文科微积分复习题(含解答)

一． 微积分 极限计算

1. 22100lim 32500n n n n →∞+=-_______ =+∞→n n n

2)1

1(lim __________ 3

0)1(cos sin lim x x x x -→=________ 1

1lim(1)x x x +→∞

+=________ 2. 计算下列极限

111

393lim(1)n n →∞

++++ 01

11lim x x x e →??- ?-?

? 3．

． 当x →∞时，下面说法正确的是 ( )

A ．

x 1是22x 的低阶无穷小 B. x 1是22

x 的高阶无穷小 C. x 1和22x 是同阶无穷小 D. x 1和22

x

是等价无穷小

求导与微分

1. 函数x

xe x f x

cos )(=的微分()df x =_________。

2. 求

2

sin ()sin cos n

x f x x nx e

=+的导函数(n 是一个常数)。

3. 求sin ()y nx n =是常数的三阶导函数。 导数及其应用

1. 求函数3

2

()2 3.57f x x x x =-+-的单调区间，极值.

2.

求y x =+[-5，1]上的最大值。

3．证明方程310x x +-=只有一个正根。

4. 某工厂要生产一批容积为V 的无盖圆桶，求最省料的形状。

5. 一扇形面积为25cm 2，欲使其周长最小，问半径r 及圆心角θ应为多少？

不定积分

计算下列不定积分

1.

()2

23x x dx +?

?

x d x 2

s i n 2. 4(23)dx x -? 23(1)

xdx

x +? 222(34)x x dx +? 3.

x

xe dx ?

s i n c o s x x

x d x

? 4(

)

2cos sin x x xdx +?

)

x x

e dx +?

ln x dx ??

+??

?. ()2

sin

cos x x xdx +?

定积分

计算下列定积分

1.

(sin )x x dx π

+?

2

(cos 2)x x dx π

+?

dx x x ?20

cos sin π

2

2 1

)x e dx ?

2.

4 0

tan xdx π

?

dx

x e x x ?+1

02

)sin (3

π

?41

dx x

e x

1

10 0

(21)x dx -?

2

2

x xe dx -?

3.

1

ln e

x xdx ?

4.证明(10分) （1）当()f x 为奇函数时，()0a

a f x dx -=?;

（2）当()f x 为偶函数时，0()2()a a

a f x dx f x dx -=??.(a 为一不等于零的数)

5.计算积分2

3

43sin 1x x

e x e dx x -??+

? ?+??

?。 定积分的应用

1. 已知曲线y=x ，（1）求曲线在点（1，1）处的切线；（2）求该切线以及y

轴围成的图形的面积。

2. 求由曲线32

3,1,4,0y x x x x y =-===所围图形的面积。

3. 求由曲线21,1,0y x x y =+==所围图形绕Ox 轴旋转一周所成立体体积。 概率

古典概型，全概率公式，分布函数， 期望，方差

1 设E 、F 是随机事件，E ?F ，记事件E 发生的概率为P(E), 事件F

发生的概率为P(F)，那么： ( ) A ．以下都不一定成立 B. P(E)P(F) 2. 设E 、F 是独立事件，则： ( ) A. )()()(F P E P F E P =? B. )()()(F P E P F E P +=? C. )()()(F P E P F E P +>? D. )()()(F P E P F E P

3. E 、F 是事件，则下述论断不正确的是： ( ) A. )()()(F P E P F E P +=? B. )()()(F P E P F E P +≤? C. )()()()(F E P F P E P F E P ?-+=? D. )()(E P F E P ≥?

4. 一个骰子连掷二次，已知点数之和为6，问第一次掷出为1的概率是： ( ) A. 1/5 B. 1/3 C. 1/4 D. 1/2

5. E 、F 是事件,且()0.7,()0.7P E P F ≥≥,则下述论断正确的是：（ ） A.4.0)(≥?F E P B. )()()(F P E P F E P =? C. )()()()(F E P F P E P F E P ?-=? D. 1)()()(-+=?F P E P F E P

6. 口袋里有10只相同大小的球，其中7只白球，3只黑球，不返回摸球。如果

第一次摸出的是一只白球，那么第二次摸出白球的概率是 （ ） A ．

32 B ．106 C ．97 D ．10

7

7. 已知ξ服从标准正态分布N(0, 1)，那么P(0<ξ<+∞)= （ ） A ．

2

1

B ．1

C ．0

D ．无法确定 8. F 1(x)是正态分布N(4, 100)的分布函数，F 2(x)是正态分布N(1, 400)的分布函

数，那么下面正确的是 （ ） A ．F 1(4)=F 2(1) B ．F 1(4)>F 2(1) C ． F 1(4)< F 2(1)

D ．不能确定F 1(4)与F 2(1) 之间的大小关系。 计算

1．口袋里有10个相同大小的球，其中4个白球，6个黑球，不返回摸球， （1）求第二次摸到白球的概率； （2）求第二次摸到黑球的概率。

2. 10把钥匙中有3把能够把门打开，今任意取两把，求能够开门的概率。 3．有三个口袋均装有相同大小的球，第一只口袋有3只白球7只黑球，第二只口袋有7只红球3只黄球，第三只口袋有4只红球6只黄球。某人先在第一只口袋中摸球，如果摸出白球则第二次在第二只口袋中摸球；如果摸出黑球则第二次在第三只口袋中摸球。问他第二次摸出红球的概率是多少？

4. 市场上供应的灯泡中，甲厂生产的产品占70%，乙厂生产的产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，现在随机购买一只灯泡，求买到合格率的概率。

5某批产品合格品率95%，现随机抽取5件，ξ为五件中合格品件数，求ξ的分布律, E ξ、ξD , (4)P ξ<。

6已知随机变量ξ在区间[2，18]上均匀分布，F (x )是变量ξ的分布函数，求F (20)-F (3)。

7掷均匀骰子，掷出1、2、3点为小，记1分，4、5、6点为大，记2分，现连掷二次，问（1）至少得三分的概率， （2）ξ的分布律, 数学期望E ξ和方差D ξ

8．已知随机变量ξ的分布函数F(x)，概率密度函数p (x )=??

???+∞?--∞<<-),1()1,(,011,2x ax ，

（1） 求参数a ; （2） 求P （0<ξ<3)。

9. 一射手射中概率为75%，ξ为其4次射击的射中次数，试求ξ的分布律，E ξ、D ξ。

10. 设(2,9)X N , 求P(0.5< X <5) (Φ(0.5) = 0.6915, Φ(1) = 0.8413).

矩阵四则运算

1． =?

???

?

??--????? ??--+???? ??0121103200211221 ____________ 2． 设43123,50302C D --????==????

????，则T CC D +=______； 3．5

0210?

??

?

??=___________ 4. 已知A=???

?

?

??210101001，求A 2+A T 。

逆矩阵

1．已知11234A -??= ???，1

3142B -??= ?

??

，那么()1AB -= 2. (1) 设231013102A ??

??=??????

，求1

A -;(2) 设(6,4,3)T b =，求解线性方程组Ax b =. 矩阵的秩

1. 求 ????

? ??-------815073*********的秩

行列式计算

2 3 1 3 5 2

1 2 3

D -=--，

100 1 101 2

1

2 2

0 0 0 1

解线性方程组

用消去法解线性方程组：

1. 12341234

241234232320

20262

x x x x x x x x x x x x x x +-+=??-+++=??

-=??+++=? 2. ????

??

?-=+-=-+-=+-=++;

694,13283,542,

432z y x z y x z y x z y x

参考答案

复习题所有选择题 答案为A

极限计算

1. 221001lim 325003n n n n →∞+=- 221

lim(1)n n e n

→∞+=_ 30sin (cos 1)1lim 2

x x x x →-=- 1

1l i m (1)x x

x e +→∞

+=

2. 计算下列极限

1131

113

9

3113

lim(1)lim

12

n n

n n +→∞

→∞

-++++==-

0000111111(1)122lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x e x e e x e x e e xe e xe

→→→→---??-==== ?---++?? 求导与微分

1. 函数x xe x f x

cos )(=的微分()df x =2

(1)cos sin cos x x x e x xe x dx x

++。 2. 解，2

1sin 2'()(sin cos cos sin sin )2cos n n x f x n x x nx x nx xe x -=-+

3.sin ()y nx n =是常数， 'cos y n nx =, ''y =nx n sin 2-, 3'''cos y n nx =-

导数及其应用

1. 求函数3

2

()2 3.57f x x x x =-+-的单调区间，极值.

解 令0176)('2=+-=x x x f ，解得x 1=6

1

, 12=x ,

当x <61

时f’(x)>0，f(x)单调递增

当6

1

1时f’(x)>0, f(x)单调递增

f(x)在x=61处取得极大值216

17

7-，在1x =处取得极小值-7.5。

2.

求y x =+[-5，1]上的最大值。

解：令'10

y====，得

3

4

x=

。又

3

51

4

5

5,1

4

x x x

y y y

=-==

=-==，所以，最大值为3

4

5

4

x

y

=

=。

3.证明方程310

x x

+-=只有一个正根。

解：设3

()1

f x x x

=+-，()

f x在[0,1]上连续，(0)1,(1)1

f f

=-=异号，所以方程在[0,1]上至少有一个根。又因为2

()310

f x x

'=+>，所以()

f x在x>0时单调增加, 因此方程只有一个正根。

4.某工厂要生产一批容积为V的无盖圆桶，求最省料的形状。

解设圆桶底面半径为r，高为h。于是体积V=h

r2

π，从而

2

r

V

h

π

=，表面积S=)

2

(2rh

r+

π=)

2

(

2

2

r

V

r

r

π

π+。令S’=

2

2

2

r

V

r-

π=0，解得3

π

V

r=，h=r。

5.一扇形面积为25cm2，欲使其周长最小，问半径r及圆心角θ应为

多少？

解：因为2

2

150

25,

2

r

r

θθ

==,所以周长：

50

22

l r r r

r

θ

=+=+令

2

22

50250

20

dl r

dr r r

-

=-==，得：5(0)

r l

=>即：5,2

rθ

==时周长最小。

不定积分

计算下列不定积分

1. ()()

2

234269

x x x x x

dx dx

+=++

??4962

ln4ln9ln6

x x x

c

=+++

C

x

x

dx

x

xdx+

-

=

-

=

??

4

2

sin

2

)

2

cos

1(

2

1

sin2

2. 4

(23)dx x -?=441(23)(23)2(23)dx d x x x -=--??3

1(23)6

x c -=--+ 223231(1)(1)2(1)xdx d x x x +=++??221

(1)4

x c -=-++ 222222

3212(34)(34)(34)(34)69

x x dx x d x x c +=

++=++?? 3.

()1x x x x x

xe dx xde xe e dx x e c ==-=-+???

111

sin cos sin 2sin 2cos 2284

x x xdx x xdx x x x c =

=-+?? 4．()22cos sin cos sin sin x x xdx x xdx x xdx +=+???

33311

cos cos cos cos cos 33

1

cos cos sin 3

x xd x x x x xdx

x x x x C

=--=--+=--++??

)

21(4)2

x

x

x e dx x xde =++??3

221(4)3x x x xe e c =++-+

21ln (2)ln 2x dx x xdx ?

?+=++??

???

ln ln ln x x xd x x x x C =-=-+?

.

()2

2sin

cos sin cos cos x x xdx x xdx x xdx +=+???2s i n c o s s i n

x

x d x x d x =+??

＝3

1sin sin cos 3

x x x x c +++ 定积分

计算下列定积分

1.

(sin )x x dx π

+?

=

22

2

+π

3

2

(cos 2)3

x x dx π

π+=

?

/2

/2

cos sin sin sin x xdx xd x ππ=?

?

220

11

sin 22x π

==

2

2 1

)x

e dx ?=)(2

1)122(3224e e -+-； 2./4400tan ln cos xdx x ππ=-?1

ln 22

= π

π2

)1(31)sin (1023+-=+?e dx x e x x ?41

dx x

e x

=)(2|224

1e e e

x -=

1

10

111

0 011(21)(21)|2222x dx x -=-=? 11

12=? 2

22

220

01()2x

x xe dx e d x --=?

?22

12x e -=-41

(1)2e -=-

3.

2

221 1

1 1111ln ln ()[(ln )|]224

e

e e e

e x xdx xd x x x xdx +==-=?

?? 4.证明(10分) （1）当()f x 为奇函数时，()0a

a f x dx -=?;

（2）当()f x 为偶函数时，0()2()a

a

a f x dx f x dx -=??.(a 为一不等于零的数) 证明

00

()()(

)a

a

a

a

f x dx f x dx f x dx --=+?

?? 设t=-x ,则

()()a

a

f x dx f t dt -=--?

?

设f(x)为奇函数，则

000

()()()()a

a a

a

f x dx f t dt f t dt f t dt -=--==-?

???

所以00()()()0a

a

a

a f x dx f x dx f x dx -=-+=???； 设f(x)为偶函数，则

000

()()()()a

a

a

a

f x dx f t dt f t dt f t dt -=--=-=?

???

所以000()()()2()a

a

a

a

a f x dx f x dx f x dx f x dx -=+=????

5 计算积分2

3

43sin 1x x

e x e dx x -??+ ? ?

+??

?。

解：22

3

3333

44333sin sin 11x x x x e x e x e dx dx e dx e e x x ----??+=+=- ? ?

++??

??? 定积分的应用

1. 已知曲线y=x ，（1）求曲线在点（1，1）处的切线；（2）求该切线以及y

轴围成的图形的面积。 解 21|'1=

=x y ，切线方程2

1

21+=x y ，(图) 所求面积12

1

)2121(10=-+=?dx x x S

2.求由曲线323,1,4,0y x x x x y =-===所围图形的面积。

解：（图） 4

3

43

2

2

3

321

1

3

|3|(3)(3)...S x x d x x x d x x x d

x =-=-+-=???

3. 求由曲线21,1,0y x x y =+==所围图形绕Ox 轴旋转一周所成立体体积。 解：如图体积为：

120.5

(21)V x dx π-=+?

13

0.5

(21)6

x π

-=

+92

π

=

概率

1．解：设第二次摸到白球的事件为A ，第一次摸到白球的事件为B ，求第二次

摸到白球的概率()()()()()(|)()(|)

43642,1091095

3()1()5

P A P AB P AB P A P B P A B P B P A B P A P A =+==+=

?+?==-=

求第二次摸到黑球的概率

2. 解：先求在10把钥匙中任意取两把，不能够开门的概率。样本点总数是90，因为不能开门，所以这两把钥匙均取自7把不能开门的钥匙当中，含样本点个数为4276=?。不能够开门的概率为

4521。 能够开门的概率为218

14515

-= 3．解 由全概率公式51.06.07.03.03.0=?+?=p

4. 解：设买到合格率的事件为A ，买到甲厂产品的事件为B ，买到甲厂产品的

事件为B ，有全概率公式)()|()()|()(B P B A P B P B A P A P +==95%×70%+80%×30%=90.5%

5. 解：ξ的分布律如下：

4.75E ξ=, 222.8E ξ=, 0.2375D ξ=, (4)0.022593P ξ<=

6 F (20)-F (3)= F(20)-F(3)=

16

15 7 所以，至少得三分的概率为：P=0.75。

20.2530.540.253E ξ=?+?+?=，240.2590.5160.259.5E ξ=?+?+?=

22()0.5D E E ξξξ=-=

8．2

3

=

a ，F(3)-F(0)=5.0

9. 解：ξ3E ξ=, 29.75E ξ=, 22()D E E ξξξ=-=0.75

10. 解：P(0.5< X <5) =Φ(1)- Φ(-0.5)= Φ(1) +Φ(0.5) -1=…

矩阵四则运算

1. =?

???

?

??--????? ??--+???? ??0121103200211221

???

?

??-3511 2. 设43123,50302C D --????==????????

，则T

CC D +=

28141736??

????

；

3. 5

0210???? ??=???

? ??0840 4.略

逆矩阵

1．已知1

1234A -??= ???，13142B -??= ???，那么()1AB -=11610916B A --??= ???

2. (1) 设231013102A ??

??=??????

，求1

A -;(2) 设(6,4,3)T b =，求解线性方程组Ax b =. 解：231100013010102001??????????102001102001013010013010231100033102????

????

→→????????--????

1020011020010130100130

100012132001111124

6??

???

?????→→??????----?????

?

1126231001110104420011111246??-????→-????-????所以：11126231114

421111246A -??-?

???=-????-????。

111

26

23611114

14

42311111246x A b -??-????????????==-=????????????????-????

矩阵的秩

1. 求 ???

?

? ??-------81507313

1223123的秩 解：???

?

? ??-------81507313

1223123121

13441

21207119570

21

33

27

153r r r r r r -+---+---+--??→ ???

2

3

1

3441

7119520

03r r ----→??

-+ ???

, 故秩为.

行列式计算

2 3 1 3 5 2

1 2 3

D -=--=22，

100 1

100

1

1 2

10

1 1 01

2 2

01

2

0 0 0 1

==-

解线性方程组

用消去法解线性方程组：

1. 1234123424123423232020262

x x x x x x x x x x x x x x +-+=??-+++=??-=??+++=? 2.

????

??

?-=+-=-+-=+-=++;

694,13283,542,

432z y x z y x z y x z y x 1. 解：增广矩阵：

1

2143123200201012

162?-???-????-??????121431

21

4

30426304263020100014 1.50022100221?-??-?

????

????

→→

????----????

--???????? 121

4

3042630014 1.500064?-?

??

??

→??

---??

--??

?

?，写出对应方程，回代得：

37121,2,3,42363

x x x x =-==-=

2 解(略): 对系数的增广矩阵施行行变换:

??????? ??-----6914132835421413

2??????

?

??--→

00

000021101201 解得21

2x c y c z c =--??

=+??=?

（c 为任意常数）

https://www.wendangku.net/doc/4c10886022.html,

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分

大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)

???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，

微积分期末测试题及复习资料

一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（　） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 ３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘ ｘ２ ２１ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限

大学微积分复习题

0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括： 选择题(10道题，每题２分或者3分）。 填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。 计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。 证明题(2道题，平均每题10分）。 考试时间：90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 １．考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求 （１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 （2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 １．考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念 （2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 （3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 （5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 １．考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求 （1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（　） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ） n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解：332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限

大一微积分期末试题附答案

微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（　） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3

三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+

曲线积分与曲面积分 期末复习题 高等数学下册 上海电机学院

第十章 曲线积分与曲面积分答案 一、选择题 1．曲线积分 ()sin ()cos x L f x e ydx f x ydy ??--? ??与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数,且(0)0f =，则()f x = B A ． 1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- Ｃ. 1 ()2 x x e e -+ D ．0 2．闭曲线Ｃ为1x y +=的正向，则 C ydx xdy x y -+=+? C Ａ．０ B.2 C.4 D.６ 3．闭曲线C 为2 2 41x y +=的正向，则 22 4C ydx xdy x y -+=+? D A ．2π- B 。 2π C 。0 D. π ４。∑为ＹOZ 平面上2 2 1y z +≤，则 2 22()x y z ds ∑ ++=?? D Ａ。０ B ． π C ． 14 π Ｄ． 12 π 5。设2 2 2 :C x y a +=，则 2 2()C x y ds +=? C A.22a π B. 2 a π C 。 3 2a π Ｄ． 3 4a π ６。 设∑为球面2 2 2 1x y z ++=，则曲面积分 ∑ ［ B ］ Ａ.4π B ．2π C.π D.12 π ７。 设Ｌ是从Ｏ(0，0)到B(1,1）的直线段，则曲线积分 ? =L yds ［ Ｃ ］ A 。 21 B ． 2 1 - C. 22 Ｄ。 22- 8. 设I=? L ds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0)与点（1, １）之间的一段弧, 则Ｉ=［D ] A 。 655 Ｂ．1255 C ．6155- Ｄ。 12 1 55- 9． 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ,那么 σ 是（ D ） A ． ?-l ydy xdx 21; B 。 ?-l xdx ydy 2 1 ;

高等数学(下)期末复习题(附答案)

《高等数学（二）》期末复习题 一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?b a ，则=b （ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=? ? (C) 2230 02 3 a d r dr a π θπ=? ? (D) 2240 01 2 a d r rdr a π θπ=? ? 4、 设的弧段为：2 3 0,1≤ ≤=y x L ，则=? L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 ) 1(n n n 的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ） （A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1010d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 1 010 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) （A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

大学微积分练习题1函数与极限

一、 极限与连续 一、填空题 1、极限=-+∞→x x x x 1sin 2357lim 2 2、若b x a x x =??? ? ?---→421lim 22，则=ab 3、21sin(1)lim 1 x x x →-=- 4、设1,0,(),ln(1),0x e x f x x x x +?≤?=?+>??0x =为)(x f 间断点 5、若03sin()2lim ,23 x mx x →=，则m = 二、选择题 1、“)(x f 在点0x x =处有定义”是“0x x →时，)(x f 有极限”的（ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充分必要条件 D ．无关条件 2、下列函数中，（ ）在点0=x 补充定义可成为连续函数 A ．2sin 2)(x x x f = B ．x e x f 1)(= C ．x x f 1sin )(= D ．211)(x x x x f +-= 3、若1619 12)(lim 23-=-+-→x x x f x ，则=)(x f （ ） A ．2+x B ．5+x C ．13+x D ．6+x 4、下列极限中（ ）正确 A ．1sin lim =∞→x x x B ．11sin lim =∞→x x x

C ．11sin 1lim =∞→x x x D ．1sin 1lim =∞→x x x 5、当0→x 时，下列变量（ ）与x 为等价无穷小 A ．x x sin B ．x x sin C ．x x --+11 D ．x x 1cos 三、计算题 1、 221lim ++∞→??? ??-x x x 2 、1lim 1x x →+∞?- ??? 3、 111lim x x x -→ 4、 1 0lim 1+)x x x xe →（ 5、0tan sin lim x x x x →- 6、30tan sin lim sin x x x x →- 7、1 1lim 31--→x x x 8 、4x → 9、3131lim 11x x x →??- ?--? ? 10、已知21lim 51x x ax b x →++=-，求,a b 的值。 四、应用题 1、 设函数1 11)(--=x e x x f ,补充定义)0(f ，使)(x f 在0=x 处连续。 2、求下列函数的间断点，并判断间断点的类型。 1）20 1()21, 121, 2x f x x x x x ??? 3、下列函数中，问k 为何值时，函数()f x 在其定义域内连续。 1) 1sin 0 () 01sin 1 0x x x f x k x x x x ??2) 2sin 2 0()32 0x x f x x x x k x ?

微积分(下)期末复习题完整版

期末复习题 一、填空题 1、=?→x t t x x 0 20 d cos lim . 2、若)(x f 在],[b a 上连续, 则=?b x x x f x 2d )(d d . 3、已知)(x F 是)(x f 的原函数，则?>+x x t a t f t )0( d )(1 等于 . 4、若2 e x -是)(x f 的一个原函数，则 ='? 10 d )(x x f . 5、 =++?-112d 1| |x x x x . 6、已知2 1)(x x x f +=，则)(x f 在]2,0[上的平均值为 . 7、设 ? =+π0 ),(sin d )(x f x x x f 且)(x f 连续， 则=)(x f . 8、设曲线k x y =(0,0>>x k )与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为3 1 ，则=k . 9、设y x y y x y x f arcsin )1()2(),(22---=，则 =??) 1,0(y f . 10、设y x z 2e =，则 =???y x z 2 . 11、交换积分次序 =? ?x y y x f x ln 0e 1d ),(d . 12、交换积分次序 =? ? ---x x y y x f x 11 1 2 2d ),(d . 13、交换积分次序 ? ?-2 210 d ),(d y y x y x f y ＝ . 二、选择题 1、极限x t t x x cos 1d )1ln(lim 2sin 0 -+?→等于（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 2、设x x t t f x e d )(d d e 0=?-，则=)(x f （ ） (A) 2 1x (B) 21x - (C) x 2e - (D) x 2e -- 3、设)(x f 是连续函数，且C x F x x f +=?)(d )(，则必有（ ）B （A ）)(d )(x F t t f x a =? （B ）)(]d )([x F t t F x a ='? （C ） )(d )(x f t t F x a ='? （D ）)()(]d )([a f x f t t F x a -=''?

大一微积分期末试卷及答案

大一微积分期末试卷及 答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

微积分期末试卷 选择题（6×２） 1~6 DDBDBD 一、 填空题 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2(1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、 判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 3、设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、 计算题 1用洛必达法则求极限21 20 lim x x x e → 解：原式=22211 1 33 0002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解： 3 24 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求

5 3tan xdx ? 6arctan x xdx ?求 四、 证明题。 1、证明方程310x x +-=有且仅有一正实根。 证明：设3()1f x x x =+- 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 五、 应用题 1、描绘下列函数的图形 3. 4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222 --- 50 lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示： 2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值 由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和 单调递增区间为(1,0)1-+∞和（，） 且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1

近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)

浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷 一 、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a = ,3b = ,3a b ?= ,则a b += . 3.设(,)f u v 可微，(,)y x z f x y =,则dz = . 4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y = ≤≤≤≤,则 ()() ()() D af x bf y d f x f y σ++?? = . 5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序 2220 (,)x x dx f x y dy -=? ? . 二 、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，把所选字母填入题后的括号内） 6.直线l 1: 155 121x y z --+==-与直线l 2:623 x y y z -=??+=?的夹角为 （A ） 2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6 π . [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分 cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r r π θθθθ? ? 可以写成直角坐标中的二次积分为 （A ）100(,)dy f x y dx ?? （B ）1 00(,)dy f x y dx ?? （C ） 10 (,)dx f x y dy ? ? （D ）10 (,)dx f x y dy ?? [ ] 8.设1, 02 ()122, 12 x x f x x x ? ≤≤??=??-≤?? ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -= （A ） 12. （B ）12-. （C ）34. （D ）3 4 -. [ ] ＜

微积分二期末复习

期末复习指导 第五章 不定积分 1.积分的概念、性质 若()()F x f x ' =，则称()F x 是()f x 的一个原函数。 不定积分与导数或微分互为逆运算。 （1） 不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）： / ()()()()f x dx f x d f x dx f x dx ????==??????或 （2） 对一个函数的导数（或微分）求不定积分，其结果与这个函数仅相差 一个积分常数： / ()()()()F x dx F x C dF x F x C =+=+??或。 2.不定积分和定积分的第一类换元法 ()()()()f x x dx f x d x ????'=? ????????? ()()()()()x t f t dt F t C t x F x C ???==+=+????? ()()()() b b a a f x x dx f x d x ????'=????????? ? ()()()()() x t f t dt F t F F β β αα ?βα===-? 注：（1）第一换元法又称为“凑微分法”（即“凑”复合函数的中间变量的导数），可以不设代换完成； （2）不定积分与积分变量有关，故需要“回代”变量；而定积分与积 分变量无关，运算时不需要“回代”； 3.不定积分、定积分的第二类换元法 a 、根式代换

解题思路：“去根号”； 解题方法：令 t =m m b dt x ct a -=-，有m m b dt dx dt ct a '??-= ?-??； 特别地，t =，解出n t b x a -=，有1n n dx t dt a -=； 代换原则：由左至右、依次代换、一次完成； b 、代换 二次函数） 解题思路：“去根号”； 解题方法： （1） 令sin x a t =，有cos dx a tdt =； （2） 令tan x a t =，有2 sec dx a tdt =； （3） 令sec x a t =，有sec tan dx a t tdt =； 代换原则：由左至右、依次代换、一次完成； 例题： 注：不定积分与积分变量有关；而定积分与积分变量无关。 4.不定积分、定积分的分部积分法

微积分期末测试题及答案

微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.

安徽大学高等数学期末试卷和答案

安徽大学2011—2012 学年第一学期 《高等数学A（三）》考试试卷（A 卷） （闭卷时间120 分钟） 考场登记表序号 题号一二三四五总分 得分 阅卷人 一、选择题（每小题2 分，共10 分）得分 1.设A为n阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（）。 （A）(2A)?1 =2A?1 ；（B）(2A?1)T=(2A T)?1 ；（C） ((A?1)?1)T=((A T)?1)?1 ；（D）((A T)T)?1 =((A?1)?1)T。 2.若向量组1, 2 , , r ααα可由另一向量组 （）。 βββ线性表示，则下列说法正确的 是 1, 2 , , sβββ线性表示，则下列说法 正确的是 （A）r≤s；（B）r≥s； （C）秩( 1, 2 , , r1, 2 , , s1, 2 , , r ααα)≤秩(βββ)；（D）秩(ααα)≥ 秩( ββ β)。 1, 2 , , sββ β)。 3.设A, B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则下列说法正确的是（）。 （A）λE?A=λE?B； （B）A与B有相同的特征值和特征向量； （C）A与B都相似于一个对角矩阵； （D）对任意常数k，kE?A与kE?B相似。 4.设1, 2 , 3 ααα为R3 的一组基，则下列向量组中，（）可作为R3 的另一组基。 （A）1, 1 2 ,3 1 2 1, 2 ,2 1 2 α+αα+αα+α。 αα?αα?α；（B）ααα+α； （C） 1 2 , 2 3, 1 3 α+αα+αα?α；（D） 1 2 , 2 3, 1 3 5.设P(A) =0.8 ，P(B) =0.7 ，P(A| B) =0.8 ，则下列结论正确的是（）。