整式及其混合运算

整式

【课标要求】

1．在现实情景中进一步理解用字母表示数的意义． 2．能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示． 3．能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义．

4．会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．

5．能够熟练地通过合并同类项、去括号对代数式进行化简计算．

6．了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘、除运算． 7．了解同底数指数幂的意义和基本性质．

8．会推导乘法公式22))((b a b a b a -=-+；2222)(b ab a b a ++=+，了解公式的几何背景，并能进行简单的计算． 【中考动向】

近年来，本讲内容除出现在常见的选择、填空题中外，也常出现在化简求值题中，是中考的必考内容，在试卷中主要分布在低中档题目中． 【知识网络图】

第1课时 整式的概念

【知识要点】

1.用字母可以表示任何数，也可以直观的表示运算律和公式．

2.代数式的概念、书写和意义．

3.代数式的表示和求值．

4.单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，它的数字因数为该单项式的系数，如：

单项式－2a 2b 3

的系数为－2．

5.多项式：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做它的一个项，它的次数最高的项的

次数叫做这个多项式的次数.如：－7＋4y 2

－3y 有三项，次数为2． 6.整式：单项式和多项式统称为整式．

【典型例题】 例1 在矩形纸片上截去四个面积相等的

小正方形，小正方形的边长为c ， 如图所示，求阴影部分的面积和周长． 解：⑴面积：2

4c ab - ⑵周长：)(2b a +

例2 ⑴写出用排数m 表示座位数n 的公式；

⑵利用⑴题中的公式计算当排数为19排时的座位数．

解：⑴用排数m 表示座位数n 的公式是：)1(219-+=m n

⑵当m =19时，n ==-+)119(21955（个） 答：当排数为19排时，座位数为55个．

例3 当x =2时，代数式73

-+bx ax 的值等于－19，求当x =－2时代数式的值． 解：∵当x =2时，1973

-=-+bx ax

则将x =2代入1973

-=-+bx ax 得1228-=+b a

∴将x = －2代入73-+bx ax 得：

-=---=-+72873b a bx ax （7)28-+b a 5=

∴当x = －2时，代数式73

-+bx ax 的值等于5． 例4 下列式子中那些是单项式，那些是多项式？

3

xy

，5a ，－34xy 2z ，a ，x －y ，1x ，0，3.14，－m ，－m+1．

解：单项式：3

xy

，5a ，－34xy 2z ，a ，0，3.14，－m ．

多项式：x －y ，－m+1．

【知识运用】 一、选择题

1．下列各式是代数式的个数有（ ）．

（1）ab=ba （2）2a+3b （3）1+3+

17

（4）2

R S π= A ．5 B ．4 C ．3 D ．2

2．若－32x m y 2是6次单项式，则正整数m 的值是（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．2

3．多项式2x 3

－x 2y 2+y 3+25的次数是（ ）

图3－1－1

A．二次B．三次C．四次D．五次4．（2007．荆门）如图3－1－2，阴影部分的面积是（）

A．11

2

xy B．

13

2

xy

C．6xy D．3xy

二、填空题

5．代数式3a b

+可表示的实际意义是_______________．

6．下列各式－2

5

x2，

1

2

（a+b）c ，3xy，0，

23

3

a-

，－5a2+a中，

是多项式的有．7．如图3－1－3是由边长为a和b

计算下图中阴影部分的面积，可以验证的一个公式是

.

三、解答题

8．若3

1

2=

-

+a

a，求代数式

3

1

3

1

3

1

2-

+a

a的值．

9．如图3－1－4，矩形花园ABCD中，AB=a，AD=b，花园中建有一条矩形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK，若LM=RS=c，求花园中可绿化部分的面积．

10．已知：如图3－1－5，现有a a

?、b b

?的正方形纸片和a b

?的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为22

252

a a

b b

++，并标出此矩形的长和宽．

第2课时整式的加减

图3－1－4

A

B

Q

D

C

图3－1－2

图3－1－3

a b

b

图3－1－5

【知识要点】

1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 2．合并同类项：把同类项合并成一项就叫做合并同类项.

3．去括号：若括号前是“+”号，则去掉括号后，括号里边的各项不变号；

若括号前是“－”号，则去掉括号后，括号里边的各项均变号.

4．整式的加减：实质上是去括号后合并同类项，运算结果是一个多项式或一个单项式． 【典型例题】

例1 先合并同类项，再求值：－3x 2y ＋2x 2y 2＋8x 2y －7x 2y 2

＋3， 其中 x=1，y=2．

解：原式 =（－3＋8）x 2y ＋（2－7）x 2y 2

＋3

=5x 2y －5x 2y 2

＋3 当x=1，y=2时

原式=5×12×2－5×12×22+3=10－20+3= －7 例2 已知2a 2x b 3y 与–3a 2b 2-x 是同类项，求2x+y 2的值． 解：∵2a 2x b 3y 与–3a 2b 2-x 是同类项

∴ ??

?-==x

y x 232

2

由①得x=1 ③

将③代入②得y=

13 ∴2x+y 2=2×1+（1

3）2

=2+1

9

=19

9

例3 计算：5ab c －｛2a 2b －［3ab c －（4ab 2

－a 2b ）］+3abc ｝ 解：原式=5ab c －［2a 2b －（3ab c －4ab 2+a 2b ）+3abc ］

=5ab c －（ 2a 2b －3abc+4ab 2

－a 2b+3abc ） =5ab c －（ a 2b+4ab 2 ） =5ab c － a 2b －4ab 2

例4 已知x+y =－5，xy=6，求（－x －3y －2xy ）－（－3x －5y+xy ）的值. 解：（－x －3y －2xy ）－（－3x －5y+xy ） =－x －3y －2xy+3x+5y －xy

=2x+2y －3xy =2（x+y ）－3xy

将x+y =－5，xy=6代入，则

原式=2×（－5）－3×6=－10－18=－28

例5 已知A=x 3－5x 2，B=x 2

－11x+6，求2A －3B

解：2A －3B=2（ x 3－5x 2）－3（x 2

－11x+6 ）

= 2x 3－10x 2

－3 x 2+33x －18

= 2x 3

－13x 2+33x －18

［知识运用］ 一、选择题

① ②

1．若2n x y -与23yx 是同类项，则n 的值是（ ）

A ．1-

B ．3

C ．1

D ．2 2．已知a=－（－2）2，b =－（－3）3，c= －（－42），则－［a －（b －c ）］的值是（ ）

A ．15

B ．7

C ．－39

D ．47

3．(2008．广州)若实数a 、b 互为相反数，则下列等式中恒成立的是（ ） A. 0a b -= B. 0a b += C. 1ab = D. 1ab =- 4．下列去括号中，错误的是（ ）

A ．3x 2－（x －2y ＋5z ）=3x 2

－x ＋2y －5z

B ．5a 2＋（－3a －b ）－（2c －d ）=5a 2

－3a －b －2c ＋d C ．－3（x ＋6）＋3x 2=－3x －6＋3x 2

D ．－（x －2y ）－（－x 2＋y 2）=－x ＋2y ＋x 2

－y 2 二、填空题

5．不论a ，b 取何值，代数式－

13ab 2＋56ab 2－12

b 2

a 的值都等于 0 ． 6．化简2x 2

－2［3x －2（－x 2

＋2x －1）－4］= ．

7．已知（a+b ）2+ 12-b =0，则a b －［2a b －3（a b －1）］= ． 三、解答题

8．已知3x 5+a y 2和－5x 3y b+1是同类项，求代数式3b 4－6a 3b －4b 4

＋2ba 3的值．

9．已知A ＝a ＋2，B ＝ a 2－a ＋5，C ＝a 2＋5a －19，其中a ＞2． （1）求证：B －A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； （2）指出A 与C 哪个大？说明理由．

10．（2007．孝感）二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且P =| a －b ＋c |＋| 2a ＋b |，Q =| a ＋b ＋c |＋| 2a －b |，试比较P 、Q 的大小．

第3课时 整式的乘除

［知识要点］

1.同底数幂的乘法法则：a m ﹒a n =a m+n

（m ，n 都是正整数）

同底数幂的乘法的逆运算：a m+n = a m ﹒a n

（m ，n 都是正整数）

2.幂的乘方法则：（a m ）n =（a n ）m =a mn

（m ，n 都是正整数）

幂的乘方的逆运算：a mn =（a m ）n =（a n ）m

（m ，n 都是正整数）

3.积的乘方法则：（ab ）n =a n b n

（n 为正整数）

积的乘方的逆运算：a n b n =（ab ）n

（n 为正整数）

4.同底数幂的除法法则：a m ÷a n =a m-n

（a ≠0，m ，n 都是正整数，且m ＞n ）

同底数幂的除法的逆运算：a m-n = a m ÷a n

（a ≠0，m ，n 都是正整数，且m ＞n ） 5.零次幂和负整数指数幂的意义：

（1）a 0

=1（a ≠0） (2)p p

a

a

1

=

-（a ≠0，p 为正整数） 6.单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． 7.单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．

8.多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

9.平方差公式：（a+b ）（a －b ）=a 2

－b 2

公式也可逆用：a 2

－b 2

=（a+b ）（a －b ） 10.完全平方公式：（a ±b ）2

=a 2

±2ab+b 2

公式也可逆用：a 2

±2ab+b 2

=（a ±b ）2

11.单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式.

12.多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.

13.探求规律：学会科学的思维方法，探求数量和图形的变化规律. ［典型例题］ 例1 计算：（a m ）2﹒（a 3）m+2﹒a 4m

解：原式=a 2m ﹒a 3（m+2）

﹒a 4m = a 2m ﹒a 3m+6﹒a 4m =a 2m+3m+6+4m =a 9m+6 例2 计算：（x m ﹒x 2n ）3÷x m+n ﹒［(x －y)m ］0(x ≠y) 解：原式=（x 3m ﹒x 6n ）÷x m+n ﹒1 =x 3m+6n ÷x m+n =x

)

()63(n m n m +-+

=x 2m+5n 例3 计算：2x 2﹒（

12

xy 2

－y ）－（x 2y 2－xy ）﹒（－3x ） 解：原式=2×

12

x 2

﹒xy 2－2x 2y+3x ﹒x 2y 2－3x ﹒xy =x 3y 2－2x 2y+3x 3y 2－3x 2y =4x 3y 2－5x 2y

例4 计算：（x －y+1）（x+y －1）

解：原式=［x －（y －1）］［x+（y －1）］ =x 2－（y －1）2 =x 2－（y 2－2y+1） =x 2－y 2+2y －1 例5 已知a+b=7，ab=2，求a 2+b 2的值

解：∵（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 ∴a 2+b 2=（a+b ）2

－2ab

=72

－2×2 =49－4 =45

例6 ［（x+2y ）（x －2y ）+4（x －y ）2］÷6x 解：原式=［x 2－4y 2+4（x 2－2xy+y 2）］÷6x =（x 2－4y 2+4x 2－8xy+4y 2）÷6x =（5x 2－8xy ）÷6x =

56x －4

3

y ［知识运用］

一、选择题

1．(2008.宿迁)下列计算正确的是

A ．623a a a =?

B ．6

32)(a a = C ．32532a a a =+ D ．33

2

323a a a =

÷ 2．（2009.枣庄）若m +n =3，则22

2426m mn n ++-的值为（ ） Ａ．12 Ｂ．6 Ｃ．3 Ｄ．0

3．(2008．东营)下列计算结果正确的是

A ．4332222y x xy y x -=?-

B ．2253xy y x -=y x 22-

C ．xy y x y x 4728324=÷

D ．49)23)(23(2-=---a a a

4. （2009.台州）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a b c ++就是完全对称式.下列三个代数式：①()2

a b - ；②ca bc ab ++；

③a c c b b a 2

22++．其中是完全对称式的是( )

A ．①② B．①③ C ． ②③ D．①②③ 二、填空题

5．－82005×（－0.125）2006= 6．已知a －b=b －c=

35

,a 2＋b 2＋c 2

=1则ab ＋bc ＋ca 的值等于 .

7．若整式142++Q x 是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q 是 . 8. 观察下面一列数的规律，并填空：

0，3，8，15，24……则它的第2006个数是 ． 三、解答题

9．计算：235)()()()(a b b a b a a b m m --+--+

10．若9 m =12，27 n =15，求n

m 643

-的值.

11．（2007．北京）已知2

40x -=，求代数式22(1)()7x x x x x x +-+--的值．

（化简）

12．先化简后求值：

x y x y x y x 2)])(()[(2÷-++-,其中3=x ，5.1=y

第三讲 单元测试

一、选择题

1．若01x <<，则23

x x x ，，的大小关系是（ ）

A ．23

x x x <<

B ．32

x x x <<

C ．32

x x x <<

D ．23

x x x <<

2．若2n x y -与23yx 是同类项，则n 的值是（ ）

A ．1-

B ．3

C ．1

D ．2

3．下 列 各 式 计 算 结 果 正 确 的 是 （ ）

A ．a ＋a ＝a 2

B ．（3a ）2＝6a 2

C ．（a ＋1）2＝a 2＋1

D ．2

a a a =? 4．若x 2

－3mx+9是完全平方式，则m 的值是（ ）

A ．2

B ．±2

C ．3

D ．±3

5．长方形的一边等于2a+3b ，另一边比它大a －b ，则此长方形的周长是（ ） A ．3a+2b B ．6a+4b C ．4a+6b D ．10a+10b

6．某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a 、b ， 都有a+b ≥2ab 成立．

某同学在做一个面积为3 600cm 2，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述 规律，求得用来做对角线用的竹条至少需要准备x cm ． 则x 的值是（ ）cm A ． 1202 B ． 602 C ． 120 D ． 60 二、填空题

7．计算：=+-++-)1()1)(1)(1(4

2y y y y ． 8．10

6

2216?=x

，则x= ．

9．如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足122

=-m m ，122

=-n n ，那么代数式

=+-+199444222n n m _________________．

10．已知a －b=10，ab=25，则a 2+b 2= ． 三、解答题

11．（2009．威海）先化简，再求值：2

2

()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中

22a b =-=．

12．2

))(()(x y x y x y x y --+++，其中2

1,2=

-=y x

13．已知02)1(2=++-y x ，求代数式2)1()1)(1(---+---y x y x y x 的值．

14．张、王、李三人合办一个股份制企业，总股数为（5a 2

－3a －2）股，每股m 元，张家持有（2a 2+1）股，王家比张家少（a －1）股，年终按股金额18%的比例支付股利，获利的20%交纳个人所得税，试求李家能得到多少钱？