导数应用题
高二（文科）导数应用题
例题：
时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式，其中，为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.
（1）求的值；
（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数点）
试题分析：（1）直接代入点（4，21）即可求出；（2）先建立利润函数模型
，然后由导数确定函数的单调性，求出函数的最值及条件.
试题解析：（1）因为时，，
代入关系式，得，2分
解得. 4分
（2）由（1）可知，套题每日的销售量，6分
所以每日销售套题所获得的利润
从而
. 8分
令，得,且在上,，函数单调递增；在上，，函数单调递减，10分
所以是函数在内的极大值点，也是最大值点，11分
所以当时，函数取得最大值. 12分
故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. 考点：1.利用导数处理函数的最值；2.函数模型的应用
练习题
一、单选题
1．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是64π，且用料最省，则圆柱的底面半径为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
2．现有一段长为18m 的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长
方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是（ ）
A. 1m
B. 1.5m
C. 0.75m
D. 0.5m
二、填空题
3．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在弯形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为且以每秒
等速率缩短，而长度以每秒等速率增长.已知神针的底面半径只能从缩到
为止，且知在这段变形过程中，
当底面半径为
时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒,则此时
金箍棒的底面半径为__________ ．
4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．
三、解答题
5．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以
往经验，潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为3
1
10v ??+ ???
（升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均
速度为2
v
（米/单位时间），每单位时间用氧量为 1.5（升），记潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y (升）.
（1）求y关于v的函数关系式；
（2）求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少.
6．某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m元(m为常数，且2≤m≤3)，设每个水杯的出厂价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，水杯的日销售量与e x(e为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个．
(1)求该工厂的日利润y(元)与每个水杯的出厂价x(元)的函数关系式；
(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大，并求日利润的最大值．
7．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3 700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x－5 000(单位：万元)．
(1)求利润函数P(x)；(提示：利润＝产值－成本)
(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
8．某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求
60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500
5
x k L
x
??
-+
?
??
，其中k为常
数，若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L. （1）求k的值；
（2）求该汽车每小时油耗的最小值．
9．为了降低能源消耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用c （单位：万元）与隔热层厚度x （单位： cm ）满足关系()()01025
k
c x x x =
≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求k 的值及()f x 的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求最小值.
10．现有一张长为108cm ，宽为cm a （108a <）的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一个无盖长方体铁皮容器，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形ABCD 的一个角上剪下一块边长为()cm x 的正方形铁皮，作为铁皮容器的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮容器的侧面，设长方体的高为()cm y ，体积为()
3cm V . （Ⅰ）求y 关于x 的函数关系式； （Ⅱ）求该铁皮容器体积V 的最大值.
高二（文科）导数应用题参考答案
1．B
【解析】设圆柱的底面半径为r,则高22
6464
h r r ππ==
， 则
圆
柱
的
表
面
积
222
23264128646464642348S r r r r r r r r r r r
πππππ
ππππππ=+?
=+=+++
+=. 当且仅当264r r
π
π=
，即r=4时，取等号。 ∴要使其体积是64π，且用料最省，则圆柱的底面半径为4.本题选择B 选项. 2．A
【解析】试题分析:
设该长方体的宽是x 米，由题意知，其长是2x 米，高是
18849
342
x x x --=-米，
3
(0)2
x <<
则该长方体的体积()9232V x x x x ??=??- ???
， 由V′(x )=0，得到x =1， 且当0
12
x <<
时，V′(x )<0， 即体积函数V(x )在x =1处取得极大值V(1)=3，也是函数V(x )在定义域上的最大值。 所以该长方体体积最大值时，x =1即长方体体积最大时，底面的较短边长是1m . 故选A. 3．4
【解析】设原来神针的长度为，t 秒时神针体积为
则
，其
中。所以
.因为当底面半径为时其体积
最大，所以，解得
，此时
，解得，所以，其中
，
，当
时，
，当
时，，从而在(0,2)单调递增，在(2,8)单调递减，，所以当
时，
有最小值
，此时金箍棒的底面半径为
.
4．45.6
【解析】设该公司在甲地销x 辆，那么乙地销15－x 辆，利润L (x )＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30.由L ′(x )＝－0.3x ＋3.06＝0，得x ＝10.2.且当x ＜10.2时，L ′(x )＞0，x ＞10.2时，L ′(x )＜0，∴x ＝10时，L (x )取到最大值，这时最大利润为45.6万元． 答案：45.6万元 5．（1）由题意，下潜用时
60
v
（单位时间），用氧量为3260360
1+1050v v v v ????+?
=?? ???????
（升），水底作业时的用氧量为100.99?=（升），返回水面用时
60120
=
2
v v （单位时间），用氧量为1201801.5v v ?=（升）， ∴总用氧量()23240
9050v y v v
=++>. （2）()
3
22
32000
6240'5025v v y v v
-=-=，令'0y =得3102v = 在30102v <<时， '0y <，在3102v > '0y >，
∴函数在(30,102上单调递减，在()3102+∞，
上单调递增，
∴此时，3
v 时总用氧量最少.
102
6．试题解析：解：(1)设日销售量为s，则s＝，
因为x＝40时，s＝10，
故10＝，则k＝10e40，
所以s＝，
故y＝ (x－30－m)(35≤x≤41)．
(2)由(1)知y′＝10e40·＝10e40·.
令y′＝10e40·＝0，则x＝31＋m.
当2≤m≤3时，y′<0，所以y在35≤x≤41上为减函数，
所以x＝35时，日利润取得最大值，且最大值为10e5(5－m)元．7．试题解析：
解：(1)P(x)＝R(x)－C(x)
＝－10x3＋45x2＋3 700x－(460x－5 000)
＝－10x3＋45x2＋3 240x＋5 000(x∈N*，且1≤x≤20)．
(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3 240
＝－30(x－12)(x＋9)，
由P′(x)＝0，得x＝12，x＝－9(舍去)．
当0
∴当年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．
8．试题解析：（1）由题意，当x ＝120时，
145005x k x ??-+ ???
＝11.5， ∴ k ＝100.
（2）该汽车每小时的油耗为y L ，则
y ＝145001005x x ?
?
+
- ???
(60≤x≤120)． 求导知，函数在区间[]
60,120上单调递增min 607x y y ∴==当时取得最小值
答： min 607x y y ∴==当时取得最小值
升．
9．试题解析：（1）当0x =时， ()085
k
c ==，∴40k =. 由题意知， ()4020425f x x x ?=++，即()()800
401025
f x x x x =+≤≤+.
（2）∵()()800
401025
f x x x x =+
≤≤+ ∴()()
2
1600
'425f x x -=+
+，令()'0f x =，即()2
42516000x +-=，
∴7.5x =.
当[)0,7.5x ∈时， ()'0f x <，当(]
7.5,10x ∈时， ()'0f x >，
当7.5x =时， ()f x 取得最小值.
()min 800
47.57027.55
f x =?+
=?+.
所以，当隔热层修建7.5cm 厚时，总费用最小，最小费用70万元. 10．试题解析:（（Ⅰ）由题意得2
4108x xy a +=，
即21084a x y x
-=（0x a ≤<）.
（Ⅱ）铁皮容器体积()22
2
1084a x V x x y x
x -=== ()31
1084
x ax -+（0x a ≤<）. ()()
2131084V x x a +'=
-=
(
3
4
x x -+-，
当036a ≤<
时，即a ≥，在(]
0,a 上， ()0V x ≥'恒成立，函数()V x 单调递增， 此时()()()2
max 11084
V x V a a a ==
-； 当36108a <<
，即a <
，在(上， ()0V x '>，函数()V x
单调递增，在
(a ??上， ()0V x '<，函数()V x 单调递减，此时(
)(
max 108V x V ==
所以()()(
)
)
2
3max
31108cm ,036,4{ 108cm ,36108.
a a a V x a ≤-<=<<
导数及导数应用专题练习题
高二文科数学《变化率与导数及导数应用》专练（十） 一、选择题 1. 设函数f （x ）存在导数且满足，则曲线y=f （x ）在点 （2，f （2））处的切线斜率为（ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．1 D ．2 2. 函数()1x f x e =-的图像与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 处的切线的方程为( ) A ．1y e x =-?+ B ．1y x =-+ C ． y x =- D ．y e x =-? 3. 曲线)0(1 )(3>-=x x x x f 上一动点))(,(00x f x P 处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．3 C. 32 D ．6 4. 设P 为曲线2 :23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范 围为0,4π?? ???? ，则点P 的横坐标的取值范围为（ ） A ． []0,1 B ．[]1,0- C ．11,2??--???? D ．1,12?? ???? 5. 已知2 3 ()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ，则(0)f '=（ ）． A ． n B ．1n - C ． (1)2 n n - D ． 1 (1)2 n n + 6. 曲线y=2lnx 上的点到直线2x ﹣y+3=0的最短距离为（ ） A ． B ．2 C ．3 D ．2
7. 过点(0,8)作曲线32()69f x x x x =-+的切线，则这样的切线条数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8. 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）= +6x ﹣1的极值点，则log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9. 已知函数()x f x e mx =-的图像为曲线C ，若曲线C 不存在与直线1 2 y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是（ ） A. 12m ≤- B. 1 2 m >- C. 2m ≤ D. 2m > 10. 函数y=f （x ）的图象如图所示，则导函数 y=f'（x ）的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 11..设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，当0x >时，有2 '()() 0xf x f x x -<恒成立，则不等式()0xf x >的解集为（ ） A ．(－2,0)∪(2,+∞) B ． (－∞,－2)∪(0,2) C. (－∞,－2)∪(2,+∞) D． (－2,0)∪(0,2) 12.设f （x ）=cosx ﹣sinx ，把f （x ）的图象按向量=（m ，0）（m ＞0）平移后，图象恰好为函数y=﹣f′（x ）的图象，则m 的值可以为（ ）
导数练习题带标准答案
导数练习题带答案
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导数及其应用 一、选择题 1.函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件 2.已知点P(1,2)是曲线y=2x 2上一点，则P 处的瞬时变化率为 （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ． 2 13.设函数()f x ＝x 3 ﹣x 2 ，则)1(f '的值为（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．5 4.已知函数???>+<+=) 0()0(1)(x a x x a x f x ，若)(lim 0 x f x →存在，则= -)2(' f A.2ln 4 B. 45 C.2- D.2ln 4 15.设球的半径为时间t 的函数()R t 。若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速 度与球半径 A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C 6.已知函数1)(2 3--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是 （ ） A ．),3[]3,(+∞--∞Y B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞Y D ．) 3,3(-7.一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的距离为43215 243 s t t t =-+，那么速度为零的时 刻是 （ ） A ．1秒末 B ．0秒 C ．4秒末 D ．0,1,4秒末 8.下列等于1的积分是 （ ） A ． dx x ? 1 B ． dx x ?+1 0)1( C ．dx ?1 01 D ．dx ?1021 9.1 1lim 10 0-+→x x x 的值是 A.不存在 B.0 C.2 D.10
高二数学导数及其应用练习题及答案
（数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；
2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα==
导数及其应用高考题精选含答案
导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（） （A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（） （A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的
导数综合练习题最新版
导数练习题（B ） 1．（本题满分12分） 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1 的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分） 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,2 3若函数]2)('[31)(23m x f x x x g ++=在区间 （1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．（本小题满分14分） 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程9 )32()(2 +-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分） 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分） 已知2x =是函数2 ()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值．
导数应用题
1.图1是某建筑工地的某塔吊图片（塔吊是建筑工地上最常用的一种起重设备，又名“塔式起重机”），为了了解塔吊“上部”的一些结构情况，学校数学兴趣小组将塔吊“上部”的结构进行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中A 、D 、E 、B 四点共线，通过测量得知起重臂BD =30米，平衡臂AD =8米，CA 、CB 均为拉杆. 由于起重臂达到了一定长度，在BD 上需要加拉杆CE ，且3:2:=ED BE ，记βα=∠=∠CED CAD ,. （1）若CD ⊥AB ，现要求βα2≥，问CD 的长至多为多少米? （2）若CD 不垂直于AB ，现测得?=?=15,30βα，求CD 的长.（选用下列参考数据进行计算:304 5293,10421915sin ,11728015cos ≈≈?≈?） 图1 3、销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式P ＝ 1 at t +；销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q ＝bt ，其中a ，b 为常 数．现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为94 万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元． （1）求函数()f x 的解析式； （2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值． B C E D A
腰60 CA CB ==米， 2 cos 3 CAB ∠=.为了给市民营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸 AC，AB上分别取点E，F（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF（宽度不计），使得三角形AEF和四边形BCEF的周长相等. （1）若水上观光通道的端点E为线段AC的三等分点（靠近点C），求此时水上观光通道EF 的长度； （2）当AE为多长时，观光通道EF的长度最短？并求出其最短长度.
导数的综合应用练习题及答案
导数应用练习题答案 1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。 2(1)()23[1,1.5]f x x x =---； 2 1(2)()[2,2]1f x x = -+； (3)()[0,3]f x =； 2 (4)()1 [1,1]x f x e =-- 解：2 (1)()23 [1,1.5]f x x x =--- 该函数在给定闭区间上连续，其导数为()41f x x '=-，在开区间上可导，而且(1)0f -=，(1.5)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(1,1.5)ξ∈-， 使()410f ξξ'=-=，解出14 ξ=。 解：2 1(2)()[2,2]1f x x = -+ 该函数在给定闭区间上连续，其导数为222()(1)x f x x -'=+，在开区间上可导，而且1(2)5f -=，1 (2)5 f = ，满足罗尔定理，至少有一点(2,2)ξ∈-， 使22 2()0(1)f ξ ξξ-'= =+，解出0ξ=。 解：(3)()[0,3]f x = 该函数在给定闭区间上连续，其导数为() f x '=，在开区间上可导，而且(0)0f =， (3)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(0,3)ξ∈， 使()0 f ξ'==，解出2ξ=。 解：2 (4)()e 1 [1,1]x f x =-- 该函数在给定闭区间上连续，其导数为2 ()2e x f x x '=，在开区间上可导，而且(1)e 1f -=-，(1)e 1f =-，满足罗尔定理，至少有一点ξ，使2 ()2e 0f ξξξ'==，解出0ξ=。 2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。 3 (1)()[0,](0)f x x a a =>； (2)()ln [1,2] f x x =； 32(3)()52 [1,0] f x x x x =-+-- 解：3 (1)()[0,](0)f x x a a =>
高数导数的应用习题及答案
一、是非题： １． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ． 错误 ∵不满足罗尔定理的条件。 ２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得 极值． 错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。 ３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴 的切线． 错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。 ４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值． 正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。 ５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹． 正确 二、填空： １．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23 - ），=b （ 16 - ）． ∵()12++= 'bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142 =++b a ，解之得6 1,32- =- =b a ２．函数()()1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 2112 ?+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0 章末检测 一、选择题 1．已知曲线y＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是( ) A．(－1,3) B．(－1，－3) C．(－2，－3) D．(－2,3) 答案 B 解析∵f′(x)＝2x＋2＝0，∴x＝－1. f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3.∴M(－1，－3)． 2．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为( ) A．(－∞，－1)及(0,1) B．(－1,0)及(1，＋∞) C．(－1,1) D．(－∞，－1)及(1，＋∞) 答案 A 解析y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A. 3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3时取得极值，则a等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案 D 解析f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由f(x)在x＝－3时取得极值， 即f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5. 4．函数y＝ln 1 |x＋1|的大致图象为( ) 答案 D 解析函数的图象关于x＝－1对称，排除A、C，当x＞－1时，y＝－ln(x＋1)为减函数，故选D. 5．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点所在象限是( ) A．第一B．第二 C．第三D．第四 答案 C 解析∵y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数y＝f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限． 6．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值围是( ) A．(－∞，－3) B．[－3，3] C．(3，＋∞) D．(－3，3) 答案 B 解析f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a2－12≤0?－3≤a≤ 3. 7．设f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( ) A．e2B．ln 2 C.ln 2 2D．e 答案 D 解析f′(x)＝x·(ln x)′＋(x)′·ln x＝1＋ln x. ∴f′(x0)＝1＋ln x0＝2， ∴ln x0＝1， 一、导数应用 1． 单调区间：一般地，设函数 )(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)( 导数练习题 1．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝±1处取得极值，在x ＝0处的切线与直线3x ＋y ＝0平行． (1)求f (x )的解析式； (2)已知点A (2，m )，求过点A 的曲线y ＝f (x )的切线条数． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题意可得????? f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ′(－1)＝3a －2b ＋c ＝0，f ′(0)＝c ＝－3，解得???? ? a ＝1， b ＝0， c ＝－3. 所以f (x )＝x 3－3x . (2)设切点为(t ，t 3－3t )，由(1)知f ′(x )＝3x 2－3，所以切线斜率k ＝3t 2－3， 切线方程为y －(t 3－3t )＝(3t 2－3)(x －t )． 又切线过点A (2，m )，代入得m －(t 3－3t )＝(3t 2－3)(2－t )，解得m ＝－2t 3＋6t 2－6. 设g (t )＝－2t 3＋6t 2－6，令g ′(t )＝0， 即－6t 2＋12t ＝0，解得t ＝0或t ＝2. 当t 变化时，g ′(t )与g (t )的变化情况如下表： 作出函数草图(图略)，由图可知： ①当m >2或m <－6时，方程m ＝－2t 3＋6t 2－6只有一解，即过点A 只有一条切线； ②当m ＝2或m ＝－6时，方程m ＝－2t 3＋6t 2－6恰有两解，即过点A 有两条切线； ③当－6 1．设函数f(x)在0x 处可导，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 等于 A ．)('0x f B ．)('0x f - C ．0'()f x - D ．0'()f x -- 2．若13)()2(lim 000 =?-?+→?x x f x x f x ，则)('0x f 等于 A ．32 B ．2 3 C ．3 D ．2 3．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为 A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角 4．对任意x ，有34)('x x f =，f(1)=-1，则此函数为 A ．4)(x x f = B ．2)(4-=x x f C ．1)(4+=x x f D ．2)(4+=x x f 5．设f(x)在0x 处可导，下列式子中与)('0x f 相等的是 （1）x x x f x f x ??--→?2)2()(lim 000 ； （2）x x x f x x f x ??--?+→?) ()(lim 000； （3）x x x f x x f x ??+-?+→?)()2(lim 000 （4）x x x f x x f x ??--?+→?)2()(lim 000. A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（3） D ．（1）（2）（3）（4） 6．若函数f(x)在点0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线方程是___. 7．已知曲线x x y 1+ =，则==1|'x y _____________. 8．设3)('0-=x f ，则=---→h h x f h x f h ) 3()(lim 000 _____________. 9．在抛物线2x y =上依次取两点，它们的横坐标分别为11=x ，32=x ，若抛物 高二上学期《导数及其应用》 单元测试（数学文） （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确） 1．函数()2 2)(x x f π=的导数是（ ） (A) x x f π4)(=' (B) x x f 2 4)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(=' 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ ） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时， ()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 4．若函数b bx x x f 33)(3 +-=在()1,0内有极小值，则（ ） （A ） 10<b （D ） 2 1< b 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．2 94 e Ｂ．2 2e Ｃ．2 e Ｄ．2 2 e 7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 8．已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有 ()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为（ ） A ．3 B ． 52 C ．2 D ．32 9．设2 :()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 10． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） （A ）)2()3()3()2(0/ / f f f f -<<< y （B ） )2()2()3()3(0/ / f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0/ / f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0/ / f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 二．填空题（本大题共4小题，共20分） 11．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿． 导数练习题含答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 导数练习题 班级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量 与相应自变量的增量之比是函数( ) A．在区间[x0，x1]上的平均变化率 B．在x0处的变化率 C．在x1处的变化量 D．在区间[x0，x1]上的导数 2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝ 2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D． 0.44 3．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx) 上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A．4 B．4＋2Δx C．4＋2(Δx)2 D． 4x 4．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在 t＝3时的瞬时速度为( ) A． 6 B．18 C．54 D． 81 5．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝ 3 2 处的瞬时变化率是( ) A．3 B．－3 C． 2 D． －2 6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点 (x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在 B． 与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直 7．曲线y＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方 程为( ) A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋ 2 D． y＝－x－2 8．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A．4 B．16 C．8 D．2 9．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4 的是( ) A．(0,0) B．(2,4) C．(1 4 ， 1 16 ) D． ( 1 2 ， 1 4 ) 10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的 切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝ 1 B． a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－ 1 D． a＝－1，b＝－1 11．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝( ) A．0 B．2x C． 6 D ．9 12．已知函数f(x)＝ 1 x ，则f′(－3)＝ ( ) A． 4 B. 1 9 导数及简单应用专项提升演练 一、选择题（每题5分，共40分） 1、设函数f (x )的导数为f ′(x )，且x f x x f ln )1(2)(+'=，则)1(f '＝( ) A ．-e B ．-1 C ．1 D ．2 2、设曲线y ＝x ＋1x －1 在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D.12 3、已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( ) A.)(∞+ ?????，和121,0 B ．(0,1)和(2，＋∞) C.)(∞+ ?????， 和221,0 D ．(1,2) 4、函数x x x f ln 2 1)(2-=的最小值为 ( ) A ．2 1 B ．1 C ．0 D ．不存在 5、已知函数x ax x x f ln 3)(2++=在)(∞+,1上是增函数，则实数a 的范围( ) A ．](62,-∞- B ． ?????-∞-26, C ．[ )∞+-,62 D ．[)∞+-,5 6、设21,x x 是x a ax x x f 2232)(+-=的两个极值点，若212x x <<，则实数a 的取值范围( ) A ．)3,2( B ．),2(+∞ C ．)6,2( D.][6,2 7、已知函数)0()(2>+=a a x x x f 在[)∞+,1上的最大值为3 3则a 的值( ) A ．13- B ． 43 C ．34 D ．13+ 8、已知函数)(x f '是奇函数)(x f （R x ∈）的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时 0)()(<-'x f x f x ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围( ) A ．)(1,0)1,( --∞ B ．(),1)0,1(∞+- C ．)(0,1)1,(---∞ D.)()(∞+,11,0 函数导数应用题 1.根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p 与日产量x (件) 之间近似地满足关系式* 2* 219,,1560 1020,540 x x x p x x x ?∈??-=?+?∈??N N , ≤≤, ≤≤(日产品废品率=日废品量日产量 × 100％)．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润y =日正品赢利额-日废品亏损额） （1）将该车间日利润y (千元)表示为日产量x (件)的函数； （2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？ 1．解：（1）由题意可知， 2 *3 *24219,,152(1)5 1020,.3 180x x x x x y x p px x x x x ?-∈??-=--=??-∈??N N , ≤≤, ≤≤ （2）考虑函数2 3 24219,15()5 1020,3180x x x x f x x x x ?-??-=??-?? , ≤≤, ≤≤ 当159x -<≤时，'()0f x <，函数()f x 在(15-上单调减． 所以当15x =-()f x 取得极大值，也是最大值， 又x 是整数，64(8)7f = ，(9)9f =，所以当8x =时，()f x 有最大值647 ． 当1020x ≤≤时，22 5100'()036060 x x f x -=-=≤，所以函数()f x 在[10,20]上单调减， 所以当10x =时，()f x 取得极大值100 9 ，也是最大值． 由于1006497 >，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大． 答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是100 9 千元． 2.一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比. (Ⅰ)将此枕木翻转90°（即宽度变为厚度），枕木的安全负荷会如何变化？为什么？（设翻 高二选修2-2测试题(导数及其简单应用) 一、 选择题（本大题共有10小题，每小题5，共50分） 1. 函数y =(2x ＋1)3 在x =0处的导数是（ ） A.0 B.1 C.63 D.3 2．若函数f(x)=2x 2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)， 则 x y ??=（ ） A . 4 B. 4Δx C. 4+2Δx D. 2Δx 3.若()()()k x f k x f x f k 2lim ,20000--='→则的值为（ ） A ．-2 B. 2 C.-1 D. 1 4、曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标是（ ） A ．(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或（1,0） D.(-1,-4) 5.函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A .5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16 6.设y=x-lnx ，则此函数在区间(0,1)内为（ ） A ．单调递增， B 、有增有减 C 、单调递减， D 、不确定 9. 抛物线y =(1-2x)2在点x =32 处的切线方程为（ ） A. y =0 B .8x －y －8=0 C ． x =1 D . y =0或者8x －y －8=0 10.函数()12ln 2+=x y 的导数是( ) A. 1242+x x B. 1212+x C.()10ln 1242+x x D. () e x x 22log 124+ 二、填空题(每小题5分，共10分) 11.若f(x)=x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是_________ 12.若函数a x x y +-=2323在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值 1．已知函数()222x f x e x ax =+--. （1）当2a =时，求函数()f x 的极值； （2）若()()2 2g x f x x =-+，且()0g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 2．已知函数2 ()ln f x x mx =-，2 1()2 g x mx x =+，m R ∈，令()()()F x f x g x =+. （1）当1 2 m = 时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值； 3．已知函数)2(sin )(2 e a ax x e x f x -+-=，其中R a ∈，???=71828.2e 为自然对数的底数. （1）当0=a 时，讨论函数)(x f 的单调性； （2）当 12 1 ≤≤a 时，求证：对任意的),0[+∞∈x ，0)( 1.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形， 左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π 立方米，且2l r ≥．假设该容 器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元，设该容器的建造费用为y 千元． （Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r ． 解：（I ）设容器的容积为V ， 由题意知23480,,33V r l r V πππ=+=又故3 2224 8044203()333V r l r r r r r ππ-==-=- 由于2l r ≥因此0 2.r <≤ 所以建造费用222420 2342()34, 3y rl r c r r r c r ππππ=?+=?-?+ 因此21604(2),0 2. y c r r r π π=-+<≤ （II ）由（I ）得322 1608(2)20 '8(2)(),0 2.2c y c r r r r r c πππ-=--=-<<- 由于3,20,c c >->所以 当 3200,2r r c - ==-时 ,m 则 0m > （1）当 9 022m c <<> 即时， ∈∈当r=m 时,y'=0; 当r (0,m)时,y'<0;当r (m,2)时,y'>0. 所以r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点。 （2）当2m ≥即 9 32c <≤ 时， 当(0,2),'0,r y ∈<时函数单调递减， 所以r=2是函数y 的最小值点， 综上所述，当 9 32c <≤ 时，建造费用最小时2;r = 专题8：导数（文） 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴导数练习题及答案
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