2017年普通高等学校招生全国统一模拟考试
文科数学
考场:___________座位号:___________
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。满分150分,考试时间120分
钟.
第I 卷(选择题共60分)
选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U A B =,则集合
()
U
A B 中的元素共有( )
(A) 3个 (B ) 4个 (C )5个 (D )6个 (2)(2) 复数
3223i
i
+=-( ) (A )1 (B )1- (C )i (D)i -
(3)已知()()3,2,1,0a b =-=-,向量a b λ+与2a b -垂直,则实数λ的值为( )
(A )17-
(B )17 (C )1
6
- (D )16
(4)已知tan a =4,cot β=1
3
,则tan(a+β)=( )
(A)711 (B)711- (C) 713 (D) 713
-
(5)已知双曲线)0(13
2
22>=-
a y a x 的离心率为2,则=a ( ) A. 2 B.
26 C. 2
5
D. 1 (6)已知函数()f x 的反函数为()()10g x x =+2lgx >,则=+)1()1(g f ( )
(A )0 (B )1 (C )2 (D )4
(7)在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π
+
=x y ,④)4
2tan(π
-=x y 中,最小正周期为π的所有函数为( )
A.①②③
B. ①③④
C. ②④
D. ①③
(8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几
何体是( )
A.三棱锥
B.三棱柱
C.四棱锥
D.四棱柱
(9)若0tan >α,则( )
A. 0sin >α
B. 0cos >α
C. 02sin >α
D. 02cos >α (10) 如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3
π
中心对称,那么φ的最小值为( )
(A)
6π (B) 4π (C) 3π (D) 2
π (11)设,x y 满足24,
1,22,x y x y x y +≥??
-≥??-≤?
则z x y =+ ( )
(A )有最小值2,最大值3 (B )有最小值2,无最大值 (C )有最大值3,无最小值 (D )既无最小值,也无最大值
(12)已知椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F,右准线l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B 。若3FA FB =,则AF =( )
(A) (B) 2
(C) (D) 3
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22题 ~ 第24题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置. (13)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P 处的切线方程为___________. (14)设ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为,,a b c ,且1
2,cos ,4
a C ==-
3sin 2sin A B ,则c =________.
(15)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 。若972S =,则249a a a ++=_______________. (16)已知OA 为球O 的半径,过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ,若圆
M 的面积为3π,则球O 的表面积等于__________________.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........
) 已知等差数列{}n a 满足32a =,前3项和3S =9
2
. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)设等比数列{}n b 满足1b =1a ,4b =15a ,求{}n b 前n 项和n T .
(18)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
如图,四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,AD =
,
2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上,60ABM ∠=
(Ⅰ)证明:M 是侧棱SC 的中点; (Ⅱ)求二面角S AM B --的大小。
(19)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效
)
.........
从可口可乐公司生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:
质量指标值分组[75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 频数 6 26 38 22 8 (I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:
(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
)
(20)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效
.........
已知函数42
=-+.
f x x x
()36
(Ⅰ)讨论()f x 的单调性;
(Ⅱ)设点P 在曲线()y f x =上,若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点,求l 的方程
(21)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........
) 已知点)2,2(P ,圆C :082
2
=-+y y x ,过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点,
线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程;
(2)当OM OP =时,求l 的方程及POM ?的面积
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,四边形
ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ,且CB=CE (Ⅰ)证明:∠D=∠E ;
(Ⅱ)设AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为M ,且MB=MC ,证明:△ADE 为等边三
角形.
23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C :22
149
x y +
=,直线l :222x t
y t =+??
=-?
(t 为参数). (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;
(Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o
30的直线,交l 于点A ,求||PA 的最大值与
最小值.
24. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲若0,0a b >>,且
11
a b
+=. (Ⅰ)求3
3
a b +的最小值;
(Ⅱ)是否存在,a b ,使得236a b +=?并说明理由.
2017年普通高等学校招生全国统一模拟考试
文科数学 参考答案
(命题人:邢日昱)
考场:___________座位号:___________
I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。满分150分,考试时间120分
钟.
第I 卷(选择题共60分)
12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U A B =,则集合
()
U
A B ( A )
(A) 3个 (B ) 4个 (C )5个 (D )6个 )(2) 复数
3223i
i
+=-( C ) (A )1 (B )1- (C )i (D)i -
)已知()()3,2,1,0a b =-=-,向量a b λ+与2a b -垂直,则实数λ的值为( A )
(A )17-
(B )17 (C )1
6
- (D )16
(4)已知tan a =4,cot β=1
3
,则tan(a+β)=( B )
(A)711 (B)711- (C) 713 (D) 713
-
(5)已知双曲线)0(13
2
22>=-
a y a x 的离心率为2,则=a ( D ) A. 2 B.
26 C. 2
5
D. 1 (6)已知函数()f x 的反函数为()()10g x x =+2lgx >,则=+)1()1(g f ( C )
(A )0 (B )1 (C )2 (D )4
(8)在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π
+
=x y ,④)4
2tan(π
-=x y 中,
最小正周期为π的所有函数为( C)
A.①②③
B. ①③④
C. ②④
D. ①③
(8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几
何体是( B )
A.三棱锥
B.三棱柱
C.四棱锥
D.四棱柱
(9)若0tan >α,则(C )
B. 0sin >α B. 0cos >α
C. 02sin >α
D. 02cos >α (10) 如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3
π
中心对称,那么φ的最小值为( A )
(A)
6π (B) 4π (C) 3π (D) 2
π (11)设,x y 满足24,
1,22,x y x y x y +≥??
-≥??-≤?
则z x y =+ ( B )
(A )有最小值2,最大值3 (B )有最小值2,无最大值 (C )有最大值3,无最小值 (D )既无最小值,也无最大值
(12)已知椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F,右准线l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B 。若3FA FB =,则AF =( A )
(A) (B) 2 (C) (D) 3
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22题 ~ 第24题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置. (13)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P 处的切线方程为___________. 【解析】 250x y +-=
(15)设ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为,,a b c ,且1
2,cos ,4
a C ==-
3sin 2sin A B ,则c =________.
【解析】 4
(15)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 。若972S =,则249a a a ++=_______________. 【解析】本小题考查等差数列的性质、前n 项和,基础题。 解:
{}n a 是等差数列,由972S =,得599,S a ∴=58a =
∴2492945645()()324a a a a a a a a a a ++=++=++==。
(16)已知OA 为球O 的半径,过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ,若圆
M 的面积为3π,则球O 的表面积等于__________________.
【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积,基础题。
解:设球半径为R ,圆M 的半径为r ,则ππ32
=r ,即32
=r 由题得3)2
(
2
2
=-R R ,所以ππ16442
2
=?=R R 。
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........
) 已知等差数列{}n a 满足32a =,前3项和3S =9
2
. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)设等比数列{}n b 满足1b =1a ,4b =15a ,求{}n b 前n 项和n T . 解:(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,则由已知条件得
11329
22,322
a d a d ?+=+
= 化简得11322,2
a d a d +=+=, 解得111,2
a d ==
, 故通项公式112n n a -=+,即1
2
n n a +=
(Ⅱ)由(Ⅰ)得1415151
1,82
b b a +====
设{}n b 的公比为q ,则3
4
1
8b q b =
=,从而2q =, 故{}n b 的前n 项和
1(1)1(12)21112
n n n n b q T q -?-===---
(18)(本小题满分12分)(注决:在试题卷上作答无效)
如图,四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,AD =
,
2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上,60ABM ∠=
(Ⅰ)证明:M 是侧棱SC 的中点;
(Ⅱ)求二面角S AM B --的大小。(同理18) 解法一: (I )
作ME ∥CD 交SD 于点E ,则ME ∥AB ,ME ⊥平面SAD 连接AE ,则四边形ABME 为直角梯形 作MF AB ⊥,垂足为F ,则AFME 为矩形
设ME x =,则SE x =,AE =
=
2MF AE FB x ===-
由tan 60,)MF FB x =?=-。 解得1x =
即1ME =,从而1
2
ME DC =
所以M 为侧棱SC 的中点
(Ⅱ)2MB =
=,又60,2ABM AB ∠==,所以ABM ?为等边三角形,
又由(Ⅰ)知M 为SC 中点
2SM SA AM ===,故222,90SA SM AM SMA =+∠=
取AM 中点G ,连结BG ,取SA 中点H ,连结GH ,则,BG AM GH AM ⊥⊥,由此知BGH ∠为二面角S AM B --的平面角
连接BH ,在BGH ?中,
12222
BG AM GH SM BH =
=====
所以222cos 23
BG GH BH BGH BG GH +-∠==-??
二面角S AM B --的大小为arccos( 解法二:
以D 为坐标原点,射线DA 为x 轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系D-xyz
设A ,则2,0),(0,2,0),(0,0,2)B C S (Ⅰ)设(0)SM MC λλ=?,则
2222
(0,
,),,)1111M MB λλλλλ
-=++++ 又(0,2,0),,60AB MB AB =- 故||||cos 60MB AB MB AB ?=?
即
41λ=+解得1λ=,即SM MC = 所以M 为侧棱SC 的中点 (II )
由(0,1,1),M A ,得AM 的中点11
,)222
G
又31
(
,),(0,1,1),(222
GB MS AM =-=-= 0,0GB AM MS AM ?=?=
所以,GB AM MS AM ⊥⊥
因此,GB MS 等于二面角S AM B --的平面角
cos ,3||||
GB MS GB MS GB MS ?=
=-?
所以二面角S AM B --的大小为arccos(3
-
(19)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效
)
.........
从可口可乐公司生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:
质量指标值分组[75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 频数 6 26 38 22 8 (I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:
(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
18.解:
(1)
…………………………4分
(
2
)
质
量
指
标
值
的
样
本
平
均
数
为
806902610038110221208
100100
x ?+?+?+?+?=
=
质量指标值的样本方差为
所以,这种产品质量指标的平均数估计值为100,方差的估计值为104.
(20)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 已知函数4
2
()36f x x x =-+.
(Ⅰ)讨论()f x 的单调性;
(Ⅱ)设点P 在曲线()y f x =上,若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点,求l 的方程
【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性,综合题。 解:(Ⅰ)366
'()464(22
f x x x x x x =-=+
-
令'()0f x >得026<<-
x 或2
6>x ; 令'()0f x <得26-
6 0< 和),26(+∞为增函数;在区间)2 6 ,(--∞和)2 6 , 0(为减函数。 (Ⅱ)设点))(,(00x f x P ,由l 过原点知,l 的方程为0'()y f x x =, 因此000()'()f x x f x =, 即0)64(6303 002040=--+-x x x x x , 整理得0)2)(1(2 020=-+x x , 解得20-=x 或20= x 因此切线l 的方程为x y 2-=或y = (21)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效......... ) 已知点)2,2(P ,圆C :082 2 =-+y y x ,过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点, 线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点. (3)求M 的轨迹方程; (4)当OM OP =时,求l 的方程及POM ?的面积 解: (1)方法一: 圆C 的方程可化为2 2 (4)16x y +-=,所以,圆心为(0,4)C ,半径为4, 设(,)M x y ,则(,4),(2,2)CM x y MP x y =-=--, 由题设知0CM MP ?=,故 (2)(4)(2)0x x y y -+--=,即22(1)(3)2x y -+-= 由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是2 2 (1)(3)2x y -+-= (6) 分 方法二: 圆C 的方程可化为2 2 (4)16x y +-=,所以,圆心为(0,4)C ,半径为4, 设(,)M x y , 设24 ,2AB CM y y k k x x --= = -, 则24 ,2AB CM y y k k x x --== - 所以24 12AB CM y y k k x x --==-- 化简得,2 2 2680x y x y +--+=,即2 2 (1)(3)2x y -+-= 所以M 的轨迹方程是2 2 (1)(3)2x y -+-= (2)方法一: 由(1)可知M 的轨迹是以点(1,3)N 为半径的圆 由于||||OP OM =,故O 在线段PM 的垂直平分线上, 又P 在圆N 上,从而ON PM ⊥ 因为ON 的斜率为3,所以l 的斜率为13 -, 所以l 的方程为1833 y x =- + 又||||OM OP ==,O 到l |PM =,所以POM ?的面积为 16 5 方法二: 依题意,||OP =||||OM OP == 所以,M 也在2 2 8x y +=上 所以222282680 x y x y x y ?+=??+--+=?? 两式相减,得26160x y --+=,即18 33 y x =- +,此方程也就是l 的方程 由(1)知,M 的轨迹方程是2 2 (1)(3)2x y -+-=, 设此方程的圆心为N ,则(1,3)N 所以10 d = 又22||(12)(32)2NP =-+-= 所以2410||225MP =- = O 到l 的距离10 h = 所以,14101625 10POM S ?= ??= 综上所述,l 的方程为1833 y x =-+,POM ?的面积为16 5 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ,且CB=CE (Ⅰ)证明:∠D=∠E ; (Ⅱ)设AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为M ,且MB=MC ,证明:△ADE 为等边三 角形. 解:(Ⅰ)证明:由题设得,A ,B ,C ,D 四点共圆,所以,D CBE ∠=∠ 由已知得CBE E ∠=∠,故D E ∠=∠. (Ⅱ)设BC 的中点为N ,连结MN ,则由MB MC =知MN BC ⊥,故O 在直线MN 上 又AD 不是 O 的直径,M 为AD 的中点,故OM AD ⊥,即MN AD ⊥ 所以//AD BC ,故A CBE ∠=∠ 又CBE E ∠=∠,故A E ∠=∠,由(Ⅰ)知,D E ∠=∠,所以ADE ?为等边三角形 23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C :22 149 x y + =,直线l :222x t y t =+?? =-?(t 为参数). (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线,交l 于点A ,求||PA 的最大值与 最小值. 解:(Ⅰ)曲线C 的参数方程为2cos , 3sin ,x y θθ=?? =? (θ为参数) 直线l 的普通方程为260x y +-= (Ⅱ)曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为 |4cos 3sin 6|d θθ= +- 则2|||5sin()6|sin 305d PA θα= =+-,其中α为锐角,且4 tan 3 α= 当sin()1θα+=时,||PA … 24. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲若0,0a b >>,且 11 a b +=. (Ⅰ)求3 3 a b +的最小值; (Ⅱ)是否存在,a b ,使得236a b +=?并说明理由. 11 a b = +≥,得2ab ≥,且当a b ==时等号成立 故33a b +≥a b == 所以33 a b +的最小值为 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,23a b +≥≥ 由于6>,从而不存在,a b ,使得236a b +=.