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5.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似

一.何谓近自由电子近似

二.定性描述

三.微扰计算见黄昆书4.2节p157一、何谓近自由电子近似（Nearly Free Electron ）

在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。

（也称为弱周期场近似）。这个模型虽然简单，但却给出周期场中运动电子本征态的一些最基本特点。

晶体中的电子感受到的一维晶格周期势场

见于Omar 书p197

见于Kittel书p118

空格模型的能量波矢关系：

自由电子的k取值范围是没有限制的，能量取值范围也是无限制的。晶体中的波矢k 只能在第一Brilouin区内取值。能量可以通过一个k 值对应多个能量值来包容。

当考虑微弱的周期势场影响时，空格子能谱的明显变化只发生在Brilouin区区心和边界处，原先相互连接的，现在分开了，出现了一个能隙，也就是说，在这些点上，能谱的形状受到弱晶体势场的修正。（实际上，晶体势的作用是使空格子模型中能带结构中的尖角变得平滑了。）

在区域的其它部分，能谱的形状受到的影响很小，基本保持了空格子模型的抛物线形式。见下图。

所以说近自由电子近似下晶体电子的能级区分成为电子可以占据的能带以及禁带。

弱周期势场对能带的影响：

以上参照Omar一书整理

空格模型的能量波

矢关系：

Blakemore书p208-

209也有类似叙述。

“在晶格常数为a的一维晶格中，当周期势振幅为0时能量与波矢关系图。此时能量是波矢的连续函数。在第一布里渊区（简约区）图像中，能量是波矢的多值函数“

弱周期势场对

能带的影响：

“在晶格常数为a的一维晶格中，当周期势振幅有限时

简约区与扩展区的能量与波矢关系图。仅可以在阴影

区可以建立性质良好的非定域波函数。这些阴影区是

允带，分隔导带的是能量禁带”

Ashcroft 一书p160 关于一维带隙的说明

a.自由电子能量波矢关系

b.弱周期势的影响

c.

Brillouin 边界处的分裂