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概率1

1．根据资阳市环保部门的空气质量监测资料表明，资阳市一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.若资阳市某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）

（A）0.45 （B）0.6 （C）0.75 （D）0.8

【答案】A

【解析】

试题分析：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．

考点：相互独立事件的概率乘法公式

2．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）

A．1

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

试题分析：甲要获得冠军共分为两个情况

一是第一场就取胜，这种情况的概率为1 2

一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为111 224?=

则甲获得冠军的概率为113 244 +=

故选D

考点：1相互独立事件的概率乘法公式；2.概率与统计．

3．来晋江旅游的外地游客中，若甲、乙、丙三人选择去五店市游览的概率均为3

，且

他们的选择互不影响，则这三人中至多有两人选择去五店市游览的概率为（）

A．

125

B．

125

C．

125

D．

125

【答案】D

【解析】

试题分析：根据题意，设“三人中至多有两人选择去五店市游览”为事件A，则A的对立事件A为“三人都选择去五店市游览”，又由甲、乙、丙三人选择去五店市游览的概

率均为3

，且他们的选择互不影响，

则

33327

()

555125

P A=??=，则

()1()

125

P A P A

=-=；故选：D．

考点：相互独立事件的概率乘法公式．

4．在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为（）

A．3

B．

C．

D．

【解析】

试题分析：先求出“第一次摸到红球”的概率为：

63 105

P==，设“在第一次摸出红

球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是

P，再求“第一次摸到红球且第二次也摸

到红球”的概率为

651

1093 P

，

根据条件概率公式，得：

15 9

==，故选：D．

考点：条件概率与独立事件．

5．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，则三种粽子各取到1个的概率是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】

试题分析：从10个中任意选取3个，共有3

10120

C=，其中三种粽子各取到1个有

111 23530

C C C=，

故从中任意选取3个，则三种粽子各取到1个的概率是

301

1204

=，故选：C．

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

6．袋中共有6个大小质地完全相同的小球，其中有2个红球、1个白球和3个黑球，从袋中任取两球，至少有一个黑球的概率为

（A）3

（B）

（C）

（D）

【答案】D 【解析】

试题分析：

34 11

155

=-=-=

考点：对立事件的概率，古典概率的计算．

7．来晋江旅游的外地游客中，若甲、乙、丙三人选择去五店市游览的概率均为3

，且

他们的选择互不影响，则这三人中至多有两人选择去五店市游览的概率为（）

A．

125

B．

125

C．

125

D．

125

【答案】D

【解析】

率均为3

，且他们的选择互不影响，

则33327()555125P A =

??=，则98()1()125

P A P A =-=；故选：D ．考点：相互独立事件的概率乘法公式．

8．在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为（） A ．

35 B ．25 C ．110 D ．59

【答案】D 【解析】

试题分析：先求出“第一次摸到红球”的概率为：163

105

P =

=，设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是2P ，再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为651

1093

P ?=

=?，根据条件概率公式，得：21

9P P P =

=，故选：D ．考点：条件概率与独立事件．

9．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，则三种粽子各取到1个的概率是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C 【解析】

试题分析：从10个中任意选取3个，共有3

10120C =，其中三种粽子各取到1个有11123530C C C =，

故从中任意选取3个，则三种粽子各取到1个的概率是301

1204

=，故选：C ．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

10．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是 A ．

40243 B ．80243 C ．110243 D ．20

243

【答案】B 【解析】

试题分析：根据每次比赛中，甲胜运动员乙的概率是

，故在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是332

52280

()(1)33243

C -=

，故选：B ．考点：二项分布与n 次独立重复试验的模型．

11．将编号为1、2、3、4的四个小球任意地放入A 、B 、C 、D 四个小盒中，每个盒中放

A ．

916 B ．14 C ．34 D ．716

【答案】A 【解析】

试题分析：根据题意可知随意放一共有44256=种方法，如果只有一个空盒，可知一

44144C A ?=种放法，所以对应的概率为

1449

25616

=，故选A ．考点：随机事件的概率．

12．从装有红球、黑球和白球的口袋中摸出一个球，若摸出的球是红球的概率是0.4，摸出的球是黑球的概率是0.25，那么摸出的球是白球或黑球的概率是（） A ．0.35 B ．0.65 C ．0.1 D ．0.6 【答案】D 【解析】

试题分析：设事件A 表示“摸出的球是白球或黑球”，其对立事件为A 则表示为“摸出的球是红球”，根据对立事件的概率和为1，则.6.04.0-1)(1)(P ==-=A P A 故选D 考点：对立事件的概率

13．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（） A ．

13 B ．23 C ．12 D ．34

【答案】B 【解析】

试题分析：从4张卡片中任取2张不同结果共有2

443

C ?=

=种,取出的2张卡片数字之和为奇数时2张卡片上的数字应一奇一偶,不同结果共有11

22224C C =?=种,所以所

求概率42

P =

=．故B 正确．考点：1组合；2古典概型概率．

14．在200件产品中，192有件一级品，8件二级品，则下列事件： ①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； ②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； ③在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品；

④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于100．其中随机事件是．【答案】①③ 【解析】

试题分析：由于在200件产品中，192有件一级品，8件二级品，则①“200件产品中，192有件一级品，8件二级品”，这件事可能发生，也可能不发生，故是随机事件．②“在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品”这件事根本不可能发生，故是不可能事件；③“在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品”，这件事可能发生，也可能不发生，故是随机事件；④“在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的

15．从标有1，2，3，4，5，6的6张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为6的概率是（） A ．15 B ．

115 C ．215 D ．13

【答案】C

【解析】

试题分析：从标有1，2，3，4，5，6的6张纸片中任取2张，不同的取法种数是15，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共15种，其中这2张数字之积为6的取法种数是23，16，对应的概率是2

P =

，故选C 。考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率

16．从写上0，1，2，…，9 十张卡片中，有放回地每次抽一张，连抽两次，则两张卡片数字各不相同的概率是 A ．

109 B ．1001 C ．90

1 D ．1 【答案】A 【解析】

试题分析：实验结果的总数是100，抽取的2张数字不同的是90，故概率是A ．考点：古典概率的计算．

17．某中学高一有21个班、高二有14个班、高三有7个班，现采用分层抽样的方法从这些班中抽取6个班对学生进行视力检查，若从抽取的6个班中再随机抽取2个班做进一步的数据分析，则抽取的2个班均为高一的概率是（） A ．

15 B ．13 C ．35 D ．23

【答案】A 【解析】

试题分析：高一、高二、高三班级数之比为1:2:37:14:21=，根据分层抽样的性质可知所抽取的6个班中，高一、高二、高三班级数分别为3、2、1，设高一三个班级分别为A1，A2，A3，高二两个班级为B1，B2，高三一个班级为C1，随机抽取2个，基本事件为（A1，A2），（A1，A3）,（A1，B1）,（A1，B2）,（A1，C1）,（A2，A3）,（A2，B1）,（A2，B2）,（A2，C1）,（A3，B1）,（A3，B2）,（A3，C1）,（B1，B2）,（B1，C1）,（B2，C1）共15个，若抽取的两个班级均为高一，则包含（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3）共3个，所以概率为

．考点：1．分层抽样；2．古典概型．

18．甲、乙两战士进行射击比赛，甲不输的概率为0.59，乙输的概率为0.44，则甲不赢的概率和甲、乙两人战平概率分别是（）

A ．0.41，0.03

B ．0.56，0.03

C ．0.41，0.15

D ．0.56，0.15 【答案】D 【解析】

试题分析：由P （乙输）=P （甲赢）=0．44，由“甲赢”与“甲、乙战平”为互斥事件，所以P （甲、乙战平）=P （甲不输）-P （甲赢）=0．59-0．44=0．15，又由“甲不输”与“甲输”互为对立事件可知，P （甲输）=1-0．59=0．41，所以P （甲不赢）=P （甲输）+P （甲、乙战平）=0．41+0．15=0．56．

考点：1．互斥事件概率加法公式；2．对立事件的概率和等于1．

19．甲乙两人进行相棋比赛,甲获胜的概率是0．4,两人下成和棋的概率是0．2,则甲不

【答案】A 【解析】

试题分析：甲不输包含甲获胜或两人和棋，为互斥事件，所以概率相加，所以

6.02.04.0=+=P

考点：互斥事件的概率

20．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( ） A ．

15 B ．25 C ．35 D ．45

【答案】B 【解析】

试题分析：根据题意，袋中共有6个球，从中任取2个，有2

615C =种不同的取法，6

个球中，有2个白球和3个黑球，则取出的两球为一白一黑的情况有236?=种；则两球颜色为一黑一白的概率为62

155

P =

=．考点：等可能事件的概率、列举法计算基本事件及事件发生的概率． 21．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（） A ．

118 B ．19 C ．16 D ．112

【答案】B 【解析】

试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），

（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B 。

考点：概率问题

22．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （)1,0(∈c b a 、、），已知他投篮一次得分的期望为2，则b

a 31

+的最小值为（） A ．

B ．328

C ．314

D ．316

【答案】D

【解析】

试题分析：根据离散型随机变量的期望知：223=+b a ，所以

()3

42320214320212123312312=???? ???+≥??? ??++=

?+???? ??+=+b a a b b a a b b a b a b a ，所以原式的最小值就是

考点：1．离散型随机变量的期望；2．基本不等式求最值．

23．某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率为（） A ．

52 B ．158 C ．53 D ．10

9 【答案】C

ab,ac,ad,am,an,bc,bd,bm,bn,cd,cm,cn,dm,dn,mn,共15种，其中符合题意的有am,an, bm,bn, cm,cn,dm,dn,mn,共9种，所以概率为93

155

P =

=．考点：概率．

24．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）．

A ．

31 B ．32 C ．21 D ．43

【答案】B

【解析】

试题分析：两张卡片的数字之和为奇数，即一张奇数的，一张偶数的，所以概率是

322

1212==C C C P ．考点：1．组合；2．古典概型．

【答案】A 【解析】

试题分析：()83=

A P ,()31=

B P ,()44π-=

C P ,()π

1=D P ,概率最大的是A 考点：几何概型

26．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

A ．

112π- B ．1π． C ．21π- D ．2π

【答案】C 【解析】

试题分析：设扇形的半径为r ，则扇形OAB 的面积为214r

π，连接OC ，八下面的阴影

部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线的部分，则阴

影的面积为221142r r π-，所以此点取自阴影部分的概率是222112

42114r r r

πππ-=-，故选

择C

考点：几何概型

27．有五条线段，长度分别为1,3,5,7,9．从这五条线段中任取三条，则所取三条线段不能构成一个三角形的概率为 A ．

21 B ．107 C ．3

D ．109 【答案】B 【解析】

试题分析：从这五条线段中任取三条所有基本事件为：

()()()()()()()()()()

1,3,5,1,3,7,1,3,9,1,5,7,1,5,9,1,7,9,3,5,7,3,5,9,3,7,9,5,7,9共

个

，

其

中

不

能

构

成

三

角

形

的

有

：

()()()()()()()1,3,5,1,3,7,1,3,9,1,5,7,1,5,9,1,7,9,3,5,9,所以取三条线段不能构成

一个三角形的概率为：7

10，故选择B

考点：古典概型

28．在区间[3,3]-上随机取一个实数a , 能使函数

()21f x x x a =++-在R 上有零点的概率为（）

A ．16

B ．13

C ．12

D ．5

【答案】D 【解析】

试题分析：若使函数有零点，则()0144≥--a ，即2≤a ，所以概率为6

。考点：1．几何概型（长度型）；

29．在区间]2

3,23[-上随机取一个数x ，使x 3

cos π

的值介于

到1之间的概率为 A ．

31 B ．π

2 C ．21 D ．32 【答案】D

试题分析：

12cos 111233

x x P π<≤∴-<<∴= 考点：几何概型概率

30．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）

A.12

B.13

C.14

D.1

6 【答案】B

【解析】

试题分析：从1，2，3，4中任取2个不同的数有2

46C =种选法，取出的2个数之差的

绝对值为2的有2种选法，取出的2个数之差的绝对值为2的概率是

=，故答案选B

考点：等可能事件的概率.

31．如图，正方形OABC 的边长为1，记曲线2y x =和直线1

y =，1,0x x ==所围成的图形（阴影部分）为Ω，若向正方形OABC 内任意投一点M ，则点M 落在区域Ω

内的概率为

A ．

14 B ．13

C ．23

D ．25 【答案】A 【解析】

试题分析：正方形的面积为

1，阴影部分的面积为S ，则

1122210

11()()44S x dx x dx =-+-??14=，因此所求概率为11

144P =÷=．选A ．

考点：几何概型，定积分的几何意义．

【名师点晴】本题主要考查的是复数的模和几何概型，属于中档题．解几何概型的试题，一般先求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件A 构成的区域长度（面积或体积），最后代入几何概型的概率公式即可．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，几何概型的概率公式

()P A =

()()

A 构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积．

32．已知矩形ABCD ，5=AB ，7=BC ，在矩形ABCD 中随机取一点P ，则

90APB ?∠>出现的概率为（）

A ．

556π B ．556 C ．528π D ．528

试题分析：以AB 为直径在矩形ABCD 内作一半圆，有几何概型可知，要让90APB ?∠>，则必须让P 点在矩形ABCD 内部的半圆内的部分即可，根据几何概型可知概率

575)25(21P 2

ππ=?=

选A 考点：几何概型

33．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为 A ．

15 B ．25 C ．35 D ．45

【答案】C 【解析】

试题分析：5点中任选2点的选法有2

510C =，距离不小于该正方形边长的选法有246C =63

105

p ∴=

= 考点：古典概型概率

34．一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）

A ．

649 B ．21

C ．64

D ．8

【答案】D 【解析】

试题分析：根据几何概型，小蜜蜂安全飞行的轨迹为棱长为2的正方体内部，所以所求

考点：几何概型．

35．一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形面上自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离不超过1的概率为 A ．

6π B ．12π C ．31 D ．2

1 【答案】B 【解析】

试题分析：由已知得到三角形为直角三角形，三角形ABC 的面积为

3462

??=，离三个顶点距离都不大于1的地方如图三角形的阴影部分，它的面积为半径为1的半圆面积21122S ππ=

?=，所以其恰在离三个顶点距离不超过1的概率为2612

=，故选B 。

考点：几何概型

36．甲、乙两人各自独立随机地从区间] 1 , 0 [任取一数，分别记为x 、y ，则122≤+y x 的概率=P （） A ．

41 B ．21 C ．4π D ．4

1π

- 【答案】C 【解析】

试题分析：所有(),x y 构成的图形为边长为1的正方形，面积为1，，满足122≤+y x 的点构成的图形为圆221x y +=及内部在第一象限的部分，面积为

21144

π??=，，因此概率为41

p π

考点：几何概型概率

37．6．甲乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是多少（）． A ．

31 B ．3611 C ．36

D ．61 【答案】B 【解析】

试题分析：设甲乙两人各自跑x 和y 米，则???≤≤≤≤300

0300

0y x ，若满足题意即50≤-y x ，

如图

则

()()()

250300,050300,250)500(，，，，，D C F A ，所以

11300300250

25021

21=

????-=P ，所以选B ．考点：1．几何概型；

38．在区间[]

0,2上随机地取一个数x ，则事件“1211log 12x ?

-≤+≤ ???

”发生的概率

A ．

34 B ．23 C ．13 D ．14

【答案】A 【解析】

试题分析：解得不等式：

22121≤+≤x ，解得2

0≤≤x ，所以根据几何概型得到4

223

==P ．

考点：几何概型

39．设p 在[]0,5上随机地取值，则关于x 的方程210x px ++=有实数根的概率为（）

A ．15

B ．25

C ．35

D ．45

【答案】C 【解析】

试题分析：根据题意，方程有实根对应的结果为240p -≥，即25p ≤≤，所以对应的概率为523

505

P -=

=-，故选C ．考点：几何概型．

40．如图，大正方形的面积是 34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为 3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为（）

A ．

117 B ．217 C ．317 D ．417

【答案】B 【解析】

试题分析：直角三角形的较短边长为 3，则较长边为5，所以小正方形边长为2，面积为4，所以向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为

3417

=，故选B ．考点：几何概型．

41．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，

点O 为底面ABCD 的中心，在正方体1111ABCD A BC D -内随机取一点

P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为（） A ．

π B ．1π- C ．π D ．1π

【解析】

试题分析：正方体体积为328

=，点P到点O的距离不大于1时构成的图形的体积为

2 3π，所以所求概率为

812

ππ

=-=-

考点：几何概型概率

42．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少1名女生”与事件“全是男生”（）

A．是互斥事件，不是对立事件

B．是对立事件，不是互斥事件

C．既是互斥事件，也是对立事件

D．既不是互斥事件也不是对立事件

【答案】C

【解析】

试题分析：至少一名女生包括一名或两名女生，全是男生相当于女生数为零，两者间是互斥事件也是对立事件

考点：互斥事件与对立事件

43．给出如下四对事件：

①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；

②甲、乙两人各射击1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”；

③甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”；

④甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，其中属于互斥事件的有

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

【答案】B

【解析】

试题分析：互斥事件是不可能同时发生的事件，由其定义可知①③是互斥事件，②“甲射中7环”与“乙射中8环”是相互独立的，可能同时发生，④事件“至少有1人射中目标”包含“甲射中，但乙未射中目标”的情况，因此不是互斥的

考点：互斥事件

44．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）

A．至少有一个黒球与都是黒球

B．至少有一个黒球与都是黒球

C．至少有一个黒球与至少有1个红球

D．恰有1个黒球与恰有2个黒球

【答案】D

【解析】

试题分析：A中至少有一个黒球包括都是黑球，不是互斥的；B中至少有一个黒球包括都是黑球，不是互斥的；C中两个事件都可能是1黑球1红球；D中是互斥事件但不对立

考点：互斥事件与对立事件

45．一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )

A．至多有一次中靶 B．两次都中靶

C．两次都不中靶 D．只有一次中靶

试题分析：根据互斥事件的定义知至少有一次中靶包含一次中和两次中，所以不可能同时发生的事件是一次也不中故选C.

考点：互斥事件的定义.

46．从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（）

A.A与C对立

B.任何两个均互斥

C.B与C互斥

D.任何两个均不互斥

【答案】A

【解析】

试题分析：A中三件都为正品，B中三件都为次品，C中三件有次品，结合对立事件，互斥事件的概念可知A与C是对立事件

考点：互斥事件与对立事件

47．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）

（A）对立事件（B）互斥但不对立事件

（C）不可能事件（D）必然事件

【答案】B

【解析】

试题分析：根据题意，把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，

事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”，

由互斥事件和对立事件的概念可判断两者不可能同时发生，故它们是互斥事件，

又事件“乙取得红牌”与事件“丙取得红牌”也是可能发生的，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”

不是对立事件，所以可知两事件之间的关系是互斥而不对立，

故选B．

考点:互斥事件与对立事件．

48．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）．

A．至少有1个白球，都是白球

B．至少有1个白球，至少有1个红球

C．恰有1个白球，恰有2个白球

D．至少有1个白球，都是红球

【答案】C

【解析】

试题分析：（1）至少有1个白球的事件中包含2个都是白球的事件,所以A选项中两个事件不互斥;

（2）至少有1个白球，至少有1个红球都含有1个白球1个红球这种可能,所以B选项中两个事件不互斥;

（3）至少有1个白球的事件包含1个白球1个红球和2个白球,所以至少有1个白球的事件和都是红球的事件既是互斥事件又是对立事件;

（4）恰有1个白球，恰有2个白球这两个事件没有公共部分,而且从口袋内任取2个球还有可能取到2个红球.所以恰有1个白球，恰有2个白球是互斥事件但不是对立事件.综上可知C正确.

考点：互斥事件;对立事件.

49．若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1,则事件A与B的关系是（）

【解析】

试题分析：若是在同一试验下，由P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，说明事件A与事件B 一定是对立事件；

但若在不同实验下，虽有P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，但事件A和B不一定对立，所以事件A与B的关系是不确定的

考点：互斥事件与对立事件

50．从一批产品（其中正品、次品都多于两件）中任取两件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是（）

①恰有一件次品和恰有两件次品；

②至少有一件次品和全是次品；

③至少有一件正品和至少有一件次品；

④至少有一件次品和全是正品.

（A）①②（B）①④（C）③④（D）①③

【答案】B

【解析】

试题分析：∵从一批产品中任取2件，观察正品件数和次品件数，其中正品、次品都多于2件，

∴恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的，

至少有一件次品和全是正品是互斥的，

∴①④是互斥事件.

考点：互斥事件和对立事件.

51．给出以下三个命题:

①将一枚硬币抛掷两次,记事件A:两次都出现正面,事件B:两次都出现反面,则事件A与事件B是对立事件;②在命题①中,事件A与事件B是互斥事件;③在10件产品中有3件是次品,从中任取3件,记事件A:所取3件中最多有2件是次品,事件B:所取3件中至少有2件是次品,则事件A与事件B是互斥事件．其中真命题的个数是（）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】

试题分析：①将一枚硬币抛掷两次,记事件A:两次都出现正面,事件B:两次都出现反面,则事件A与事件B是互斥事件，但不对立，因为还包括一正一反，故②对，;③在10件产品中有3件是次品,从中任取3件,记事件A:所取3件中最多有2件是次品,事件B:所取3件中至少有2件是次品,事件A与事件B都包括有两件次品，所以不是互斥事件

考点：互斥事件与对立事件

52．从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（）

A.A与C互斥

B.任何两个均互斥

C.B与C互斥

D.任何两个均不互斥

【答案】A

【解析】

试题分析：A为“三件产品全不是次品”，指的是三件产品都是正品，B为“三件产品全是次品”，C为“三件产品至少有一件是次品”，它包括一件次品，两件次品，三件全是次品三个事件由此知，A与B是互斥事件，A与C是对立事件，也是互斥事件，B与C是包含关系，故选项A正确 .

考点：互斥事件、对立事件.

53．抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，记事件B为“落地时向上

A ．A 与D

B ．A 与B

C ．B 与C

D ．B 与D 【答案】A 【解析】

试题分析：抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A 为“奇数点向上”，事件B 为“偶数点向上”，事件C 为“向上的点数是2的倍数”，事件D 为“2点或4点向上”．

事件A 、B 既是互斥事件也是对立事件；所以B 不正确． B 与C 是相同事件，不是互斥事件；所以C 不正确． B 与D 不是互斥事件，所以D 不正确．

A 与D 是互斥事件，但不是对立事件，所以A 正确．故选：A ．考点：对立事件和互斥事件．

54．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为

，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P(A)是 ( )． A.

29 B.118 C.13 D.23

【答案】D 【解析】

试题分析：由题意，()()P A P B ?=

，()()(()P A P B P A P B =)，设P （A ）=x ，P （B ）=y ，则1(1)(1)9(1)(1)x y x y x y ?--=???-=-?，即119x y x y x y

--+=??

?=?∴2

21x x +=﹣19， ∴x ﹣1=﹣

13或x ﹣1=13（舍去），∴x=2

．故选D 考点：互斥事件与对立事件．

55．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0．3，甲不输的概率为0．8，则甲、乙两人下成和棋的概率为（）

A ．0．6

B ．0．3

C ．0．1

D ．0．5 【答案】D 【解析】

试题分析：由于甲不胜的概率包含甲胜的概率与甲与乙和棋的概率，并且这两件事是互斥事件，所以甲不输的概率等于甲胜的概率加上甲与乙和棋的概率，所以甲、乙两人下成和棋的概率为0．5．故选D ．本小题主要考查时间的互斥关系．考点：事件的互斥关系．

56．把颜色分别为红、黑、白的3个球随机地分给甲、乙、丙3人，每人分得1个球．事件“甲分得白球”与事件“乙分得白球”是( ) A ．对立事件 B ．不可能事件 C ．互斥事件 D ．必然事件【答案】C

【解析】由于甲、乙、丙3人都可以持有白球，故事件“甲分得白球”与事件“乙分得白球”不可能是对立事件．又事件“甲分得白球”与事件“乙分得白球”不可能同时发生，故两事件的关系是互斥事件． 57．下列四个命题:

①对立事件一定是互斥事件;

④若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件.

其中错误命题的个数是( )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

【答案】D

【解析】由对立事件及互斥事件的概念可知①正确;当A,B两个事件互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B),所以②错误;③错误;当A,B是互斥事件时,若P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件,④错误.

58．抛掷一个骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”下面是是对立事件的是( ). A． A与B B．A与C C．B与C D．A、B与C

【答案】A

【解析】因为对立事件首先是互斥事件，同时有且必有一个发生，那么根据地故意可知满足定义的为事件A：落地时向上的数是奇数和事件B：落地时向上的数是偶数，选A 59．某产品分一、二、三级，其中一、二级是正品，若生产中出现正品的概率是0.98，二级品的概率是0.21，那么出现一级品与三级品的概率分别是（）

A. 0.77，0.21

B. 0.98，0.02

C. 0.77，0.02

D. 0.78，0.22

【答案】C

【解析】解：∵生产中出现正品的概率是0.98，二级品的概率是0.21，一、二级是正品，

∴出现一级品的概率是0.98-0.21=0.77，∵产品分一、二、三级，

出现正品的概率是0.98，∴出现三级品的概率是1-0.98=0.02

故选C

60．某个家庭有2个孩子，其中有一个孩子为女孩，则另一个孩子也为女孩的概率为（ )

A、1

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}．记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个也是女孩”，则A={（男，女），（女，男），（女，女）}，B={（男，女），（女，男），（女，女）}，AB={（女，女）}．

于是可知 P(A)= 3

，P(AB)=

．

问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P（B|A），由条件概率公式，得

P（B|A）=1

．

故选A．

61．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为1

与

，且各次投球相互之间没有影

（2）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少有一次命中的概率．

【答案】（1）1

2;（2）

【解析】试题分析：（1）两次投球恰好命中一次包括两种情况，即甲能够命中而乙不能命中，或甲不能命中而乙能够命中，这两种情况是互斥的．根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到结果．

（2）四次投球中至少有一次命中的对立事件是四次投球一次也不能命中，首先根据相互独立事件同时发生的概率做出一次也不能命中的概率，再用对立事件的概率公式得到结果．

试题解析：（1）依题意，记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命中”为事B ，

则

()()()()

1213,,,2525P A P B P A P B ====

. 甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的事件为AB BA +

()

13211

25522P AB BA +=?+?=

答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率为1

（2）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次全不命中”的概率是

113392255100P '=

???=

∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为

9911100100P =-

答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为91

100

考点：1.相互独立事件的概率乘法公式；2.互斥事件与对立事件．

名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加乒乓球比赛（每人被选到的可能性相同）．（1）用表中字母列举出所有可能的结果；

（2）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．【答案】（1）{A ，B}，{A ，C}，{A ，X}，{A ，Y}，{A ，Z}，{B ，C}，{B ，X}，{B ，Y}，{B ，Z}，{C ，X}，{C ，Y}，{C ，Z}，{X ，Y}，{X ，Z}，{Y ，Z}；（2）

【解析】试题分析：（1）由树图法一一列举出即可；（2）根据题意可得：含有A,B ，C 中的一个，

试题解析：（1）从6名同学中随机选出2人参加乒乓球比赛的所有可能结果为{A ，B}，{A ，C}，{A ，X}，{A ，Y}，{A ，Z}，{B ，C}，{B ，X}，{B ，Y}，{B ，Z}，{C ，X}，{C ，Y}，{C ，Z}，{X ，Y}，{X ，Z}，{Y ，Z}，共15种．

（2）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y}，{A ，Z}，{B ，X}，{B ，Z}，{C ，X}，{C ，Y}，共6种．因此，事件M 发生的概率P （M ）＝615＝25

．考点：古典概型

63．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为

12与2

，且各次投球相互之间没有影响．

（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求这二次投球中恰好命中一次的概率；（2）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少有一次命中的概率．

【答案】（1）1

2;（2）

试题解析：（1）依题意，记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命中”为事B ，

则

()()()()

1213,,,2525P A P B P A P B ====

. 甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的事件为AB BA +

()

13211

25522P AB BA +=?+?=

答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率为1

（2）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次全不命中”的概率是

113392255100P '=

???=

∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为

9911100100P =-

答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为91

100

考点：1.相互独立事件的概率乘法公式；2.互斥事件与对立事件．

【答案】（1）5

=P ;（2）详见解析．【解析】

试题分析：（1）相当于两人掷含有5个面的色子，共2555=?种情况，然后输出和为偶数，且和为6的情况种数，然后按古典概型求概率；（2）偶数，就是甲胜，其他情况乙胜，分别算出甲胜的概率，和乙胜的概率，比较是否相等，相等就公平，不相等，就不公平．

试题解析：（1）设“甲胜且两个编号的和为6”为事件A ．甲编号x ，乙编号y ，(,)x y 表示一个基本事件，则两人摸球结果包括（1，1），（1，2），，（1，5），（2，1），（2，2），，（5，4），（5，5）共25个基本事件；A 包含的基本事件有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）共5个，所以51

()255

P A == 答：编号之和为6且甲胜的概率为

。（2）设“甲胜”为事件B ，“乙胜”为事件C ．甲胜即两编号之和为偶数所包含基本事件数为以下13个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）所以甲胜的概率为13()25P B =

，乙胜的概率为1312

()12525

P C =-=，∵()()P B P C ≠，

∴这种游戏规则不公平。

考点：古典概型 65．（本题满分13分）某高校在2015年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的

（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据；

（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？【答案】（1）35，0.3 （2）3,2,1人； 3

古典概率

第二课时古典概率 2．理解古典概型； 3．了解几何概型； 4．了解互斥事件及其发生的概率。二复习要求在具体情境中了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进而知道概率的统计定义的意义以及概率和频率的区别；了解互斥事件、对立事件的概念，能判断两个事件是否是互斥事件，是否是对立事件，了解互斥事件的概率加法公式，了解两对立事件概率之和为1的结论，会用相关公式进行简单概率计算；理解古典概型及其计算公式，会用枚举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；体会几何概型的几何意义，理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。在复习这一部分内容时，要能把这一章中所蕴含的主要思想方法贯穿于平常的教学实践中去，如利用树形图去确定基本事件数中的数形结合思想，利用互斥事件去求概率中的分类讨论思想，把实际问题转化为几何概型去求解中的转化与化归的思想，以达到培养学生数学思维的目的。三重难注意点 1．概率与频率，概率的频率定义是和一定的实验相联系的，频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，频率是随机的，随着实验次数的改变而改变，而概率是确定的，是客观存在的，与实验的次数无关。概率是频率的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小。 2．互斥事件与对立事件，判断事件是互斥还是对立，应主要抓住定义，不可能同时发生的事件称为互斥事件，必有一个要发生的两互斥事件称为对立事件，互斥事件是对立事件的必要而不充分条件，将所给事件转化为互斥事件和对立事件去处理，体现了化整为零，正难则反的思想。 3．古典概型，判断一个试验是否为古典概型，主要看试验结果的两个特征，一是有限性，二是等可能性，在利用古典概型计算公式 ()n m A P =时，应首先完成古典概型的判断，而后进行相关计算，其中n 是试验所包含的所有基本事件数，m 是事件A 包含的基本事件数。 4．几何概型，判断一个概型是否为几何概型，主要看三个特征，一是试验结果的无限性，二是试验结果的等可能性，三是可以转化为求某个几何图形的测度的问题。在几何概型中，一个随机事件A 发生应理解为取到区域D 内的某个指定区域d 中的点，

机器学习 —— 概率图模型(推理：决策)

Koller 教授把决策作为一种单独的模块进行讲解，但我认为，决策和推理本质上是一样的，都是在假设已知CPD或者势函数的情况下对模型给出结论。 1、决策==逐利决策的基本思想很intuitive，并且非常有用。在赌博行为中，最后获得的钱与硬币的正反，赌注的大小有关。硬币的正反显然是随机变量，而赌注的大小却是决策量。显而易见的是，决策的最终目的是使得某个期望最大化。再举一个视觉中的例子，对于双目配准算法而言，左相机对应右相机的像素可以认为是随机变量。但是否将两个像素配在一起却可以认为是一个决策（假设像素一一对应，如果甲配了乙就不能配丙了，希望配准的最终结果是尽可能正确的）。故决策的数学表达为：其中，P(X|A)表示在给定决策下，随机变量X的概率。U(x,a)表示给定决策下，x发生所获得的收益。简单的决策如图所示：

2、决策的方法显然从上面的分析可知，我们要做的决策就是使得期望最大化的那个。换一个角度来看，如果每次的决策都是未知的，决策取决于已知信息，决策影响最终结果，如果决策也是随机变量，我们应该把获利最多的那个决策组作为我们所需采取的决策库。换而言之，凡事应有a,b,c三策，不同的策略对应不同的情况。显然，我们所需要采取的策略取决于已知的信息（Action的父节点）。而策略组本身就是一个随机变量。如图所示，如果变量真实值无法观测，只能通过一个传感器（survey）来进行推测时，决策应该取决于S的值。S的值又和其所有父节点（M）的值相关。MEU表示所选择的策略。

显然，我们需要P(S)deta(F|S)U(F,M)，然后P(S)需要对P(M,S)进行边际获得。故表达式如上。带入数据发现

概率图模型研究进展综述

软件学报ISSN 1000-9825, CODEN RUXUEW E-mail: jos@https://www.wendangku.net/doc/4811462567.html, Journal of Software,2013,24(11):2476?2497 [doi: 10.3724/SP.J.1001.2013.04486] https://www.wendangku.net/doc/4811462567.html, +86-10-62562563 ?中国科学院软件研究所版权所有. Tel/Fax: ? 概率图模型研究进展综述张宏毅1,2, 王立威1,2, 陈瑜希1,2 1(机器感知与智能教育部重点实验室(北京大学),北京 100871) 2(北京大学信息科学技术学院智能科学系,北京 100871) 通讯作者: 张宏毅, E-mail: hongyi.zhang.pku@https://www.wendangku.net/doc/4811462567.html, 摘要: 概率图模型作为一类有力的工具,能够简洁地表示复杂的概率分布,有效地(近似)计算边缘分布和条件分布,方便地学习概率模型中的参数和超参数.因此,它作为一种处理不确定性的形式化方法,被广泛应用于需要进行自动的概率推理的场合,例如计算机视觉、自然语言处理.回顾了有关概率图模型的表示、推理和学习的基本概念和主要结果,并详细介绍了这些方法在两种重要的概率模型中的应用.还回顾了在加速经典近似推理算法方面的新进展.最后讨论了相关方向的研究前景. 关键词: 概率图模型;概率推理;机器学习中图法分类号: TP181文献标识码: A 中文引用格式: 张宏毅,王立威,陈瑜希.概率图模型研究进展综述.软件学报,2013,24(11):2476?2497.https://www.wendangku.net/doc/4811462567.html,/ 1000-9825/4486.htm 英文引用格式: Zhang HY, Wang LW, Chen YX. Research progress of probabilistic graphical models: A survey. Ruan Jian Xue Bao/Journal of Software, 2013,24(11):2476?2497 (in Chinese).https://www.wendangku.net/doc/4811462567.html,/1000-9825/4486.htm Research Progress of Probabilistic Graphical Models: A Survey ZHANG Hong-Yi1,2, WANG Li-Wei1,2, CHEN Yu-Xi1,2 1(Key Laboratory of Machine Perception (Peking University), Ministry of Education, Beijing 100871, China) 2(Department of Machine Intelligence, School of Electronics Engineering and Computer Science, Peking University, Beijing 100871, China) Corresponding author: ZHANG Hong-Yi, E-mail: hongyi.zhang.pku@https://www.wendangku.net/doc/4811462567.html, Abstract: Probabilistic graphical models are powerful tools for compactly representing complex probability distributions, efficiently computing (approximate) marginal and conditional distributions, and conveniently learning parameters and hyperparameters in probabilistic models. As a result, they have been widely used in applications that require some sort of automated probabilistic reasoning, such as computer vision and natural language processing, as a formal approach to deal with uncertainty. This paper surveys the basic concepts and key results of representation, inference and learning in probabilistic graphical models, and demonstrates their uses in two important probabilistic models. It also reviews some recent advances in speeding up classic approximate inference algorithms, followed by a discussion of promising research directions. Key words: probabilistic graphical model; probabilistic reasoning; machine learning 我们工作和生活中的许多问题都需要通过推理来解决.通过推理,我们综合已有的信息,对我们感兴趣的未知量做出估计,或者决定采取某种行动.例如,程序员通过观察程序在测试中的输出判断程序是否有错误以及需要进一步调试的代码位置,医生通过患者的自我报告、患者体征、医学检测结果和流行病爆发的状态判断患者可能罹患的疾病.一直以来,计算机科学都在努力将推理自动化,例如,编写能够自动对程序进行测试并且诊断 ?基金项目: 国家自然科学基金(61222307, 61075003) 收稿时间:2013-07-17; 修改时间: 2013-08-02; 定稿时间: 2013-08-27

概率的古典定义及其计算

12．2．2 概率的古典定义及其计算定义如果随机试验具有如下特征：（1）事件的全集是由有限个基本事件组成的；（2）每一个基本事件在一次试验中发生的可能性是相同的；则这类随机试验称为古典概型．定义在古典概型中，如果试验的基本事件总数为n ，事件A 包含的基本事件个数为m ，那么事件A 发生的概率为P （A ）=n m 。这个定义叫做概率的古典定义。它同样具备概率统计定义的三个性质。例1 从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字中，随机地取出一个数字，求这个数字是奇数的概率。解设A={取出的是一个奇数}，则基本事件总数为n=9，事件A 包含了5个基本事件（抽到1，3，5，7，9），即m=5，所以，P （A ）=9 5=n m 。例2 在10个同样型号的晶体管中，有一等品7个，二等品2个，三等品1个，从这10个晶体管中任取2个，计算：（1）2个都是一等品的概率；（2）1个是一等品，1个是二等品的概率。解基本事件总数为从10个晶体管中任取2个的组合数，故n=210C =45。（1）设A={取出2个都是一等品}，它的种数m=27C =21，其概率为P （A ）=15 74521==n m ；（2）设B={取出2个，1个是一等品，1个是二等品}，它的种数m=1217C C =14，所以 P （B ）=45 14=n m 。例3 储蓄卡上的密码是一组四位数号码，每位上的数字可以在0到9这10个数字中选取，问：（1）使用储蓄卡时如果随意按下一组四位数字号码，正好按对这张储蓄卡的密码的概率是多少？（2）某人没记准储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这张储蓄卡时如果随意按下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？解（1）由于储蓄卡的密码是一组四位数字号码，且每位上的数字有从0到9这10中取法，这种号码共有410组。又由于是随意按下一组四位数字号码，按下其中哪一组号码的可能性都相等，可得正好按对这张储蓄卡的密码的概率1P =4 101。（2）按四位数字号码的最后一位数字，有10中按法，由于最后一位数字是随意按的，按下其中各个数字的可能性相等，可得按下的正好是密码的最后一位数字的概率10 12=P 。课堂练习：习题12.2 1—4 订正讲解 12．3．1 概率的加法公式 1．互斥事件概率的加法公式

概率图模型中的推断

概率图模型中的推断王泉中国科学院大学网络空间安全学院 2016年11月

?推断问题回顾 ?精确推断：信念传播 –信念传播算法回顾 –信念传播在HMM中的应用?近似推断：吉布斯采样–吉布斯采样算法回顾 –吉布斯采样在LDA中的应用

?已知联合概率分布 P x 1,?,x n ，估计 –x Q 问题变量；x E 证据变量；x Q ∪x E =x 1,?,x n P R =1 P R =0 0 P R =1G =1= ? P B =0.001 P E =0.002 P A B ,E =0.95 P A B ,?E =0.94 P A ?B ,E =0.29 P A ?B ,?E =0.001 P J A =0.9 P J ?A =0.05 P M A =0.7 P M ?A =0.01 P B =1E =0,J =1=? P x Q x E =x Q ,x E x E

?已知联合概率分布 P x 1,?,x n ，估计 –x Q 问题变量；x E 证据变量；x Q ∪x E =x 1,?,x n P x Q x E =x Q ,x E x E 观测图片 y i 原始图片 x i y ?=argmax P y x 朴素贝叶斯 x ?=argmax P x y 图像去噪

?精确推断：计算P x Q x E的精确值 –变量消去 (variable elimination) –信念传播 (belief propagation) –计算复杂度随着极大团规模的增长呈指数增长，适用范围有限?近似推断：在较低的时间复杂度下获得原问题的近似解–前向采样 (forward sampling) –吉布斯采样 (Gibbs sampling) –通过采样一组服从特定分布的样本，来近似原始分布，适用范围更广，可操作性更强

【免费下载】1古典概率典型题解

概率论与数理统计典型题解第一章随机事件与概率典型题解 1．个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率．n 解令{甲、乙两人相邻而坐}，设想圆桌周围有这个位置，A =1,2,,n n 由于该问题属于圆排列问题，所以不妨认为甲坐1号位置，那么发生当且仅A 当乙坐2号或号位置，从而n 1,2,()2, 2.1n P A n n =??=?>?-?2．甲、乙两人掷均匀硬币，其中甲掷次，乙掷次，求甲掷出正面的1n +n 次数大于乙掷出正面次数的概率．解令{甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数}，A ={甲掷出反面的次数大于乙掷出反面次数}，B =由硬币的均匀性知，，容易看出，，由此可知()()P A P B =,A B S AB ==? ．1()2P A =3．某班有个学生，上体育课时老师发给每人一根绳子进行跳绳练习，N 跳了10分钟后把绳子放在一堆，进行别的练习，后来每人又随机拿了一根绳子进行练习，问至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子的概率．解令{第个学生拿到自己原先使用的绳子}（）， i A =i 1,2,,i N = {至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子}，A =则111()()()()N N i i i j i i j N i P A P A P A P A A =≤<≤===-+∑∑ 1121()(1)()N i j k N i j k N P A A A P A A A -≤<<≤-+-∑ 12311111(1)(1)(1)(2)!N N N N N N C C C C N N N N N N N -=-+-+---- ．11111(1)2!3!!N N -=-+-+- 4．若事件与互不相容，且，证明：．A B ()0P B ≠(|)()/()P A B P A P B =设备高中资料试卷布置情况置。

概率图模型介绍与计算

概率图模型介绍与计算 01 简单介绍概率图模型是图论和概率论结合的产物，它的开创者是鼎鼎大名的Judea Pearl,我十分喜欢概率图模型这个工具，它是一个很有力的多变量而且变量关系可视化的建模工具，主要包括两个大方向：无向图模型和有向图模型。无向图模型又称马氏网络，它的应用很多，有典型的基于马尔科夫随机场的图像处理，图像分割，立体匹配等，也有和机器学习结合求取模型参数的结构化学习方法。严格的说他们都是在求后验概率:p(y|x)，即给定数据判定每种标签y的概率，最后选取最大的后验概率最大的标签作为预测结果。这个过程也称概率推理(probabilistic inference）。而有向图的应用也很广，有向图又称贝叶斯网络(bayes networks),说到贝叶斯就足以可以预见这个模型的应用范围咯，比如医疗诊断，绝大多数的机器学习等。但是它也有一些争议的地方，说到这就回到贝叶斯派和频率派几百年的争议这个大话题上去了，因为贝叶斯派假设了一些先验概率，而频率派认为这个先验有点主观，频率派认为模型的参数是客观存在的，假设先验分布就有点武断，用贝叶斯模型预测的结果就有点“水分”，不适用于比较严格的领域，比如精密制造，法律行业等。好吧，如果不遵循贝叶斯观点，前面讲的所有机器学习模型都可以dismiss咯，我们就通过大量数据统计先验来弥补这点“缺陷”吧。无向图和有向图的例子如（图一）所示：图一(a)无向图（隐马尔科夫）(b)有向图概率图模型吸取了图论和概率二者的长处，图论在许多计算领域中扮演着重要角色，比如组合优化，统计物理，经济等。图的每个节点都可看成一个变量，每个变量有N个状态（取值范围），节点之间的边表示变量之间的关系，它除了

条件概率1

例1：根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率309，下雨的概率为3011，既吹东风又下雨的概率为308.试求在吹东风的条件下下雨的概率. 例2: （1）10个球有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸出红球的概率是；（2）盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取两次，每次取1件，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是；例2：（1）有一批种子的发芽率为90.，出芽后的幼苗成活率为80.，在这批种子中，

随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为；（2）某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概 0.，继续射击，射中第二个目标的率为8 0.，则这个选手过关的概率概率为5 是；（3）袋中装有形状、大小完全相同的5个球，其中黑球3个、白球2个.从中依次取出2个球，则所取出的两个都是白的概率；（4）已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出1个球放入2号箱中，然后从2号箱中随机地取出1个球，则两次都取到红球的概率是；

例4：（1）设某光学仪器厂制造的透镜，第一次下落时打破的概率为21 ，若第一次落下时未打破，第二次落下时打破的概率为107 ，若前两次落下时未打破，第三次下落时打破的概率为109 ，试求透镜落下三次而未打破的概率；（2）8个人抽签，其中只有1张电影票，7张空票，求每个人抽到电影票的概率；（3）（傅立叶模型）已知一个罐中盛有m 个白球，n 个黑球.现从中任取一只，记下颜色后放回，并同时加入与被取球同色球a 个.试求接连取球3次，3次均为黑球的概率.

1条件概率

§2.2.1条件概率知识点 1.条件概率：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，记作“)(A B P ”。 2.由事件A 和B 所构成的事件D ，称为事件A 和B 的交（或积），记作 3.条件概率计算公式：)(A B P 数发生的条件下基本事件在包含的基本事件数发生的条件下在A B A =包含的基本事件数包含的基本事件数A B A = 总数包含的基本事件数总数包含的基本事件数A B A =)()(A P B A P = )0)((>A P 一问题分析问题1：抛掷红、蓝两颗骰子，设事件=A “蓝色骰子的点数为3或6”，事件=B “两颗骰子的点数之和大于8”，求：（1）事件A 发生的概率；（2）事件B 发生的概率；（3）已知事件A 发生的情况下，事件再B 发生的概率。问题2：三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取，思考：（1）三名同学中奖的概率各是多少？是否相等？（2）若已知第一名同学没有中奖，那么第二名同学中奖的概率各是多少？（3）在（1）和（2）中第二名同学中奖的概率是否相等？为什么？二典型例题分析例1：抛掷一颗骰子,观察出现的点数 =A {出现的点数是奇数}＝}531{，，，=B {出现的点数不超过3}＝}3,2,1{，若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率。例2：一个家庭中有两个小孩。假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？例3：甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？例4: 某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

古典概率综合测试卷 (1)

2014届高一数学期末复习概率专题、、三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产例1：一汽车厂生产A B C 量如下表(单位:辆): 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆. （1）求z的值（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率; （3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 例2：甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．（1）如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等等码头空出的概率；（2）如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．

一、选择题 1．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（） A ．至少有一个黒球与都是黒球 B ．至少有一个黒球与都是黒球 C ．至少有一个黒球与至少有1个红球 D ．恰有1个黒球与恰有2个黒球 2．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于 12的概率为（） A ．14 B ．12 C ．34 D ．78 3.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（） A ．310 B ．15 C ．110 D ．112 4.（2012广东高考）从个位数和十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（） 4 . 9A 1.3B 2.9C 1.9 D 5.（2012湖北高考）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA OB 、为直径做两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（） 2 .1A π- 11.2B π- 2.C π 1.D π 6.（2012北京高考）设不等式组0202 x y ≤≤??≤≤?表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率为（） .4A π 2.2B π- .6C π 4.4 D π- 7.（2011海南高考）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（） 1.3A 1.2B 2.3 C 3.4 D 8.（09山东）在区间[,]22ππ- 上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为( ). A.31 B.π2 C.21 D.32 9.(2007湖北理)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量 (11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ??∈ ?2?? ，的概率是（） A ．512 B ．12 C ．712 D ．56

条件概率(教案)

2．2．1条件概率寿阳县第一职业中学` 付慧萍教学目标：知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。教学重点：条件概率定义的理解教学难点：概率计算公式的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体教学设想：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。教学过程：一、复习引入：探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小. 若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“Y”，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y，Y Y Y和Y Y Y．用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”, 则B 仅包含一个基本事件Y Y Y．由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 1 () 3 P B=. 思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y和Y Y Y．而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y.由古典概型计算公式可知．最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1 2 ，不妨记为P（B|A ) ，其中A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”. 已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件A 中，从而影响事件B 发生的概率，使得P ( B|A ）≠P ( B ) . 思考:对于上面的事件A和事件B，P ( B|A）与它们的概率有什么关系呢？用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛Y Y Y, Y Y Y,Y Y Y｝．既然已知事件A必然发生，那么只需在A={Y Y Y, Y Y Y}的范围内考虑问题，即只有两个基本事件Y Y Y和Y Y Y．在事件A 发生的情况下事件B发生，等价于事件A 和事件B 同时发生，即AB 发生．而事件AB 中仅含一个基本事件Y Y Y，因此 (|) P B A=1 2 = () () n AB n A .

古典概率的四种解法

例袋中有3只白球2只黑球,从中随意取出2个球,求事件A：“取出两球是一个白球一个黑球”的概率. 解：方法一（有序法）：将5只球编号为1，2，3，4，5. 如果两球是依次取出，那么基本事件是一有序的结果，每两个有序数组(编号)构成一个基本事件，所以样本空间 S={12，13，14，15，23，24，25，34，35，45， 21，31，41，51，32，42，52，43，53，54} 由乘法原理可知：||. 5420S =×=事件A 所含的基本事件是：先从3个白球中任取一个，而后在2个黑球中取一个；和先从2个黑球中取一个，而后在3个白球中任取一个. 所以事件 A={14，15，24，25，34，35， 41，51，42，52，43，53} 由乘法原理、加法原理可知||322312A =×+×=. 由古典概率的定义可知：||123()||205 A P A S ===. 方法二(无序法)：将5只球仍编号为1，2，3，4，5. 如果两球是一次取出，那么基本事件是一个无序的结果，每两个数（两个号码）就构成一个基本事件，基本事件相当于从5个不同数中任取2个的一个组合，所以样本空间 S={12，13，14，15，23，24，25，34，35，45} 由组合的定义可知：2554||102 S C ×===. 事件A 包含的基本事件是：相当于有两只手同时取球（一只手在3个白球堆里取，一只手在2个黑球堆里取）放在一起的结果，所以事件 A={14，15，24，25，34，35} 由乘法原理可知. 1132||326A C C ==×=由古典概率的定义可知：||63()||105 A P A S ===. 方法三（全排列法）：题目中所叙述的取球方法是从5个有区别的球中任取2个，考虑2个球的颜色，它等价于：将5个有区别的球随意排成一行，考虑前2个位置的颜色. 把每一个全排列结果作为一个基本事件，那么基本事件发生的可能性都一样. 此时样本空间 S={12345，13245，14235，"，54321 } 由排列的定义可知：. 55||5!S P ==

7.1.1 条件概率

第七章随机变量及其分布 7.1 条件概率与全概率公式 7.1.1 条件概率基础过关练题组一利用定义求条件概率 1.(2020山东日照第一中学高三上期中)根据历年气象统计资料,某地四月份吹东风的概率为7 30 ,既吹东风又下雨的概率为1 10 .则该地四月份在吹东风的条件下,下雨的概率为( ) A.3 11 B.3 7 C.7 11 D.1 10 2.(2020广东顺德高三第三次教学质量检测)已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种元件使用到1年时还未失效,则这个元件使用寿命超过2年的概率为( ) A.0.75 B.0.6 C .0.52 D.0.48 3.(2020辽宁沈阳实验中学高三上月考)每场足球比赛的时间为90分钟,若比赛过程中体力消耗过大,则运动员腿部会发生抽筋现象,无法继续投入到比赛之中.某足球运动员在比赛前70分钟抽筋的概率为20%,比赛结束前20分钟抽筋的概率为50%.若某场比赛中该运动员已经顺利完成了前70分钟的比赛,那么他能顺利完成90分钟比赛的概率为( ) A.4 5 B.3 10 C.5 8 D.2 5

4.(2020东北三省哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校高三第一次联合模拟考试)近年来,新能源汽车技术不断推陈出新,新产品不断涌现,在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术,它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上,车载动力蓄电池充放电循环次数达到2 000次的概率为85%,充放电循环次数达到2 500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2 000次充电,那么该用户的车能够充电2 500次的概率为. 题组二由样本点数求条件概率 5.已知6个高尔夫球中有2个不合格,每次任取1个,不放回地取两次.在第一次取到合格高尔夫球的条件下,第二次取到不合格高尔夫球的概率为( ) A.3 5B.2 5 C.2 3 D.3 10 6.(2020福建南平高级中学高二下期中)同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子,观察向上的点数,记“红骰子向上的点数小于4”为事件A,“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B,则P(B|A)=( ) A.1 2B.1 3 C.1 4 D.1 6 7.(2020山东烟台高二下期中)甲、乙、丙3位大学毕业生去4个工厂实习,每位毕业生只能选择其中的一个工厂实习,设“3位大学毕业生去的工厂各不相同”为事件A,“甲独自去一个工厂实习”为事件B,则P(A|B)= ( ) A.2 3B.1 3 C.3 4 D.5 8 8.(2020山东济宁高三二模)已知n是一个三位数,若n的十位数字大于个位数字,百位数字大于十位数字,则称n为递增数.已知a,b,c∈{0,1,2,3,4},设事件A为

概率图模型理论及应用教学大纲

教学大纲统计推理和学习（Statistical Inference and Learning）是信号处理、模式识别、通信系统等工程应用中处理不确定性的一个重要方法。新兴的（概率）图模型是概率论与图论相结合的产物，为各种统计推理和学习提供了一个统一的灵活框架。本课程介绍图模型基本理论，包括：图论相关知识，图模型上条件独立性，有向图模型（贝叶斯网络）、无向图模型（马尔可夫随机场），图模型的统计推理算法，图模型的学习算法（参数学习和结构学习）等，以及图模型在语音识别、图像处理、计算机视觉、通信信道编码（Turbo-coding）等应用中的具体实例。具体包括如下内容：第一章引言统计推理和学习的概念第二章图模型图论相关知识（简介）图模型上条件独立性（d-separation，Bayes ball）有向图模型（贝叶斯网络），无向图模型（马尔可夫随机场）在图模型框架下介绍：多元高斯模型、主成分分析（PCA）、混合分布（Mixtures）、因子分析（FA）、隐马尔科夫模型（HMM）第三章图模型上的推理（Inference）图论知识深入：簇（Cliques）、可分解图（Decomposable graph），连接树（Junction tree），规范化（Moralization），三角化（Triangulation）等概念 Junction Tree算法对HMM的前向-后向算法、Viterbi算法，线性动态系统的Kalman滤波的统一描述 1

第四章图模型的参数学习（Parameter Learning）完整数据下的最大似然（ML）参数估计不完整数据（Incomplete Data）下的ML参数估计（EM算法）完整数据下的贝叶斯学习不完整数据下的贝叶斯学习第五章图模型的结构学习（Structure Learning）模型选取准则，包括最小描述长度（Minimum Description Length，MDL），贝叶斯信息准则（Bayesian Information Criterion，BIC）等结构EM算法（Structural EM）结构的贝叶斯学习第六章图模型的应用选讲图模型在语音识别应用中的实例图模型在图像处理应用中的实例图模型在计算机视觉应用中的实例图模型在通信信道编码（Turbo-coding）应用中的实例（前面各章中配合理论的讲解，相应有应用实例的介绍。） 2

条件概率

条件概率、乘法公式、独立性前面讲到随机事件时，讲到随机事件是在一定条件S下，进行随机试验而可能发生或可能不发生的事件．当我们计算事件A的概率P(A)时，假如除了条件S外，不再加上其它条件的限制，我们称此种概率为无条件的概率。然而在许多实际问题中，还存在着要求一个事件B在某一事件A差不多发生的条件下的概率．我们称它条件的概率。一．【例1】设箱中有100件同型产品。其中70件(50件正品，20件次品)来自甲厂， 30件(25件正品， 5件次品)来自乙厂。现从中任取一件产品。 (1)求取得甲厂产品的概率； (2)求取得次品的概率； (3)已知取得的是甲厂产品，求取得的是次品的概率。分析：为了直观，我们将产品情况列成表

上面的问题，可用古典概率计算法求得。解：则（1）（2），，，（3）在“已知取得的是甲厂产品”这一条件下任取一件产品，实际上是从甲厂70件产品(50件正品，20件次

品)中任取一件。这时样本空间只含70个差不多事件(是原的样本空间的一部分)。由古典概率知：为了给出条件概率的数学定义，我们对{例1}的条件概率问题进行分析：即有二。条件概率：设A,B是条件S下的两个随机事件，P(A)＞ 0，则称在事件4发生的条件下事件B发生的概率为条件概率, 且

【例 1】从带有自标号1， 2， 3，4，5，6的六个球中，任取两个，假如用A表示事件“取出的两球的自标号的和，为6”，用B表示事件“取出的两球的自标号都处偶数”，试求：

【例】 φ =，解；（ⅰ）∵ABφ 三．概率的乘法公式：

乘法公式：两个事件A、B之交的概率等于中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。即【例2】盒中有10件同型产品。其中8件正品， 2件次品，现从盒中无放回地连取2件，求第一次、第二次都取得正品的概率。

古典概率计算中的若干方法

摘要：通过介绍古典概率的计算方法，使学生在解题过程中能正确分析题意，运用适当的方法获得准确的答案，从而提高分析问题和解决问题的能力。应用古典概率知识分别对抽签问题、方案决策问题、购物问题、线路设计问题进行了概率分析，旨在说明概率的实际应用。关键词：古典概率；排列组合； Abstract: This paper introduces calculations of classical probability that cause students to correctly analyze the question in the solution process and acquire the accurate answer via an appropriate method. Therefore, in so doing, students' ability to analyze and solve problems can be improved. Application of classical probability knowledge to draw respectively, decision making problems, shopping, circuit design problems on the probability analysis, aims to show that the probability of practical application. Keywords: classical probability；permutation and combination

条件概率公式

条件概率公式条件概率：设A、B是两个事件，在A事件发生的条件下，B事件发生的概率，其中P（A）>0。说明A事件发生的概率大于0,表示A事件是必然发生的。记为：P(B|A)=P(AB)/P(A) 。注意事件A作为条件，分母必定是条件概率，所以A事件的概率必定在分母上，分子P(AB)表示事件A与B相交的概率，记作P(A∩B)。举例说明：将一枚硬币抛两次，观察正反面，正面记H,反面记T. 样本空间Ω=（HH, HT,TH,TT）设事件A：至少一次为正面，即事件A=（HH,HT,TH）设事件B：两次为同一面，即事件B=（HH,TT）求事件A发生条件下，事件B发生的概率？即求P(B|A)。（例子来自浙大版概率与统计第四版）从已知条件可知，总样本Ω为4个，A事件有3个，B事件有2个。所以可以直接求出A的概率与B的概率。即P(A)=3/4 , A事件与B事件相交事件只有一个即HH。即P(AB)=1/4.有公式1可知 P(B|A)=P(AB)/P(A)=（1/4）/（3/4）=1/3. 1.2 乘法公式：把式1条件概率公式P(B|A)=P(AB)/P(A)

把P(AB)相交概率移到式子左边，把P(B|A)条件概率移动式子右边。即得到乘法公式。如式P(AB)=P(B|A) P(A)。全概率公式：在条件概率中引入(A∩B)积事件的概念。积事件概率表示相交事件的概率只有在A与B事件同事发生情况下才会发生。P(A∩B)表示A和B相交的概率。而在全概率公式中将引入∪和事件概念. 有个小窍门，其实可以把积事件理解为数字电路的与门、把和事件理解为数字电路的或门。比如样本空间S，可以划分样本B1，B2...B6组成，即S=（B1∪B2∪ (6)

古典概率和排列组合

计数的基本方法：乘法原理和加法原理乘法原理：完成一个事件分为n 个步骤，每个步骤之间没有关联，即都是独立的，假如第k 个步骤有k m 种方法，那么总的方法数就有1n k k m =∏。加法原理：如果步骤之间有相关性，不独立。考虑两个步骤。第一个步骤有m 种方法，而对应第k 个方法，第二个步骤有k m 种方法，那么完成事件的方法数有 1 m k k m =∑。下面以放球入盒模型为例来说明排列组合问题：有n 个球，m 个盒子，把球放入盒中有各种不同的方法，对于每一种给定的放球方式，可能的结果有多少？。排列盒子将认为总是可区分，即已编号，而球分可区分和不可区分两种。放球方式1（球可区分，依次不可重复）：依次放入每一个球，每个盒子中只能放一个，共有多少种不同的结果？此时，当然必须n m ≤。则第一个球有m 种放入方法，第二个球有1m -种，依此类推，第n 个球有1m n -+种，总可能结果有! (1)(1)()! m m m m n m n ?-? ?-+= -个。放球方式2（球可区分，依次可重复）：依次放入每一个球，每个盒子可重复放入球，则总的可能结果有：n m 个。放球方式3（球不可区分，依次不可重复）：依次放入每一个球，每个盒子中只能放一个，但只要放球的盒子编号相同，球的编号不同时，仍视为同一种结果。由此，相当于在m 个盒子中，选出n 个盒子，可能的结果数记为n m C 。称为组合数。事实上，放球方式1可分为两个步骤：选取n 个要放入球的盒子，在把n 个球放入每个盒中，可能结果数为!n m n C 。所以与方式2比较得：! !()! n m m C n m n =-。放球方式4（球不可区分，依次可重复）：每个盒子允许有多个球。由于球不加区分，如果每个盒中的球数相同，则将被视为同一个结果。为此，图示如下。有两个球，放入三个盒子中，结果1

1古典概率典型题解

概率论与数理统计典型题解第一章随机事件与概率典型题解 1．n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率．解令A ={甲、乙两人相邻而坐}，设想圆桌周围有1,2,,n 这n 个位置，由于该问题属于圆排列问题，所以不妨认为甲坐1号位置，那么A 发生当且仅当乙坐2号或n 号位置，从而 1,2,()2 , 2.1 n P A n n =?? =?>? -? 2．甲、乙两人掷均匀硬币，其中甲掷1n +次，乙掷n 次，求甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数的概率．解令A ={甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数}， B ={甲掷出反面的次数大于乙掷出反面次数}，由硬币的均匀性知，()()P A P B =，容易看出，,A B S AB ==? ，由此可知 1()2 P A = ． 3．某班有N 个学生，上体育课时老师发给每人一根绳子进行跳绳练习，跳了10分钟后把绳子放在一堆，进行别的练习，后来每人又随机拿了一根绳子进行练习，问至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子的概率．解令i A ={第i 个学生拿到自己原先使用的绳子}（1,2,,i N = ）， A ={至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子}，则 1 11 ()()()()N N i i i j i i j N i P A P A P A P A A =≤<≤=== -+∑∑ 1 121()(1) ()N i j k N i j k N P A A A P A A A -≤<<≤-+-∑ 1 2 3 1 111 1(1) (1) (1)(2) ! N N N N N N C C C C N N N N N N N -=-+-+---- 1 1111(1) 2! 3! ! N N -=-+-+- ． 4．若事件A 与B 互不相容，且()0P B ≠，证明：(|)()/()P A B P A P B =．证明由于A 与B 互不相容，则AB A =，而()0P B ≠，故