2012届高考数学一轮复习§9.指数与指数函数
§9.指数与指数函数
【学习目标】
1.理解和掌握指数幂的定义及性质.
2.理解和掌握指数函数的概念、图像与性质.
3.综合运用指数函数的图像与性质解决有关实际问题.
【课前热身】
1.（2010·重庆）.函数x
x x f 2
1
4)(+=的图象（ ） A.关于原点对称市 B.关于直线x y =对称 C.关于x 轴对称 D.关于y 轴对称 【解析】D. 2.
3
a ·6a -等于（ ）
A.－a -
B.－a
C.a -
D. a
【解析】A. 3.函数y =（
2
1）2
22+-x x 的递增区间是________. 【解析】（－∞，1］.
4.若直线y =2a 与函数y =|a x －1|（a ＞0，且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________. 【解析】)2
1
0(，
【考点解读】
一、指数 1.根式
（1）根式定义：如果),1(*
∈>=N n n a x n
，那么x 称为a 的n 次实数方根. 式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
（2）方根的性质：当n 为奇数时，a a n
n
=；当n 为偶数时，?
??<-≥==)0()
0(a a a a a a n
n
.
2.分数指数幂
（1）分数指数幂的意义:n m
n
m
a a
=，)1,,,0(1
>∈>=
*-
n N n m a a a
n
m
n
m ，
（2）有理数指数幂的性质：
s r s r a a a +=?；rs s r a a =)(；r r r b a ab =)( ),,0,0(Q s R r b a ∈∈>>
二、指数函数 1.定义
形如)1,0(≠>=a a a y x 且的函数称为指数函数. 2.图象及性质
三、指数函数的应用
1.利用指数函数的性质比较大小
（1）底数相同，指数不同，用指数函数的单调性比较； （2）底数不同，指数相同，用作商法比较；
（3）底数不同，指数不同，借助中间标准量（如0、1）比较. 2.指数增长与减少模型
形如x
ka y =)1,0,(≠>∈a a R k 且的函数称为指数型函数.
（1）指数增长模型：原来产值为N ，平均增长率为P ，则经过时间x 后的产值为x
P N y )1(+=. （2）指数减少模型：原来产值为N ，平均减少率为P ，则经过时间x 后的产值为x P N y )1(-=.
【经典例解】
题型一：指数运算 【例1】化简
)0,0()(3
42
14
13223>>b a a
b b a ab b a
【解析】化简b a
b a ab b ba a a
b b a b a b a b a a b b a ab b a ===>>-3
1312
3
161233142141213231
233421413223)()()]([)0,0()( 【点拨】根式运算一般转化为分数指数运算，但在运算中要注意指数的符号变化. 【变式】设,233=+-x x 则x
x 1
+=________. 【解析】—1，2
题型二：指数函数的图象及性质
【例2】函数y =1+2x +4x a 在x ∈（－∞，1］上y ＞0恒成立，求a 的取值范围.
【解析】由题意，得1+2x
+4x
a ＞0在x ∈（－∞，1］上恒成立，即a ＞－x
x
4
21+在x ∈（－∞，1］上恒成立.
而－x
x 4
21+=－（21）2x －（21）x =－［（21）x +21］2+41， 所以当x ∈（－∞，1］时，值域为（－∞，－4
3
］. ∴a ＞－
4
3
，即a 的取值范围是),43(+∞-.
【点拨】欲求参数a 的取值范围，只需分离函数中的参数a ，使a 大于－x
x
421+在x ∈（－∞，1］
上的最大值，从而将恒成立问题转化为求最大值问题求解.
【变式】方程2x =2－x 的解的个数为________.
【解析】方程的解可看作函数y =2x 和y =2－x 的图象交点的横坐标. 分别作出这两个函数图象（如下图）.
由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.
题型三：指数函数的综合应用 【例3】设函数()(0)kx f x xe k =≠.
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围. 【解析】（Ⅰ）()()()()''1,01,00kx f x kx e f f =+==, 曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =. （Ⅱ）由()()'
10kx f
x kx e =+=，得()1
0x k k =-≠.
若0k >，则当1,x k ?
?∈-∞- ??
?
时，()'
0f x <，函数()f x 单调递减； 当1,,x k ??
∈-
+∞ ???
时，()'0f x >，函数()f x 单调递增. 若0k <，则当1,x k ?
?∈-∞- ??
?
时，()'
0f x >，函数()f x 单调递增； 当1,,x k ??
∈-
+∞ ???
时，()'0f x <，函数()f x 单调递减. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，若0k >，则当且仅当1
1k
-≤-，即1k ≤时，函数()f x 在()1,1-内单调递增；
若0k <，则当且仅当1
1k
-
≥，即1k ≥-时，函数()f x 在()1,1-内单调递增. 综上可知，函数()f x 在区间()1,1-内单调递增时，k 的取值范围是[)(]1,00,1- .
【点拨】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力.
（1）求切线方程，考虑用导数法；（2）考虑用导数法求单调区间，但注意对参数的讨论；（3）转化为导数在给定区间大于或等于零恒成立问题求解.
【变式】若关于x 的方程25－
|x +1|－4·5－
|x +1|－m =0有实根，求m 的取值范围.
【解析】解法一：设y =5－
|x +1|，则0＜y ≤1，问题转化为方程y 2－4y －m =0在（0，1］内有实根.
设f （y ）=y 2－4y －m ，其对称轴y =2，∴f （0）＞0且f （1）≤0，得－3≤m ＜0. 解法二：∵m =y 2－4y ，其中y =5－|x +1|
∈（0，1］，∴m =（y －2）2－4∈［－3，0）
【感悟规律】
1.指数的乘、除运算一般要在同底状态下进行，所以在进行指数运算时，先将指数式化为同底数.
2.解指数不等式，一般将不等式的两边化为同底数的指数形式，再利用指数函数的单调性转化为简单不等式求解.当底数含有参数时，要注意对底数的取值范围加以讨论.
3.与指数函数有关的复合函数的基本形式有)1,0()(≠>=a a a y x f 且和)(x a f y =两种. （1）)1,0()(≠>=a a a y x f 且的定义域与)(x f 的定义域相同，值域由)(x f 的值域与)(x f a y =的单调性确定；
（2）)(x a f y =的定义域由x a y =的值域与)(x f 的定义域确定，值域可通过换元法求解. 4.利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域及最值、定点、定值等问题，因此应注意数形结合思想的灵活运用，能熟练地对指数函数的图象进行平移、旋转、翻折等变换.
【考点演练】
一、选择题
1.下列函数中值域为正实数的是（ ） A.y =－5x B.y =（
3
1）1－x
C.y =1)21(-x
D.y =x 21-
2.函数f （x ）=a x +log a （x +1）在［0，1］上的最大值与最小值的和为a ，则a 的值为（ ） A.
41 B. 2
1
C.2
D.4 3.（2010·山东）函数y =2x -2
x 的图像大致是（ ）
二、填空题
4.满足条件m 2
m ＞（m m ）2的正数m 的取值范围是________. 5.若1
()21
x f x a =+-是奇函数，则a =________. 6. 已知2x
x
+2
≤（
4
1）x －2，则函数y =2x －2－
x 的值域为________. 三、解答题
7.已知9x －10·3x +9≤0，求函数y =（41）x －1－4（2
1
）x +2的最大值和最小值.
8. 设函数x x f x f x x 22)(,2)(|1||1|≥=--+求使时x 的取值范围.
9.设函数()x
e f x x
=.
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若0k >，求不等式'
()(1)()0f x k x f x +->的解集．
【考点演练答案与解析】
一、选择题
1. B
2. B
3. A
二、填空题
4. m ＞2或0＜m ＜1
5. 21
6.［－16255，2
3
］ 三、解答题
7.【解析】由9x －10·3x +9≤0，得（3x －1）（3x －9）≤0，解得1≤3x ≤9.∴0≤x ≤2.
令（
21）x =t ，则41≤t ≤1，y =4t 2－4t +2=4（t －21
）2+1. 当t =2
1
，即x =1时，y min =1；
当t =1，即x =0时，y max =2.
8.【解析】因为2x
y =是增函数，所以()f x ≥3
|1||1|2
x x +--≥ ① (1)当1x ≥时，|1||1|2x x +--=，①式恒成立； (2)当11x -<<时，|1||1|2x x x +--=，①式化为322x ≥，即3
14
x ≤<； (3)当1x ≤-时，|1||1|2x x +--=-，①式无解.
综上x 的取值范围是3,4
??+∞????
.
9.【解析】 (1) '
22111()x x x
x f x e e e x x x
-=-
+=, 由'()0f x =,得 1x =. 因为 当0x <时,'()0f x <； 当01x <<时,'()0f x <； 当1x >时,'()0f x >；
所以()f x 的单调增区间是[1,)+∞； 单调减区间是: (,0)(0,1]-∞，
. （2）由 2'
2
1()(1)()x x kx kx f x k x f x e x
-+-+-=2(1)(1)0x
x kx e x --+=>, 得(1)(1)0x kx --<.
故当 01k <<时, 解集是1
{1}x x k
<<； 当 1k =时，解集是?； 当 1k >时, 解集是：1
{1}x
x k
<<.
高三数学复习教案：指数与指数函数教案
第二章 指数函数与对数函数及函数的应用 一、知识网络 二、课标要求和最新考纲要求 1、指数函数 （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14 C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2、对数函数 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； （2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3、知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。 4、函数与方程
（1）了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。 （2）理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. 5、函数模型及其应用 （1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 （2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 （3）能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。 三、命题走向 函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势. 考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测2010年对本节的考查是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。
高中文科数学一轮复习指数函数和对数函数部分
第三章 指数函数和对数函数 第一节 指数函数 A 组 1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a － b 的值等于________． 解析：∵a >1，b <0，∴01.又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a － 2b ＝ 6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b －a － b ＝－2.答案：－2 2．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________. 解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3.又f (2)＝a 2－3＝0，∴a ＝3，则f (3)＝(3)3－3＝33－3. 答案：33－3 3．函数y ＝(12 )2x －x 2 的值域是________． 解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， ∴(12)2x －x 2≥12.答案：[1 2 ，＋∞) 4．(2009年高考山东卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，01. 答案：(1，+∞) 5．(原创题)若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 等于________． 解析：由题意知????? 01 a 0－1＝0a 2－1＝2 ?a ＝ 3.答案： 3 6．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值； (2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1.
高考数学-指数与指数函数讲义.doc
指数与指数函数 一?填空题 1. 已知f(x)=(a2-1)x是减函数,则a的取值范围是________. 2. (-1.8)0+(1.5)-2× 2 3 3 3 8 ?? ? ?? -(0.01)-0.5+ 3 2 9=________. 3. 指数函数y=? ? ?? ?b a x的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx的顶点横坐 标的取值范围是________. 4. 已知0≤x≤2,则y= 1 2 4325 x x - -?+的最大值为________. 5. 已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象如图所示,则g(x)=a x+b的图象是________. 6. (2011·新沂一中模拟)已知f(x)= ()1 1,0 2 ,0 x a x a x a x ? -++< ? ? ?≥ ? 是(-∞,+∞)上的减函数,那么实数a的取值范围是________. 7. 若函数f(x)?g(x)分别是R上的奇函数?偶函数,且满足f(x)-g(x)=e x,则有________. ①f(2)
二?解答题 10. 计算 ÷ 3a －73a 13; (2)2 3338-??- ??? +120.002--10(5-2)-1+(2-3)0; (3)已知1 1224m m -+=,求33221122m m m m -- -+的值. 11. 函数f (x )= 2－x x －1 的定义域为集合A ,关于x 的不等式22ax <2a +x (a ∈R )的解集为B , 求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围. 12. (2011·丹阳中学期中)设函数f (x )=ka x -a -x (a >0且a ≠1)是奇函数. (1)求k 的值; (2)若f (1)>0,试求不等式f (x 2+2x )+f (x -4)>0的解集; (3)若f (1)=32 ,且g (x )=a 2x +a -2x -2mf (x )在[1,+∞)上的最小值为-2,求m 的值
艺术生高考数学专题讲义：考点7 指数与指数函数
考点七 指数与指数函数 知识梳理 1．根式 如果a ＝x n ，那么x 叫做a 的n 次实数方根(n >1且n ∈N *)，当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个正数，负数的n 次实数方根是一个负数，记为：n a ；当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有两个，它们互为相反数，记为：±n a .式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (1)两个重要公式 ① n a ＝?????a （n 为奇数），|a |＝?????a （a ≥0），－a （a <0）（n 为偶数）； ② (n a )n ＝a (注意a 必须使n a 有意义)． (2)0的任何次方根都是0． (3)负数没有偶次方根． 2．分数指数幂 (1)分数指数幂的概念： ①正分数指数幂：a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a m n -＝ 1 a m n ＝ 1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝a r ＋ s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a r s (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂a r (a >0，r 是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 4．指数函数的图象与性质
图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过点(0,1)，即x ＝0时y ＝1 当x >0时，y >1； 当x <0时，0
2018年指数与指数函数高三第一轮复习讲义
2018《高三第一轮复习课：指数与指数函数》 咸丰一中数学组：青华 高考要求： （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 重点难点： 对分数指数幂含义的理解，学会根式与分数指数幂的互化掌握有理指数幂的运算性质； 指数函数的性质的理解与应用，能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较 简单的函数的有关问题． 知识梳理 1．根式的概念 (1)根式 如果一个数的n 次方等于a ( n >1且n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是， 若x n ＝a ，则x 叫做___________，其中n >1且n ∈N *.式子n a 叫做_______，这里n 叫做_________，a 叫做__________． (2)根式的性质 ①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号________表示． ②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号________表示，负的n 次方根用符号________表示．正负两个n 次方根可以合写成________(a >0)．负数没有偶次方根 ______(_____(0) ||(_____(0)n n n a a a n a ??=≥??=??
高考理科数学一轮复习指数与指数函数专题复习题
课时作业8 指数与指数函数 一、选择题 1．化简4a 23 ·b － 1 3 ÷? ?????－2 3a － 13 b 23 的结果为( C ) A ．－2a 3b B ．－8a b C ．－6a b D ．－6ab 2．设函数f (x )＝????? ? ?? ??12x －7，x <0， x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( C ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞) C ．(－3,1) D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 解析：当a <0时，不等式f (a )<1为? ????12a －7<1， 即? ????12a <8，即? ????12a
因为0<1 2<1，所以a >－3， 此时－3－2)与指数函数y ＝? ?? ??12x 的图象的交点个数是( C ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 解析：因为函数y ＝－x 2 －4x ＝－(x ＋2)2 ＋4(x >－2)，且当x ＝－2时，y ＝－x 2 －4x ＝4， y ＝? ????12x ＝4，则在同一直角坐标系中画出y ＝－x 2－4x (x >－2)与y ＝? ?? ??12 x 的图象如图所示，由图象可得，两个函数图象的交点个数是1，故选C. 5．(2019·福建厦门一模)已知a ＝? ?? ??120.3，b ＝log 12 0.3，c ＝a b ，则a ，b ，c 的大小关 系是( B ) A ．a 技能训练（十） 指数与指数函数 序号：NO.10 日期：2019.12.19 【考纲传真】 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象 通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13 的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型． 【知识通关】 1．根式 n 次方 根 概 念 如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的__________，其中n ＞1，n ∈N * 表 示 当n 是_______时，a 的n 次方根x ＝n a 当n 是_______时，正数的n 次方根x ＝±n a ；负数没有偶次方根 0的任何次方根都是__，记作n 0＝0 根式 概念 式子n a 叫做______，其中n 叫做________，a 叫做_________ 性质 (n a )n ＝__ 当n 为奇数时，n a n ＝__ 当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝___________ 2.有理数指数幂 (1)分数指数幂 ①正分数指数幂：a m n ＝_____ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a -m n ＝_______＝_______ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于__,0的负分数指数幂____________． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r·a s＝_______ (a＞0，r，s∈Q)； ②(a r)s＝_____ (a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝______ (a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝a x a＞10＜a＜1图象 定义域R 值域_________ 性质 过定点______ 当x＞0 时， ______；x ＜0时， ________ 当x＞0时，________；x＜0时，_______ 在R上是 _______ 在R上是_______ 【题型全通】 [题型一]指数幂的化简求值 高考数学指数与指数函数 指数与指数函数 一、填空题 1. 已知f (x )＝(a 2－1)x 是减函数，则a 的取值范围是________． 2. (－1.8)0 ＋(1.5)－ 2 × 23 338?? ??? －(0.01) － 0.5 ＋32 9＝ ________. 3. 指数函数y ＝? ?? ???b a x 的图象如图所 示，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的顶点横坐标的取值范围是________． 4. 已知0≤x ≤2，则y ＝12 4325x x --?+的最大值为________． 5. 已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )，若f (x )的图象如图所示，则g (x )＝a x ＋b 的图象是________． 6. (2011·新沂一中模拟)已知f (x )＝ ()11,02,0x a x a x a x ? -++?? ，则f (2 010)＝ ________. 二、解答题 10. 计算： ÷ 3 a －7 3 a 13； (2) 23 338- ??- ??? ＋12 0.002- －10(5－2)－1＋ §2.5 指数与指数函数 最新考纲 1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.4.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 1．分数指数幂 (1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是m n a ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．于是，在条件a >0，m ，n ∈N *，且n >1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定m n a －＝ 1m n a (a >0，m ，n ∈N *，且n >1).0的正 分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋ s ，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质 概念方法微思考 1.如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1之间的 大小关系为 ． 提示 c >d >1>a >b >0 2．结合指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质说明a x >1(a >0，a ≠1)的解集跟a 的取值有关． 提示 当a >1时，a x >1的解集为{x |x >0}；当01的解集为{x |x <0}． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(n a )n ＝a (n ∈N *)．( × ) (2)分数指数幂m n a 可以理解为m n 个a 相乘．( × ) (3)函数y ＝3·2x 与y ＝2x ＋1 都不是指数函数．( √ ) (4)若a m 0，且a ≠1)，则m 浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习教案：指数与指数函数 教材分析： 本节在根式的基础上将指数概念扩充到有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质 在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法. 学情分析： 学生基础较为薄弱，大部分学生知道运算性质，但是运用却不灵活。关键是对知识理解的不够透彻。只有在理解的基础上，通过运算，才能使学生熟练掌握本节知识。 教学目的： 1.理解分数指数幂的概念. 2.掌握有理指数幂的运算性质. 3.会对根式、分数指数幂进行互化. 教学重点： 1.分数指数幂的概念. 2.分数指数幂的运算性质. 教学难点：对分数指数幂概念的理解. 教学过程： 一、知识梳理： 1．根式的定义 2．根式的运算性质： ①当n 为任意正整数时，(n a )n =a. ②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=? ??<-≥)0() 0(a a a a . ⑶根式的基本性质： n m np m p a a =， （a ≥0） 用语言叙述上面三个公式： ⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身. ⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值. ⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变. 3．引例：当a ＞0时 ①5 102 5 52510 )(a a a a === ②3 124 334312 )(a a a a === ③3 23 3 3 23 2 )(a a a == 第8讲 指数与指数函数 考试要求 1.有理指数幂的含义及运算，B 级要求；2.实数指数幂的意义，指数函数模型的实际背景，A 级要求；3.指数函数的概念、图象与性质，B 级要求． 知 识 梳 理 1．根式 (1)概念：式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)性质：(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝??? a ，a ≥0，－a ，a <0. 2．分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正 数的负分数指数幂的意义是 ＝ 1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指 数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 3．指数函数及其性质 (1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数． (2)指数函数的图象与性质 a >1 0 当x >0时，y>1；当x<0时，0 分数指数幂的运算 【知识要点】 1、整数指数幂运算性质 (1)=?n m a a ),(Z n m ∈ (2) =n m a a ),(Z n m ∈ (3) =n m a )( ),(Z n m ∈ （4）=?n b a )( )(Z n ∈ (5) 根式运算性质 ???=为偶数 为奇数n a n a a n n ,, 2、正数的正分数指数幂的意义 n m n m a a = （n m a ,,0>∈N *,且)1>n 注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示形式； （2）二是根式与分数指数幂可以进行互化. 3、对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. (1)n m n m a a 1= - （n m a ,,0>∈N * ,且)1>n (2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 4、有理指数幂的运算性质 (1)∈>=?+s r a a a a s r s r ,,0(Q ） (2) ∈>=s r a a a rs s r ,,0(）（Q ） (3) ∈>=?s r a b a b a r r r ,,0()(Q ） 注意：若p a ,0>是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用 求值：4332 13 2)81 16(,)41(,100,8- -- ,23)425(-,423 981?,63125.132?? 计算：[] .01.016 )2()8 7 ()064.0(2 175 .03 43 03 1 -++-+---- - 1.化简：（1）2 93 2 )- （2 （3） 2.计算求值() ()( ) .322 510002.08330 1 2 13 2-+--+? ? ? ??--- - 3.÷--)8)(3(312 12 13 2b a b a )6(6 561b a - 4.化简代数式 .21 12 2112112----------+---+-b a b a b a b b a a 5.化简计算：（1）)2(4121y x -)2(4121y x + （2）42 34 32 1)(k n m - 6.已知22 12 1=+- a a ，求下列各式的值。 （1）;1 -+a a (2);2 2 -+a a 7.已知32x a b --=+, . 高考数学专题：指数与指数函数 最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，1 3的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型. 知 识 梳 理 1.根式 (1)概念：式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (2)性质：(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝???a ，a ≥0，－a ，a <0. 2.分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指 数幂的意义是a － m n ＝1 (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指 数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 3.指数函数及其性质 (1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质 R 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示 (1)4 （－4）4＝－4.( ) (2)(－1)2 4＝(－1)1 2＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数.( ) (4)函数y ＝a x 2＋1 (a >1)的值域是(0，＋∞).( ) 解析 (1)由于4（－4）4＝4 44＝4，故(1)错. (2)(－1)2 4＝4 （－1）2＝1，故(2)错. (3)由于指数函数解析式为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，故y ＝2x －1不是指数函数，故(3)错. (4)由于x 2＋1≥1，又a ＞1，∴a x 2＋1 ≥a .故y ＝a x 2＋1 (a ＞1)的值域是[a ，＋∞)，(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.(必修1P52例5改编)化简[(－2)6]1 2－(－1)0的结果为( ) A.－ 9 B.7 C.－10 D.9 解析 原式＝(26)1 2－1＝8－1＝7. 答案 B 3.函数y ＝a x －a －1(a >0，且a ≠1)的图象可能是( ) 解析 函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1 a 个单位长度得到，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当01，平移距离大于1，所以C 对数函数 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内. 1．对数式b a a =--)5(log 2中，实数a 的取值范围是 （ ） A ．)5,(-∞ B ．(2,5) C ．),2(+∞ D ． )5,3()3,2(Y 2．如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么 （ ） A ．x =a +3b －c B ．c ab x 53= C ．53 c ab x = D ．x =a +b 3－c 3 3．设函数y =lg(x 2－5x )的定义域为M ，函数y =lg(x －5)+lg x 的定义域为N ，则 （ ） A ．M ∪N=R B ．M=N C ．M ?N D ．M ?N 4．若函数log 2(kx 2+4kx +3)的定义域为R ，则k 的取值范围是 （ ） A ．??? ? ?43,0 B ．??????43,0 C ．??? ???4 3,0 D ．?? ? ??+∞-∞,43 ]0,(Y 5．下列函数图象正确的是 （ ） A B C D 6．已知函数) (1 )()(x f x f x g - =，其中log 2f (x )=2x ，x ∈R ，则g(x ) （ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是偶函数又是增函数 C ．是奇函数又是增函数 D ．是偶函数又是减函数 8．如果y=log 2a －1x 在(0，+∞)内是减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．｜a ｜＞1 B ．｜a ｜＜2 C ．a 2-< D ．21< 2016届高三数学一轮基础巩固 第2章 第4节 指数与指数函数 新 人教A 版 一、选择题 1．(2014·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象 不经过点A 的是( ) A ．y ＝1－x B ．y ＝|x －2| C ．y ＝2x －1 D ．y ＝log 2(2x ) [答案] A [解析] f (x )＝a x －1 的图象过定点(1,1)，在函数y ＝1－x 中当x ＝1时，y ＝0，故选A ． 2．(文)(2013·烟台月考)若a ＝log 20.9，b ＝3－13，c ＝(13)1 2，则( ) A ．a 3－1 2 >0，所以a 高三数学一轮复习 指数与指数函数教案 教材分析： 本节在根式的基础上将指数概念扩充到有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质 在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法. 学情分析： 学生基础较为薄弱，大部分学生知道运算性质，但是运用却不灵活。关键是对知识理解的不够透彻。只有在理解的基础上，通过运算，才能使学生熟练掌握本节知识。 教学目的： 1.理解分数指数幂的概念. 2.掌握有理指数幂的运算性质. 3.会对根式、分数指数幂进行互化. 教学重点： 1.分数指数幂的概念. 2.分数指数幂的运算性质. 教学难点：对分数指数幂概念的理解. 教学过程： 一、知识梳理： 1．根式的定义 2．根式的运算性质： ①当n 为任意正整数时，(n a )n =a. ②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=? ??<-≥)0() 0(a a a a . ⑶根式的基本性质： n m np mp a a = ，（a ≥0） 用语言叙述上面三个公式： ⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身. ⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值. ⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变. 3．引例：当a ＞0时 ①5 10 2 5 5 2510 )(a a a a === ②3 12 4 3 34312) (a a a a === ③32 3 3 32 3 2 ) (a a a == ④2 1 2 21 )(a a a == 指数与指数函数 【考纲要求】 1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质 2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集； 3.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域； 4.掌握指数函数图象： 5.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、整数指数幂的概念及运算性质 (1)整数指数幂的概念 () ()) ,0(1 010* Z*n a a a a a Z n a a a a n n a n n ∈≠=≠=∈???=- 个 (2)运算法则 ①n m n m a a a +=?； ②() mn n m a a =； ③()0≠>=-a n m a a a n m n m ，； ④()m m m b a ab =. 指数与指数函数 图象与性质 指数运算性质 指数函数的图像与 指数的概念 考点二、根式的概念和运算法则 (1)n 次方根的定义： 若x n =y(n ∈N * ，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根. 要点诠释： n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为 n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ； n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为 0=. (2)根式的意义与运算法则 y y n n =)( ?? ?=) (||) (,为偶数为奇数n a n a a n n 考点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N * ，且 m n 为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1 n a = m m n a ==-1m n m n a a = 考点四、有理数指数幂的运算性质 ()Q b a ∈>>βα,00，， (1);a a a αβαβ +?= (2)();a a αβ αβ = (3)();ab a b ααα = 当a>0，p 为无理数时，a p 是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释： (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； (2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如 244 2)4()4(-≠-； (3)幂指数不能随便约分.如2 14 2)4()4(-≠-. 考点五、指数函数 (1)定义： 一轮复习： 指数与指数函数 [最新考纲] 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，1 3的指数函数的图象． 4．体会指数函数是一类重要的函数模型. 知 识 梳 理 1．根式 (1)根式的概念 ①n a n ＝? ???? a ，n 为奇数， |a |＝??? ?? a ，a ≥0，－a ，a ＜0， n 为偶数． ②( n a )n ＝a . 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①零指数幂：a 0＝1(a ≠0)． ②负整数指数幂：a －p ＝ 1 a p (a ≠0，p ∈N *)； ③正分数指数幂：a n m ＝n a m (a ＞0，m ，n ∈ N *，且n ＞1)； ④负分数指数幂：a n m -＝ a n m 1 ＝ 1 n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质 1．指数幂的应用辨析 (1)(4 －2)4＝－2.(×) (2)(教材探究改编)(n a n)＝a.(×) 2．对指数函数的理解 (3)函数y ＝3·2x 是指数函数．(×) (4)y ＝? ?? ?? ?1a x 是R 上的减函数．(×) (5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图， 无论在y 轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小．(×) (6)(2013·调研改编)已知函数f (x )＝4＋a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是(1,5)．(√) [感悟·提升] 1．“ n a n ”与“? ?? ??n a n ”的区别 当n 为奇数时，或当n 为偶数且a ≥0时，n a n ＝a ，当n 为偶数，且a ＜0时， n a n ＝－a ，而(n a )n ＝a 恒成立．如(1)中 4 －2 不成立，(2)中6 －22＝3 2≠3 －2. 2．两点注意 一是指数函数的单调性是底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按0＜a ＜1和a ＞1进行分类讨论，如(4)； 二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系，在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y 轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大．如(5). 学生用书 第22页10指数与指数函数(无答案)-山东省青岛志贤中学高考数学复习学案
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