第12章习题解答
第12章习题解答
12.1 求解下列本征值问题的本征值和本征函数
1
(1)()()0;(0)0,()0(2)()()0;(0)0,()0(3)()()0;()0,()0X x X x x x l X x X x x x l X x X x x a x b λλλ'''+===''''+===''+===【答案 2222121
(1)(
π),0,1,2,;()sin π22(2)(π),0,1,2,;()cos ππ(3)(π),1,2,;()sin ()n n n n n n n n n X x x l l n n
n X x x l l n n n X x x a b a b a
λλλ++=========---】
12.2 长为l 的杆，一端固定；另一端受力0F 而伸长，求解放手杆的振动.
【 答案 022011()π()π8122(1)cos sin π(21)n n n at n x F l YS n l l
∞
=++-+∑】 12.3 长为l 的的弦，两端固定，弦中张力为T . 在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然
后突然撤除此力，求弦的振动. 【答案
初始位移＝00()/(), (0)F l x x lT x x -<<，
00000221()/()()
2π1π(,)sin sin cos
πn F x l x lT x x l F l n x n x n at u x t T n l l l
π∞==-<<=∑】
12.4 一个长宽各为a 的方形膜，边界固定，膜的振动方程为 2222
22()0; (0,0)u u u
x a y a t x y
???-+=<<<
【答案
,1,2,3,nm n m ν=
=】 12.5 求解细杆导热问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布为
2
0|()/t u bx l x l ==-.
【答案 2(21)π[]33081(21)πsin π(21)k a t
l k b k x e k l
+∞-=++∑】
12.6 一根均匀弦两端固定在0,x x l ==处.假设初始时刻速度为零，而在初始时刻弦的形状是一条顶点为(/2,)l h 的抛物线。试求弦振动的位移.
【答案 33
032(21)π(21)π(,)cos sin (21)π
n h n at n x
u x t n l l ∞
=++=+∑】 12.7 解定解解问题
222, (0,),0 (1)(0,)(,)0 0 (2)(,0)(), x u u
a x l t t x u t u l t t u x x ???=∈>??==>= (3)(,0)(), (0,) (4)
t u x x x l ψ?????????=∈
解： 用分离变量法解，令
(,)()() (5)u x t T t X x = 并将(5)代入（１），(2)，得固有值问题 ''()()0 (6)
(0)'()0 (7)X x X x X X l λ+=??
==?
及 2()() (8)T t a T t λ+ 解（6）—（7）得 2
21()(
), 0,1,2,2n n x n l
λπ+=
= 21
()sin , 0,1,2,
2n n X x x n l
π+=
=
将n λ代入（8）解得
2121
cos
sin , (0,1,2,)22n n n n n T C at D at n l l
ππ++=+=
∴ (,)()() (0,1,2,)n n n u x t T t X x n ==
叠加得
212121(,)
cos
sin sin (9)222n n n n n n u x t C at D at x l l l πππ∞
=+++?
?
=+
??
?
∑ 令(9)满足(3),(4)得
21
(,0)()
sin
(10)2n n n u x x C x l
?π∞
=+==∑ 0
2121
(,0)()
sin (11)22t n
n n n u x x D
a x l l
ψππ∞
=++==∑ 由Fourier 展式的唯一性知,n C 与21
2n
n D a l
π+分别为()x ?与()x ψ关于0
21sin 2n n x l π∞
=+??
????的展开式系数. ∴ l
0221 ()sin d (12) 2n n C x x x l l
?π+=?
002221
()sin d (21)2421
()sin d (0,1,2,) (13)
(21)2l
n l
l n D x x x
n a l l n x x x n n a l
ψππψππ+=?++=
=+??
所以，带有系数（１２）～（１３）的（９）即为定解问题（１）～（４）的形式解。
12.8 解定解问题
22222110, 0, 02 (1)() 0<2 (2) r R
u u u
r R r r r r u f θπθθθπ=????+
+=<<≤
解: 这是圆域上的Laplace 方程第一边值问题.设(1)具有变量分离形式解
(,)()() (3)u r F r θθ=Φ
将(3)代入（1）得
21
''()()
''()1()()r F r F r r F r r
θλθ+Φ==-Φ- 令
则有 ''()()0 (4)
()(2)0 (5) θλθθθπΦ+Φ=??Φ=Φ+=?
及
2''()'()()0 (6)
(0) (7)
r F r rF r F r F λ?+-=??<+∞??
这里条件(5)是由区域的形状及(,)u r θ的单值性决定的。即(,2)(,)u r u r θπθ+=成立。（(0,]r R ∈）。
而条件（7）是由问题的物理意义决定的，即(,)u r θ在圆心处有界。问题（4）～（５）称为定解问题（１）～（２）的固有值问题。解（４）～（５）得：
2,0,1,2,
n n n λ=
=
0()1,()cos sin (1,2,)n n n a n b n n θθθθΦ=Φ=+=
(,n n a b 为任意常数)
将n λ代入（６）～（７）解得
000()' (A'0F r A =≠为任意常数） n ()' (A'0 1,2n
n n F r A r n =≠
=为任意常数）
∴ 0
000(,)()()',2
n A u r F r A θθ=Φ==
(,)()()'(cos sin )n n n n n n n u r F r A r a n b n θθθθ=Φ=+
cos sin (1,2,)n
n
n n A r n B r n n θθ=+=
叠加得
01
(,)cos sin (8)2n n n n n n A u r A r n B r n θθθ∞
==++∑
令（８）满足（２）的得
01
(,()cos sin 2n n n n n A u R f A R n B R n θθθθ∞
===++∑
右端即为()f θ的Fourier 完全展示。由于()f θ定义在[]02π，上，故应有(2)(),f f θπθ+=于是有
200
1
() (9)
A f d π
θθπ
=
?
201()cos (10)
n n A f nd R π
θθπ=
?
20
1()sin (11)n n
B f nd R π
θθπ=
?
(1,2,
)n =
带有系数（９）～（１１）的（８）即为定解问题（１）～（２）的解。
()()()y x u y x u y x u ,,,21+=．
12.9 解定解问题
222220110 0, 0 (1)0 0 r R r r r r u u u f θθαθαθθ===???++=<<< ?? ??? 解： 注意到方程就关于未知函数为线性齐次的，且在0θθα==与边界上具有线性齐次边界条件,故可用分离变量法求解。为此，设（1）有非零解 (,)()() (4)u r F r θθ=Φ 代入（1）并分离变量得 2''()'()''()()() r F r rF r F r θλθ+Φ==--Φ 令 即兴 2 ''()'()()0 (5)r F r rF r F r λ+-= 令（4）满足（2）得 (0)()0 (7) αΦ=Φ= （6）与（7）联立得 ''()()0 (6) (0)()0 (7) θλθαΦ+Φ=??Φ=Φ=? 注意问题的物理意义知，在0r =处，应满足条件 (0,,(0) (5)'u F θ<+∞有界故 （5）与(5)'联立 2''()'()()0 (5) (0) (5)' r F r rF r F r F λ?+-=??<+∞?? （5）是一个二群众监督齐次欧拉方程，所带条件(5)'不具可叠加性。 故应由（6）～（7）确定λ值，即（6）（7）为定解问题（1）~（3）的固有值问题。解解（6）~（7）得固有值 2()(), 1,2, n n x n π λα = = 固有函数系 ()sin , 1,2, n n n π θθα Φ= = 将2()( )n n x π λα =代入（5），解（5）～(5)'：令t r e =。在（5）中变换自变量为t ，得 222 22d 0 (1,2,)d n n F n F n t πα -== 其通解为 22 22 (1,2, )n n t t n n n F C e D e n ππα α - =+= 即 () (1,2, )n n n n n F r C r D r n π π α α - =+= 由条件(5)'得0.n D = ∴ () (1,2, )n n n F r C r n π α== 于是 (,)sin (1,2, )n n n n u r C r n π απ θθα == 叠加这得 1 (,)sin (8)n n n n u r C r π απ θθα ∞ ==∑ 令（8）满足（3）得 1 (,)sin () (9)n n n n u R C R f π π θθθα ∞ == =∑ （9）表明n n C R π α即为()f θ在[]0,α上Fourier 正弦展式的系数，即 2 ()sin d (1,2,)n n n f C R n α π απ θθθαα ==? ∴ 0 2 ()sin d (1,2, )n n n C f n R α α π θθθα α= =? 代入（8）即得定解问题（1）~（3）的解。 12.10 解定解问题 1 2221222212110 ,02 (1)()0 (2)() r r u u u r r r r r u f u f ρρρρθπθθθ==???++=<<≤ ?? ≤??? 解：这是圆环域12r ρρ<<上Laplacd 方程第一边值问题。同上例，解的周期性条件成立： (,2)(,)u r u r θπθ+=。但无0r =处的有界性条件。故 令(,)()()u r F r θθ=Φ，其中()θΦ与()F r 分别满足 ''()()0 (4) ()(2) (5) θλθθθπΦ+Φ=?? Φ=Φ+? 及 2 ''()'()()0 (6)r F r rF r F r λ+-= 由（４）～（５）得固有值2 n n λ=及固有函数系为 ()cos sin , 0,1,2, n n n a n b n n θθθΦ=+=。将入n λ（６）解得： 00000ln ()''ln ()'' (1,2,)2 n n n n n A B r F r A B r F r A r B r n -+=+= =+= ∴ 00000ln (,)()()2 A B r u r F r θθ+=Φ= (,)()()('')(cos sin ) ()cos ()sin (1,2,) n n n n n n n n n n n n n n n n n u r F r A r B r a n b n A r B r n C r D r n n θθθθθθ---=Φ=++=+++= 叠加得 001 ln (,)()cos ()sin (7)2n n n n n n n n n A B r u r A r B r n C r D r n θθθ∞ --=+=++++∑ ∴ 令（３）满足 得 令（７）满足（２），（３）得 001111111 ln ()cos ()sin () 2n n n n n n n n n A B A B n C D n f ρρρθρρθθ∞--=+++++=∑ 002222221 ln ()cos ()sin ()2n n n n n n n n n A B A B n C D n f ρρρθρρθθ∞ --=+++++=∑ ∴ 2001102002201 ln ()d (8) 1ln ()d (9) A B f A B f π π ρθθπρθθπ?+=?? ??+=???? ∴ 21110222201()cos d (10) 1()cos d (11) n n n n n n n n A B f n A B f n π π ρρθθθπρρθθθπ--?+=?? ??+=???? ∴ 21110222201()sin d (12) 1()sin d (13) n n n n n n n n C D f n C D f n π π ρρθθθπρρθθθπ--?+=?? ??+=?? ?? 因为12ρρ≠，所以上述三个关于00,,,,,n n n n A B A B C D 的线性非齐次代数方程组存在唯一解。 故定解问题（１）～（３）的解由（７）给出，系数由（８）～（１３）给出。 12.11 解定解问题 222 (cos sin ) 0r R, 0<2 (1) 0<2 (2) r R u a br u c θθθπθπ=??=+-≤<≤??=≤?? 解：此问题即为圆域上的Poisson 方程第一边值问题。 22cos 2 0r R, 0<2 (1) 0<2 (2)r R u a br u c θθπθπ=??=+≤<≤?? =≤?? 可以解出24 (,)sin cos 2412 a b w r r n r θθθ=+，则(,)(,)(,)u r w r v r θθθ=+，其中(,) v r θ为定解问题 0 0r R, 0<2 (1)' (,) () 0<2 (2)'r R v v c w R θπθ?θθπ=?=≤≤≤???=-=≤??01 (,)sin cos (3) 2n n n n n a v r a r n b r n θθθ∞ ==++∑(2)' 。 ∴ 于是（１）～（２）的解为 12.12 解定解问题 解： 注意方程右端函数为的多项式，故可找一个方程（1）的特解 使， 这样的 不唯一，进而还可要求 例如可取。 则原定解可设为 新未知函数 满足定解问题 2201sin cos =()cos 22412n n n n n a aR bR a r n b r n c θθθ∞=++--∑22 020 (0,2) 0(1,2,), 2 (),412n n aR b a n b n a c a R =≠===-=-222(,)()cos 2412a b v r c R R r θθ =--22222(,)()()cos 2412a b u r c R r R r r θθ =----20x=0y 0 0 (2)u 0 (3)y y b x a u x u u u ===??=-?? ==??==??xy (,),w x y 2w x y ?=-(,)w x y (0,)w y (,)0w a y ==(,)w x y =4312x y a xy -- (,)(,)(,)u x y v x y w x y =+(,)v x y 00 0 y b x y a xy v x ?=?? ?? ?? -? ==?? 此问题的解为 1(,)()sin (8)n n y y a a n n n n v x y C e D e x a π ππ ∞ - == +∑ 令其满足（6）、（7）得 1 (,)2sh sin (9)n n n n v x y C y x a a ππ ∞ == ∑ 其中 01()sin d (10)sh a n n C x x x n a a b a π?π= ? 带有系数（10）的（9）是问题（4）~（7）的形式解。 431 (,)2sh sin 12n n n n x a x u x y C y x y a a ππ∞ =-=-∑ 其中n C 由（10）给出。 12.13 解定解问题 22 222 0<, 0 (0,)0 (,)sin 0 (,0)0 0t u u a x l t t x u t u l t t t u x x l ω???=<>?????=??=≥?=≤≤?? 解：令(,)(,)(,)u x t v x t w x t =+，其中sin x w t l ω= .则(,)v x t 满足定解问题 22 2222+sin 0<, 0 (0,)(,)0 0 (,0)0 (,0)x 0t v v x a t x l t t x l v t v l t t v x v x x l l ωωω ???=<>???? ==≥??=??=-≤≤?? 由7-9 题知, 12(,)(,)(,)v x t v x t v x t =+.其中12(,)(,)v x t v x t 与分别满足定解问题 22 211221111(0,)(,)0 (,0)0 (,0)x t v v a t x v t v l t v x v x l ω ???=???? ==??=??=-?? 与 22 2222 222222+sin (0,)(,)0 (,0)(,0)0 t v v x a t t x l v t v l t v x v x ωω???=????? ==??==??? 解之得 1212(,)(1)sin sin ()n n l n n v x t at x a n l l ωππ π∞ == -?∑ 1 221 sin t+sin t sin t sin t 2(,)(1)sin ()+n n n n n n l n v x t x a n l ωωωωωπ πωωωω∞ +=??-=--??-?? ∑ 其中 (1,2,)n an n l π ω= = 所以，原问题的解 12(,)(,)(,)sin x u x t v x t v x t t l ω=++ 12.14 解定解问题 2 2200 0,0 t 0,,() 0x x x l t u u a x x l t t x u A u B A B u x l ?===???=+<<>???? ?=??=≥??=≤≤?为常数 解：注意泛定方程非齐次项与t 无关。故可设 (,)(,)() u x t v x t w x =+，且取()w x 满足 (0) (1) () (2) w A w l B =?? =? 可取 () (3)B A w x A x l -=- 于是(,)v x t 满足齐次边界问题 21 (0,)(,)0(,0)()()() t xx v a v x v t v l t v x x w x x ???=+? ==??=-=? 令 02sin d (4)l n n f x x x l l π =? 02[()()]sin d (1,2, ) (5)l n n x w x x x n l l π??=-=? 则由固有函数法可得 222 222 22 () 110(,)d sin (6)a n a n t t t l l n n n n v x t e f e x l ππτπ ?τ∞ ---=?? ?=+ ?? ? ∑? 其中1,n n f ?由（4），（5）给出。 12.15 解定解问题 222 00 0,0 0 0 () 0x x x x l t u u a be x l t t x u u t u x l α?===???=+<<>????? ==≥?? =≤≤??? 解：注意泛定方程非齐次项与t 无关。故可设(,)(,)() u x t v x t w x =+。令()w x 满足条件 2''()0 (4) (0)() (5)x a w x be w w l α-?+=?=? 解得 22()(0)0 ()0x b w x e Ax B a w w l αα-? =-++?? =??=?? 得 22 22 (1), x b b A e B la a ααα-=- -= 可取 222222()(1)x l b b b w x e e x a la a ααααα --=---+ 则(,)v x t 满足 2220100 ()()() x x l t v v a t x v v v x w x x ??===???=????? ==?? =-=??? 解得 222 2 1 (,)sin (7)a n t l n n n v x t C e x l ππ ∞ -==∑ 其中 02[()()]sin d (8)l n n C x w x x x l l π ?=-? 原定解问题（1）~（3）的解为 222 2 1 (,)sin () (9)a n t l n n n u x t C e x w x l ππ ∞ - == +∑ 其中(,)w x t 由（6）给出，n C 由（8）给出。 12.16. 解定解问题 20 0, 0 (0,)(,)0 0 (,0)0 (,0) 0tt xx x t u a u x l t u t u l t t u x u x v x l ?=<<>? ==≥??=? ?=≤≤? （答： 0221 82121 (,)sin sin , 22(21) n n n lv n n u x t B a t x B l l a n πππ∞ =++= =+∑） 12.17 长为l 的理想传输线，远端开路.先把传输线充电到电位差0v ，然后把近端短路。求解线上电压(,)x t v . [ 答案 定解条件 00000d |0,|()|0,|,d 1 ||0x x l x l t t t x t R L j t j C ========-+===- =v v v v v 解0041(21)π(21)π (,)cos sin π21 22n n at n x x t n n l l ∞=++=+∑v v 】 12.18 在矩形区域 0,x a o y b <<<<上求解拉普拉斯方程0u ?=使得满足边界条件 00|(),|0,|sin ,|0x x a y y b x u Ay b y u u B u a π=====-=== 【答案 233021π(-)[π()/]π8(21)πsin sin 21(π/)π(21)πn n sh a x sh b y a x Ab n y b B n sh b a a b n sh a b ∞ =+-++++∑】 12.19 均匀的薄板占据区域 0,0x a y <<<<∞.边界上的温度 000|0,|0,|,lim 0x x a y y u u u u u ===→∞ ==== 求解板的稳定温度分布. 【答案 (21)π/0 41(21)πsin π 21n y a n u n x e n a ∞ -+=++∑ 10.20 圆形区域内求解0u ?=使满足边界条件 （1）00|cos ; (2) |sin u A u A B ρρρρ??====+ 【答案 0 (1) cos ;(2)sin A B A ρ?ρ?ρρ+ 】 12.21 考虑长为l 的一来一往的传输线，开始时，传输线的电位差为常数，然后让一端短路，另一端开路，求传输线上的电压.即求下列定解问题 ??? ?? ???? ≤≤-==≥==><<--=====l x u C G u u u t u u t l x cu bu u a u t t t l x x x t xx tt 0,,0 ,0,00,0,0000 02 其中L R LC RG c LC RC LG b LC a ,,,,12 =+==分别是每一回路单位长度的串联电阻与电感，G C ,分别为单位长度的分路电容和电导（线间漏电）． 【解】 由于这个问题也是线性齐次方程和齐次边界条件，所以也可用分离变量法，设()()()t T x X t x u =,，代入方程和边界条件可得 ()()()()02'''=+++t T a t cT t bT t T λ （12.2.42） ()()()()?????===+0 00 ' ''l X X x X x X λ （12.2.43） 经讨论，本征值问题（12.2.43）的本征值与特征函数为 ()??? ??? ?+=??? ??+=x l n x X l n n n πλ212sin ,2122 ,2,1,0=n 把n λ的值代入方程（12.2.42），解得 ()t T n ()t D t C e n n n n t b ωωsin cos 2 +=- 其中2 2 2 2212?? ? ??-??? ??++=b a l n c n πω，并已假定02 >n ω． 这样我们得到解的形式为 ()()∑+∞ =-++=0 2 212sin sin cos ,n n n n n t b x l n t D t C e t x u πωω （12.2.44） 代入初值条件，有 00 1 2sin u x l n C n n =+∑+∞ =π 00212sin 2u C G x l n D C b n n n n -=+??? ? ?+-∑+∞ =πω 由Fourier 级数理论，得 ()ππ12421 2sin 2000+= +=?n u xdx l n u l C l n （12.2.45） ()π πω12421 2sin 22000+-=+??? ??-=+-?n C Gu xdx l n u C G l D C b l n n n 解得()??? ??-+= C G L R n u D n n πω1220 （12.2.46） 把（12.2.45），（12.2.46）式代入（12.2.44）式，得解为 ()x l n t LC LG CR t n e u t x u n n n n t b πωωωπ 21 2sin sin cos 21212,02 +? ? ????-++= ∑+∞=- 由于解的表达式中有衰减项t b e 2 -，所以即使导线的电阻和线间漏电都很小，传输线上的电压仍将随时间的推移而指数地衰减到零． 12.22 设弦的一端（x =0）固定，另一端（L x =）以),2,1,(sin =≠n L a n t πωω作周期振动，且初值为零．试研究弦的自由振动． 解：依题意，得定解问题 ()? ?? ?? ? ???==??? ??≠==>< )0,(,0)0,(,sin ),(,0),0(0,0,22 222x u x u L a n t t L u t u t L x x u a t u t πωω )20()19( 由于边界条件是非齐次的，首先应把边界条件齐次化．令B Ax W +=，由边界条件（20） 式，得：,),(sin ,),0(0AL t L W t B t W ====ω，所以0,sin ==B L t A ω，从而 t L x t x W ωsin ),(=． 再令t L x t x V t x u ωsin ),(),(+=，则得： ??? ? ???- ====+=L x x V x V L t V t V t L x V a V t xx tt ωωω),0(,0),0(0 ),(,0)0,(sin 22 虽然我们已经知道这个定解问题的解法，但毕竟比较复杂．由于原定解问题中的非齐次边界条件比较特殊，如果我们一开始选取),(t x W 时，就使这个函数既满足泛定方程（19），又满足边界条件（20），这样，令W V u +=后，得到的关于),(t x V 的泛定方程也是齐次的，而且显然比按照上述一般方法得到的非齐次方程的求解要简单． 为此，令t x X t x W ωsin )(),(=，由边界条件（20）式，可知1)(,0)0(==L X X ．把 ),(t x W 代入泛定方程（19），且消去t .sin ω，得：02 2 =+ ''X a X ω 所以 a x C a x C x X ωωsin cos )(21+= 由0)0(=X ，得01=C ；再由1)(=L X ，得：a L C ωsin 12= 于是 a x a L x X ωωsin sin 1 )(= ，从而 t a L a x t x W ωωωsin sin sin ),(= 再令),(),(t x V t x W u +=，代入原定解问题，就得到关于V 的定解问题： ???? ? ?? ??? ?-====??=??a L a x x V x V L t V t V x V a t V t ωωωsin sin ),0(,0),0(0 ),()0,(22 222 即得： ∑∞ =+--=12 21sin sin ) ()()1(2),(n n L x n L at n a n L aL x t V πππωω 最后，把),(t x V 和),(t x W 加起来，就得到原定解问题的 12.23 求下例定解问题 ???? ? ????=??===><<+??=??====0,0)0,0(,00022 222t t L x x t u u B u u t L x A x u a t u )12()11()10( 的形式解，其中B A ,均为常数． 【解】：这个定解问题的特点是：方程及边界条件都是非齐次的．根据上述原则，首先应将边界条件化成齐次的．由于方程（10）的自由项及边界条件都与t 无关，所以我们有可能通过一次代换将方程与边界条件都变成齐次的．具体做法如下： 令)(),(),(x W t x V t x u +=，代入方程（10），得： A x W x V a t V +?? ????''+??=??)(2 2 222 为了使这个方程及边界条件同时化成齐次的，选)(x W 满足 ?????===+''==B W W A x W a L x x ,00 )(02 （13） （13）式是一个二阶常系数线性非齐次方程的边值问题，它的解可以通过两次积分求得 x L B a AL x a A x W ??? ??++- =22222)( 求出函数)(x W 之后，再由（12）式可知函数),(t x V 为下列定解问题 ???? ? ????=??-===>< )0,0(,00022 222t t L x x t V x W V V V t L x x V a t V )16()15()14( 的解． 采用分离变量法，可得（14）式满足齐次边界条件（15）式的解为： ∑∞ =??? ? ?+= 1sin sin cos ),(n n n x L n t L a n D t L a n C t x V πππ （17） 利用（16）式中第二个条件可得：0=n D ． 于是定解问题式（14）、（15）、（16）的解可表示为： ∑∞ ==1 sin cos ),(n n x L n t L a n C t x V π π 代入（16）式中第一个条件得： ∑∞ ==-1 sin )(n n x L n C x W π 即 ∑∞ ==??? ??+-1 2 22sin 22n n x L n C x L B a AL x a A π 由傅氏级数的系数公式可得： ?????????? ??+-= L n xdx L n x L B a AL x a A L C .0.222sin 222π ππππππn B n a AL n n a AL xdx L n x L B a A xdx L n x L a A L L cos 22sin 2sin 2222 3322 .0..0.2222??? ? ??++- =??? ??+-=?? ) 18( 因此，原定解问题的解为： ∑∞ =+??? ??++-=1 222sin cos 22),(n n x L n t L a n C x L B a AL x a A t x u π π 其中n C 由（18）式确定． 12.24 一个半径为0ρ的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘温度分布为已知，求达到稳恒状态时圆盘内的温度分布． 在第一章讲过，热传导问题达到稳恒状态时温度分布与时间无关，应满足拉普拉斯方程 02=?u ．因为边界形状是个圆周，它在极坐标下的方程为0ρρ=，所以在极坐标系下边 界条件可表为)(0 θρρf u ==，既然边界条件用极坐标系形式表示出来很简单，所以我们就 在极坐标系下求解这个定解问题．为此，先将它表示成 ?????=<=??+????=?)(),()(,01)(10 2 222θθρρρθρρρρρf u u u u )2()1( 此外，因为自变量θρ,的取值范围分别是[]0,0ρ与[]π2,0，而圆盘内部的温度值绝不可能是无限的，特别是圆盘中心点的温度值应该是有限的，并且),(θρ与)2,(πθρ+实际上表示同一点，温度应该相同，即应该有 ) 2,(),(),0(πθρθρθ+=+∞ 3( 现在来求满足方程（1）及（2）、（3）、（4）的解．先令)()(),(θρθρΦ=R u ，代入方 程（1）得： 01 1 2 =Φ''+ Φ'+ Φ''R R R ρρ ， 即 Φ Φ' '- =' +''R R R ρρ2 令比值为常数λ，即得两个常微分方程 2=-'+''=Φ+Φ''R R R λρρλ 再由条件（3）及（4）可得+∞<)0(R ()()θφπθ=+Φ2 （5） 这样一来，我们得到了两个常微分方程的定解问题： ()() ?? ?Φ=+Φ=Φ+Φ''θπθλ20 （6） 与 ?????+∞ <=-'+'')0(02R R R R λρρ （7） 先解哪一个呢？要看哪一个可以定出本征值．由于条件（5）满足可加性（即所有满足 （5）的函数叠加起来仍旧满足（5）），所以只能先解问题（6）． 采用与§2.1中同样的方法可以得到： 当时λ＜0，问题（6）无非零解； 当λ=0时，它的解为：00)(a '=Φθ（常数）； 当λ﹥0时，取2 βλ=，这时（6）的解为： ()βθβθθβ ββsin cos b a '+'=Φ 且为使)(θΦ以2π为周期，β必须是整数n ，取 ,3,2,1=n （只取正整数的理由与§2.1 相同），则可将上面得到的解表示成： ()θθθn b n a n n n sin cos '+'=Φ 至此，我们已经定出了本征值问题（6）的本征值2 2 n n =β，本征函数)(θn Φ．然后是解问题（7）．其中的方程是欧拉（Euler ）方程，它的通解为： ρln 000d c R +=， 当λ=0； （n=0） n n n n n d c R -+=ρρ，当λ=2n （n=1，2，3，…） 为了保证+∞<)0(R |，只有n d =0（n=0，1，2，…），即),2,1,0( ==n c R n n n ρ． 因此利用叠加原理，方程（1）满足条件（3）、（4）的解可以表示为级数 ()∑∞=++=1 0sin cos 2),(n n n n n b n a a u θθρθρ （8） 此式中2 0a 的就是00 c a '；n n b a ,分别是n n c a '与n n c b '．最后为了确定系数n n b a ，我们利用边界条件（2）得： ()∑∞=++=1 00sin cos 2)(n n n n n b n c a f θθρθ （9） 因此，n n n n b a a 000,,ρρ就是()θf 展开为傅氏级数时的系数，即有 ()?????????===???ππ π θθθπρθθθπρθ θπ2.0.0 2.0.02.0.0sin 1cos )(1)(1d n f b d n f a d f a n n n n （10） 将这些系数代入（8）式即得所求的解． 为了以后应用方便，还可以将解（8）写成另一种形式．为此，将（10）式所确定的系数代入（8）式经过简化后 ()()dt t t f u n n ?∑??? ???? ?-???? ??+=∞=π θρρπθρ2.0.01cos 21)(1 , （11） 利用下面已知的恒等式()()∑∞=+---=-+12 2 cos 21121cos 21n n k t k k t n k θθ *)，()1 ()() ? --+-= π θρρρρρρπ θρ2.0 .02 202 20cos 2)(21 ,dt t t f u (12) 公式（12）称为圆域内的泊松公式．它的作用在于把解写成了积分形式，这样便于作理论上的研究． 注：*）这个恒等式的证明： ()()()[] ∑∑∞=∞=---++=-+112 121cos 21n n t in t in n n e e k t n k θθθ ()[] ()[] ∑∑∞ =--∞ =-++=1 1 212121n n t i n n t i ke ke θθ 行程问题典型例题及答案详解 行程问题是小学奥数中的重点和难点，也是西安小升初考试中的热点题型，纵观近几年试题，基本行程问题、相遇追及、多次相遇、火车、流水、钟表、平均速度、发车间隔、环形跑道、猎狗追兔等题型比比皆是，以下是一些上述类型经典例题（附答案详解）的汇总整理，有疑问可以直接联系我。 例1：一辆汽车往返于甲乙两地，去时用了4个小时，回来时速度提高了1/7，问：回来用了多少时间？ 分析与解答：在行程问题中，路程一定，时间与速度成反比，也就是说速度越快，时间越短。设汽车去时的速度为v千米/时，全程为s千米，则：去时，有s÷v=s/v=4，则 回来时的时间为：，即回来时用了3.5小时。评注：利用路程、时间、速度的关系解题，其中任一项固定，另外两项都有一定的比例关系（正比或反比）。 例2：A、B两城相距240千米，一辆汽车计划用6小时从A城开到B城，汽车行驶了一半路程，因故障在中途停留了30分钟，如果按原计划到达B城，汽车在后半段路程时速度应加快多少？ 分析：对于求速度的题，首先一定是考虑用相应的路程和时间相除得到。 解答：后半段路程长：240÷2=120（千米），后半段用时为：6÷2－0.5=2.5（小时），后半段行驶速度应为：120÷2.5=48(千米/时)，原计划速度为：240÷6=40（千米/时），汽车在后半段加快了：48－40=8（千米/时）。 答：汽车在后半段路程时速度加快8千米/时。 例3：两码头相距231千米，轮船顺水行驶这段路程需要11小时，逆水每小时少行10千米，问行驶这段路程逆水比顺水需要多用几小时？ 分析：求时间的问题，先找相应的路程和速度。 解答：轮船顺水速度为231÷11=21（千米/时），轮船逆水速度为21－10=11（千米/时），逆水比顺水多需要的时间为：21－11=10（小时） 答：行驶这段路程逆水比顺水需要多用10小时。 第十二章 数项级数 证明题 1 ． 证明下列级数的收敛性 ,并求其和 : (4) ( n 2 2 n 1 n); 2n 2. 证明:若级数 u n 发散,则 Cu n 也发散(c ≠0). 3. 证明 :若数列 {a n }收敛于 a,则级数 (a n a n 1) a 1-a . (1) 1 1 1 (3) 1 n(n 1)(n 2) 2n 1 (5) (5n 4)(5n 1) 1.6 6.11 11.16 (2) 4 ．证明: 若数列{b n}有lim b n ,则 n (1)级数(b n 1 b n)发散; 1 1 1 (2)当b n≠0 时,级数 n b n 1 b1 5. 证明级数u n 收敛的充要条件是:任给正数ε ,有某自然数N, 对一切n>N 总有 |u N+u n+1+?+u n|< ε 6. 设u n、v n 为正项级数,且存在正数N0,对一切n>N 0,有 u n 1 v n 1 u n v n 7. 设正项级数a n 收敛,证明级数a2n 也收敛;试问反之是否成立? 8. 设a n≥0,且数列{na n}有界，证明级数a2n收敛. 9. 设正项级数 u n 收敛,证明级数 u n u n 1 也收敛 . (2) 若 n>N 0 时有 C n ≤0, 且 lim 1 b k ,则级数 a n n1 10. 证明下列极限 11. 设 {a n }为递减正项数列 ,证明 :级数 a n 与 2m a 2m 同时 n1 m 0 收敛或同时发散 a 12. 设 a n >0, b n >0, C n =b n n b n+1,证明: a n 1 N 0及常数 K,当 n>N 0 时,有 C n ≥k>0, 则级数 a n 收敛 ; n1 n (1) l n im (n n !) 0; (2) lim (2n!) n! n a n! 0(a 1). (1) 若存在某自然数 实验报告 课程名称操作系统原理实验名称虚拟页式管理 姓名学号专业班级网络 实验日期成绩指导教师赵安科 （①实验目的②实验原理③主要仪器设备④实验内容与步骤⑤实验数据记录与处理⑥实验结果与分析⑦问题建议） 实验二模拟请求页式存储管理中硬件的地址转换和缺页中断，并用先进先出调度算法（FIFO）处理缺页中断 1．内容：模拟请求页式存储管理中硬件的地址转换和缺页中断处理 2．思想： 装入新页置换旧页时，若旧页在执行中没有被修改过，则不必将该页重写磁盘。因此，页表中增加是否修改过的标志，执行“存”指令和“写”指令时将对应的修改标志置成“1” 3．要求及方法： ①设计一个地址转换程序来模拟硬件的地址转换和缺页中断。当访问的页在主存时则形成绝对地址，但不去模拟指令的执行，可以输出转换后的绝对地址来表示一条指令已执行完成。当访问的页不在主存中时，则输出“*页号”来表示硬件产生了一次缺页中断。模拟地址转换流程见图1。 ②编制一个FIFO页面调度程序；FIFO页面调度算法总是先调出作业中最先进入主存中的哪一页。因此可以用一个数组来表示（或构成）页号队列。数组中每个元素是该作业已在主存中的页面号，假定分配给作业的页架数为m，且该作业开始的m页已装入主存，则数组可由m个元素构成。 P[0]，P[1]，P[2]，…，P[m-1] 它们的初值为P[0]：=0，P[1]：=1，P[2]：=2，…，P[m-1]：=m-1 用一指针K指示当要调入新页时应调出的页在数组中的位置，K的初值为“0”，当产生缺页 中断后，操作系统总是选择P[K]所指出的页面调出，然后执行： P[K]：=要装入的新页页号 K ：=(k+1)mod m 在实验中不必实际地启动磁盘执行调出一页和装入一页的工作，而用输出“OUT 调出的页号”和“IN 要装入的新页页号”来模拟一次调出和装入过程，模拟程序的流程图见附图1。 按流程控制过程如下： 提示：输入指令的页号和页内偏移和是否存指令?? ? 0 1非存指令存指令，若d 为-1则结束，否则进 入流程控制过程，得P 1和d ，查表在主存时，绝对地址=P 1×1024+d ③ 假定主存中页架大小为1024个字节，现有一个共7页的作业，其副本已在磁盘上。系统为该作业分配了4个页架，且该作业的第0页至第3页已装入内存，其余3页未装入主 依次执行上述指令调试你所设计的程序（仅模拟指令的执行，不考虑序列中具体操作的执行）。 计量经济学题库 一、单项选择题（每小题1分） 1．计量经济学是下列哪门学科的分支学科（C）。 A．统计学 B．数学 C．经济学 D．数理统计学 2．计量经济学成为一门独立学科的标志是（B）。 A．1930年世界计量经济学会成立B．1933年《计量经济学》会刊出版 C．1969年诺贝尔经济学奖设立 D．1926年计量经济学（Economics）一词构造出来 3．外生变量和滞后变量统称为（D）。 A．控制变量 B．解释变量 C．被解释变量 D．前定变量4．横截面数据是指（A）。 A．同一时点上不同统计单位相同统计指标组成的数据B．同一时点上相同统计单位相同统计指标组成的数据 C．同一时点上相同统计单位不同统计指标组成的数据D．同一时点上不同统计单位不同统计指标组成的数据 5．同一统计指标，同一统计单位按时间顺序记录形成的数据列是（C）。 A．时期数据 B．混合数据 C．时间序列数据 D．横截面数据6．在计量经济模型中，由模型系统内部因素决定，表现为具有一定的概率分布的随机变量，其数值受模型中其他变量影响的变量是（ A ）。 A．内生变量 B．外生变量 C．滞后变量 D．前定变量7．描述微观主体经济活动中的变量关系的计量经济模型是（ A ）。 A．微观计量经济模型 B．宏观计量经济模型 C．理论计量经济模型 D．应用计量经济模型 8．经济计量模型的被解释变量一定是（ C ）。 A．控制变量 B．政策变量 C．内生变量 D．外生变量9．下面属于横截面数据的是（ D ）。 A．1991－2003年各年某地区20个乡镇企业的平均工业产值 B．1991－2003年各年某地区20个乡镇企业各镇的工业产值 C．某年某地区20个乡镇工业产值的合计数 D．某年某地区20个乡镇各镇的工业产值 10．经济计量分析工作的基本步骤是（ A ）。 A．设定理论模型→收集样本资料→估计模型参数→检验模型B．设定模型→估计参数→检验模型→应用 行程问题（一） 专题简析： 行程应用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题。行程问题的主要数量关系是：路程=速度×时间。知道三个量中的两个量，就能求出第三个量。 例1 甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。两车在距中点32千米处相遇，东、西两地相距多少千米 分析与解答从图中可以看出，两车相遇时，甲车比乙车多行了32×2=64（千米）。两车同时出发，为什么甲车会比乙车多行64千米呢因为甲车每小时比乙车多行56-48=8（千米）。64里包含8个8，所以此时两车各行了8小时，东、西两地的路程只要用（56+48）×8就能得出。 32×2÷（56－48）=8（小时） （56＋48）×8=832（千米） 答：东、西两地相距832千米。 练习一 》 1，小玲每分钟行100米，小平每分钟行80米，两人同时从学校和少年宫出发，相向而行，并在离中点120米处相遇。学校到少年宫有多少米 2，一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行65千米，当摩托车行到两地中点处时，与汽车还相距75千米。甲、乙两地相距多少千米 例2 快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行40千米，经过3小时，快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米。慢车每小时行多少千米 分析与解答快车3小时行驶40×3=120（千米），这时快车已驶过中点25千米，说明甲、乙两地间路程的一半是120－25=95（千米）。此时，慢车行了95－25－7=63（千米），因此慢车每小时行63÷3=21（千米）。 [ （40×3－25×2－7）÷3=21（千米） 答：慢车每小时行21千米。 练习二 1，兄弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。哥哥每分钟行120米，5分钟后哥哥已超过中点50米，这时兄弟二人还相距30米。弟弟每分钟行多少米 2，汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米。4小时后，剩下的路比全程的一半少8千米，如果改用每小时56千米的速度行驶，再行几小时到达乙地 & 例3 甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米。中午12时甲到西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。求东、西两村相距多少千米 分析与解答二人相遇时，甲比乙多行15×2=30（千米），说明二人已行30÷6=5（小时），上午8时至中午12时是4小时，所以甲的速度是15÷（5－4）=15（千米/小时）。 因此，东西两村的距离是15×（5－1）=60（千米） 1分析电子衍射与X衍射有何异同？ 答：相同点： ①都是以满足布拉格方程作为产生衍射的必要条件。 ②两种衍射技术所得到的衍射花样在几何特征上大致相似。 不同点： ①电子波的波长比X射线短的多，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角很小，约为10-2rad o 2 而X射线产生衍射时，其衍射角最大可接近-o π ②在进行电子衍射操作时采用薄晶样品，增加了倒易阵点和爱瓦尔德球相交截的机会，使衍射条件 变宽。 ③因为电子波的波长短，采用爱瓦尔德球图解时，反射球的半径很大，在衍射角θ较小的 范围内反射球的球面可以近似地看成是一个平面，从而也可以认为电子衍射产生的衍射斑点大致分布在一个二维倒易截面内。 ④原子对电子的散射能力远高于它对X射线的散射能力，故电子衍射束的强度较大，摄取 衍射花样时曝光时间仅需数秒钟。 2、倒易点阵与正点阵之间关系如何？倒易点阵与晶体的电子衍射斑点之间有何对应关系？ 答:倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的一个三维空间点阵，通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释成晶体相对应晶面的衍射结果，可以认为电子衍射斑点就是 与晶体相对应的倒易点阵某一截面上阵点排列的像。 关系： ①倒易矢量g hkι垂直于正点阵中对应的（hkl）晶面，或平行于它的法向N hki ②倒易点阵中的一个点代表正点阵中的一组晶面 ③倒易矢量的长度等于点阵中的相应晶面间距的倒数，即g hki=1∕d hki ④对正交点阵有 a*∕∕a , b*∕∕b , c//c , a*=1∕a, b*=1∕b , c*=1∕c。 ⑤只有在立方点阵中，晶面法向和同指数的晶向是重合的，即倒易矢量g hkl是与相应指数 的晶向［hkl］平行 ⑥某一倒易基矢量垂直于正交点阵中和自己异名的二基矢所成平面。 3、用爱瓦尔德图解法证明布拉格定律。 证：如图，以入射 X射线的波长λ的倒数为半径作一球（厄瓦尔德球），将试样放在球心 0 处，入射线经试样与球相交于0*;以0*为倒易原点，若任一倒易点G落在厄瓦尔德球面上， 则G对应的晶面满足衍射条件产生衍射。 令入射方向矢量为 k （k = 1∕ λ）,衍射方向矢量为 k,,衍射矢量为g。则有g = 2ks in θ。 ■/ g=1∕d ; k=1∕ λ ,??. 2dsin θ = λ。即厄瓦尔德球图解与布拉格方程等价。 第五章经典单方程计量经济学模型：专门问题 一、内容提要 本章主要讨论了经典单方程回归模型的几个专门题。 第一个专题是虚拟解释变量问题。虚拟变量将经济现象中的一些定性因素引入到可以进行定量分析的回归模型，拓展了回归模型的功能。本专题的重点是如何引入不同类型的虚拟变量来解决相关的定性因素影响的分析问题，主要介绍了引入虚拟变量的加法方式、乘法方式以及二者的组合方式。在引入虚拟变量时有两点需要注意，一是明确虚拟变量的对比基准，二是避免出现“虚拟变量陷阱”。 第二个专题是滞后变量问题。滞后变量包括滞后解释变量与滞后被解释变量，根据模型中所包含滞后变量的类别又可将模型划分为自回归分布滞后模型与分布滞后模型、自回归模型等三类。本专题重点阐述了产生滞后效应的原因、分布滞后模型估计时遇到的主要困难、分布滞后模型的修正估计方法以及自回归模型的估计方法。如对分布滞后模型可采用经验加权法、Ａlmon多项式法、Koyck方法来减少滞项的数目以使估计变得更为可行。而对自回归模型，则根据作为解释变量的滞后被解释变量与模型随机扰动项的相关性的不同，采用工具变量法或OLS法进行估计。由于滞后变量的引入，回归模型可将静态分析动态化，因此，可通过模型参数来分析解释变量对被解释变量影响的短期乘数和长期乘数。 第三个专题是模型设定偏误问题。主要讨论当放宽“模型的设定是正确的”这一基本假定后所产生的问题及如何解决这些问题。模型设定偏误的类型包括解释变量选取偏误与模型函数形式选取取偏误两种类型，前者又可分为漏选相关变量与多选无关变量两种情况。在漏选相关变量的情况下，OLS估计量在小样本下有偏，在大样本下非一致；当多选了无关变量时，OLS估计量是无偏且一致的，但却是无效的；而当函数形式选取有问题时，OLS估计量的偏误是全方位的，不仅有偏、非一致、无效率，而且参数的经济含义也发生了改变。在模型设定的检验方面，检验是否含有无关变量，可用传统的t检验与F检验进行；检验是否遗漏了相关变量或函数模型选取有错误，则通常用一般性设定偏误检验（RESET检验）进行。本专题最后介绍了一个关于选取线性模型还是双对数线性模型的一个实用方法。 第四个专题是关于建模一般方法论的问题。重点讨论了传统建模理论的缺陷以及为避免这种缺陷而由Hendry提出的“从一般到简单”的建模理论。传统建模方法对变量选取的 第十讲：行程问题分类例析 主讲：何老师 行程问题有相遇问题，追及问题，顺流、逆流问题，上坡、下坡问题等.在运动形式上分直线运动及曲线运用(如环形跑道). 相遇问题是相向而行.相遇距离为两运动物体的距离和.追及问题是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干时间,快的再追及,追及距离慢快S S S +=.顺逆流、顺风逆风、上下坡应注意运动方向，去时顺流， 回时则为逆流. 一、相遇问题 例1：两地间的路程为360km ，甲车从A 地出发开往B 地，每小时行72km ；甲车出发25分钟后，乙车从B 地出发开往A 地，每小时行使48km ，两车相遇后，各自按原来速度继续行使，那么相遇以后，两车相距100km 时，甲车从出发开始共行驶了多少小时？ 分析：利用相遇问题的关系式（相遇距离为两运动物体的距离和）建立方程. 解答：设 甲车共 行使了 xh ，则乙车行使了h x )(60 25-.（如图1） 依题意，有72x+48)(60 25-x =360+100, 解得x=4. 因此，甲车共行使了4h. 说明：本题两车相向而行，相遇后继续行使100km ，仍属相遇问题中的距离，望读者仔细体会. 例2:一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行 4.6h,飞机出航时顺风飞行,在静风中的速度是575km/h,风速25 km/h,这架飞机最多能飞出多少千米就应返回? 分析:列方程求解行程问题中的顺风逆风问题. 顺风中的速度=静风中速度+风速 逆风中的速度=静风中速度-风速 解答:解法一:设这架飞机最远飞出xkm 就应返回. 依题意，有6425 57525575.=-++x x 解得:x=1320. 答:这架飞机最远飞出1320km 就应返回. 解法二: 设飞机顺风飞行时间为th. 依题意,有(575+25)t=(575-25)(4.6-t), 解得:t=2.2. 第十二章 方差分析 练习题： 1. 现今越来越多的外国人学习汉语，某孔子学院设计了3种汉字的讲授方法， 随机抽取了28名汉语基础相近的学生进行试验，试验后对每一个学生汉字理解记忆水平进行打分，满分为10分，28名学生的分数如下： 表12-3 三种汉字讲授方法下的学生得分 汉字讲授方法 9.1 6.6 6.2 8.6 7.0 7.4 9.0 8.0 7.8 8.1 7.4 7.9 9.4 7.6 8.2 9.2 8.1 8.1 8.8 7.4 6.7 9.4 7.9 6.9 7.5 1y = 2y = 3y = y = （1） 请分别计算3种汉字讲授方法下学生相应分数的平均值1y 、2y 与 3y 以及所有参加试验的学生的平均得分y ，并填入上表。 （2）请根据上表计算总平方和（TSS ），组间平方和（BSS ），组内平方和（WSS ）, 组间均方(MSS B )，组内均方（MSS W ），以及各自对应的自由度并填入下表。 B B W 组内 WSS ： n-k: MSS W ： —————— —— ———— 总和 TSS ： n-1: ———— —————— —— ———— （3）根据上表计算出F 值，并查附录中的F 分布表，看P 是否小于0.05。 （4）若显著性水平为0.05，请查附录中的F 分布表找出F 临界值，并填入上表。 （5）若显著性水平为0.05，请根据P 值或F 临界值判断三种汉字的讲授方法对 学生汉字的理解和记忆水平是否有显著性影响。 解： （1）1y =8.9222≈8.92，2y =7.5667≈7.57，3y =7.3800≈7.38，y =7.9357≈7.94． 行程问题（一） 【知识分析】 相遇是行程问题的基本类型，在相遇问题中可以这样求全程：速度和×时间=路程，今天，我们学校这类问题。 【例题解读】 例1客车和货车同时分别从两地相向而行，货车每小时行85千米，客车每小时行90千米，两车相遇时距全程中点8千米， 两地相距多少千米？ 【分析】根据题意，两车相遇时货车行了全程的一半-8千米，客车行了全程的一半+8千米，也就是说客车比货车多行了8×2=16千米，客车每小时比货车多行90-85=5千米。那么我们先求客车和货车两车经过多少小时在途中相遇，然后再求出总路程。 （1）两车经过几小时相遇？8×2÷（90-85）=3.2小时 （2）两地相距多少千米？（90+85）×3.2=560（千米） 例2小明和小丽两个分别从两地同时相向而行，8小时可以相遇，如果两人每小时多少行1.5千米，那么10小时相遇，两地 相距多少千米？ 【分析】两人每小时多少行1.5千米，那么10小时相遇，如果以这样的速度行8小时，这时两个人要比原来少行1.5×2×8=24（千米）这24千米两人还需行10-8=2（小时），那么减速后的速度和是24÷2=12（千米）容易求出两地的距离 1.5×2×8÷（10-8）×=120千米 【经典题型练习】 1、客车和货车分别从两地同时相向而行，2.5小时相遇，如果两车 每小时都比原来多行10千米，则2小时就相遇，求两地的距离？ 2、在一圆形的跑道上，甲从a点，乙从b点同时反方向而行，8 分钟后两人相遇，再过6分钟甲到b点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环形一周需多少分钟？ 【知识分析】 两车从两地同时出发相向而行，第一次相遇合起来走一个全程，第二次相遇走了几个全程呢？今天，我们学习这类问题 【例题解读】 例 a、b两车同时从甲乙两地相对开出，第一次在离甲地95千米处相遇，相遇后两车继续以原速行驶，分别到达对方站点后立即返回，在离乙地55千米处第二次相遇，求甲乙两地之间的距离是多少千米？ 【分析】a、b两车从出发到第一次相遇合走了一个全程，当两年合走了一个全程时，a车行了95千米 从出发到第二次相遇，两车一共行了三个全程，a车应该行了95×3=285（千米）通过观察，可以知道a车行了一个全程还多55千米，用285千米减去55千米就是甲乙两地相距的距离 95×3—55=230千米 【经典题型练习】 1、甲乙两车同时从ab两地相对开出，第一次在离a地75千米相 遇，相遇后两辆车继续前进，到达目的地后立即返回，第二次相遇在离b地45千米处，求a、b两地的距离 2、客车和货车同时从甲、乙两站相对开出，第一次相遇在距乙站 80千米的地方，相遇后两车仍以原速前进，在到达对方站点后立即沿原路返回，两车又在距乙站82千米处第二次相遇，甲乙两站相距多少千米？ 第十二章国民收入核算 1.宏观经济学和微观经济学有什么联系和区别？为什么有些经济活动从微观看是合理的，有效的，而从宏观看却是不合理的，无效的？ 解答：两者之间的区别在于： (1)研究的对象不同。微观经济学研究组成整体经济的单个经济主体的最优化行为，而宏观经济学研究一国整体经济的运行规律和宏观经济政策。 (2)解决的问题不同。微观经济学要解决资源配置问题，而宏观经济学要解决资源利用问题。 (3)中心理论不同。微观经济学的中心理论是价格理论，所有的分析都是围绕价格机制的运行展开的，而宏观经济学的中心理论是国民收入(产出)理论，所有的分析都是围绕国民收入(产出)的决定展开的。 (4)研究方法不同。微观经济学采用的是个量分析方法，而宏观经济学采用的是总量分析方法。 两者之间的联系主要表现在： (1)相互补充。经济学研究的目的是实现社会经济福利的最大化。为此，既要实现资源的最优配置，又要实现资源的充分利用。微观经济学是在假设资源得到充分利用的前提下研究资源如何实现最优配置的问题，而宏观经济学是在假设资源已经实现最优配置的前提下研究如何充分利用这些资源。它们共同构成经济学的基本框架。 (2)微观经济学和宏观经济学都以实证分析作为主要的分析和研究方法。 (3)微观经济学是宏观经济学的基础。当代宏观经济学越来越重视微观基础的研究，即将宏观经济分析建立在微观经济主体行为分析的基础上。 由于微观经济学和宏观经济学分析问题的角度不同，分析方法也不同，因此有些经济活动从微观看是合理的、有效的，而从宏观看是不合理的、无效的。例如，在经济生活中，某个厂商降低工资，从该企业的角度看，成本低了，市场竞争力强了，但是如果所有厂商都降低工资，则上面降低工资的那个厂商的竞争力就不会增强，而且职工整体工资收入降低以后，整个社会的消费以及有效需求也会降低。同样，一个人或者一个家庭实行节约，可以增加家庭财富，但是如果大家都节约，社会需求就会降低，生产和就业就会受到影响。 2.举例说明最终产品和中间产品的区别不是根据产品的物质属性而是根据产品是否进入最终使用者手中。 解答：在国民收入核算中，一件产品究竟是中间产品还是最终产品，不能根据产品的物质属性来加以区别，而只能根据产品是否进入最终使用者手中这一点来加以区别。例如，我们不能根据产品的物质属性来判断面粉和面包究竟是最终产品还是中间产品。看起来，面粉一定是中间产品，面包一定是最终产品。其实不然。如果面粉为面包厂所购买，则面粉是中间产品，如果面粉为家庭主妇所购买，则是最终产品。同样，如果面包由面包商店卖给消费者，则此面包是最终产品，但如果面包由生产厂出售给面包商店，则它还属于中间产品。 3.举例说明经济中流量和存量的联系和区别，财富和收入是流量还是存量？ 解答：存量指某一时点上存在的某种经济变量的数值，其大小没有时间维度，而流量是指一定时期内发生的某种经济变量的数值，其大小有时间维度；但是二者也有联系，流量来自存量，又归于存量，存量由流量累积而成。拿财富与收入来说，财富是存量，收入是流量。 4.为什么人们从公司债券中得到的利息应计入GDP，而从政府公债中得到的利息不计入GDP？ 解答：购买公司债券实际上是借钱给公司用，公司将从人们手中借到的钱用作生产经营，比方说购买机器设备，这样这笔钱就提供了生产性服务，可被认为创造了价值，因而公司债券的利息可看作是资本这一要素提供生产性服务的报酬或收入，因此要计入GDP。可是政府的公债利息被看作是转移支付，因为政府借的债不一定用于生产经营，而往往是用于弥补财政赤字。政府公债利息常常被看作是用从纳税人身上取得的收入来加以支付的，因而习惯上被看作是转移支付。 页式虚拟存储管理中地址转换和缺页中断 一．实验目的 （1）深入了解存储管理如何实现地址转换。 （2）进一步认识页式虚拟存储管理中如何处理缺页中断。 二．实验内容 编写程序完成页式虚拟存储管理中地址转换过程和模拟缺页中断的处理。 三．实验原理 页式存储管理把内存分割成大小相等位置固定的若干区域，叫内存页面，内存的分配以“页”为单位，一个程序可以占用不连续的页面，逻辑页面的大小和内存页面的大小相同，内外存的交换也以页为单位进行，页面交换时，先查询快表，若快表中找不到所需页面再去查询页表，若页表中仍未找到说明发生了缺页中断，需先将所需页面调入内存再进行存取。 四．实验部分源程序 #define size 1024//定义块的大小，本次模拟设为1024个字节。 #include "stdio.h" #include "string.h" #include 计量经济学（第四版）习题参考答案 潘省初 第一章 绪论 试列出计量经济分析的主要步骤。 一般说来，计量经济分析按照以下步骤进行： （1）陈述理论（或假说） （2）建立计量经济模型 （3）收集数据 （4）估计参数 （5）假设检验 （6）预测和政策分析 计量经济模型中为何要包括扰动项? 为了使模型更现实，我们有必要在模型中引进扰动项u 来代表所有影响因变量的其它因素，这些因素包括相对而言不重要因而未被引入模型的变量，以及纯粹的随机因素。 什么是时间序列和横截面数据? 试举例说明二者的区别。 时间序列数据是按时间周期（即按固定的时间间隔）收集的数据，如年度或季度的国民生产总值、就业、货币供给、财政赤字或某人一生中每年的收入都是时间序列的例子。 横截面数据是在同一时点收集的不同个体（如个人、公司、国家等）的数据。如人口普查数据、世界各国2000年国民生产总值、全班学生计量经济学成绩等都是横截面数据的例子。 估计量和估计值有何区别？ 估计量是指一个公式或方法，它告诉人们怎样用手中样本所提供的信息去估计总体参数。在一项应用中，依据估计量算出的一个具体的数值，称为估计值。如Y 就是一个估计量，1 n i i Y Y n == ∑。现有一样本，共4个数，100，104，96，130，则 根据这个样本的数据运用均值估计量得出的均值估计值为 5.1074 130 96104100=+++。 第二章 计量经济分析的统计学基础 略，参考教材。 请用例中的数据求北京男生平均身高的99％置信区间 N S S x = = 4 5= 用 =，N-1=15个自由度查表得005.0t =，故99%置信限为 x S t X 005.0± =174±×=174± 也就是说，根据样本，我们有99%的把握说，北京男高中生的平均身高在至厘米之间。 25个雇员的随机样本的平均周薪为130元，试问此样本是否取自一个均值为120元、标准差为10元的正态总体？ 原假设 120:0=μH 备择假设 120:1≠μH 检验统计量 () 10/2510/25 X X μσ-Z == == 查表96.1025.0=Z 因为Z= 5 >96.1025.0=Z ,故拒绝原假设, 即 此样本不是取自一个均值为120元、标准差为10元的正态总体。 某月对零售商店的调查结果表明，市郊食品店的月平均销售额为2500元，在下一个月份中，取出16个这种食品店的一个样本，其月平均销售额为2600元，销售额的标准差为480元。试问能否得出结论，从上次调查以来，平均月销售额已经发生了变化？ 原假设 : 2500:0=μH 备择假设 : 2500:1≠μH ()100/1200.83?480/16 X X t μσ-= === 查表得 131.2)116(025.0=-t 因为t = < 131.2=c t , 故接受原假 设,即从上次调查以来，平均月销售额没有发生变化。 8.如图3-1，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此 圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次 相遇.求此圆形场地的周长． 【分析与解】 注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完 12圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+12＝32 圈的路程． 所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路 程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米． 有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300，为 32 圈，所以此圆形场地的周长为480米． 行程问题分类例析 欧阳庆红 行程问题有相遇问题，追及问题，顺流、逆流问题，上坡、下坡问题等.在运动形式上 分直线运动及曲线运用(如环形跑道). 相遇问题是相向而行.相遇距离为两运动物体的距离 和.追及问题是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干时间,快的再追 及,追及距离慢快S S S +=.顺逆流、顺风逆风、上下坡应注意运动方向，去时顺流，回时则为逆流. 一、相遇问题 例1：两地间的路程为360km ，甲车从A 地出发开往B 地，每小时行72km ；甲车出发25 分钟后，乙车从B 地出发开往A 地，每小时行使48km ，两车相遇后，各自按原来速度继续 行使，那么相遇以后，两车相距100km 时，甲车从出发开始共行驶了多少小时？ 分析：利用相遇问题的关系式（相遇距离为两运动物体的距离和）建立方程. 解答：设甲车共行使了xh，则乙车行使了h x) ( 60 25 -.（如图1） 依题意，有72x+48) ( 60 25 - x=360+100, 解得x=4. 因此，甲车共行使了4h. 说明：本题两车相向而行，相遇后继续行使100km，仍属相遇问题中的距离，望读者仔细体会. 例2:一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行 4.6h,飞机出航时顺风飞行,在静风中的速度是575km/h,风速25 km/h,这架飞机最多能飞出多少千米就应返回? 分析:列方程求解行程问题中的顺风逆风问题. 顺风中的速度=静风中速度+风速 逆风中的速度=静风中速度-风速 解答:解法一:设这架飞机最远飞出xkm就应返回. 依题意，有6 4 25 575 25 575 . = - + + x x 解得:x=1320. 答:这架飞机最远飞出1320km就应返回. 解法二:设飞机顺风飞行时间为th. 依题意,有(575+25)t=(575-25)(4.6-t), 解得:t=2.2. (575+25)t=600×2.2=1320. 答:这架飞机最远飞出1320km就应返回. 说明:飞机顺风与逆风的平均速度是575km/h,则有6 4 575 2 . = x ,解得x=1322.5.错误原因在于飞机平均速度不是575km/h,而是) / (h km v v v v v x v x x 574 550 600 550 600 2 2 2 ≈ + ? ? = + ? = +逆 顺 逆 顺 逆 顺 例3:甲、乙两人在一环城公路上骑自行车，环形公路长为42km，甲、乙两人的速度分别为21 km/h、14 km/h. (1)如果两人从公路的同一地点同时反向出发，那么经几小时后,两人首次相遇? (2)如果两人从公路的同一地点同时同向出发，那么出发后经几小时两人第二次相遇? 分析:这是环形跑道的行程问题. 解答:(1)设经过xh两人首次相遇. 依题意,得(21+14)x=42, 解得:x=1.2. 因此,经过1.2小时两人首次相遇. (3)设经过xh两人第二次相遇. 依题意,得21x-14x=42×2, 图1 第12章例题分析（课本340页）（1）相关分析 各变量之间的相关关系矩阵（包括自变量和因变量） 不良贷款(亿元）各项贷款余额（亿元）本年累计应收 贷款（亿元） 贷款项目个 数（个） 本年固定 资产投资 额（亿元） 不良贷款(亿元） 1 各项贷款余额（亿元）0.84357136 1 本年累计应收贷款（亿元）0.73150501 0.678771764 1 贷款项目个数（个）0.70028149 0.848416404 0.58583149 1 本年固定资产投资额（亿元）0.51851809 0.779702158 0.47243096 0.746646 1 各变量之间的相关关系矩阵（各个自变量之间的相关关系） 各项贷款余额（亿元）本年累计应收 贷款（亿元） 贷款项目 个数（个） 本年固定 资产投资 额（亿元） 各项贷款余额（亿元） 1 本年累计应收贷款（亿元）0.67877176 1 贷款项目个数（个）0.8484164 0.585831 1 本年固定资产投资额（亿元）0.77970216 0.472431 0.746646 1 结论：各自变量不仅仅跟因变量存在较强的线性相关关系，而且自变 量彼此之间也存在较强的相关关系。 （2）回归分析 SUMMARY OUTPUT 回归统计 Multiple R 0.893086776 R Square 0.797603989 Adjusted R Square 0.757124787 标准误差 1.778752284 观测值25 方差分析 df SS MS F Significance F 回归分析 4 249.371206 62.3428 19.70404 1.04E-06 残差20 63.2791938 3.16396 总计24 312.6504 实验二模拟请求页式存储管理中硬件的地址转换和缺页中断，并用先进先出调度算法（FIFO）处理缺页中断 1．内容：模拟请求页式存储管理中硬件的地址转换和缺页中断处理 2．思想： 装入新页置换旧页时，若旧页在执行中没有被修改过，则不必将该页重写磁盘。因此，页表中增加是否修改过的标志，执行“存”指令和“写”指令时将对应的修改标志置成“1” 3．要求及方法： ①设计一个地址转换程序来模拟硬件的地址转换和缺页中断。当访问的页在主存时则形成绝对地址，但不去模拟指令的执行，可以输出转换后的绝对地址来表示一条指令已执行完成。当访问的页不在主存中时，则输出“*页号”来表示硬件产生了一次缺页中断。模拟地址转换流程见图1。 ②编制一个FIFO页面调度程序；FIFO页面调度算法总是先调出作业中最先进入主存中的哪一页。因此可以用一个数组来表示（或构成）页号队列。数组中每个元素是该作业已在主存中的页面号，假定分配给作业的页架数为m，且该作业开始的m页已装入主存，则数组可由m个元素构成。 P[0]，P[1]，P[2]，…，P[m-1] 它们的初值为P[0]：=0，P[1]：=1，P[2]：=2，…，P[m-1]：=m-1 用一指针K指示当要调入新页时应调出的页在数组中的位置，K的初值为“0”，当产生缺页中断后，操作系统总是选择P[K]所指出的页面调出，然后执行： P[K]：=要装入的新页页号 K：=(k+1)mod m 在实验中不必实际地启动磁盘执行调出一页和装入一页的工作，而用输出“OUT调出的页号”和“IN要装入的新页页号”来模拟一次调出和装入过程，模拟程序的流程图见附图1。 按流程控制过程如下： 1、已知一模型的最小二乘的回归结果如下： i i ?Y =101.4-4.78X （45.2）（1.53） n=30 R 2=0.31 其中，Y ：政府债券价格（百美元），X ：利率（%）。 回答以下问题： （1）系数的符号是否正确，并说明理由；（2）为什么左边是i ?Y 而不是i Y ； （3）在此模型中是否漏了误差项i u ；（4）该模型参数的经济意义是什么。 答：（1）系数的符号是正确的，政府债券的价格与利率是负相关关系，利率的上升会引起政府债券价格的下降。 （2）i Y 代表的是样本值，而i ?Y 代表的是给定i X 的条件下i Y 的期望值，即?(/)i i i Y E Y X 。此模型是根据样本数据得出的回归结果，左边应当是i Y 的期望值，因此是i ?Y 而不是i Y 。 （3）没有遗漏，因为这是根据样本做出的回归结果，并不是理论模型。 （4）截距项101.4表示在X 取0时Y 的水平，本例中它没有实际意义；斜率项-4.78表明利率X 每上升一个百分点，引起政府债券价格Y 降低478美元。 2、有10户家庭的收入（X ，元）和消费（Y ，百元）数据如下表： 10户家庭的收入（X ）与消费（Y ）的资料 X 20 30 33 40 15 13 26 38 35 43 Y 7 9 8 11 5 4 8 10 9 10 若建立的消费Y 对收入X 的回归直线的Eviews 输出结果如下： Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error X 0.202298 0.023273 C 2.172664 0.720217 R-squared 0.904259 S.D. dependent var 2.233582 Adjusted R-squared 0.892292 F-statistic 75.55898 Durbin-Watson stat 2.077648 Prob(F-statistic) 0.000024 （1）说明回归直线的代表性及解释能力。 （2）在95%的置信度下检验参数的显著性。（0.025(10) 2.2281t =，0.05(10) 1.8125t =，0.025(8) 2.3060t =，0.05(8) 1.8595t =） （3）在95%的置信度下，预测当X ＝45（百元）时，消费（Y ）的置信区间。（其中29.3x =，2()992.1x x -=∑） 答：（1）回归模型的R 2＝0.9042，表明在消费Y 的总变差中，由回归直线解释的部分占到90％以上，回归直线的代表性及解释能力较好。 （2）对于斜率项，11 ? 0.20238.6824?0.0233 ()b t s b ===>0.05(8) 1.8595t =，即表明斜率项 显著不为0，家庭收入对消费有显著影响。对于截距项， 00? 2.1727 3.0167?0.7202 ()b t s b ===>0.05(8) 1.8595t =， 即表明截距项也显著不为0，通过了显著性检验。 （3）Y f =2.17+0.2023×45＝11.2735 0.025(8) 1.8595 2.2336 4.823t ?=?= 95%置信区间为（11.2735-4.823，11.2735+4.823），即（6.4505，16.0965）。 路程＝速度×时间； 路程÷时间=速度； 路程÷速度=时间 关键问题 确定行程过程中的位置路程 相遇路程÷速度和=相遇时间相遇路程÷相遇时间= 速度和 相遇问题（直线） 甲的路程+乙的路程=总路程 相遇问题（环形） 甲的路程 +乙的路程=环形周长 追及问题 追及时间＝路程差÷速度差 速度差＝路程差÷追及时间 路程差＝追及时间×速度差 追及问题（直线） 距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追及时间 追及问题（环形） 快的路程-慢的路程=曲线的周长 流水问题 顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间 逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间 顺水速度=船速＋水速 逆水速度＝船速－水速 静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速：（顺水速度－逆水速度）÷2 解题关键 船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。 流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式： 顺水速度=船速+水速，（1） 逆水速度=船速-水速.（2） 这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。 根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到： 水速=顺水速度-船速， 船速=顺水速度-水速。 由公式（2）可以得到： 水速=船速-逆水速度， 船速=逆水速度+水速。 这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。 另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到： 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2， 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。 例：设后面一人速度为x，前面得为y，开始距离为s，经时间t后相差a米。那么 （x-y)t=s-a 解得t=s-a/x-y. 追及路程除以速度差（快速-慢速）=追及时间 v1t+s=v2t (v1+v2)t=s t=s/(v1+v2) （一）相遇问题 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。 小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。 相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度。 它们的基本关系式如下： 总路程=（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间=总路程÷（甲速+乙速） 另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度 （二）追及问题 追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。 根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，罕用下面的公式： 距离差=速度差×追及时间 追及时间=距离差÷速度差 速度差=距离差÷追及时间行程问题典型例题及答案详解
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