一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图1
O ,的直径12AB P =,是弦BC 上一动点(与点B C ,不重合)30ABC ,∠=,过点P 作PD OP ⊥交O 于点D .
()1如图2,当//PD AB 时,求PD 的长;
()2如图3,当DC AC =时,延长AB 至点E ,使12
BE AB =,连接DE .
①求证:DE 是O 的切线;
②求PC 的长.
【答案】(1)26;(2)333-①见解析,②. 【解析】
分析:()1根据题意首先得出半径长,再利用锐角三角函数关系得出OP PD ,的长;
()2①首先得出
OBD 是等边三角形,进而得出ODE OFB 90∠∠==,求出答案即
可;
②首先求出CF 的长,进而利用直角三角形的性质得出PF 的长,进而得出答案.
详解:()1如图2,连接OD ,
//OP PD PD AB ⊥,,
90POB ∴∠=,
O 的直径12AB =,
6OB OD ∴==,
在Rt POB 中,30ABC ∠=,
3
tan30623OP OB ∴=?== 在Rt POD 中,
22226(23)26PD OD OP =-=-=;
()2①证明:如图3,连接OD ,交CB 于点F ,连接BD ,
DC AC =,
30DBC ABC ∴∠=∠=,
60ABD ∴∠=,
OB OD =,
OBD ∴是等边三角形, OD FB ∴⊥,
1
2
BE AB =,
OB BE ∴=, //BF ED ∴,
90ODE OFB ∴∠=∠=,
DE ∴是O 的切线; ②由①知,OD BC ⊥, 3
cos30633CF FB OB ∴==?== 在Rt POD 中,OF DF =,
1
3(2
PF DO ∴=
=直角三角形斜边上的中线,等于斜边的一半), 333CP CF PF ∴=-=.
点睛:此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角函数关系,正确得出
OBD 是等边三角形是解题关键.
2.如图,已知AB 是⊙O 的直径,P 是BA 延长线上一点,PC 切⊙O 于点C ,CD ⊥AB ,垂足为D .
(1)求证:∠PCA =∠ABC ;
(2)过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ,交CD 于点F ,交BC 于点M ,若∠CAB =2∠B ,CF =3,求阴影部分的面积. 【答案】(1)详见解析;(2)633π-.
【解析】 【分析】
(1)如图,连接OC ,利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ,利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.
(2)先求出△OCA 是等边三角形,在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值,分别求出0A E S ?、BOE S 扇形 、ABM S ? 的值,利用
0A E ABM BOE S S S S ??=+-阴影部分扇形,然后通过计算即可解答.
【详解】
解:(1)证明:连接OC ,如图,
∵PC 切⊙O 于点C ,∴OC ⊥PC, ∴∠PCA+∠ACO=90o,
∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=∠ACO+OCB=90o ∴∠PCA=∠OCB, ∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB, ∴∠PCA=∠ABC ; (2)连接OE ,如图,
∵△ACB 中,∠ACB =90o,∠CAB =2∠B, ∴∠B =30o,∠CAB =60o,∴△OCA 是等边三角形,
∵CD ⊥AB,∴∠ACD+∠CAD =∠CAD +∠ABC =90o, ∴∠ACD =∠B =30o,
∵PC ∥AE,∴∠PCA =∠CAE =30o,∴FC=FA, 同理,CF =FM,∴AM =2CF=23, Rt △ACM 中,易得AC=23×
3
=3=OC, ∵∠B =∠CAE =30o,∴∠AOC=∠COE=60o, ∴∠EOB=60o,∴∠EAB=∠ABC=30o,∴MA=MB, 连接OM,EG ⊥AB 交AB 于G 点,如图所示,
∵OA=OB,∴MO ⊥AB,∴MO =3 ∵△CDO ≌△EDO(AAS), ∴3
32
∴1
332
ABM S AB MO ?=
?= 同样,易求93
AOE S ?=
, 260333602
BOE
S ππ
?==
扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ??=+-阴影部分扇形933633
332
ππ-+-=
. 【点睛】
本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力,综合性较强,有一定难度,熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.
3.如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,∠BAD =90°,AD 、BC 的延长线交于点F ,点E 在CF 上,且∠DEC =∠BAC . (1)求证:DE 是⊙O 的切线;
(2)当AB =AC 时,若CE =2,EF =3,求⊙O 的半径.
【答案】(1)证明见解析;(2)35
. 【解析】 【分析】
(1)先判断出BD 是圆O 的直径,再判断出BD ⊥DE ,即可得出结论;
(2)根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F =∠EDF ,根据等腰三角形的判定得到DE =EF =3,根据勾股定理得到CD 225DE CE =-=,证明△CDE ∽△DBE ,根据相似三
角形的性质即可得到结论. 【详解】
(1)如图,连接BD .
∵∠BAD =90°,∴点O 必在BD 上,即:BD 是直径,∴∠BCD =90°,∴∠DEC +∠CDE =90°. ∵∠DEC =∠BAC ,∴∠BAC +∠CDE =90°.
∵∠BAC =∠BDC ,∴∠BDC +∠CDE =90°,∴∠BDE =90°,即:BD ⊥DE . ∵点D 在⊙O 上,∴DE 是⊙O 的切线;
(2)∵∠BAF =∠BDE =90°,∴∠F +∠ABC =∠FDE +∠ADB =90°. ∵AB =AC ,∴∠ABC =∠ACB .
∵∠ADB =∠ACB ,∴∠F =∠FDE ,∴DE =EF =3. ∵CE =2,∠BCD =90°,∴∠DCE =90°,∴CD 225DE CE =
-=
∵∠BDE =90°,CD ⊥BE ,∴∠DCE =∠BDE =90°.
∵∠DEC =∠BED ,∴△CDE ∽△DBE ,∴CD BD CE DE =,∴BD 5335
?==,∴⊙O 的半径35
=
.
【点睛】
本题考查了圆周角定理,垂径定理,相似三角形的判定和性质,切线的判定,勾股定理,求出DE =EF 是解答本题的关键.
4.如图,在△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 与边BC 交于点D ,DE ⊥AC ,垂足为E ,交AB 的延长线于点F . (1)求证:EF 是⊙O 的切线;
(2)若∠C =60°,AC =12,求BD 的长. (3)若tan C =2,AE =8,求BF 的长.
【答案】(1)见解析;(2) 2π;(3)103
. 【解析】
分析:(1)连接OD ,根据等腰三角形的性质:等边对等角,得∠ABC=∠C ,
∠ABC=∠ODB ,从而得到∠C=∠ODB ,根据同位角相等,两直线平行,得到OD ∥AC ,从而得证OD ⊥EF ,即 EF 是⊙O 的切线;
(2) 根据中点的性质,由AB=AC=12 ,求得OB=OD=
1
2
AB =6,进而根据等边三角形的判定得到△OBD 是等边三角形,即∠BOD=600,从而根据弧长公式七届即可;
(3)连接AD ,根据直角三角形的性质,由在Rt △DEC 中, tan 2DE
C CE
== 设CE=x,则DE=2x ,然后由Rt △ADE 中, tan 2AE
ADE DE
∠== ,求得DE 、CE 的长,然后根据相似三角形的判定与性质求解即可.
详解:(1)连接OD ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C ∵OD=OB ∴∠ABC=∠ODB ∴∠C=∠ODB ∴OD ∥AC
又∵DE ⊥AC ∴OD ⊥DE ,即OD ⊥EF
∴EF 是⊙O 的切线 (2) ∵AB=AC=12 ∴OB=OD=1
2
AB =6 由(1)得:∠C=∠ODB=600 ∴△OBD 是等边三角形 ∴∠BOD=600
∴BD =
606
2180
ππ?= 即BD 的长2π (3)连接AD ∵DE ⊥AC ∠DEC=∠DEA=900
在Rt △DEC 中, tan 2DE
C CE
=
= 设CE=x,则DE=2x ∵AB 是直径 ∴∠ADB=∠ADC=900
∴∠ADE+∠CDE=900 在Rt △DEC 中,∠C+∠CDE=900 ∴∠C=∠ADE 在Rt △ADE 中, tan 2AE
ADE DE
∠== ∵ AE=8,∴DE=4 则CE=2
∴AC=AE+CE=10 即直径AB=AC=10 则OD=OB=5 ∵OD//AE ∴△ODF ∽△AEF ∴
OF OD AF AE = 即:55
108
BF BF +=+ 解得:BF=
103 即BF 的长为10
3
. 点睛:此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形以及相似三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.
5.如图,AB 为⊙O 的直径,且AB =m (m 为常数),点C 为AB 的中点,点D 为圆上一动点,过A 点作⊙O 的切线交BD 的延长线于点P ,弦CD 交AB 于点E . (1)当DC ⊥AB 时,则
DA DB
DC
+= ; (2)①当点D 在AB 上移动时,试探究线段DA ,DB ,DC 之间的数量关系;并说明理由;
②设CD 长为t ,求△ADB 的面积S 与t 的函数关系式;
(3)当
92
20
PD
AC
=时,求
DE
OA
的值.
【答案】(12;(2)①DA+DB2DC,②S=1
2
t2﹣
1
4
m2;(3)
242
35
DE
OA
=.
【解析】
【分析】
(1)首先证明当DC⊥AB时,DC也为圆的直径,且△ADB为等腰直角三角形,即可求出结果;
(2)①分别过点A,B作CD的垂线,连接AC,BC,分别构造△ADM和△BDN两个等腰直角三形及△NBC和△MCA两个全等的三角形,容易证出线段DA,DB,DC之间的数量关系;
②通过完全平方公式(DA+DB)2=DA2+DB2+2DA?DB的变形及将已知条件AB=m代入即可求出结果;
(3)通过设特殊值法,设出PD的长度,再通过相似及面积法求出相关线段的长度,即可求出结果.
【详解】
解:(1)如图1,∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵C为AB的中点,
∴AC BC
=,
∴∠ADC=∠BDC=45°,
∵DC⊥AB,
∴∠DEA=∠DEB=90°,
∴∠DAE=∠DBE=45°,
∴AE=BE,
∴点E与点O重合,
∴DC为⊙O的直径,
∴DC=AB,
在等腰直角三角形DAB中,
DA=DB=
2
2
AB,
∴DA+DB2AB2CD,
DC
(2)①如图2,过点A作AM⊥DC于M,过点B作BN⊥CD于N,连接AC,BC,由(1)知AC BC
=,
∴AC=BC,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=∠BNC=∠CMA=90°,
∴∠NBC+∠BCN=90°,∠BCN+∠MCA=90°,
∴∠NBC=∠MCA,
在△NBC和△MCA中,
BNC CMA
NBC MCA
BC CA
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△NBC≌△MCA(AAS),
∴CN=AM,
由(1)知∠DAE=∠DBE=45°,
AM=
2
DA,DN=
2
DB,
∴DC=DN+NC=2DB+2DA=2(DB+DA),
即DA+DB=2DC;
②在Rt△DAB中,
DA2+DB2=AB2=m2,
∵(DA+DB)2=DA2+DB2+2DA?DB,
且由①知DA+DB2DC2t,
∴2t)2=m2+2DA?DB,
2
∴S △ADB =
12DA?DB =12t 2﹣1
4
m 2, ∴△ADB 的面积S 与t 的函数关系式S =12t 2﹣14
m 2
; (3)如图3,过点E 作EH ⊥AD 于H ,EG ⊥DB 于G , 则NE =ME ,四边形DHEG 为正方形,
由(1)知AC BC =, ∴AC =BC ,
∴△ACB 为等腰直角三角形, ∴AB
AC ,
∵
20
PD AC =
,
设PD =,则AC =20,AB =, ∵∠DBA =∠DBA ,∠PAB =∠ADB , ∴△ABD ∽△PBA , ∴AB BD AD
PB AB PA
==,
∴
=
, ∴DB =
, ∴AD
=,
设NE =ME =x , ∵S △ABD =12AD?BD =12AD?NE+1
2
BD?ME , ∴
1
2=12?x+1
2?x ,
∴x , ∴DE
HE x =967
,
又∵AO =1
2
AB =,
∴
96
735
DE OA ==
.
【点睛】
本题考查了圆的相关性质,等腰直三角形的性质,相似的性质等,还考查了面积法及特殊值法的运用,解题的关键是认清图形,抽象出各几何图形的特殊位置关系.
6.如图,⊙O的直径AB=8,C为圆周上一点,AC=4,过点C作⊙O的切线l,过点B作l的垂线BD,垂足为D,BD与⊙O交于点E.
(1)求∠AEC的度数;
(2)求证:四边形OBEC是菱形.
【答案】(1)30°;(2)详见解析.
【解析】
【分析】
(1)易得△AOC是等边三角形,则∠AOC=60°,根据圆周角定理得到∠AEC=30°;(2)根据切线的性质得到OC⊥l,则有OC∥BD,再根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB=90°,则∠EAB=30°,可证得AB∥CE,得到四边形OBE C为平行四边形,再由OB =OC,即可判断四边形OBEC是菱形.
【详解】
(1)解:在△AOC中,AC=4,
∵AO=OC=4,
∴△AOC是等边三角形,
∴∠AOC=60°,
∴∠AEC=30°;
(2)证明:∵OC⊥l,BD⊥l.
∴OC∥BD.
∴∠ABD=∠AOC=60°.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∴△AEB为直角三角形,∠EAB=30°.
∴∠EAB =∠AEC . ∴CE ∥OB ,又∵CO ∥EB ∴四边形OBEC 为平行四边形. 又∵OB =OC =4. ∴四边形OBEC 是菱形. 【点睛】
本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了圆周角定理及其推论以及菱形的判定方法.
7.如图①,已知Rt ABC ?中,90ACB ∠=,8AC =,10AB =,点D 是AC 边上一点(不与C 重合),以AD 为直径作
O ,过C 作CE 切O 于E ,交AB 于F .
(1)若
O 的半径为2,求线段CE 的长;
(2)若AF BF =,求O 的半径;
(3)如图②,若CE CB =,点B 关于AC 的对称点为点G ,试求G 、E 两点之间的距离.
【答案】(1)42CE =(2)O 的半径为3;(3)G 、E 两点之间的距离为9.6.
【解析】 【分析】
(1)根据切线的性质得出∠OEC=90°,然后根据勾股定理即可求得; (2)由勾股定理求得BC ,然后通过证得△OEC ∽△BCA ,得到OE BC =OC BA ,即r 8-r
=610
,解得即可;
(3)证得D 和M 重合,E 和F 重合后,通过证得△GBE ∽△ABC ,
GB GE
AB AC
=,即12108GE =,解得即可. 【详解】
(1)如图,连结OE . ∵CE 切
O 于E ,
∴90OEC ∠=?. ∵8AC =,
O 半径为2,
∴6OC =,2OE =.
∴2242CE OC OE =-=; (2)设
O 半径为r .
在Rt ABC ?中,90ACB ∠=?,10AB =,8AC =, ∴226BC AB AC =-=.
∵AF BF =, ∴AF CF BF ==. ∴ACF CAF ∠=∠. ∵
CE 切O 于E ,
∴90OEC ∠=?. ∴OEC ACB ∠=∠, ∴OEC BCA ?~?. ∴OE OC
BC BA =, ∴
8610
r r -=, 解得3r =. ∴
O 的半径为3;
(3)连结EG 、OE ,设EG 交AC 于点M ,
由对称性可知,CB CG =. 又CE CB =, ∴CE CG =. ∴EGC GEC ∠=∠.
∵CE 切O 于E ,
∴90GEC OEG ∠+∠=?. 又90EGC GMC ∠+∠=?,
∴OEG GMC ∠=∠.又GMC OME ∠=∠, ∴OEG OME ∠=∠. ∴OE OM =. ∴点M 与点D 重合.
∴G 、D 、E 三点在同一条直线上. 连结AE 、BE , ∵AD 是直径,
∴90AED ∠=?,即90AEG ∠=?. 又CE CB CG ==, ∴90BEG ∠=?.
∴180AEB AEG BEG ∠=∠+∠=?, ∴
A 、E 、
B 三点在同一条直线上.
∴E 、F 两点重合.
∵90GEB ACB ∠=∠=?,B B ∠=∠, ∴GBE ABC ?~?. ∴
GB GE AB AC =,即12108
GE
=. ∴9.6GE =.
故G 、E 两点之间的距离为9.6. 【点睛】
本题考查了切线的判定,轴的性质,勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质,证得G 、D 、E 三点共线以及A 、E 、B 三点在同一条直线上是解题的关键.
8.如图1,D 是⊙O 的直径BC 上的一点,过D 作DE ⊥BC 交⊙O 于E 、N ,F 是⊙O 上的一点,过F 的直线分别与CB 、DE 的延长线相交于A 、P ,连结CF 交PD 于M ,∠C =1
2
∠P . (1)求证:PA 是⊙O 的切线;
(2)若∠A =30°,⊙O 的半径为4,DM =1,求PM 的长;
(3)如图2,在(2)的条件下,连结BF 、BM ;在线段DN 上有一点H ,并且以H 、D 、C 为顶点的三角形与△BFM 相似,求DH 的长度.
【答案】(1)证明见解析;(2)PM=43﹣2;(3)满足条件的DH的值为63
-
或
1223
+
.
【解析】
【分析】
(1)如图1中,作PH⊥FM于H.想办法证明∠PFH=∠PMH,∠C=∠OFC,再根据等角的余角相等即可解决问题;
(2)解直角三角形求出AD,PD即可解决问题;
(3)分两种情形①当△CDH∽△BFM时,DH CD FM BF
=.
②当△CDH∽△MFB时,DH CD
FB MF
=,分别构建方程即可解决问题;
【详解】
(1)证明:如图1中,作PH⊥FM于H.
∵PD⊥AC,∴∠PHM=∠CDM=90°,∵∠PMH=∠DMC,∴∠C=∠MPH,∵∠C=1
2
∠FPM,∴∠HPF=∠HPM,
∵∠HFP+∠HPF=90°,∠HMP+∠HPM=90°,∴∠PFH=∠PMH,
∵OF=OC,∴∠C=∠OFC,
∵∠C+∠CMD=∠C+∠PMF=∠C+∠PFH=90°,
∴∠OFC+∠PFC =90°,∴∠OFP =90°, ∴直线PA 是⊙O 的切线.
(2)解:如图1中,∵∠A =30°,∠AFO =90°,∴∠AOF =60°, ∵∠AOF =∠OFC+∠OCF ,∠OFC =∠OCF ,∴∠C =30°, ∵⊙O 的半径为4,DM =1, ∴OA =2OF =8,CD =3DM =3 , ∴OD =OC ﹣CD =4﹣3 ,
∴AD =OA+OD =8+4﹣3 =12﹣3 , 在Rt △ADP 中,
DP =AD?tan30°=(12﹣3 )×3
=43 ﹣1, ∴PM =PD ﹣DM =4 3﹣2. (3)如图2中,
由(2)可知:BF =
1
2
BC =4,FM 3BF =3,CM =2DM =2,CD 3 , ∴FM =FC ﹣CM =3﹣2, ①当△CDH ∽△BFM 时,DH CD
FM BF
= , ∴34
432=
- ,∴DH =63
2 ②当△CDH ∽△MFB 时,DH CD FB MF
=, ∴
34432
DH =
-,∴DH 1223
+ , ∵DN ()
2
2443
833--=-,
∴DH <DN ,符合题意,
综上所述,满足条件的DH的值为63
2
-
或
1223
11
+
.
【点睛】
本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会用分类讨论的思想思考问题.
9.如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠D=60°且AB=6,过O点作
OE⊥AC,垂足为E.
(1)求OE的长;
(2)若OE的延长线交⊙O于点F,求弦AF、AC和弧CF围成的图形(阴影部分)的面积.(结果保留π)
【答案】(1)OE的长为3
2
;
(2)阴影部分的面积为3 2π
【解析】
(1)OE=3
2
(2)S=
3
2
π
10.如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,点E在CB的延长线上,连结AC、AE,∠ACB=∠BAE=45°.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若AB=AD,AC=32,tan∠ADC=3,求BE的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)
5
2 BE=
【解析】试题分析:(1)连接OA、OB,由圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=90°,由等腰直角三角形的性质得出∠OAB=∠OBA=45°,求出∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,即可得出结论;(2)过点A作AF⊥CD于点F,由AB=AD,得到∠ACD=∠ACB=45°,在Rt△AFC中可求得AF
=3,在Rt △AFD 中求得DF =1,所以AB =AD = ,CD = CF +DF =4,再证明
△ABE ∽△CDA ,得出BE AB
DA CD
=
,即可求出BE 的长度; 试题解析:
(1)证明:连结OA ,OB , ∵∠ACB =45°, ∴∠AOB =2∠ACB = 90°, ∵OA=OB ,
∴∠OAB =∠OBA =45°, ∵∠BAE =45°,
∴∠OAE =∠OAB +∠BAE =90°, ∴OA ⊥AE . ∵点A 在⊙O 上, ∴AE 是⊙O 的切线.
(2)解:过点A 作AF ⊥CD 于点F ,则∠AFC =∠AFD =90°. ∵AB=AD , ∴AB =AD ∴∠ACD =∠ACB =45°, 在Rt △AFC 中,
∵AC =∠ACF =45°, ∴AF=CF=AC ·sin ∠ACF =3, ∵在Rt △AFD 中, tan ∠ADC=3AF
DF
=, ∴DF =1,
∴AB AD == 且CD = CF +DF =4, ∵四边形ABCD 内接于⊙O , ∴∠ABE =∠CDA , ∵∠BAE =∠DCA , ∴△ABE ∽△CDA , ∴
BE AB
DA CD
=
,
∴10
=,
10
∴5
BE=.
2
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,⊙O的半径为6cm,经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B,作∠ACO的平分线交⊙O于点D,交OA于点F,延长DA交BC于点E. (1)求证:AC∥OD; (2)如果DE⊥BC,求AC的长度. 【答案】(1)证明见解析;(2)2π. 【解析】 试题分析:(1)由OC=OD,CD平分∠ACO,易证得∠ACD=∠ODC,即可证得AC∥OD;(2)BC切⊙O于点C,DE⊥BC,易证得平行四边形ADOC是菱形,继而可证得△AOC是等边三角形,则可得:∠AOC=60°,继而求得弧AC的长度. 试题解析:(1)证明:∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.∵CD平分∠ACO, ∴∠OCD=∠ACD,∴∠ACD=∠ODC,∴AC∥OD; (2)∵BC切⊙O于点C,∴BC⊥OC.∵DE⊥BC,∴OC∥DE.∵AC∥OD,∴四边形ADOC 是平行四边形.∵OC=OD,∴平行四边形ADOC是菱形,∴OC=AC=OA,∴△AOC是等边三 角形,∴∠AOC=60°,∴弧AC的长度=606 180 π? =2π. 点睛:本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用. 2.不用圆规、三角板,只用没有刻度的直尺,用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A作出直径BC所在射线的垂线.
【答案】画图见解析. 【解析】 【分析】根据直角所对的圆周角是直角,构造直角三角形,利用直角三角形性质可画出垂线;或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线. 【详解】解:画图如下: 【点睛】本题考核知识点:作垂线.解题关键点:结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线. 3.已知:如图,在矩形ABCD中,点O在对角线BD上,以OD的长为半径的⊙O与AD,BD分别交于点E、点F,且∠ABE=∠DBC. (1)判断直线BE与⊙O的位置关系,并证明你的结论; (2)若sin∠ABE= 3 3 ,CD=2,求⊙O的半径. 【答案】(1)直线BE与⊙O相切,证明见解析;(2)⊙O的半径为3 . 【解析】 分析:(1)连接OE,根据矩形的性质,可证∠BEO=90°,即可得出直线BE与⊙O相切;(2)连接EF,先根据已知条件得出BD的值,再在△BEO中,利用勾股定理推知BE的长,设出⊙O的半径为r,利用切线的性质,用勾股定理列出等式解之即可得出r的值.详解:(1)直线BE与⊙O相切.理由如下: 连接OE,在矩形ABCD中,AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC. ∵OD=OE,∴∠OED=∠ODE. 又∵∠ABE=∠DBC,∴∠ABE=∠OED, ∵矩形ABDC,∠A=90°,∴∠ABE+∠AEB=90°, ∴∠OED+∠AEB=90°,∴∠BEO=90°,∴直线BE与⊙O相切;
如图 8,在Rt ABC中,CAB 90,AC 3 , AB 4 ,点 P 是边 AB 上任意一点,过点 P 作PQ AB 交BC于点E,截取 PQ AP ,联结 AQ ,线段 AQ 交BC于点D,设 AP x ,DQ y .【2013徐汇】 (1)求y关于x的函数解析式及定义域;( 4 分) (2)如图 9,联结CQ,当CDQ和ADB相似时,求x的值;( 5 分) (3)当以点C为圆心,CQ为半径的⊙C和以点B为圆心,BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边 AB 上时,求 AP 的长.( 5 分) C Q D E A P B (图 8) C Q D E A (图 9) P B C A B (备用图) 【2013 奉贤】如图,已知AB是⊙O的直径,AB=8,点C在半径OA上(点C与点O、A不重合),过点 C作 AB的垂线交⊙ O于点 D,联结 OD,过点 B 作 OD的平行线交⊙ O于点 E、交射 线CD于点 F. (1)若 ⌒ ED BE⌒ ,求∠ F 的度数; (2)设CO x, EF y,写出y 与x之间的函数解析式,并写出定义域;
(3)设点 C 关于直线 OD 的对称点为 P ,若△ PBE 为等腰三角形,求 OC 的长. 第 25 题 【 2013 长宁】△ ABC 和△ DEF 的顶点 A 与 D 重合,已知∠ B = 90 . ,∠ BAC = 30 . , BC=6,∠ FDE = 90 , DF=DE=4. (1)如图①, EF 与边 、 分别交于点 ,且 . 设 DF a ,在射线 上取 AC AB G 、H FG=EH DF 一点 P ,记: DP xa ,联结 CP. 设△ DPC 的面积为 y ,求 y 关于 x 的函数解析式,并写 出定义域; (2)在( 1)的条件下,求当 x 为何值时 PC // AB ; ( 3)如图②,先将△ DEF 绕点 D 逆时针旋转,使点 E 恰好落在 AC 边上,在保持 DE 边与 AC 边完 全重合的条件下, 使△ DEF 沿着 AC 方向移动 . 当△ DEF 移动到什么位置时, 以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 图① 图② 【 2013 嘉定】已知 AP 是半圆 O 的直径,点 C 是半圆 O 上的一个动点 (不与点 A 、P 重合),联结 AC ,以直线 AC 为对称轴翻折 AO ,将点 O 的对称点记为 O 1 ,射线 AO 1 交半圆 O 于 点 B ,联结 OC . (1)如图 8,求证: AB ∥ OC ; (2)如图 9,当点 B 与点 O 1 重合时,求证: AB CB ;
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图1,正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上,点O是对角线AC、BD 的交点,过点O作OE⊥MN于点E. (1)如图1,线段AB与OE之间的数量关系为.(请直接填结论) (2)保证点A始终在直线MN上,正方形ABCD绕点A旋转θ(0<θ<90°),过点 B作BF⊥MN于点F. ①如图2,当点O、B两点均在直线MN右侧时,试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系?请说明理由. ②如图3,当点O、B两点分别在直线MN两侧时,此时①中结论是否依然成立呢?若成立,请直接写出结论;若不成立,请写出变化后的结论并证明. ③当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时,线段AF、BF与OE之间的数量关系为.(请直接填结论) 【答案】(1)AB=2OE;(2)①AF+BF=2OE,证明见解析;②AF﹣BF=2OE 证明见解析;③BF ﹣AF=2OE, 【解析】 试题分析:(1)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论; (2)①过点B作BH⊥OE于H,可得四边形BHEF是矩形,根据矩形的对边相等可得 EF=BH,BF=HE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB,∠AOB=90°,再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH,然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等,根据全等三角形对应边相等可得OH=AE,OE=BH,再根据AF-EF=AE,整理即可得证; ②过点B作BH⊥OE交OE的延长线于H,可得四边形BHEF是矩形,根据矩形的对边相等可得EF=BH,BF=HE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB,∠AOB=90°,再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH,然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等,根据全等三角形对应边相等可得OH=AE,OE=BH,再根据AF-EF=AE,整理即可得证; ③同②的方法可证. 试题解析:(1)∵AC,BD是正方形的对角线, ∴OA=OC=OB,∠BAD=∠ABC=90°, ∵OE⊥AB,
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,点D、点E、点F分别是AC,AB,BC边的中点,连接DE、EF,得到四边形EDCF,它的面积记作S;点D1、点E1、点F1分别是EF,EB,FB边的中点,连接D1E1、E1F1,得到四 边形E1D1F F 1,它的面积记作S 1,照此规律作下去,则Sn = . 2.如图,在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中,作内接正方形A1B1C1D1;在等腰直角三角形OA1B1中,作内接正方形A2B2C2D2;在等腰直角三角形OA2B2中,作内接正方形A3B3C3D3;……;依次作下去,则第n个正方形A n B n C n D n 的边长是( )(A)(B)(C)(D) 3.如图,在直线l1⊥x轴于点(1,0),直线l2⊥x轴于点(2,0),直线l3⊥x轴于点 (n,0)……直线l n⊥x轴于点(n,0).函数y=x的图象与直线l1,l2,l3,……l n 分别交于点B1,B2,B3,……B n。如果△OA1B1的面积记为S1,四边形A1A2B2B1的 面积记作S2,四边形A2A3B3B2的面积记作S3,……四边形A n-1A n B n B n-1的面积记作 S n,那么S2011=_______________________。 5.如图,点A1、A2、A3、…在平面直角坐标系x轴上,点B1、B2、 B3、…在直线y= 3 3 x+1上,△OA1B1、△A1B2A2、△A2B3A3…均 为等边三角形,则A2014的横坐标 . 1 3 1 - n n 3 1 1 3 1 + n2 3 1 + n 1 x y O 1 3 4 5 2 2 3 5 4 y=x A2 A3 B3 B2 B1 S1 S2 S3 A1 y=2x (第3题) 1/ 2
25. (6分) 某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨 x 元(x 为正整数),每个月的销售利润为 y 元. (1)求 y 与 x 的函数关系式,并直接写出自变量的取值范围; (2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润最大的月利润是多少元 (3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为2200元根据以上结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于2200元 23.(本小题满分12分)某电厂规定,该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a 千 瓦·时,那么这户居民这个月只需交10元电费;如果超过a 千瓦·时,则这个月除了仍要交10元的用电费以外,超过的部分还要按每千瓦·时 100 a 元交费. (1)该厂某户居民2月份用电90千瓦·时,超过了规定的a 千瓦·时,则超过的部分应交电费___*___元.(用含a 代数式表示) (2)下表是这户居民3月、4月用电情况和交费情况:
23、(12分)已知一元二次方程2 40x x k -+=有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围; (2)如果 k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程 240 x x k -+=与 210x mx +-=有一个相同的根,求此时m 的值. 22、(12分)美化城市,改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容,南沙区近几年来,通过拆迁旧房,植草,栽树,修建公园等措施,使城区绿化面积不断增加(如图所示) (1)根据图中所提供的信息,回答下列问题:2011年的绿化面积为 公顷,比2010年增加了 公顷。 (2)为满足城市发展的需要,计划到2013年使城区绿化地总面积达到公顷,试求这两年(2011~2013)绿地面积的年平均增长率。 _ _ 60 _ 56_ 51_ 48 _ _ 2011 _ 2010 _ 2009 _ 2008
中考数学综合专题训练【几何综合题】(几何)精品解析 在中考中,几何综合题主要考察了利用图形变换(平移、旋转、轴对称)证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上,将几何综合题目分解为基本问题,转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比,从而使问题得到解决。 在解决几何综合题时,重点在思路,在老师讲解及学生解题时,对于较复杂的图形,根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形,将新题目与已有经验建立联系从而找到思路,之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络;在做完题之后,注重解题反思,总结题目中的基本图形及辅助线添加方法,将题目归类整理;对于典型的题目,可以解析题目条件,通过拓展题目条件或改变条件,给出题目的变式,从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时,在授课过程中,将同一类型的几何综合题成组出现,分析讲解,对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。 一.考试说明要求 图形与证明中要求:会用归纳和类比进行简单的推理。 图形的认识中要求:会运用几何图形的相关知识和方法(两点之间的距离,等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识,全等三角形的知识和方法,平行四边形的知识,矩形、菱形和正方形的知识,直角三角形的性质,圆的性质)解决有关问题;能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题;能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题;能解决与切线有关的问题。 图形与变换中要求:能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。 二.基本图形及辅助线 解决几何综合题,是需要厚积而薄发,所谓的“几何感觉”,是建立在足够的知识积累的基础上的,熟悉基本图形及常用的辅助线,在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型,找到“新”问题与“旧”模型间的关联,明确努力方向,才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。 举例: 1、与相似及圆有关的基本图形
中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1.(北京市西城区)如图,BC 是⊙O 的直径,P 是CB 延长线上一点,PA 切⊙O 于点A ,如果PA =3,PB =1,那么∠APC 等于 ( ) (A ) 15 (B ) 30 (C ) 45 (D ) 60 2.(北京市西城区)如果圆柱的高为20厘米,底面半径是高的 41,那么这个圆柱的侧面积是 ( ) (A )100π平方厘米 (B )200π平方厘米 (C )500π平方厘米 (D )200平方厘米 3.(北京市西城区)“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题,“今在圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用 现在的数学语言表述是:“如图,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD ,垂足为E ,CE =1寸,AB =寸,求直径CD 的长”.依题意,CD 长为 ( ) (A )2 25寸 (B )13寸 (C )25寸 (D )26寸 4.(北京市朝阳区)已知:如图,⊙O 半径为5,PC 切⊙O 于点C ,PO 交⊙O 于点A ,PA =4,那么PC 的长等于 ( ) (A )6 (B )25 (C )210 (D )214 5.(北京市朝阳区)如果圆锥的侧面积为20π平方厘米,它的母线长为5厘 米,那么此圆锥的底面半径的长等于 ( ) (A )2厘米 (B )22厘米 (C )4厘米 (D )8厘米 6.(天津市)相交两圆的公共弦长为16厘米,若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米,则这两圆的圆心距为 ( ) (A )7厘米 (B )16厘米 (C )21厘米 (D )27厘米 7.(重庆市)如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,∠C = 90,AO 的延长线交BC 于点D ,AC =4,DC =1,,则⊙O 的半径等于 ( )
2019年中考数学真题分类训练——专题四:不等式及其应用 一、选择题 1.(2019无锡)某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务,于是安排15名工人每人每天加工a个零件(a为整数),开工若干天后,其中3人外出培训,若剩下的工人每人每天多加工2个零件,则不能按期完成这次任务,由此可知a的值至少为 A.10 B.9 C.8 D.7 【答案】B 2.(2019宁波)不等式3 2 x - >x的解为 A.x<1 B.x<﹣1 C.x>1 D.x>﹣1 【答案】A 3.(2019重庆)某次知识竞赛共有20题,答对一题得10分,答错或不答扣5分,小华得分要超过120分,他至少要答对的题的个数为 A.13 B.14 C.15 D.16 【答案】C 4.(2019舟山)已知四个实数a,b,c,d,若a>b,c>d,则 A.a+c>b+d B.a–c>b–d C.ac>bd D.a b c d > 【答案】A 5.(2019绥化)小明去商店购买A、B两种玩具,共用了10元钱,A种玩具每件1元,B 种玩具每件2元.若每种玩具至少买一件,且A种玩具的数量多于B种玩具的数量.则小明的购买方案有 A.5种B.4种C.3种D.2种 【答案】C 6.(2019重庆A卷)若关于x的一元一次不等式组 11 (42) 42 31 2 2 x a x x ? --≤ ?? ? - ?<+ ?? 的解集是x≤a,且 关于y的分式方程24 1 11 y a y y y -- -= -- 有非负整数解,则符合条件的所有整数a的和为
A .0 B .1 C .4 D .6 【答案】B 7.(2019呼和浩特)若不等式 25 3 x +-1≤2-x 的解集中x 的每一个值,都能使关于x 的不等式3(x -1)+5>5x +2(m +x )成立,则m 的取值范围是 A .m >- 35 B .m <- 15 C .m <-35 D .m >- 15 【答案】C 8.(2019常德)小明网购了一本《好玩的数学》,同学们想知道书的价格,小明让他们猜.甲说:“至少15元.”乙说:“至多12元.”丙说:“至多10元.”小明说:“你们三个人都说错了”.则这本书的价格x (元)所在的范围为 A .10
中考数学经典题例(一)及解答 1、(2010年北京市)24. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y = - 4 1-m x 2+45m x +m 2-3m +2 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ,点B (2,n )在这条抛物线上。 (1) 求点B 的坐标; (2) 点P 在线段OA 上,从O 点出发向点运动,过P 点作x 轴的 垂线,与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED =PE 。 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动 时,C 点、D 点也随之运动) 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时,求 OP 的长; 若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动,速度为每秒1 点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动,速度为每秒 2个单位(当Q 点到达O 点时停止 运动,P 点也同时停止运动)。过Q 点作x 轴的垂线,与直线AB 交于点F 。延长QF 到点M ,使得FM =QF ,以QM 为斜边,在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时,M 点,N 点也随之运动)。若P 点运动到t 秒时,两个等腰直角三角形分 别有一条直角边恰好落在同一条直线上,求此刻t 的值。 【解答】 24. 解:(1) ∵拋物线y = -4 1-m x 2+45m x +m 2-3m +2经过原点,∴m 2-3m +2=0,解得m 1=1,m 2=2, 由题意知m ≠1,∴m =2,∴拋物线的解析式为y = -41x 2+2 5 x ,∵点B (2,n )在拋物线 y = -41x 2+2 5 x 上,∴n =4,∴B 点的坐标为(2,4)。 (2) 设直线OB 的解析式为y =k 1x ,求得直线OB 的解析式为 y =2x ,∵A 点是拋物线与x 轴的一个交点,可求得A 点的 坐标为(10,0),设P 点的坐标为(a ,0),则E 点的坐标为 (a ,2a ),根据题意作等腰直角三角形PCD ,如图1。可求 得点C 的坐标为(3a ,2a ),由C 点在拋物线上,得 2a = -41?(3a )2+25?3a ,即49a 2-211a =0,解得a 1=9 22,a 2=0 (舍去),∴OP =9 22 。 依题意作等腰直角三角形QMN ,设直线AB 的解析式为y =k 2x +b ,由点A (10,0), 点B (2,4),求得直线AB 的解析式为y = -2 1 x +5,当P 点运动到t 秒时,两个等腰 直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,有以下三种情况: 第一种情况:CD 与NQ 在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ 为等腰直角三 角形。此时OP 、DP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、2t 个单位。∴PQ =DP =4t , ∴t +4t +2t =10,∴t =7 10 。 第二种情况:PC 与MN 在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM 为等腰直角三 角形。此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位。∴OQ =10-2t ,∵F 点在
中考数学综合专题训练【以圆为基础的几何综合题】精品专题解析 几何综合题一般以圆为基础,涉及相似三角形等有关知识;这类题虽较难,但有梯度,一般题目中由浅入深有1~3个问题,解答这种题一般用分析综合法. 【典型例题精析】 例1.如图,已知⊙O的两条弦AC、BD相交于点Q,OA⊥BD. (1)求证:AB2=AQ·AC: (2)若过点C作⊙O的切线交DB的延长线于点P,求证:PC=PQ. P 分析:要证A B2=AQ·AC,一般都证明△ABQ∽△ACB.∵有一个公共角∠QAB=∠BAC,?∴只需再证明一个角相等即可. 可选定两个圆周角∠ABQ=∠ACB加以证明,以便转化,题目中有垂直于弦的直径,可知AB=AD,AD和AB所对的圆周角相等. (2)欲证PC=PQ, ∵是具有公共端点的两条线段, ∴可证∠PQC=∠PCQ(等角对等边) 将两角转化,一般原地踏步是不可能证明出来的,没有那么轻松愉快的题目给你做,因为数学是思维的体操. ∠BQC=∠AQD=90°-∠1(充分利用直角三角形中互余关系) ∵∠PCA是弦切角,易发现应延长AO与⊙交于E,再连结EC,?利用弦切角定理得∠PCA=∠E,同时也得到直径上的圆周角∠ACE=90°, ∴∠PCA=∠E=90°-∠1. 做几何证明题大家要有信心,拓展思维,不断转化,寻根问底,不断探索,?充分发挥题目中条件的总体作用,总能得到你想要的结论,同时也要做好一部分典型题,?这样有利于做题时发生迁移,联想. 例2.如图,⊙O1与⊙O2外切于点C,连心线O1O2所在的直线分别交⊙O1,⊙O2于A、E,?过点A作⊙O2的切线AD交⊙O1于B,切点为D,过点E作⊙O2的切线与AD交于F,连结BC、CD、?DE. (1)如果AD:AC=2:1,求AC:CE的值; (2)在(1)的条件下,求sinA和tan∠DCE的值; (3)当AC:CE为何值时,△DEF为正三角形?
42.等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连结AF,BE相交于点P (1)若AE=CF, ①求证:AF=BE,并求∠APB的度数; ②若AE=2,试求AP?AF的值; (2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时,试求点P经过的路径的长. 43.合作学习 如图,矩形ABOD的两边OB,OD都在坐标轴的正半轴上,OD=3,另两边与反比例函数 的图象分别相交于点E,F,且DE=2,过点E作EH⊥x轴于点H,过点F作FG⊥EH 于点G。回答下列问题: ①该反比例函数的解析式是什么? ②当四边形AEGF为正方形时,点F的坐标是多少? (1)阅读合作学习内容,请解答其中的问题; (2)小亮进一步研究四边形AEGF的特征后提出问题:“当AE>EG时,矩形AEGF与矩形DOHE能否全等?能否相似?” 针对小亮提出的问题,请你判断这两个矩形能否全等?直接写出结论即可;这两个矩形能否相似?若能相似,求出相似比;若不能相似,试说明理由. 44.九(3)班为了组队参加学校举行的“五水共治”知识竞赛,在班里选取了若干名学生,分成人数相同的甲乙两组,进行了四次“五水共治”模拟竞赛,成绩优秀的人数和优秀率分别绘 制成如下统计图. 根据统计图,解答下列问题: (1)第三次成绩的优秀率是多少?并将条形统计图补充完整;
(2)已求得甲组成绩优秀人数的平均数,方差,请通过计算说明,哪一组成绩优秀的人数较稳定? 45.一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐,现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接.(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来,四周分别可坐多少人? (2)若用餐的人数有90人,则这样的餐桌需要多少张? 46.在棋盘中建立如图所示的直角坐标系,三颗棋子A,O,B的位置如图,它们的坐标分别是(-1,1),(0,0)和(1,0). (1)如图2,添加棋子C,使A,O,B,C四颗棋子成为一个轴对称图形,请在图中画出该图形的对称轴; (2)在其它格点位置添加一颗棋子P,使A,O,B,P成为一个轴对称图形,请直接写出棋子P的位置的坐标(写出2个即可). 47.如图,在平面直角坐标系中,A是抛物线上的一个动点,且点A在第一象限内.AE⊥轴于点E,点B坐标为(0,2),直线AB交轴于点C,点D与点C关于轴对称,直线DE与AB相交于点F,连结BD.设线段AE的长为,△BED的面积为 .
年中考数学分类汇总
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2018年中考数学分类汇总 主讲:六枝特区第九中学 汪恒 第一章 实数 课时1.实数的有关概念 【课前热身】 1.(08重庆)2的倒数是 . 2.(08白银)若向南走2m 记作2m -,则向北走3m 记作 m . 3.(08乌鲁木齐)2的相反数是 . 4.(08南京)3-的绝对值是( ) A .3- B .3 C .13- D .13 5.(08宜昌)随着电子制造技术的不断进步,电子元件的尺寸大幅 度缩小,在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 7(毫米2), 这个数用科学记数法表示为( ) A.7×10-6 B. 0.7×10-6 C. 7×10-7 D. 70×10-8 【考点链接】 1.有理数的意义 ⑴ 数轴的三要素为 、 和 . 数轴上的点与 构成一一对应. ⑵ 实数a 的相反数为________. 若a ,b 互为相反数,则b a += .
⑶ 非零实数a 的倒数为______. 若a ,b 互为倒数,则ab = . ⑷ 绝对值?? ???<=>=)0( )0( )0( a a a a . ⑸ 科学记数法:把一个数表示成 的形式,其中1≤a < 10的数,n 是整数. ⑹ 一般地,一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精 确到哪一位.这时,从左边第一个不是 的数起,到 止,所有的数字都叫做这个数的有效数字. 2.数的开方 ⑴ 任何正数a 都有______个平方根,它们互为________.其中正的平方根a 叫 _______________. 没有平方根,0的算术平方根为 ______. ⑵ 任何一个实数a 都有立方根,记为 . ⑶ =2a ???<≥=)0( )0( a a a . 3. 实数的分类 和 统称实数. 4.易错知识辨析 (1)近似数、有效数字 如0.030是2个有效数字(3,0)精确 到千分位;3.14×105是3个有效数字;精确到千位.3.14 万是3个有效数字(3,1,4)精确到百位. (2)绝对值 2x =的解为2±=x ;而22=-,但少部分同学写成
初三中考数学综合题(一) A 卷 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.下列各数中是负数的是( ) A .-(-3) B .-(-3)2 C .-(-2)3 D .|-2| 2.下列计算正确的是( ) A .3a = B .632a a a ÷= C .()1 22a a -=- D .() 3 2628a a -=- 3.6月5日是世界环境日,“海洋存亡,匹夫有责”,目前全球海洋总面积约为36105.9万.平方千米,用科学记数法(保留三个有效数字)表示为( ) A .6 1061.3?平方千米 B .7 1061.3?平方千米 C .81061.3?平方千米 D .91061.3?平方千米 4.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是( ). 5.已知下列四个命题:(1).对角线互相垂直平分的四边形是正方形;(2).相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形;(3).平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;( 4).对角线垂直相等的四边形是菱形。其中真命题的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 6.已知112233 (2)(1)(2)P y P y P y --,,,,,是反比例函数2y x =的图象上的三点,则123y y y ,,的大小关系是( ) A.321y y y << 123y y y << C.213y y y << D. 以上都不对 7.如右图,小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两 条平行线a b 、上,已知155∠=°,则2∠的度数为( ) A .45° B .125° C .55° D .35° 8.已知点P (x ,y )在函数x x y -+= 2 1 的图象上,那么点P 应在平面直角坐标系中的( ) A .第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 9.“只要人人都献出一点爱,世界将变成美好的人间”.在今年的慈善一日捐活动中,成都市某中学九年级三班50名学生自发组织献爱心捐款活动.班长将捐款情况进行了统计,并绘制成了统计图.根据右图提供的信息,捐款金额.. 的众数和中位数分别是( ) A .20、20 B .30、20 C .3010.如图,在平面直角坐标系中,点A 在第一象限, ⊙A 与x 轴相切于B ,与y 轴交于C (0,1), D (0,4)两点,则点A 的坐标是 ( ) A .35 (,)22 B .3(,2)2 A B C D 主 视 图左视图俯 视图(第4题)
初三中考数学试题分类汇总解析新定义题专题 一、选择题 1.(2016杭州)设a,b是实数,定义@的一种运算如下:a@b=(a+b)2﹣(a﹣b)2,则下列结论: ①若a@b=0,则a=0或b=0 ①a@(b+c)=a@b+a@c ①不存在实数a,b,满足a@b=a2+5b2 ①设a,b是矩形的长和宽,若矩形的周长固定,则当a=b时,a@b最大. 其中正确的是() A.①①①B.①①①C.①①①D.①①① 【答案】C 【解析】 试题分析:根据新定义可以计算出啊各个小题中的结论是否成立,从而可以判断各个小题中的说法是否正确,从而可以得到哪个选项是正确的.[来源:学科网ZXXK]
2.(2016湖州)定义:若点P(a,b)在函数 1 y x 的图象上,将以a为二次项系数,b为 一次项系数构造的二次函数y=ax2+bx称为函数 1 y x 的一个“派生函数”.例如:点(2, 1 2 ) 在函数 1 y x 的图象上,则函数2 1 2 2 y x x称为函数 1 y x 的一个“派生函数”.现给出以 下两个命题: (1)存在函数的一个“派生函数”,其图象的对称轴在y轴的右侧 (2)函数 1 y x 的所有“派生函数”,的图象都进过同一点,下列判断正确的是() A.命题(1)与命题(2)都是真命题 B.命题(1)与命题(2)都是假命题 C.命题(1)是假命题,命题(2)是真命题 D.命题(1)是真命题,命题(2)是假命题 【答案】C 3.(2020湖州)七巧板是我国祖先的一项卓越创造,流行于世界各地.由边长为2的正方形 可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板,如图1所示.分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形,则这两个图形中,中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是() A.1和1B.1和2C.2和1D.2和2
2019年中考数学真题分类训练——专题 14:图形的相似 一、选择题 1.(2019邵阳)如图,以点 O 为位似中心,把△ ABC 放大为原图形的 2倍得到△A ′B ′C ′,以下说法中 错误的是 A .△ABC ∽△A ′ B ′ C ′ B .点 C 、点O 、点C ′三点在同一直线上 C .∶′=1∶2 AOAA D .AB ∥A ′B ′ 【答案】C 2.(2019温州)如图,在矩形 ABCD 中,E 为AB 中点,以BE 为边作正方形BEFG ,边EF 交CD 于点H ,在 边BE 上取点M 使BM=BC ,作MN ∥BG 交CD 于点L ,交FG 于点N ,欧几里得在《几何原本》中利用该图解释 了(+)(﹣ )=2 ﹣ 2 ,现以点 F 为圆心, FE 为半径作圆弧交线 段 于点 ,连结 ,记△ 的面 abab a b DH P EP EPH 积为S1,图中阴影部分的面积为 S2.若点A ,L ,G 在同一直线上,则 S1 的值为 S 2 A . 2 B . 2 2 3
2 C. 4 【答案】C 3.(2019淄博)如图,在△ 则△ABD的面积为 A.2a C.3a 【答案】C 4.(2019杭州)如图,在△ 重合),连接 AM交DE于点 A.AD AN AN AE C.DN N E BM MC 【答案】C 2 D. 6 ABC中,AC=2,BC=4,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B.若△ADC的面积为a, B.5a 2 D.7a 2 ABC中,点D,E分别在AB和AC上,DE∥BC,M为BC边上一点(不与点B,C N,则 BD MN B. MN CE DN NE D. MC BM 5.(2019玉林)如图, AB∥EF∥DC,AD∥BC,EF与AC交于点G,则是相似三角形共有
中考数学专题训练函数综合题专题 1. 如图,一次函数y kx b y 4 与反比例函数x 的图像交于 A 、B 两点,其中y 点A的横坐标为1,又一次函数y (1)求一次函数的解析式; (2)求点 B 的坐标. kx b 的图像与x 轴交于点C3,0 . A C O x B 2. 已知一次函数y=(1-2x)m+x+3 图像不经过第四象限,且函数值y 随自变量x 的减小而减小。(1)求m 的取值范围; (2)又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是 4.5 ,求这个一次函数的解析式。 y 2 1 -1 O -1 1 2 x 图 2 3. 如图,在平面直角坐标系中,点O 为原点,已知点 A 的坐标为(2,2),点B、C 在x 轴上,BC=8,AB=AC ,直线 y 1 / 22 D A
° AC 与 y 轴相交于点 D . ( 1)求点 C 、D 的坐标; ( 2)求图象经过 B 、D 、 A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标. 4. 如图四, 已知二次函数 y ax 2 2ax 3 的图像与 x 轴交于点 A ,点 B ,与 y 轴交于点 C ,其顶点为 D ,直线 DC 的函数关系式为 y kx b ,又 tan OBC 1. y ( 1)求二次函数的解析式和直线 DC 的函数关系式; D ( 2)求 △ ABC 的面积. C ( 图 四 ) A O B x 5. 已知在直角坐标系中,点 A 的坐标是( -3, 1),将线段 OA 绕着点 O 顺时针旋转 90 得到 OB. y 2 / 22 A
x
(1)求点B 的坐标;(2) 求过A、B、O 三点的抛物线的解析式;(3)设点B 关于抛物线的对称轴的对称点为C,求△ABC 的面积。 y 6.如图,双曲线0)、与y 轴交于点5 x 在第一象限的一支上有一点 B. C(1,5),过点C 的直线y kx b( k 0) 与x 轴交于点A(a, (1) 求点A 的横坐标 a 与k 之间的函数关系式; (2) 当该直线与双曲线在第一象限的另一交点 D 的横坐标是9 时,求△COD 的面积. y B C D O A x 第 6 题 3 / 22
中考数学综合习题(六) 一、 填空题 1、计算:(2)--= ;15- = ;1 3()2 -= . 2、计算:(52)(52)+-= . 3、计算:2sin60°= . 4、将3 2 x xy -分解因式的结果为 . 5、一个圆锥形容器的底面半径为12cm ,母线长为15cm ,那么这个圆锥形容器的高为 cm. 6、如图,将边长为8cm 的正方形ABCD 沿直线l 向右翻动(不滑动),当正方形连续翻动三次后,正方形ABCD 的中心经过的路线长是 cm. 选择题(7~12题为单项选择题;13~15题为多项选择题) 7、下列计算正确的是( ) A 、3 2 5 2a a a += B 、32 6 (2)4a a -= C 、2 2 2 ()a b a b +=+ D 、623 a a a ÷= 8、下列各图中,∠1大 于∠2的 是( ) 9、下列运算中,错误.. 的是( ) A 、 (0)a ac c b bc =≠ B 、1a b a b --=-+ C 、0.55100.20.323a b a b a b a b ++= -- D 、x y y x x y y x --=++ 10、将不等式841 13822 x x x x +<-?? ?≤-??的解集在数轴上表示出来,正确的是( ) 11、在下面的四个几何体中,它们各自的左视图与主视图不一样的是( )
12、已知某种品牌电脑的显示器的大约为4 210?小时,这种显示 寿命 器工作的天数为d (天),平均每天工作的时间为t (小时),那么能正确表示d 与t 之间的函数关系的图象是( ) 13、下列说法正确的是( ) A 、9的算术平方根是3 B 、设a 是实数,则a a -的值可能是正数,也可能是负数 C 、点(2,3)P -关于原点的对称点的坐标是(2,3)-- D 、抛物线2 6y x x =--的顶点在第四象限 14、如图,反映的是某中学七(3)班学生外出乘车、步行、骑车的人数直方图(部分)和扇形分布图,则下列说法正确的是( ) A 、七(3)班外出步行的有8人 B 、七(3)班外出的共有40人 C 、在扇形统计图中,步行人数所占的圆心角度数为82° D 、若该校七年级外出的学生共有500人,那么估计全年级外出骑车的约有150人 15、如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B=90°,E 为AB 上一点,且ED 平分∠ADC ,EC 平分∠BCD ,则下列结论中正确的有( ) A 、∠ADE=∠CDE B 、DE ⊥E C C 、AD·BC=BE·DE D 、 CD=AD+BC 三、解答下列各题 A B C D E F 12 20 乘车50% 步行 20% 骑车30% 乘车 步行 骑车
一、相似真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,已知A(﹣2,0),B(4,0),抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点,并与过A点的直线y=﹣ x﹣1交于点C. (1)求抛物线解析式及对称轴; (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使四边形ACPO的周长最小?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由; (3)点M为y轴右侧抛物线上一点,过点M作直线AC的垂线,垂足为N.问:是否存在这样的点N,使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似,若存在,求出点N的坐标,若不存在,请说明理由. 【答案】(1)解:把A(-2,0),B(4,0)代入抛物线y=ax2+bx-1,得 解得 ∴抛物线解析式为:y= x2?x?1 ∴抛物线对称轴为直线x=- =1 (2)解:存在 使四边形ACPO的周长最小,只需PC+PO最小 ∴取点C(0,-1)关于直线x=1的对称点C′(2,-1),连C′O与直线x=1的交点即为P 点. 设过点C′、O直线解析式为:y=kx
∴k=- ∴y=- x 则P点坐标为(1,- ) (3)解:当△AOC∽△MNC时, 如图,延长MN交y轴于点D,过点N作NE⊥y轴于点E ∵∠ACO=∠NCD,∠AOC=∠CND=90° ∴∠CDN=∠CAO 由相似,∠CAO=∠CMN ∴∠CDN=∠CMN ∵MN⊥AC ∴M、D关于AN对称,则N为DM中点 设点N坐标为(a,- a-1) 由△EDN∽△OAC ∴ED=2a ∴点D坐标为(0,- a?1) ∵N为DM中点 ∴点M坐标为(2a,a?1) 把M代入y= x2?x?1,解得 a=4 则N点坐标为(4,-3) 当△AOC∽△CNM时,∠CAO=∠NCM ∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N
复习题(一) 一、选择题:(本题共10小题,每小题4分,共40分. 在每题所给出的四个选项中,只有 一项是符合题意的. 请把所选项前的字母代号填在题后的括号内.) 1、计算2 )3(-,结果正确的是( ) A 、-9 B 、9 C 、-6 D 、6 2、若a 为任意实数,则下列等式中恒成立的是 ( ). A 、2 a a a =+ B 、a a a 2=? C 、1=÷a a D 、0=-a a 3、如图,桌面上有一个一次性纸杯,它的俯视图应是如图所示的( ) 4、下列结论中正确的是( ) A 、无限小数都是无理数 B 、 3 3 是分数 C 、(-4)2的平方根是±4 D 、a a 221 -=- 5、已知反比例函数y =x a 2 -的图象在第二、四象限,则a 的取值范围是( ) A 、a ≤2 B 、a ≥2 C 、a <2 D 、a >2 6、正方形网格中,AOB ∠如图放置,则cos AOB ∠的值为( ) A 、5 B C 、1 2 D 、2 7、如图,奥运会五环旗是由五个圆组成的图形,此图中存在的圆和圆的位置关系有( ) A 、相交与内含 B 、只有相交 C 、外切与外离 D 、相交与外离 8、如图,将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°,B 点落在B '位置,A 点落在A '位 置,若B A AC ''⊥,则BAC ∠是( ) A 、50° B 、60° C 、70° D 、80° 9、如图,扇形OAB 是圆锥的侧面展开图,若小正方形方格的边长均为1,则这个圆锥的底面半径为( ) A 、 2 1 B 、22 C 、2 D 、22 10、固体物质的溶解度是指在一定的温度下,某物质在100克溶剂里达到饱和状态时所溶解 的克数.如图所示,观察硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度,下列叙述不正确...的是( ) A 、硝酸钾的溶解度比氯化铵的溶解度大 B 、约25℃时二者的溶解度相等 C 、温度为10℃时氯化铵的溶解度大 D 、温度为40℃时,硝酸钾的溶解度大