动力学(运动方程)

《图解刚体力学——欧拉运动学方程》

本科生毕业论文 论文题目：图解刚体力学——欧拉运动学方程 学生姓名：罗加宽 学号： 2008021152 专业名称：物理学 论文提交日期： 2012年05月17日 申请学位级别：理学学士 论文评审等级： 指导教师姓名：陈洛恩 职称：教授 工作单位：玉溪师范学院 学位授予单位：玉溪师范学院 玉溪师范学院理学院物理系 2012年05月

图解刚体力学—欧拉运动学方程 罗加宽 （玉溪师范学院理学院物理系 08级物理1班云南玉溪 653100） 指导教师：陈洛恩、杨春艳 摘要：本文阐述了描述刚体定点转动的欧拉角及欧拉运动学方程的图解，以期让复杂的问题转 化得简单清晰而易于学习者的理解，抽象的概念变得直观具体而易于学习者的掌握；并能在一 定程度上对提高学习者的空间思维能力、引导和培养学习者的创新思维能力有一定的帮助。 关键字：图解；刚体；欧拉角；欧拉运动学方程 1.引言 理论力学是研究物体机械运动一般规律的科学；依照牛顿的说法，理论力学“是关于力产生的运动和产生任何运动的力的理论，是精确的论述和证明” [1]。理论力学作为使用数学方法的自然知识的一部分，不仅研究实际物体，而且研究其模型—质点、质点系、刚体和连续介质。从研究次序来看，通常先研究描述机械运动现象的运动学，然后再进一步研究机械运动应当遵循哪些规律的动力学。至于研究平衡问题的静力学，对理科来讲可以作为动力学的一部分来处理，但在工程技术上，静力学却是十分的重要，因此，常把它和动力学分开，自成一个系统[2]。本文图解的内容为刚体力学运动学问题之一的刚体的绕定点的转动。 “图解”的方法,较早见于上海科学技术出版社1988年翻译出版的《图解量子力学》，原书名为The Picture Book of Quantum Mechanics，由Springer-Verlag 出版；类似的书还有Springer-Verlag出版的Visual Quantum Mechanics。其特点是通过将理论物理与数值计算相结合实现可视化来讲解物理知识。国外对物理的可视化教学十分重视，早在1995-1996年间Wiley出版社出版了9本有关物理多媒体教学的丛书,是由大学高等物理软件联盟(The Consortium for Upper-Level Physics Software，CUPS)编写该丛书及其所用的教学软件[3]。如今，图解法已经广泛应用于力学、电磁学、模拟电子技术等方面，理论力学方面同样也有不少人已经采用了图解法。如赵宗杰使用3dsmax建立质点外弹道运动规律的虚拟模型和场景[4]；乐山师范学院王峰等利用Matlab分别对质点受力仅为位置、速度或时间的函数进行了图解，并说明了Matlab在理论力学中的应用[5]；阜阳师范学院孙美娟、韩修林利用Mathematica进行编程作出了落体的位移—时间图像[6]。通过图解，使很多抽象繁难的物理问题在解析时达到空间立体直观，概念形成清晰，逻辑链路晓畅明朗，数式转换准确易见。 理论力学因理论性较强，与高等数学联系密切，一些概念的形成、公式的推导、逻辑推理等较抽象、繁难、复杂，往往使教授者感到教学很难达到预期的效果，学

张力减径机的动力学和运动学的分析详细版

文件编号：GD/FS-1093 （解决方案范本系列） 张力减径机的动力学和运动学的分析详细版 A Specific Measure To Solve A Certain Problem, The Process Includes Determining The Problem Object And Influence Scope, Analyzing The Problem, Cost Planning, And Finally Implementing. 编辑：_________________ 单位：_________________ 日期：_________________

张力减径机的动力学和运动学的分 析详细版 提示语：本解决方案文件适合使用于对某一问题，或行业提出的一个解决问题的具体措施，过程包含确定问题对象和影响范围，分析问题，提出解决问题的办法和建议，成本规划和可行性分析，最后执行。，文档所展示内容即为所得，可在下载完成后直接进行编辑。 文章主要对三辊式张力减径机进行分析，主要分析张力减径机的动力学和运动学原理，通过对张力减径机的速度分析、转速分析和速度控制来分析张力减径机运动学特征，通过对张力减径机受力分析、轧制压力和轧制力矩进行分析张力减径机的动力学特征分析。 张力减径机是现代化的生产机组，其作用和优越性使其在大规模无缝钢管生产中不可缺少。随着我国钢管工业的发展张力减径机组正被广泛运用。对三辊式张力减径机进行分析，该机组是90年代研制的，具有许多独特的优点。以下分析张力减径机的运动学

和动力学原理。 1.张力减径机的运动学特征 1.1.运动学特征 在张力减径的过程中，要求各个机架的延伸系数和轧辊圆周协调一致，同时决定连轧机工作的基本条件要求通过每个机架的金属的秒流量相等。 在所有的机架都充满金属而C不等于0的情况下，对于每对轧辊在任意瞬间都遵守秒流量、相等的原则，这种相等可通过轧辊和金属之间的滑移达到。因此当C不等于0时，减径机任何一个机架中的变形条件发生变化，都会影响其余机架中的变形条件，但由于连轧过程本身存在着相适应，自相调整的过程，因此即使在这种相互作用的复杂关系中减径过程仍然能够在任一瞬间保持秒流量相等。但是当差别较大时，必然会造成严重的拉钢和推钢，轻者不能获得

仿人机器人运动学和动力学分析

国防科学技术大学 硕士学位论文 仿人机器人运动学和动力学分析 姓名：王建文 申请学位级别：硕士 专业：模式识别与智能系统 指导教师：马宏绪 20031101

能力；目前，ＡＳＩＭＯ代表着仿人机器人研究的最高水平，见图卜２。２０００年，索尼公司也推出了自己研制的仿人机器人ＳＤＲ一３Ｘ，２００２年又研制出了ＳＤＲ一４Ｘ，见图卜３。日本东京大学也一直在进行仿人机器人的研究，与Ｋａｗａｄａ工学院合作相继研制成功了Ｈ５、Ｈ６和Ｈ７仿人机器人，其中Ｈ６机器人高１．３７米，体重５５公斤，具有３５个自由度，目前正在开发名为Ｉｓａｍｕ的新一代仿人机器人，其身高１．５米，体重５５公斤，具有３２个自由度。日本科学技术振兴机构也在从事ＰＩＮＯ机器人的研究，ＰＩＮＯ高０．７５米，采用２９个电机驱动，见图卜４。日本Ｗａｓｅｄａ大学一直在从事仿人机器人研究计划，研制的ｗＬ系列仿人机器人和ＷＥＮＤＹ机器人在机器人界有很大的影响，至今已投入１００多万美元，仍在研究之中。Ｔｏｈｏｋｕ大学研制的Ｓａｉｋａ３机器人高１．２７米，重４７公斤，具有３０个自由度。美国的ＭＩＴ和剑桥马萨诸塞技术学院等单位也一直在从事仿人机器人研究。德国、英国和韩国等也有很多单位在进行类似的研究。 图卜１Ｐ２机器人图卜２ＡＳＩＭＯ机器人图１．３ＳＤＲ－４Ｘ机器人图１－４ＰＩＮＯ机器人 图卜５第一代机器人图ｌ－６第二代机器人图１．７第三代机器人图１—８第四代机器人 在国家“８６３”高技术计划和自然科学基金的资助下，国内也开展了仿人机器人的研究工作。目前，国内主要有国防科技大学、哈尔滨工业大学和北京理工大学等单位从事仿人机器人的研究。国防科技大学机器人实验室研制机器人已有１０余年的历史，该实验室在这期间分四阶段推出了四代机器人，其中，２０００年底推出的仿人机器入一“先行者”一是国内第一台仿人机器人。２００３年６月，又成功研制了一台具有新型机械结构和运动特性的仿人机器人，这台机器人身高１．５５米，体重６３．５公斤，共有３６个自由度，脚踝有力 第２页

第十三讲刚体的运动和动力学问题

第十三讲 刚体的运动学与动力学问题 一 竞赛内容提要 1、刚体；2、刚体的平动和转动；3、刚体的角速度和角加速度；4、刚体 的转动惯量和转动动能；5、质点、质点系和刚体的角动量；6、转动定理和角动量定理；7、角动量守恒定律。 二 竞赛扩充的内容 1、刚体：在外力的作用下不计形变的物体叫刚体。刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动，刚体的任何复杂运动均可由这两种基本运动组合而成。 2、刚体的平动；刚体的平动指刚体内任一直线在运动中始终保持平行，刚体上任意两点运动的位移、速度和加速度始终相同。 3、刚体绕定轴的转动；刚体绕定轴的转动指刚体绕某一固定轴的转动，刚体上各点都在与转轴垂直的平面内做圆周运动，各点做圆周运动的角位移Φ、角速度ω和角加速度β相同（可与运动 学的s 、v 、a 进行类比）。且有：ω=t t ??Φ→?lim 0；β=t t ??→?ωlim 0。当β为常量时，刚体做匀加 速转动，类似于匀加速运动，此时有：ω=ω0+βt ； Φ=Φ0+ω0t+βt 2/2； ω2－ω02=2β（Φ－Φ0）。式中，Φ0、ω0分别是初始时刻的角位移和角速度。对于绕定轴运动的刚体上某点的运动情况，有：v=ωR ， a τ=βR ， a n =ω2R=v 2/R, 式中，R 是该点到轴的距离，a τ、a n 分别是切向加速度和法向加速度。 例1 有一车轮绕轮心以角速度ω匀速转动，轮上有一小虫自轮心沿一根辐条向外以初速度v 0、 加速度a 作匀加速爬行，求小虫运动的轨迹方程。 例2 一飞轮作定轴转动，其转过的角度θ和时间t 的关系式为：θ=at+bt 2－ct 3，式中，a 、b 、c 都是恒量，试求飞轮角加速度的表示式及距转轴r 处的切向加速度和法向加速度。 例3 如图所示，顶杆AB 可在竖直槽K 内滑动，其下端由凸轮K 推动，凸轮 绕O 轴以匀角速度ω转动，在图示瞬间，OA=r ，凸轮轮缘与A 接触处，法线n 与OA 之间的夹角为α，试求此瞬时顶杆OA 的速度。

刚体的运动学与动力学问题

刚体的运动学与动力学问题 编者按中国物理学会全国中学生物理竞赛委员会2000 年第十九次会议对《全国中学生物理竞赛内容提要》作了一些调整和补充，并决定从2002 年起在复赛题与决赛题中使用提要中增补的内容． 一、竞赛涉及有关刚体的知识概要 1. 刚体 在无论多大的外力作用下，总保持其形状和大小不变的物体称为刚体．刚体是一种理想化模型，实际物体在外力作用下发生的形变效应不显着可被忽略时，即可将其视为刚体，刚体内各质点之间的距离保持不变是其重要的模型特征． 2 . 刚体的平动和转动 刚体运动时，其上各质点的运动状态（速度、加速度、位移）总是相同的，这种运动叫做平动．研究刚体的平动时，可选取刚体上任意一个质点为研究对象．刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动叫做转动，而所绕的直线叫做转轴．若转轴是固定不动的，刚体的运动就是定轴转动．刚体的任何一个复杂运动总可看做平动与转动的叠加，刚体的运动同样遵从运动独立性原理． 3. 质心质心运动定律 质心这是一个等效意义的概念，即对于任何一个刚体（或质点系），总可以找到一点Ｃ，它的运动就代表整个刚体（或质点系）的平动，它的运动规律就等效于将刚体（或质点系）的质量集中在点Ｃ，刚体（或质点系）所受外力也全部作用在点Ｃ时，这个点叫做质心．当外力的作用线通过刚体的质心时，刚体仅做平动；当外力作用线不通过质心时，整个物体的运动是随质心的平动及绕质心的转动的合成．质心运动定律物体受外力F 作用时，其质心的加速度为ａＣ，则必有Ｆ＝ｍａＣ，这就是质心运动定律，该定律表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力作用点在物体的哪个位置，质心的运动总等效于物体的质量全部集中在此、外力亦作用于此点时应有的运动． 4 . 刚体的转动惯量Ｊ 刚体的转动惯量是刚体在转动中惯性大小的量度，它等于刚体中每个质点的质量ｍｉ与该质点到转轴的距离ｒｉ的平方的乘积的总和，即 Ｊ＝ｍｉｒｉ2． 从转动惯量的定义式可知，刚体的转动惯量取决于刚体各部分的质量及对给定转轴的分布情况．我们可以利用微元法求一些质量均匀分布的几何体的转动惯量． 5. 描述转动状态的物理量 对应于平动状态参量的速度ｖ、加速度ａ、动量ｐ＝ｍｖ、动能Ｅｋ＝（1 ／2 ）ｍｖ２；描述刚体定轴转动状态的物理量有： 角速度ω角速度的定义为ω＝Δθ／Δｔ．在垂直于转轴、离转轴距离ｒ处的线速度与角速度之间的关系为ｖ＝ｒω． 角加速度角加速度的定义为α＝Δω／Δｔ．在垂直于转轴、离转轴距离ｒ处的线加速度与角加速度的关系为ａｔ＝ｒα． 角动量Ｌ角动量也叫做动量矩，物体对定轴转动时，在垂直于转轴、离转轴距离ｒ处某质量为ｍ的质点的角动量大小是ｍｖｒ＝ｍｒ２ω ，各质点角动量的总和即为物体的角动量，即 Ｌ＝ｍｉｖｉｒｉ＝（ｍｉｒｉ2）ω＝Ｊω． 转动动能Ｅｋ当刚体做转动时，各质点具有共同的角速度ω及不同的线速度ｖ，若第ｉ个质点质

运动学、静力学、动力学概念

运动学、静力学、动力学概念 运动学 运动学是理论力学的一个分支学科，它是运用几何学的方法来研究物体的运动，通常不考虑力和质量等因素的影响。至于物体的运动和力的关系，则是动力学的研究课题。 用几何方法描述物体的运动必须确定一个参照系，因此，单纯从运动学的观点看，对任何运动的描述都是相对的。这里，运动的相对性是指经典力学范畴内的，即在不同的参照系中时间和空间的量度相同，和参照系的运动无关。不过当物体的速度接近光速时，时间和空间的量度就同参照系有关了。这里的“运动”指机械运动，即物体位置的改变；所谓“从几何的角度”是指不涉及物体本身的物理性质(如质量等)和加在物体上的力。 运动学主要研究点和刚体的运动规律。点是指没有大小和质量、在空间占据一定位置的几何点。刚体是没有质量、不变形、但有一定形状、占据空间一定位置的形体。运动学包括点的运动学和刚体运动学两部分。掌握了这两类运动，才可能进一步研究变形体(弹性体、流体等)的运动。 在变形体研究中，须把物体中微团的刚性位移和应变分开。点的运动学研究点的运动方程、轨迹、位移、速度、加速度等运动特征，这些都随所选的参考系不同而异；而刚体运动学还要研究刚体本身的转动过程、角速度、角加速度等更复杂些的运动特征。刚体运动按运动的特性又可分为：刚体的平动、刚体定轴转动、刚体平面运动、刚体定点转动和刚体一般运动。 运动学为动力学、机械原理(机械学)提供理论基础，也包含有自然科学和工程技术很多学科所必需的基本知识。 运动学的发展历史 运动学在发展的初期，从属于动力学，随着动力学而发展。古代，人们通过对地面物体和天体运动的观察，逐渐形成了物体在空间中位置的变化和时间的概念。中国战国时期在《墨经》中已有关于运动和时间先后的描述。亚里士多德在《物理学》中讨论了落体运动和圆运动，已有了速度的概念。

张力减径机的动力学和运动学的分析实用版

YF-ED-J6014 可按资料类型定义编号 张力减径机的动力学和运动学的分析实用版 In Order To Ensure The Effective And Safe Operation Of The Department Work Or Production, Relevant Personnel Shall Follow The Procedures In Handling Business Or Operating Equipment. （示范文稿） 二零XX年XX月XX日

张力减径机的动力学和运动学的 分析实用版 提示：该解决方案文档适合使用于从目的、要求、方式、方法、进度等都部署具体、周密，并有很强可操作性的计划，在进行中紧扣进度，实现最大程度完成与接近最初目标。下载后可以对文件进行定制修改，请根据实际需要调整使用。 文章主要对三辊式张力减径机进行分析， 主要分析张力减径机的动力学和运动学原理， 通过对张力减径机的速度分析、转速分析和速 度控制来分析张力减径机运动学特征，通过对 张力减径机受力分析、轧制压力和轧制力矩进 行分析张力减径机的动力学特征分析。 张力减径机是现代化的生产机组，其作用 和优越性使其在大规模无缝钢管生产中不可缺 少。随着我国钢管工业的发展张力减径机组正 被广泛运用。对三辊式张力减径机进行分析，

该机组是90年代研制的，具有许多独特的优点。以下分析张力减径机的运动学和动力学原理。 1.张力减径机的运动学特征 1.1.运动学特征 在张力减径的过程中，要求各个机架的延伸系数和轧辊圆周协调一致，同时决定连轧机工作的基本条件要求通过每个机架的金属的秒流量相等。 在所有的机架都充满金属而C不等于0的情况下，对于每对轧辊在任意瞬间都遵守秒流量、相等的原则，这种相等可通过轧辊和金属之间的滑移达到。因此当C不等于0时，减径机任何一个机架中的变形条件发生变化，都会影响其余机架中的变形条件，但由于连轧过程

运动学、动力学知识要点

《直线运动》知识要点 一、基本概念：时间、位移、速度、加速度 位移x ?——路程l 速度v ——平均速度与瞬时速度，速度与速率 加速度a ——t v a ??=??，物理意义 二、基本模型 质点 匀速直线运动 匀变速直线运动（自由落体运动、竖直抛体运动） 三、基本规律（模型草图） 1．匀速直线运动：vt x = 2．匀变速直线运动： at v v ±=0，202 1at t v x ±=，ax v v 2202±=-，220 t v v v v =+=，2aT x =? 3．t v -图象、t x -图象（点、线、面积、斜率、截距） 四、基本方法（过程草图） 比例法——相等时间、相等位移 逆向运动法——末速度为零的匀减速运动，其它 对称法——往返运动（竖直上抛运动） 平均速度法 逐差法 图象法 五、基本实验 打点计时器 纸带法测物体运动的时间、位移、速度（平均速度法）、加速度（图象法、逐差法） 六、难点题型 1．刹车问题——刹车时间 2．追击、相遇问题（草图、图象） （1）相遇问题——同一时刻、同一地点 （2）追击问题——关键：速度相等； 分析：速度相等前后； 结果：相距最近、最远，或能否追上。 *3．相对运动：相对参考系绝对v v v ???+= 七、易错点汇集 1．纸带处理：2naT x x m n m =-+，21234569)()(T x x x x x x a ++-++= 2．矢量性：减速运动或往返运动中，加速度为负值（一般规定出速度方向为正方向） 3．图象问题：用图象解决追击相遇问题 4．答题技巧：抓关键词，统一单位，字母区别 画过程草图，灵活选取公式——平均速度法

质点运动学和动力学习题答案

质点运动学和动力学习题参考答案 一、选择题 1、D 解析：题目只说明质点作直线运动，没有确定是匀加速还是变加速直线运动，故任意时刻的速度都不确定。 2、D 3、C 解析：2t 时间内，质点恰好运动2圈回到初始位置，其位移为0，路程为4πr ，所以其平均速度大小为0，平均速率为2πr/t 。 4、C 解析：有题目可知人与风运动速度可用下图表示，由速度合成得到可知人感受到的风高手刀锋来自西北方向。 5、B 解析：a B =2a A ，对于B 物体有：mg-T=ma B 对于A 物体有2T=ma A 上3式联解得：a B =4g/5 6、A 解析：物体收尾时作匀速运动，则其加速度为零，即mg =kv 2，即得收尾速度为v =(mg /k )1/2。 7、D 解析： 22 tan sin mg mR m l θωωθ== 1 2 2c o s 2l T g π θπω??== ??? 8、A 解析：设绳中张力为T ，则弹簧秤的读数为2T ，因为A 、B 两物体的加速度大小相等，方向相反，可设加速度大小为a ，对A 、B 两物体应用牛顿运动定律m 1g -T =m 1a ，T -m 2g =m 2a ，可得。 二、填空题 1、j 50cos50t i 50sin5t - v +=，a τ=0，a n =250m/s 2，圆； 解析：有运动方程可知：x =10cos5t y =10sin5t ；则其运动轨迹方程为：x 2+y 2=102，所以其轨迹为圆； j 50cos50t i 50sin5t - /dt r d v +==，50v =m/s,所以圆周运动的a τ=0； a n =v 2/r 。 mg T T

机器人机械臂运动学分析(仅供借鉴)

平面二自由度机械臂动力学分析 [摘要] 机器臂是一个非线性的复杂动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，这里主要对平面二自由度机械臂进行动力学研究。本文采用拉格朗日方程在多刚体系统动力学的应用方法分析平面二自由度机械臂的正向动力学。经过研究得出平面二自由度机械臂的动力学方程，为后续更深入研究做铺垫。 [关键字] 平面二自由度 一、介绍 机器人是一个非线性的复杂动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，简化解的过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。 机器人动力学问题有两类： (1) 给出已知的轨迹点上的，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量Q r。这对实现机器人动态控制是相当有用的。 (2) 已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的运动。也就是说，给出关节力矩向量τ，求机器人所产生的运动。这对模拟机器人的运动是非常有用的。 二、二自由度机器臂动力学方程的推导过程 机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。机器人动力学方程的具体推导过程如下： (1) 选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量θr ，r=1, 2,…, n。 (2) 选定相应关节上的广义力F r：当θr是位移变量时，F r为力；当θr是角度变量时， F r为力矩。 (3) 求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。 (4) 代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。 下面以图1所示说明机器人二自由度机械臂动力学方程的推导过程。

量子论的运动学与动力学

量子论的运动学与动力学 200890513216号李香文计081-2班 正如大家所知，1927年3月，海森堡在《量子论的运动学与动力学的知觉内容》论文中，提出了量子力学的另一种测不准关系，海森堡认为，科学研究工作宏观领域进入微观领域时，会遇到测量仪器是宏观的，而研究对象是微观的矛盾，在微观世界里，对于质量极小的粒子来说，宏观仪器对微观粒子的干扰是不可忽视的，也是无法控制点额，测量的结果也就同粒子的原来状态不完全相同。所以在微观系统中，不能使用实验手段同时准确的测出微观粒子的位置和动量，时间和能量。由数学推导，海森堡给出了一个测不准关系式：。对于微观粒子一些成对的物理量，在这里指位置和动量，时间和能量，不能同时具有确定的数值，其中一个量愈确定，则另一个就愈不确定。所谓测不准关系，主要是普朗克常量h使量子结果与经典结果有所不同。如果h为零，则对测量没有任何根本的限制，这是经典的观点；如果h很小，在宏观情况下，仍然能以很大的精确性同时测定动量与位置或能量与时间的关系，但是在微观的场合就不能同时测定。实验表明，决定微观系统的未来行为，只能是观察结果所出现的概率，测不准关系已经被认为是微观粒子的客观特性。 海森堡提出了测不准关系后，立即在哥本哈根学派中引起了强烈的反响，泡利欢呼“现在是量子力学的黎明”，玻尔试图从哲学上进行概括。1927年9月，玻尔在与意大利科摩召开的国际物理学会议上提出了著名的“互补原理”，用以解释量子现象基本特征的波粒二象性，它认为量子现象的空间和时间坐标和动量守恒定律，能量守恒定律不能同时在同一个实验中表现出来，而只能在互相排斥的实验条件下出来不能统一与统一图景中，只能用波和粒子这些互相排斥的经典概念来反映。波和粒子这两个概念虽然是互相排斥的，但两者在描写量子现象是却又是缺一不可的。因此玻尔认为他们二者是互相补充的，量子力学就是量子现象的终极理论。“互补原理”实质上是一种哲学原理，称为量子力学的“哥本哈根解释”。30年代后成为量子力学的“正统”解释，波恩称此为“现代科学哲学的顶峰。” 1927年10月在布鲁塞尔第五届索尔卡物理学会议上，量子力学的哥本哈根解释为许多物理学家所接受，同时也受到爱因斯坦等一些人的强烈反对。爱因斯坦为此精心设计了一系列理想实验，企图超越不确定关系的限制来揭露量子力学理论的逻辑矛盾。玻尔和海森堡等人则把量子理论同相对论作比较，有利地驳斥了爱因斯坦。1930年10月第六届索尔卡物理学会议上，爱因斯坦又绞尽脑汁提出了一个“光子箱”的理想实验， 既然在微观状态下，存在测不准关系，那么在宏观状态下，还存在测不准关系吗？这

用平面二连杆机器人为例贯穿运动学、雅可比、动力学、轨迹规划甚至控制与编程

一、平面二连杆机器人手臂运动学 平面二连杆机械手臂如图1所示，连杆1长度1l ，连杆2长度2l 。建立如图1所示的坐标系，其中，),(00y x 为基础坐标系，固定在基座上，),(11y x 、),(22y x 为连体坐标系，分别固结在连杆1和连杆2上并随它们一起运动。关节角顺时针为负逆时针为正。 图1平面双连杆机器人示意图 1、用简单的平面几何关系建立运动学方程 连杆2末段与中线交点处一点P 在基础坐标系中的位置坐标： ) sin(sin )cos(cos 2121121211θθθθθθ++=++=l l y l l x p p （1） 2、用D-H 方法建立运动学方程 假定0z 、1z 、2z 垂直于纸面向里。从),,(000z y x 到),,(111z y x 的齐次旋转变换矩阵为： ????? ???????-=10 00 010000cos sin 00sin cos 1 111 01θθ θθT （2） 从),,(111z y x 到),,(222z y x 的齐次旋转变换矩阵为： ????? ???????-=10 00 010000cos sin 0sin cos 2 212212θθ θθl T （3） 从),,(000z y x 到),,(222z y x 的齐次旋转变换矩阵为：

? ??? ? ???????+++-+=?? ??? ? ? ?????-?????????????-=?=10000100sin 0)cos()sin(cos 0)sin()cos(1000010000cos sin 0sin cos 1000 010000cos sin 00sin cos 11212111212122122111112 0102θθθθθθθθθθθθθθθθθθl l l T T T （4） 那么，连杆2末段与中线交点处一点P 在基础坐标系中的位置矢量为： ? ?? ? ? ???????=????????????++++=? ??? ? ???????? ????????????+++-+=?=110)sin(sin )cos(cos 10010000100sin 0)cos()sin(cos 0)sin()cos(212112121121121211121212 020p p p z y x l l l l l l l P T P θθθθθθθθθθθθθθθθ （5） 即， ) sin(sin )cos(cos 2121121211θθθθθθ++=++=l l y l l x p p （6） 与用简单的平面几何关系建立运动学方程（1）相同。 建立以上运动学方程后，若已知个连杆的关节角21θθ、，就可以用运动学方程求出机械手臂末端位置坐标，这可以用于运动学仿真。 3、平面二连杆机器人手臂逆运动学 建立以上运动学方程后，若已知个机械臂的末端位置，可以用运动学方程求出机械手臂二连杆的关节角21θθ、，这叫机械臂的逆运动学。逆运动学可以用于对机械臂关节角和末端位置的控制。对于本例中平面二连杆机械臂，其逆运动学方程的建立就是已知末端位置 ),(p p y x 求相应关节角21θθ、的过程。推倒如下。 （1）问题 ) sin(sin )cos(cos 2121121211θθθθθθ++=++=l l y l l x p p 已知末端位置坐标),(p p y x ，求关节角21θθ、。 （2）求1θ

运动学与动力学答案二册CH4

4－1. 在图示机构中，曲柄OA 上作用一力偶，其矩为M ，另在滑块D 上作用水平力F 。机构尺寸如图所示。求当机构平衡时，力F 与力偶矩M 的关系。 4－3. 组合梁由铰链C 铰接AC 和CE 而成，载荷分布如图所示。已知跨度l=8m ，P=4900N ，均布力q=2450N/m ，力偶矩M=4900N ?m ；求支座反力。 N 2450N 14700N 2450==?=E B A F F F ，，

4-4解： 4－6. 试求图示梁－桁架组合结构中1、2两杆的内力。已知kN 41=F ，kN 52=F 。 1．求杆1内力，给图（a ）虚位移，虚功表达式为 0cos δcos δδδ1N 1N 21=′++????G F E D r F r F y F y F 因为 θδ3δ=D y ，θδ2δ=E y ， θδ5δ=F r ，θδ5δ=G r 所以 05 3 δ553δ5δ2δ31N 1N 21=??′+??+????θθθθF F F F

211N 236F F F += 31132211 N =+=F F F kN （受拉） N1 N1A 2．求杆2内力，给图（b ）虚位移，则 θ δ 4δ=H r ，θδ3δ=D r θδ2δ=E r ，θ δ5δ=G r F r δ， G r δ在FG 方向投影响相等，即 ??cos δcos δG F r r = G F r r δδ= 虚功式 0sin δδδδN2 22N 1=′?????F E H D r F r F r F r F 即 05 4 524δ3N222N 1=? δ??δ??δ????θF θF θF θF 2223821N2?=??=F F F kN 4 112N ? =F kN A 4－7. 在图示结构中，已知F = 4kN ，q = 3kN/m ，M = 2kN · m ，BD = CD ，AC