子干涉。在近似条件下，对另一束探测光场来说，介质变得有效透明。

图2：在EIT 中原子的三能级简图。 图3：在EIT 中，极化率的实部（实线）和

虚部（虚线）随失谐Δ的变化。

考虑一个封闭的三能级原子系统，如图2所示。能级a 和b 被一束振幅为ε，频率为ν的探测光场耦合，探测场的色散和吸收正是我们感兴趣的。上能级a 通过一束频率为μν的强相干场与能级c 耦合，该强相干场具有复的Rabi 频率)i (exp μμφ?Ω。密度矩阵元ac ab ,ρρ和cb ρ的非对角衰减率分别用21,γγ和3γ表示。

原子与两个场的相互作用Hamiltonian 由以下方程给出：

10H H H += （1-8）

其中，

c c b b a a H c b a 0ωωω===++= （1-9）

.c .h )c a e e b a e (21H t i i -t i ab 1+Ω+?=??μμνφμνεκ=

（1-10） 其中，j ω（ j=a, b ，c ）是原子处于能级j 的电子能量，ab κ为电子偶极矩的矩阵元。密度矩阵元ab ρ和cb ρ的运动方程由以下几式给出：

cb t i i bb aa t i ab ab 1ab ab e e 2

i )(e 2i )i (ρρρεκργωρμμνφμν???Ω+??+?== （1-11） ab t i i ca t i ab cb 3cb cb e e 2

i e 2i )i (ρρεκργωρμμνφμνΩ+?+?=?= （1-12） bc t i ab cc aa t i i ac 2ac ac e 2i )(e e i )i (ρεκρρργωρ

ννφμμμ??+?Ω?+?== （1-13） 色散与吸收由ab )1(ρ决定，即仅需计算极化率至ε的最低量级。然而，与能级a 和c 耦合的相干场是强场，因此，必须精确处理问题的这一部分，保留μΩ至所有的量级。

由于原子最初处于基态b ，

0,1)0(ca )0(cc )0(aa )0(bb

====ρρρρ （1-14） 把这些矩阵元的值代人式（1-11）和（1-12），并作以下代换：

t i ab

ab e ~νρρ?= （1-15） t )(i cb

cb ca e ~ωνρρ+?= （1-16） 得到下列一组耦合方程组：

cb i ab ab 1ab ~e 2

i 2i ~)i (~ρεκργρμφ?++Δ??== （1-17） ab i cb 3cb ~e 2

i ~)i (~ρργρμφμΩ+Δ??= （1-18） 其中，ab ων?=Δ为探测场的失谐，且我们已假设ac ωνμ=。

这套方程组可以通过以下方式解出。先用矩阵形式写出：

A -MR R

+= （1-19） 其中，

??????=???

?Δ?Ω?????Ω?Δ?=??????=0 2i A ,i e 2i e 2i i M ,~~R ab 3i -i 1cb ab =εκγγρρμμφμφμ （1-20） 再作积分

A

M Adt e )t (R 1't )t -M(t -'?∞?==∫ (1-21) 可以得到 ]4)i )(i [(2)i (e i )t (2313t i ab ab μ

νγγγεκρΩ+Δ?Δ?Δ?=?= (1-22) 结合极化强度的表达式χεε0p =与复极化强度的定义：t i ab ab e N 2)t (p νρκ=（N 为原子数密度），得到复极化率χχχ′′+′=i 的实部和虚部的下列表达式：

)]4/()([Z

||N 231231302ab μγγγγγεκχΩ??Δ++Δ?=′= (1-23) )]4/()([Z

||N 2312331202

ab μγγγγγεκχΩ??Δ?+Δ=′′= (1-24) 其中，

231222

312)()4/(Z γγγγμ+Δ+Ω??Δ= (2-25)

χ′和χ′′分别代表每单位波长的色散和吸收。 图3画出了极化率χ′和χ′′随失谐Δ的

变化曲线（取）

（14331110,2γγγγγμ?=>>=Ω）。可以看出，在零失谐0=Δ处, χ′和χ′′

都等于零。即当折射率为1时，吸收几乎为零。因此，在强相干场的作用下，介质变得透明。如果不存在控制光，即0=Ωμ，我们将得到形如图1所示的极化率χ′和χ′′随失谐Δ的变化曲线。此时，在零失谐0=Δ处, 吸收最大。可见，在EIT 中，控制光起了决定性作用。

极化率的虚部描述介质的吸收性质，因此可以定义强度透射系数T[19]，

]Im exp[kL T χ?= （1-26）

其中，L 是介质的长度，k 是探测光的共振波矢。同时，极化率的实部决定了折射率n ：

（1-27）

类似于文献[19]，我们给出了强度透射系数T 和折射率n 随探测光失谐Δ的变化曲线（图4 和图5）。这里，我们取12/1γμ=Ω。可以看出，在失谐为零的附近，形成了一个窄的透明窗。

图4：在EIT 中的透射谱。 图5：在EIT 中的折射率谱。

1.2.2 对EIT 的物理解释——暗态[1]

光与原子相互作用的强度是光波长或频率的函数。当光频率与原子的特殊跃迁频率相匹配时，满足共振条件，从而介质的光学响应大大增强。这时由于原子跃迁至激发态，光的运动伴随着强吸收和色散。

在本节的EIT 框架中，控制光场起了决定性的作用。探测光束被调到a 和b 能级差精确共振，b a p E E ?=ω=；而导致透明的光束或耦合光束被调至a 和c 能级差精确共振，c a c E E ?=ω=。在Hau[5] 的实验中，较低能级b 和c 是碱金属原子电子基态的不同角动量（自旋）的子能级。如果没有耦合激光，那么，探测激光将被吸收来激发原子：a b →，紧跟着的是重新自发辐射过程。事实上，发生的情况是：最初，所有处于b 态的原子不能吸收耦合激光，因为=/)E E (c a c ?=ω。当频率为=/)E E (b a p ?=ω的探测激光入射时，这两束激光的联合效果是刺激原子处于态b 和c 的所谓相干叠加态：c /b c p ΩΩ?，其中，两者间具有确定的相关系。这

χRe 211+=n

个叠加态叫“暗态”[1]，因为，在这样的态中，光可以被原子吸收的两个可能路径相互干涉，彼此相消。探测激光与耦合激光都不能被吸收。 由于这样的破坏性量子干涉，没有任何原子能被激发到激发态，从而导致光吸收为零。这正是EIT 的关键所在。即使在打开探测激光之前，暗态就已经存在。因为我们总可以把原子与耦合激光合起来考虑为一个完备系统。

1.2.3 用EIT 实现慢光

EIT 的许多重要性质都起源于在原本不透明的介质中，量子干涉产生的微妙性质。事实上，要获得理想的透明度，只有在确切的共振条件下，(见图4), 即当频率失谐为零时。当探测光有一定失谐时，EIT 中的量子干涉变得较弱，从而导致介质有一定的吸收性。因此，出现在吸收谱中的透明窗是很窄的(图4)。同时，频率失谐的最大幅度(“透明窗”)可以通过用更强的耦合场来增宽，因为在这种情况下，干涉会变得更强。

既然在理想的 EIT 介质中，原子与光场已被退耦合。在共振处，极化率为零，则折射率等于1。这意味着相前的运动速度即相速度等于光在真空中的速度。然而，伴随窄的透明共振的是折射率随频率的非常陡的色散曲线。这时，在介质中运动波包的包络具有群速度g v [6]：

2

c 2g ||/N g 1c v Ω+= （1-28） 其中，g 为原子与探测场的耦合常数。上式的g v 比光在真空中的速度c 要小的多。注意到g v 依赖于控制场强度和原子密度N ：减小控制场功率或增加原子密度会使g v 更慢。

第二章 在EIT 介质中慢光的运动

最初光脉冲是在EIT 介质的外面，所有的原子处于它们的基态b 。接着，脉冲的前部进入介质并被快速地减慢，后部留在介质的外面，仍以真空中的光速c 运动。所以，一进入介质，脉冲的空间展宽被压缩g V c /倍，而脉冲的峰的高度保持不变。很明显，当光脉冲处于介质中时，它的能量是更小的多。光子正被消耗来建立态b 和c 的相干。当脉冲出了介质时，它的空间展宽又会增加，原子又返回至它们的最初基态。而脉冲共被延迟了τ时间：

2

c 2g ||N g c L L )c 1v 1(Ω×=?=τ （2-1） 在介质内部，被反转的自旋波与光脉冲一起运动。因此，脉冲中的光子与原子强烈耦合，可以把这样的慢光运动与一个准粒子联系起来。这个准粒子叫暗态极化子[6]，它是光子与自旋的联合激发。

2.1 暗态极化子

为说明暗态极化子是如何出现的，考虑在Heisenberg 绘景中，运动信号场与原子的量子演化（在此，忽略b 和c 之间的相干衰减率）。可以用电场算子E

?来描述传输信号，

ikz k k

e )t (a t)(z,E ?∑= （2-2） 其中，求和是在对应于玻色算子k a ，波矢为k 的自由空间模上进行的。为描述介质的性质，采用集体的原子算子，它是在z 位置的包含1N z >>个粒子的小宏观体积内求平均。特别地，算子

t i j N 1

j j z ba ba z e a b N 1)t ,z (?ωσ?=∑= （2-3） 描述以光学频率振动的原子极化。而算子 t i j N 1j j z bc bc z e c b N 1)t ,z (?ωσ?=∑= （2-4）

对应于一个低频自旋波。这里，ba ω和bc ω分别是光学跃迁和自旋反转的共振频率。假设控制场是强场，作为经典处理。原子演化由一套Heisenberg 方程给出：

]A ?,H ?[i A ?= = （2-5）

其中，H

?为原子与场相互作用Hamiltonian, }?,?{A ?bc ba σσ=。假设信号场是弱场，并且控制场c Ω和E

?随时间变化足够缓慢，即绝热过程。近似至信号场E ?主要的那一阶，我们得到：

)]t ,z (?t

[i )t ,z (?bc ba σσ??Ω?=c （2-6） c

Ω?=t)(z,E ?g )t ,z (?bc σ （2-7） 信号场的演化由Heisenberg 方程来描述：

)t ,z (?igN )t ,z (E ?)z

c t (ba σ=??+?? （2-8） 它与经典运动方程非常类似。

可以通过引进一个新的量子场)t ,z (?Ψ

[6]来得到上述方程的解。)t ,z (?Ψ是光子与自旋波成分的叠加：

)t ,z (?Sin -t)(z,E ?Cos )t ,z (?bc σθθ=Ψ

（2-9） N g N g Sin ,N g Cos 2222+Ω=+ΩΩ=c c c

θθ （2-10）

场Ψ

?服从以下运动方程： 0)t ,z (?z

cCos t [2=Ψ??+??θ （2-11） 此方程描述了一个速度θ2g Cos c v =的形状维持不变的波的传播，

g v 正比于它的光子成分的幅度。在这里，我们应当注意暗态极化子的几个重要性质。首先，它的Fourier

成分k ?Ψ和+Ψk ?服从玻色对易关系：1]?,?[k

k ≈ΨΨ+，它是在弱信号极限下得到的。第二，由（2-9）式定义的算子不包含电子激发态成分，因此不会发生自发辐射。这也正是它称作暗态极化子的原因。最后，暗态极化子的性质（如运动速度和混合角）可以通过改变控制场的强度等很方便地操控。

2.2 从EIT 到量子记忆

量子记忆的想法与暗态极化子的概念有紧密关系。当一个极化子在EIT 介质中运动时，它保持幅度和形状不变，

]0t ),(Cos d c z [?)t ,z (?t 0

2∫=?Ψ=Ψτθτ （2-12）

但极化子性质可以通过简单地改变控制光束的强度来调节。当控制光强度减弱时，

22|~|Cos c Ωθ变得非常小，且群速度（θ2g Cos c v =）被减慢。同时，极化子态中的

光子分布也减少，见式（2-9）。尤其，如果控制光束被关闭[0)t (→Ωc ]，那么，极化子的群速度被减小到零[ 2/)t (πθ→]；极化子变为纯原子成分的：

)z (?N )t ,z (?bc σ?→Ψ

（2-13） 在这一点，光子的量子态被转换至长寿命的原子自旋态。只要束缚过程足够圆滑[即绝热过程]，整个过程就没有损耗，且是完全相干的。通过简单地重新加速被停止的极化子，被储存的量子态可以容易地释放出来。

我们已论述了要使EIT 能有效地去除色散，光脉冲谱应被包含在相对窄的透明窗内。趋于零的控制光束强度意味着透明窗会变得无限窄，最后消失。在这种情况下，如何能避免损耗呢？在极化子中，绝热过程的重要性就在于动力学地减小了群速度，极化子频谱随之变窄，以致即使0v g =，情况也不会被破坏。为说明这种情况是如何发生的，我们注意到，在绝热地减慢极化子的过程中，只要)t (v g 仅是时间的函数

[20]，波包的空间宽度就会保持不变，同时，电场幅度被减小。

最后，值得一提的是，以上技术的核心点不是储存光子所载的能量或动量，而是它们的量子态。事实上，实际中几乎没有能量或动量真正被储存在EIT 介质中，而能量或动量被转移到控制光束或从控制光束借来，这样，整个光脉冲被相干地转换为低能自旋波。这就是这种方法独具有的关键特征，这使它应用到量子信息科学成为可能。

2.3 近期实验和未来应用

慢光这一课题真正成为人们关注的焦点，是由于1999年Hau 小组[5]所做的具有里程碑意义的实验。他们用激光制冷和蒸发冷却使钠原子气体冷却至nk 级温度，即BEC 的临界温度以下，此时，由于有很高密度的原子占据束缚势的量子基态，从而使光脉冲减慢至17m/s 。紧跟着，Kash 等人[21]用一种调制技术在Rb 蒸汽中测到90m/s 的群速度。用相同的技术，Budker 等人[22]得到低至8m/s 的群速度。也是在最近，Turukhin 等人[23]在5K 温度的固体介质中观察到45m/s 的慢光运动速度。2003年，Matthew 等人[24]在室温下的Ruby 晶体中观察到群速度低至57.5±0.5m/s 的慢光运动。

最近的实验也展现了一些光储存和操控效应，说明弱脉冲可以被“束缚”，并经

一段储存时间后被释放出来。必须强调，目前所有的实验都是在经典范畴内完成的，因为它们都涉及到处于相干态的弱激光脉冲。因此，这些实验都没有检测量子信息技术的最有趣特征（即对光的非经典关联的储存）。不过，它们能够探测动力学束缚极化子的一些重要特征，尤其证明了，在束缚和释放过程期间，弱脉冲不会被破坏。

Liu和他的合作者[7]的实验，所采用的装置与早期慢光实验的装置相似。光脉冲被减速，接着被“束缚”在超冷原子样品中，时间可长达1ms。另一个来自Harvard 由R.Walsworth 和M. Lukin领导的小组[8]所做的实验，采用热Rb原子电子基态的Zeeman子能级，用极化控制技术来操控慢光运动。他们测得储存时间长达0.5ms。为确保长时间相干，他们选用缓冲气体来有效地减慢原子运动，这一点与Kash等早期的研究相似。

需要指出，冻结光脉冲与储存光的概念不完全相同。2003年，Bajcsy等人[25]同时采用两束向前和向后传播的控制光使在Rb 原子介质中的运动光场转换到静止的局域电磁场能量的激发，且在一段可控制的时间间隔后，它可以被重新释放出来。这种方法产生了被束缚到原子自旋相干的静止光脉冲波包，为光子态的操控和非线性光学过程提供了新的可能。可以肯定，冻结的静止光脉冲在量子光学中将翻开新的一章。

慢光技术的未来应用主要包括以下几个方面：（1）光信息存储，（2）超敏感光学开关，(3) 量子计算机，(4) 光学黑洞。目前，人们对前三者已有较深入研究。对于光学黑洞，Leonhardt[12]在2002年已从理论上提出一个实验方案来模拟事件视界。

第三章 利用具有空间分布的驱动光控制慢光

EIT 的理论[1-3]常常用原子的一个三能级方案来实现：两个能级充当被控制场耦合的激发态，一个能级作为基态，见图2。控制光束与c 和a 能级耦合，很大程度上影响了原子的光学性质——改变了原子对被调制到b →a 跃迁的弱探测光束的吸收性质。这里，我们采用慢光的一种唯像的量子理论，它不依赖于实际中所使用的微观机制。我们仅仅假设慢光介质是透明的，有一个实的极化率线性地依赖于离0ω(即探测光的共振频率)的失谐。在EIT 中，这个理论被限制到0ω附近的窄透明窗，而这个窗口可以最大限度地达到原子跃迁的自然线宽。可以证明[15]，这个理论与EIT 的三能级理论一致。它足够简单可以解析处理，又足够综合可以捕获慢光量子的本质。

3.1 慢光的唯像量子理论

我们用一个实标量场?表示慢光，忽略其极化。为简单起见，假设光场在两个空间方向--x 和y 方向上是均匀的，认为光场是时间t 和位置z 的函数。此模型的有效Lagrangian 是：

])())(1[(2

220222?αω??α????+=z t c L = （3-1） 其中，c 表示真空中的光速，实参数α决定了群速度，

α

+=1c v g （3-2） 因此，α叫做群指标。在EIT 中，群指标α反比于控制光强度，

),(),(z t I z t c κ

α= （3-3）

其中，耦合强度κ正比于原子偶极跃迁矩阵元的模平方与原子密度。在我们的模型中，群指标仅依赖于空间坐标z 而不随时间变化。式（3-1）中的第一项表示有EIT 介质的存在而引入的对电场的修正，第二项表示磁场项，第三项表示由于EIT 介质的存在而引入的有效势。如果没有EIT 介质（即0=α），L 就约化为具有单一极化方向的自由电磁场的Lagrangian ：))(2/(2220B c E ?ε。在SI 单位中，?与电场强度E 有如下关系：

ω?ε2/10)(E =

= （3-4）

其中，ω表示光的频率，0ε是真空中的介电常数。

为了分析Lagrangian （3-1）的运动情况，考虑相应的Euler-Lagrange 方程[16]： δ?

δ?δδ?δδL L L z z t t

=??+??)()( （3-5） 由此得到波方程

0])1([202

2=+???+??αωαz t t c （3-6） 这就是基于传统的三能级模型的慢光的运动方程[15]，但这个方程适用于更一般的背景：方程（3-6）描述在具有线性谱极化率的介质中光的运动。假设光场的振动比α的时间和空间变化都快，我们可以用ω和k 分别代替z t i i ???，。这样，得到如下色散关系：

0c ))((c k 2

0022

2=?+??ωωωωαω （3-7） 在0ω附近的正透明窗内，方程（3-7）约化为

0)1(c k 222=+?

χω （3-8）

其中，线性谱极化率χ为 )(200ωωωα

χ?= （3-9）

可以看出，只要探测光的频率位于EIT 的透明窗内，从Lagrangian （3-1）就能得到谱极化率的典型线性关系。事实上，正是由于Lagrangian （3-1）包含场和它微分的平方，才能推出谱极化率（3-9）式。因此，Lagrangian （3-1）是描述慢光适合的Lagrangian 。

下面，沿着信号探测光的传播方向，我们引进几种控制光场强度c I 的特殊空间

分布：“U 型”(图5), “V-型”(图6)分布，

“δ”分布和周期分布（图11），从理论上研究在EIT 介质中，这样的控制光对慢光的运动性质的影响。

图5：控制光强度的“U

型”分布图。 图6：控制光强度的“V-型”分布图。

3.2 “U 型”模型

假设控制光束沿x 方向照射EIT 介质。在z 〈0和0z z >的区域，控制光非常强，强度为∞I ；在00z z <<的区域，控制光相对暗，其强度为0I 《∞I 。这个宽度为0z 的带作为一个“暗”强度c I 的空间区域穿过介质，结果，在这个区域中，探测光的群速度被大大减小。假设暗控制光强度c I 的空间区域足够扁平，且切入介质足够深以满足我们的模型，见图5。（已经假设控制光强度在x 和y 两个空间方向上是均匀的，至少在几个波长范围内均匀即可。）为简化，考虑一个一维模型，慢光仅沿z 方向运动；再把模型理想化：让∞I 趋于无穷大。下面，我们从理论上分析这样的控制光分布对慢光运动的影响。

考虑振荡频率为ω的单色探测光，这时，波方程（3-6）约化为静态微分方程：

0)]

([20222=?++?ψαψk k k z （3-10） 其中，ψ是空间波函数，c k c k /,/00ωω==。从方程（3-10）可以看出，包含群指标α的项)k k (2

02?α相当于一个有效势。根据关系（3-3）， ??

????????><<<==0000,0,00,)(z z z z z I z καα （3-11）

这是一个有效方势垒。现在，让探测光沿正z 方向照射EIT 介质。于是，我们得到在不同区域的空间波函数：

???????

???><<+<+=?00,0,0,Re z z Se z z Be Ae z e ikz z i z i ikz ikz μμψ （3-12）

其中，)(20202k k k ?+=αμ。（在0z z >的一边，只有沿z 的正方向运动的透射波。）常数R 、A 、B 和S 由z=0 和0z 点的ψ和dz d /ψ的连续性条件来确定。透射系数定义为2||S T =。经计算，我们得到：

1022]sin (411[??+=z k

k T μμμ （3-13） 可以看出，当μ等于k 时，透射系数T 变为1。这种完全透射的条件可以通过让00=α或0k k =来实现。00=α时完全透射正是我们所意料的，因为这时不存在有效方势垒，控制光强度是空间均匀的。