第14讲 数学归纳法和数列极限(学生)

第14讲 数学归纳法、数列极限

班级________ 姓名________学号________

一、填空题：

1、用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋（n ＋3）＝2

)4)(3(++n n （n N *

∈），

当n ＝1时，左边应为 ． 2、观察下列式子:1+

221＜23,1+221+231＜35,1+221+231+2

41＜47

,…，可以猜想其一般的结论为

3、若8)43(lim =+∞

→n n n b a ，1)6(lim =-∞

→n n n b a ，则=+∞

→)3(lim n n n b a

。

4、设等比数列)(}{N n a n ∈的公比21-

=q ，且)(lim 12531-∞→+???+++n n a a a a 3

8

=，则=1a

。

5、{}a n 是首项为3，

公差为2的等差数列，则lim()n n n

a a a a a a →∞

-+++=111

12231 。

6、若s

i n c o s αα+=-1

5

,(α为三角形一个内角),则2lim(1tan tan tan )n n ααα→∞++++= 。

7、lim()n n n n n

n →∞++++++++=11213121

2

222 。 8、已知()31

133lim 1=+++∞→n n n n a ，则实数a 的取值范围是 9、已知0)1

1

(

lim 2=--++∞→b an n n n ，则实数a= ，b= 。 10、首项为1，公比为q(q>0)的等比数列前n 项和为S n ，则lim n n

n S S →∞+=1

。

11、如图，连结ABC ?的各边中点得到一个新的111,A B C ?又连

结111A B C ?的各边中点得到222A B C ?，如此无限继续下 去，得到一系列三角形：ABC ?，111A B C ?，222A B C ?，...， 这一系列三角形趋向于一个点M 。已知(0,0),(3,0),A B

(2,2),C 则点M 的坐标是 。

12、设c b a ,,是满足91≤<<

a .0，?

b 0.0，?

c 00.0

成等比数列，则c b a ,, 的值依次为 。 二、选择题：

13、下列四个命题中正确的是 （ ）

A 、若lim ,lim n n n n a A a A →∞

→∞

==22

则 B 、若0,lim 0n n n a a A A →∞

>=>，则

C 、若lim ,lim n n n n a A a A →∞

→∞

==则22

D 、若lim(),lim lim n n n n n n n a b a b →∞

→∞

→∞

-==0则

14、利用数学归纳法证明“对任意偶数n ，n a －n

b 能被a ＋b 整除”时，其第二步论证，应该是 （ ） （A ）假设n ＝k 时命题成立，再证n ＝k ＋1时命题也成立； （B ）假设n ＝2k 时命题成立，再证n ＝2k ＋1时命题也成立； （C ）假设n ＝k 时命题成立，再证n ＝k ＋2时命题也成立； （D ）假设n ＝2k 时命题成立，再证n ＝2k ＋2时命题也成立．

15、某个命题与自然数n 有关，如果当n ＝k （k ∈N ）时该命题成立，那么可推得当n ＝k +1时该命题也成立．现已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得 （ ） （A ）当n ＝6时，该命题不成立； （B ）当n ＝6时，该命题成立； （C ）当n ＝4时，该命题不成立； （D ）当n ＝4时，该命题成立．

16、若三数a ,1,c 成等差数列且a 2,1,c 2又成等比数列，则n

n c

a c a )(lim 2

2

++∞→的值是 ( ) A 0 B 1 C 0或1 D 不存在

17、设数列{a n }、{b n }都是公差不为0的等差数列，且∞

→n lim

n n b a =2，则∞→n l i m n

n

na b b b 3221+++ 等于 ( )

A.1

B.

21 C.31 D.4

1

18、已知曲线y x qx =-+2

31与x 轴无公共点，且S n 为数列{}15n q -的前n 项之和，则

lim n n S →∞

的值是 （ ）

A 、0

B 、51-q

C 、5

D 、不确定

三、解答题： 19、求下列极限：

①lim cos sin cos sin ,[,]n n n n n

→∞-+∈θθθθθπ02

②)]1([lim n n n n -+∞

→

20、等比数列{}

a n 的前n 项和S n ，且lim n n S →∞

=

1

2

，求a 1的范围。

21、已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，d ≠0且a 1=0,b n =2n a (n ∈N *),S n 是{b n }的前n 项

和，T n =n

n b S

(n ∈N *)

(1)求{T n }的通项公式； (2)当d ＞0时，求lim n n T →∞

。

22、已知数列{}n a 中 ，121

23

n n n

a S a S =-+

+=≥，（n 2）

(1)计算1234S S S S ，，，，并猜想n S 的表达式； (2)用数学归纳法证明n S 的表达式。