概率自测题
自测题一
一、 填空题(每题3分，共15分)
1． 已知135
(),(|),()248
P A P B A P B ===，则(|)P A B =
2． 随机变量X 的密度函数23,01
()0,x x f x ?≤≤=??其他，则(11)P X -<<=
3． 已知21
()Y m χ，22()Y n χ，则12Y Y
+
4． 随机变量X 的密度函数,01
()0
,kx x f x ≤≤?=??其他，则k =
5．
随机变量12,,...,,...n X X X 独立同分布，期望和方差为2,0(1,2,...)
i i EX DX i μσ==≠=，则1()
n
i i X n Y n μσ
=-=
∑的分布函数()n F x 满足lim ()n n F x →∞
=
二、选择题(每题3分，共21分，每题只有一个正确答案)
1．对事件A ，B ，下列成立的等式是
A 、P(B-A)=P(B)-P(A)
B 、P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
C 、P(A ∪B)=P(A)+P(B)
D 、P (A ∩B )=P(A)+P(B) 2．随机变量X 服从标准正态分布，分布函数22
1
()2x
t F x e
dt π
--∞
=
?，则()F x -=
A 、()F x
B 、1()F x -
C 、1|()|F x -
D 、|()|F x 3．设ξ的分布律为：
ξ 0
1 2
P 0．25 0．35 0．4
而(){}F x P x ξ=≤，则(2)F =
A 、0.6
B 、0.35
C 、0.25
D 、0 4．已知下列5个命题：
(1)若^^12()()E E θθθ==，且^^12()()D D θθ<，则以^1θ估计未知数θ较以^
2θ估计θ有效； (2)()f t 为连续函数，^
θ和^()f θ都是参数θ的无偏估计，则^θ^
()f θ必是2θ的无偏估计； (3)若^
1θ是1θ的无偏估计，^
2θ是2θ的无偏估计，则^
1θ+^
2θ是1θ+2θ的无偏估计；
(4)若^θ是参数θ的无偏估计，则^
θ估计θ时，不会有任何误差；
(5)若总体X 的方差20σ>，则样本方差2
2
1
1()1n i i S X X n -==--∑是2σ的无偏估计； 在以上命题中，正确的个数是
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 5．下列公式不正确的是：
A 、()()()2cov(,)D X Y D X D Y X Y +=++
B 、cov(,)
()()
XY X Y D X D Y ρ=
C 、cov(,)()()()X Y E XY E X E Y =-
D 、1XY ρ≤
6．随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，2σ已知。12,,...,n X X X 是取自总体X 的简单随机样本，检验
假设00:H μμ=。取统计量0/X U n
μσ-
-=
(0,1)N 检验。该检验法称为
A 、U 检验法
B 、F 检验法
C 、T 检验法
D 、2χ检验法 7．二维随机变量X ，Y 的分布函数为F(x,y)，则下列说法不正确的是 A 、(,)0,(,)1F F -∞-∞=+∞+∞= B 、(,)F x y 关于x 单调不减
C 、(,)F x y 关于y 单调不减
D 、(,)F x y 关于x 左连续，(,)F x y 关于y 右连续
三、(本题10分)袋中有白、红、黄三个球，三人排队抽取(不放回)，记i A 为第i 个人抽到红球的事件。求()i P A (1,2,3)i =。
四、(本题10分)随机变量X 服从正态分布N(0，1)，Y=2X ，证明：X ，Y 不相关。
五、(本题10分)随机变量X ，Y 的密度函数(2)
2,0,0(,)0,x y e x y f x y -+?>>=?
?其他
。求Z=X+2Y 的分布函数。
六、(本题10分)设随机变量X ，Y 的联合分布律为： Y X -1
0 1
-1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1
1/8
1/8
1/8
证明X 和Y 不相关。
七、(本题12分)设总体X 的概率密度为：
(1),01()0
,x x f x θ
θ?+<<=?
?其他
，其中1θ>-是未知参数，
12,,...,n X X X 取自总体X 的容量为n 简单随机样本。分别利用矩估计和极大似然估计法求θ的估计量。 八、(本题12分)设随机变量X 服从以λ为参数的指数分布，即()X
E λ，其密度函数
,0,0()0
,0
x
e x
f x x λλλ-?≥>=?
(),()E X D X λλ==。
自测题二
一． 填空题（每小题3分，共18分）
1．袋中有3个白球和2个黑球，从中任取两球，则颜色不同的概率为 。 2．设,A B 为随机事件，()0.7P A =，()0.3P A B -=，则()P AB = 。
3．已知随机变量X 的概率密度函数为cos ,||()20,
a x x f x π?
≤
?=???其它，则a = 。
4．设随机变量~(1,1)X N -，~(2,1)Y N ，且X 与Y 独立，则2~X Y + 。 5．设随机变量~(,)X B n p ，()2E X =，() 1.2D X =，则n = 。 6．设总体2
~(,)X N μσ，1,
,n X X 是从该总体中抽取的一个样本，2
S 为样本方差，则
2
2
(1)n S σ
-服从
分布，其自由度为 。
二． 选择题（每小题3分，共18分）
1．设随机事件A 与B 互不相容，()0.4P A =，()0.2P B =，则(|)P A B ＝【 】
A ．0
B ．0.2
C ．0.4
D ．0.5
2．已知随机变量X 的概率密度为()X f x ，令2Y X =-，则Y 的概率密度()Y f y 为【 】
A ．2(2)X f y --
B ．2()2X y f -
C ．1()22X y f -
D ．1
(2)2
X f y --
3．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y ，则(1)P X >＝【 】 A ．1
(,)dx f x y dy +∞-∞-∞
??
B ．1
(,)dx f x y dy +∞+∞
-∞
??
C ．1(,)f x y dx -∞
? D ．1
(,)f x y dx +∞
?
4．设二维随机变量(,)~(1,1,4,9,0.5)X Y N ，则(,)COV X Y =【 】 A ．0.5 B ．3 C ．6 D ．18
5．对任意0ε>，下列为切比雪夫不等式的为【 】
A ．2
()(||)1D X P X EX εε-≥≤- B ．()
(||)1D X P X EX εε
-≥≤-
C ．2
()
(||)D X P X EX εε-≥≤
D ．()
(||)D X P X EX εε
-≥≤
6．下列不是．．估计量的评价标准的是【 】 A ．置信性 B ．无偏性 C ．有效性 D ．相合性
三．
计算题（共6小题，共56分）
1．（8分）设甲袋中有三个白球和二个黑球，乙袋是空袋。现从甲袋中任取三个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求其是白球的概率。
2．（8分）设随机变量X 服从区间（1，6）上的均匀分布，求一元二次方程210t Xt ++=有实根的概率。
3．（10分）设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
1,01()0,X x f x ≤≤?=??其它， ,0()0,0
y Y e y f y y -?>=?≤?
求随机变量Z X Y =+的分布函数及概率密度。
4．（12分）设随机变量X 的概率密度为||1
(),(,)2
x f x e x -=∈-∞+∞，
求（1）X 的数学期望EX 和方差DX ；（2）X 与||X 的协方差。
5．（10分）设总体X 的密度函数为 1,01(,)0,
x x f x θθθ-?<
12,,,n X X X 是从该总体中抽取的一个样本，试求θ 的极大似然估计。
6．（8分）某品牌手表表壳其直径服从正态分布(20,1)N ，方差不变，为检验该厂某天生产是否正常，随机抽取4个样品，经测定分别为19，19.5，19，20.5。问当天生产是否正常（0.05α=）？（0
.0251.96z =，
0.05 1.65z =，0.025(3) 2.78t =，0.05(3) 2.13t =） 四．证明题（8分） 设12,,
,n X X X 是从期望为μ，方差为2
σ的总体中抽取的样本，2
21
1()1n
i i S X X n ==--∑为样本方差。证明：2S 是2σ的无偏估计。
自测题二答案
一．1. 0.6，2. 0.6，3. 0.5，4. N （3，5）， 5. 5，6. 卡方，n-1 二．1. D 2. C 3. B 4. B 5. C 6. A 三．1.解：设乙袋中白球数为X ，则
P(X=1)=0.3, P(X=2)=0.6, P(X=3)=0.1 设A 表示从乙袋中取出白球，则P(A|X=k)=k/3 全概率P(A)=∑P(X=k)P(A|X=k)=0.3*1/3+0.6*2/3+0.1*3/3=0.6
2. 解：因为随机变量X 服从区间)6,1(上的均匀分布，故其概率密度函数为??
???<<=其它,06
1,51
)(x x f
又一元二次方程012=++t X t 有实根，必须042≥-=?X ，于是所求的概率为
62
2
4
(40)()5
P X f t d t ->==?
3. 解：由X 与Y 相互独立及各自的概率密度，得),(Y X 联合概率密度函数为：
???>≤≤=-其它,
00
,0,),(y x e y x f y
设随机变量Y X Z +=的分布函数为)()()(z Y X P z Z P z F Z ≤+=≤= ⑴ 当0≤z 时，0)()(=≤=z Z P z F Z ⑵ 当10≤ dx y x z z --? ?=0 0dx e z x z )1(0 --=?1-+=-z e z ⑶ 当1>z 时，)()(z Z P z F Z ≤=dy e dx y x z --??=0 1 dx e z x )1(1 --=?z z e e ---+=11 综合⑴、⑵、⑶ 得随机变量Y X Z +=的分布函数为： ??? ??>-+≤≤+<=--1,)1(1100, 0)(z e e z e z z z F z z Z ， 求导得随机变量Y X Z +=的概率密度函数为： ?? ? ??>-≤≤-<=--1,)1(10,100)(z e e z e z z f z z Z ， 4. 解： ① )(X E 021== -∞ +∞-?dx e x x )(X D 2 2)]([)(X E X E -= 22 1 2021022 ==-=??∞+-∞ +∞--dx e x dx e x x x ② )()()(),(X E X E X X E X X Cov -=002 1=-=-∞ +∞ -? dx e x x x 5．解：似然函数为 1 1)(-=? ?? ? ??=∏θθθi n i n x L ，则i n i x n L ln )1(ln )(ln 1 ∑=-+=θθθ 于是 ∑=+=n i i x n d L d 1 ln )(ln θθθ 令 0)(ln =θθd L d ，得0ln 1=+∑=n i i x n θ， 解得 ∑=- =n i i x n 1 ln θ，因此得θ 的极大似然估计量 6．解：0010:20,:H H μμμμ==≠ 取 0 ~(0,1)/4 X u N μσ-= 0.05α=， 0.0252 1.96z z α== 19.5X =，0.025||1 1.96u z =<= 所以当天生产正常。 四．证明：2 221 1 ()1n i i S X nX n ==--∑ 2222()()() i i i E X E X D X μσ=+=+ 2 222 ()()()E X E X D X n σμ=+=+ 222 1()((1))1 E S n n σσ= -=- ，所以为无偏估计。 自测题三 一．选择题（6?3＝18分）： 1．设事件B A ,互斥 ,3.0)(,4.0)(==B P A P , 则)(B A P 等于 ( ) 3.0)(A 7.0)(B 4.0)(C 6.0)(D 2. 设X 的分布函数为)( 1x F ，Y 的分布函数为)( 2x F ，而)()()( 21x bF x aF x F +=是某随机变量Z 的分布 函数，则b a ,可取( ) )(A 52 ,53-== b a )(B 32 ==b a )(C 23 , 21=-=b a )(D 2 3 , 21-==b a 3．假定随机变量X,Y 的期望存在，下列公式不正确的是（ ） (A) E(X+Y)=E(X)+E(Y) (B) E(XY)=E(X)E(Y) (C) E(X-Y)=E(X)-E(Y) (D) E(C)=0(C 为常数) 4. 设随机变量X 的数学期望1=EX ，方差3=DX .试利用切比雪夫不等式估计)3|1|(<-X P （ ） )(A 32≥ )(B 32≤ )(C 31≥ )(D 3 1 ≤ 5. 若总体) ,(~2σμN X ，X 1,X 2,…,X n 是来自总体X 的样本，则 ~ n S μ-X （ ）（其中n 为样本容量）. (A))2n （χ (B) )12 -n （χ (C) )n t （ (D) )1-n t （ 6.设随机变量)1 ,0(~N X ，10<<α，数{}ααα=>u X P u 满足. 若{}α= αu （B ）2 1α-u （C ）2 1α - u （D ）α-1u 二．填空题（6?3＝18分）： 1. 设n 个事件 n A A A ,,,21 互相独立，且),,2,1(,)(n k p A P k ==, 则这n 个事件至少有一件发生的 概率是（ ） 2．设离散型随机变量X 的分布列为{},,2,1,2???== =k C k X P k 则C 的值应是（ ） 3. 如果随机变量X ，Y 满足)()(Y X D Y X D -=+,则=),cov(Y X （ ） 4．已知随机变量X 的概率密度为()X f x ，令，则Y =2X 的概率密度()Y f y 为 ( ) 5．设X 1,X 2,…,X n 是来自正态总体) ,(~2σμN X 的样本，μ未知，则2σ的置信度1-α的置信 区间是 （ ） 6. 设总体) ,(~2σμN X ，其中2 σ已知，若检验假设为00:μμ=H ，01:μμ≠H (0μ已知)，需用的 统计量为（ ），在显著水平α下检验的拒绝域为（ ） 三．（10分）设有来自三个地区的各10名、15名、25名考生的报名表，其中女生表分别为3份、7份、5份， 今随机地取一个地区的报名表，再从中随机地取一份，求抽到的是女生表的概率。 四.（2?5=10分）（1）设随机变量X 的分布律 （2）设连续型随机变量X 的分布函数 X -1 0 1 P 0.2 0.2 0.6 求X 的分布函数。 求X 的概率密度。 五．（18分）已知),(Y X 的概率密度函数为???≤≤≤≤=其它,01 0,10,),(y x cxy y x f 求：（1）常数c ；（4分） (2) P {}1≤+Y X ;（5分） （3）边缘概率密度()X f x ;（5分） (4) 相关系数XY ρ.（4分） 六．（2?８＝１６分）设总体X 的概率密度为?? ?<≥=--., 0, ,),()(θθθθx x e x f x 而1X ，2X ，…，n X 是 来自总体X 的样本。试求：（1）θ的矩估计量； （2）θ的极大似然估计量。 七. （10分）设B A ,是两个随机事件，且,0)(,1)(0>< ???? ?>-≤=-.0,2 1 1,0,21)( x e x e x F x x 自测题三答案 一．选择题（6?3＝18分）： 1．D 2.C 3.B 4.A 5.D 6.B 二．填空题（6?3＝18分）： 1.n p )1(1--; 2．1; 3. 0 ; 4．)2(21Y f X ; 5．???? ? ? ??????-----)21()1(,)2()1(212 212αχαχn n S n S n ; 6.n Z σμ0-X =,2αz Z ≥ 三．（10分）：设3,2,1"==i i B i 区考生的”报名表是第 . ”抽到的报名表是女生表 "=A 则3,2,1,31)(==i B P i . ,103)(1=B A P ,157)(2=B A P ,25 5 )(3= B A P 由全概率公式所求概率90 29 )()()(3 1 = =∑=i i i B A P B P A P 四.（2?5=10分） （1） ???? ???≥<≤<≤--<=≤=.1,1,10,4.0,01,2.0,1,0)()( x x x x x X P x F （2） ?????+∞<<-∞=>≤=--x e x e x e x f x x x ,21.0,2 1,0,21)( 五．（共18分）(1) ????==≤≤≤≤1 1 1 01 01ydy xdx c dxdy cxy y x , 4=c (2) P {}1≤+Y X = 614410 10 1 0????-≤+≤==x y x ydy xdx dxdy xy ; (3) ()X f x =?+∞ ∞-dy y x f ),(=?? ????0 41 xydy =???≤≤其它,01 0,2x x （4）因为)()(),(y f x f y x f Y X = , 独立. XY ρ=0 六．（2?８＝１６分） （1）??+∞ -+∞ --+=== θ θ θ θθθ1)() (dx xe e dx xe E x x ， 由)(θE =X 得 1?-=X 矩θ 、 （2）∑=∏==- --=n i i i x n x n i e e e L 1 ) (1 )(θ θθ（θ≥i x ），-=θθn L )(ln ∑=n i i x 1 ， 0) (ln >=n d L d θ θ，)(θL 单调增加，n i x i ,,2,1, =≤θ. θ的极大似然估计量),,min(?1n X X =θ 七. （10分）由)|()|(A B P A B P =得 ) () ()()(A P B A P A P AB P = 根据比例性质 )() ()() ()()()(B P A P A P B A P AB P A P AB P =++= )()()(B P A P AB P =∴ ， 事件B A ,相互独立。 自测题四 一、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题， 每小题3分，总计15分） 1．设,A B 为两随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是 ＿＿＿＿＿ A ．()()P A B P A += B ．()()P AB P A = Ｃ. ()()|P B A P B = Ｄ． ()()()P B A P B P A -=- 2. 设()2,,X N μσ那么当σ增大时，{}-P X μσ<=＿＿＿＿＿ A ．增大 B ．减少 C ．不变 D ．增减不定 3． 设()()()()~,E X-1X 21,X P poission λλ-==????分布且则＿＿＿＿＿ Ａ．1 B. 2 C ．3 D ．0 4．设 ()2~,X N μσ，其中μ已知,2σ未知,123X , X ,X ,为其样本， 下列各项不是统计量的是＿＿＿＿＿ Ａ. 123X X X ++ Ｂ. {}123min X ,X ,X Ｃ. 2 3 i 2 i 1 X σ =∑ Ｄ．1X μ- 5. 设D 是由曲线1 y x = 与直线2y 0,x 1,x e ===围成的平面区域，二维随机变量()X,Y 在区域D 上服从均匀分布，则（X ，Y ）关于X 的边缘分布在x=2处的值为＿＿＿＿＿ A . 1/4 B . 1/2 C . 1/3 D . 1/5 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分 1 .设A 、B 、C 、是三个随机事件。事件“A 、B 、C 至少有一个发生”可表示为 2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率是 3．设随机变量X 与Y 相互独立，()()~1,2,~0,1,X N Y N 则随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数 4．已知()2~2,0.4,X N -则()2 3E X += 5. 若总体) ,(~2σμN X ，X 1,X 2,…,X n 是来自总体X 的样本，则 ~n S μ-X 三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分） １．轰炸机轰炸目标，它能飞到距离目标400，200，100（米）的概率分别为0.5，0.3，0.2，又设他 在距离目标400，200，100（米）的命中率分别为0.01，0.02，0.1。求目标被命中的概率。 ２．设随机变量X 的概率密度为()f x =Ax+10x 20,≤ ， 其他 ，求① A 值； ②X 的分布函数()F x ；③ {}1.5 2.5P X << ３．设二维随机变量(,)X Y 有密度函数：()3x 4y ke ,x 0,y 0;(,)0, f x y -+?>>?=???其它 求：（1）常数k ；（2）()x y ,落在区域D 的概率，其中(){}D x,y ;0x 1,0 4 . 设足球队A 与B 比赛，若有一队胜4场，则比赛结束，假设A ，B 在每场比赛中获胜的概率均为1 2 ，试求平均需比赛几场才能分出胜负？ 5 .设12n X ,X ,X ?,为总体X 的一个样本，X 的密度函数()1x ,0x 1 f x 0, ββ-?<<=??其他， 0β>.求参数β的矩估计量和极大似然估计量。 6 .一台包装机包装面盐，包得的袋装面盐重是一个随机变量，它服从正态分布，当机器正常时，其均值为0.5公斤，标准差为0.015公斤，某日开工后，为检验包装机是否正常，随机抽取他所包装面盐9袋。经测量与计算得x=0.511，取0.05α=，问机器是否正常。（查表0.0251.96Z =） 四、证明题（本大题10分） 设总体为X , 期望()E X μ=,方差()2D X σ=,12,,,n X X X ???是取自总体X 的一个样本, 样本均值 11n i i X X n ==∑,样本方差()22 1 11n i i S X X n ==--∑,证明:2S 是参数2σ的无偏估计量 自测题四答案 一、选择题： 1．A 2.C 3.A 4.C 5.A 二.填空题：1．A B C ; 2. 0.1; 3. ()2 15231 32z f z e π -??- ??? = ; 4. 1.16; 5. )1-n t （ 三.计算题 1.由全概率公式 0.5*0.010.3*0.020.2*0.10.031++= 目标被命中的概率为0.031. 2.(1) ()()2 01221f x dx Ax dx A +∞ -∞ =+=+=? ?， 1 2A ∴=- (2) ()()x F x f t dt -∞ =? 0, 0101, 0221,2 x x dt t dt x x -∞ =+-+≤ ?≥??? 20, 01,0241, 2 x x x x x =-+≤ (3) {}()()1.5 2.5 2.5 1.50.0625 P X F F <<=-= 3. (34) 340 ke d d e d 112x y x y k x y k e dx y +∞+∞ +∞ +∞ -+--== =?? ??，12k ∴= (){}{}()()1 2 34380 ,01,0212110.9502 x y P x y D P X Y e dx e dy e e ----∈=<≤<≤==--≈?? 4. 设X 为需要比赛的场数， 则 {}148P X == ，{}154P X ==，{}5616P X ==，{}5 716P X ==， 所以()1155 4567 5.8 841616E X =?+?+?+?≈ 答：平均需比赛6场才能分出胜负 5． ()1 10 1E X x x dx ββ ββ-== +? 由 ()1X E X β β== +知矩估计量为 ?1X X β =- ()1 1 ,010,n n i i i x x L βββ-=?< i L n x βββ==+-∑ ()1 ln 0ln n i i L n x βββ=?==+?∑ 故极大似然估计量为 1 ln n i i n X β=-= ∑ 6．（1）0:0.5;0.5H μμ=≠ （2）检验统计量：0.015 9 0.5 x Z -= 计算统计量的值： 0.015 9 0.5110.5 2.2 Z -= = （3 ）结论：0.025 1.96 Z z >=，落入拒绝域，拒绝0H 因此认为这天包装机工作不正常。 四．证明： ()E X μ=， ()2 D X σ=，12,,,n X X X ???是取自总体X 的一个样本， 所以()E X μ=，()2/D X n σ=， ()()22 111n i i E S E X X n =??=-?? -??∑ ()()22111n i i E X nE X n =??=-??-??∑()()222211/1n i n n n σμσμ=??=+-+??-??∑2σ=，即2S 是参数2σ的无偏估计量 《概率论与数理统计》课后习题解答 习题一 3．设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件： （1）A 发生,B 与C 不发生; （2）A 与B 都发生,而C 不发生; （3）A ,B ,C 都发生; （4）A ,B ,C 都不发生; （5）A ,B ,C 中至少有一个发生; （6）A ,B ,C 中恰有一个发生; （7）A ,B ,C 中至少有两个发生; （8）A ,B ,C 中最多有一个发生. 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）ABC ； （4）C B A ； （5）C B A ； （6）C B A C B A C B A ++； （7）BC AC AB ； （8）BC AC AB 或C B C A B A ． 5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码． （1）求最小的号码为5的概率; （2）求最大的号码为5的概率. 解：设事件A 表示“最小的号码为5”，事件B 表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得 （1）12 1)(31025==C C A P ； （2）20 1)(31024==C C B P ． 6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求： （1）任取3件产品恰有1件是废品的概率; （2）任取3件产品没有废品的概率; （3）任取3件产品中废品不少于2件的概率. 解：设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ，由概率的古典定义得 （1）0855.0)(3200 2194161≈=C C C A P ； （2）9122.0)(3200 31940≈=C C A P ； （3）0023.0)(3200 3611942632≈+=+C C C C A A P ． 8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率： A 表示“这三个数字中不含0和5” ； B 表示“这三个数字中包含0或5” ； C 表示“这三个数字中含0但不含5”． 解：由概率的古典定义得 157)(31038==C C A P ；158)(1)(=-=A P B P ；30 7)(31028==C C C P 9．已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ，求)(AB P 和)(B A P ． 解：4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P )]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-== 3.0) 4.06.0 5.0(1=-+-= 10．已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P ． 解：314.014.06.0)(1)()() ()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少? 解：设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ，则所求的概率为 3 19.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码． 课程号： 《概率论与数理统计》自测试卷 考试形式：闭卷考试 考试时间：120分钟 专业 班号 学号 姓名 得分 注意：所有答案请写在答题纸上，写清题号，否则无效。 一、填空题（本题20分，每题5分，共4题） 1、已知P(A)=0.4，P(B)=0.5, 若A 与B 互不相容，则P(AUB)= __0.9 ； 2、某国奥队前锋在4次射门中至少命中1次的概率为 15 16 ，则此前锋在一次射门中进球的概率为 12； 3、设随机变量X 服从参数为λ的Poisson 分布， 已知E(X)+ D(X) =5，则参数λ等于 _2.5 ； 4、假设来自正态总体(,100)N μ 的容量为100的样本，样本均值为5x =,则总体均值μ的置信度为0.95 的双侧置信区间为（已知分位点0.025Z =1.96） (3.04, 6.96) . 【解答】 1、 已知P(A)=0.4，，P(B)=0.5, 若A 与B 互不相容，则由有限可加性有P(AUB)=0.4+0.5=0.9 2、 某国奥队前锋在4次射门中至少命中1次的概率为 1516，则1516 =1-4 (1)p -，从而此射手在一次射击中命中的概率为p= 1 2 。 3、 由Poisson 分布数学期望和方差的性质有E(X)+ D(X) =5 即λλλ+==25，从而，λ=2.5. 4、来自正态总体(,100)N μ 的容量为100的样本，样本均值为5x =,则总体均值μ的置信度为0.95 的 双侧置信区间为（已知分位点0.025Z =1.96 ）在方差已知的条件下是??± ?X ，代入数据得置信区间(5-1.96, 5+1.96) =(3.04, 6.96) 。 二、选择题（本题20分，每题5分，共4题） 1、一酒鬼带着n 把钥匙回家,只有一把是门钥匙。他随手摸1把，总共摸了n 次，(提示：酒鬼的特征是失忆即无记忆性，每次可能重复摸到任何一把钥匙)。设随机变量X 为摸到门钥匙的总次数，则X 服从的分布为____C______ 高考专题突破六高考中的概率与统计问题 题型一离散型随机变量的期望与方差 例1 某品牌汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示．已知分9期付款的频率为0.2.4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为1.5万元；分12期或15期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润. 付款方式分3期分6期分9期分12期分15期 频数4020 a 10b (1)求上表中的a，b值； (2)若以频率作为概率，求事件A“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分9期付款”的概率P(A)； (3)求η的分布列及期望E(η)． 解(1)由 a 100＝0.2，得a＝20. 又40＋20＋a＋10＋b＝100，所以b＝10. (2)记分期付款的期数为ξ，ξ的可能取值是3,6,9,12,15. 依题意，得 P(ξ＝3)＝40 100＝0.4，P(ξ＝6)＝20 100＝0.2，P(ξ＝9)＝0.2， P(ξ＝12)＝10 100＝0.1，P(ξ＝15)＝10 100＝0.1. 则“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位分9期付款”的概率为P(A)＝0.83＋C13×0.2×(1－0.2)2＝0.896. (3)由题意，可知ξ只能取3,6,9,12,15. 而ξ＝3时，η＝1；ξ＝6时，η＝1.5；ξ＝9时，η＝1.5；ξ＝12时，η＝2；ξ＝15时，η＝2. 所以η的可能取值为1,1.5,2，且P(η＝1)＝P(ξ＝3)＝0.4，P(η＝1.5)＝P(ξ＝6)＋P(ξ＝9)＝0.4，P(η＝2)＝P(ξ＝12)＋P(ξ＝15)＝0.1＋0.1＝0.2. 故η的分布列为 η1 1.5 2 P 0.40.40.2 所以η的期望E(η)＝1×0.4＋ 思维升华离散型随机变量的期望和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型； 第一章小测试 一、选择题 1.设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 不全发生可表示为（ ） A. ABC B. ABC C. C B A D. C B A 2.设事件A 和B 互为对立事件，则下列各式不成立的是（ ） A. ()0P AB = B. ()0P AB = C. ()1P A B = D.()1P B A = 3.将一枚均匀硬币抛掷3次，则至少有2次出现币值面朝上的概率是（ ） A. 18 B. 38 C. 12 D. 58 4.盒内有6个产品，其中正品4个次品2个，不放回地一个一个往外取产品，则第二次才取到次品的概率与第二次取产品时取到次品的概率分别为（ ） A. 41153， B. 441515， C. 1133 ， D. 14315， 5.设两个事件A 和B 相互独立，且()0.5P A =，()0.4P B =， 则()P A B 的值是（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.6 6.对于任意事件A,B,若A B ?,则下列各等式不成立的是（ ） A. B B A = B. φ=B -A C. B B A = D. φ=B A 7.设A,B 为任意两个概率不为0的互斥事件，则下列结论中一定正确的是（ ） A. ()()P A B P A = B. ()()()P A B P A P B -=- C. ()()()P AB P A P B = D.()()P A B P A -= 8.将一枚均匀硬币抛掷3次，则恰有一次出现币值面朝上的概率是（ ） A. 38 B. 18 C. 58 D. 12 9. 已知在10只电子元件中，有2只是次品，从其中取两次，每次随机地取一只，作不放回抽取，则第二次取出的是次品的概率是（ ） A. 145 B. 15 C. 1645 D. 845 10.设两个事件A 和B 相互独立，且()0.6P A =，()0.3P B =， 则()P A B 的值是（ ） A. 0.3 B. 0.7 C. 0.72 D. 0.9 11.事件A 、B 、C 中恰有一个事件发生的事件是（ ） A ．ABC B ． C AB C ．C B A D ．C B A C B A C B A ++ 12．设A 和B 是两个随机事件，则下列关系式中成立的是（ ） 《概率论与数理统计》练习题8答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、设有10个人抓阄抽取两张戏票，则第三个人抓到有戏票的事件的概率等于( )。 A 、0 B 、1 4 C 、18 D 、15 答案：D 2、如果,A B 为任意事件，下列命题正确的是( )。 A 、如果,A B 互不相容，则,A B 也互不相容 B 、如果,A B 相互独立，则,A B 也相互独立 C 、如果,A B 相容，则,A B 也相容 D 、AB A B =? 答案：B 3、设随机变量ξ具有连续的分布密度()x ξ?，则a b ηξ=+ (0,a b ≠是常数)的分布密度为( )。 A 、 1y b a a ξ?-?? ? ?? B 、1y b a a ξ?-?? ??? C 、1y b a a ξ?--?? ??? D 、 1y b a a ξ??? - ? ??? 答案：A 4、设,ξη相互独立，并服从区间[0，1]上的均匀分布则( )。 A 、ζξη=+服从[0，2]上的均匀分布， B 、ζξη=-服从[- 1，1]上的均匀分布， C 、{,}Max ζξη=服从[0，1]上的均匀分布， D 、(,)ξη服从区域01 01x y ≤≤??≤≤? 上的均匀分布 答案：D 5、~(0, 1), 21,N ξηξ=-则~η( )。 A 、(0, 1)N B 、(1, 4)N - C 、(1, 2)N - D 、(1, 3)N - 答案：B 6、设1ξ，2ξ都服从区间[0，2]上的均匀分布，则12()E ξξ+=( )。 A 、1 B 、2 C 、0.5 D 、4 答案：B 7、设随机变量ξ满足等式{||2}116P E ξξ-≥=，则必有( )。 A 、14D ξ= B 、14 D ξ> C 、1 4 D ξ< D 、{} 15216 P E ξξ-<= 答案：D 8、设1(,,)n X X 及1(,,)m Y Y 分别取自两个相互独立的正态总体21(, )N μσ及 2 2(, )N μσ的两个样本，其样本(无偏)方差分别为21 S 及22 S ，则统计量2 122 S F S =服从F 分 布的自由度为( )。 A 、(1, 1)n m -- B 、(, )n m C 、(1, 1)n m ++ D 、( 1, 1,)m n -- 答案：A 9、在参数的区间估计中，给定了置信度，则分位数( )。 A 、将由置信度的大小唯一确定； B 、将由有关随机变量的分布唯一确定； C 、可按置信度的大小及有关随机变量的分布来选取； D 、可以任意规定。 答案：C 10、样本容量n 确定后,在一个假设检验中,给定显著水平为α,设此第二类错误的概率为β，则必有( )。 概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。 中考复习之专题六统计与概率 教学准备 一. 教学内容： 复习六统计与概率 二. 教学目标： （1）从事收集、整理、描述和分析的活动，能计算较简单的统计数据． （2）通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，体会不同的抽样可能得到不同的结果． （3）会用扇形统计图、条形统计图、折线统计图表示数据． （4）在具体情境中理解并会计算加权平均数；根据具体问题，能选择合适的统计量表示数据的集中程度．（5）探索如何表示一组数据的离散程度，会计算极差和方差、标准差，并会用它们表示数据的离散程度．（6）通过实例，理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和作用，会列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图，并能解决简单的实际问题． （7）通过实例，体会用样本估计总体的思想，能用样本的平均数、方差来估计总体的平均数和方差．（8）根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点，并进行交流． （9）能根据问题查找有关资料，获得数据信息；对日常生活中的某些数据发表自己的看法． （10）认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题． （11）在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表和画树状图）计算简单事件发生的概率．（12）通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值． （13）通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题． （14）认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题。 三. 教学重点与难点： 1. 学会选择合适的调查方式 2. 会利用抽样调查的结果计算或估计总体 3. 了解平均数、中位数、众数的意义，会求一组数据的平均数、中位数、众数。 4. 了解必然事件与随机事件，并能确定它们发生机会的大小。 通过实例进一步丰富对概率和统计的认识，并能解决一些实际问题． 四.知识要点： 知识点1、调查收集数据过程的一般步骤 调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展开调查、记录结果、得出结论． 知识点2、调查收集数据的方法 普查是通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的． 知识点3、统计图 条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．这三种统计图各具特点：条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额． 知识点4、总体、个体、样本、样本容量 我们把所要考查的对象的全体叫做总体，把组成总体的每一个考查对象叫做个体．从总体中取出的一部分 附加知识： 排列组合知识小结： 一、计数原理 1.加法原理：分类计数。 2.乘法原理：分步计数。 二、排列组合 1.排列数（与顺序有关）： )(),1()2)(1(n m m n n n n A m n ≤+---=Λ !n A n n =，n A A n n ==10,1 如：25203456757=????=A ，12012345!5=????= 2.组合数(与顺序无关)： !m A C m n m n =，m n n m n C C -= 如：3512344567!447 4 7 =??????==A C ，211 2672757757=??===-C C C 3.例题：（1）从1，2，3，4，5这五个数字中，任取3个数字，组成一个没有重复的3位数，共有___6034535=??=A ____种取法。 （2）从0，1，2，3，4这五个数字中，任取3个数字，组成一个没 有重复的3位数，共有___483442 414 =??=A A ____种取法。 （3）有5名同学照毕业照，共有__1201234555=????=A _种排法。 （4）有5名同学照毕业照，其中有两人要排在一起，那么共有 _48)1234()12(4422=?????=A A ___种排法。 （5）袋子里有8个球，从中任意取出3个，共有___38C ____种取法。 （6）袋子里有8个球，5个白球，3个红球。从中任意取出3个， 取到2个白球1个红球的方法有___1 325C C ____种。 38876 56321 C ??= =?? 第一章、基础知识小结 一、随机事件的关系与运算 1.事件的包含 设A ，B 为两个事件，若A 发生必然导致B 发生，则称事件B 包含于A ，记作B A ?。 2.和事件 事件“A,B 中至少有一个发生”为事件A 与B 的和事件，记作B A Y 或B A +。 性质：（1）B A B B A A Y Y ?? , ； （2）若B A ?，则B B A =Y 3.积事件：事件A,B 同时发生，为事件A 与事件B 的积事件，记作B A I 或AB 。 性质：（1）,AB A AB B ??； （2）若B A ?，则A AB = 4.差事件：事件A 发生而B 不发生为事件A 与B 事件的差事件，记作()A B AB -。 性质：（1）A B A ?-； （2）若B A ?，则φ=-B A 5.互不相容事件：若事件A 与事件B 不能同时发生，即AB Φ=，则称事件A 与事件B 是互不相容的两个事件，简称A 与B 互不相容（或互斥）。 6.对立事件：称事件A 不发生为事件A 的对立事件，记作A 。 性质：（1）A A =； （2）Ω==Ωφφ,； （3）AB A B A B A -==- 设事件A,B ，若AB=Φ,A+B=?,则称A 与B 相互对立.记作 。 概率论与数理统计习题 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2 一、单项选择题 1 已知随机变量X 在（1，5）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( C ) A. B. C. D 4 2 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<1）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( B ) A. 0 B. 2 C. D 1 3 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<2）之间服从均匀分布，则其不在此区间的概率密度为( A ) A. 0 B. 2 C. 1 D 4 4 已知P(A)= ,则)(A A P ? 的值为( D ) (A) (B) (C) 0 (D) 1 5 已知P(A)= ,则)(A A P 的值为( C ) (A) 1 (B) (C) 0 (D) Φ 6.,,A B C 是任意事件，在下列各式中，成立的是( C ) A. A B =A ?B B. A ?B =AB C. A ?BC=(A ?B)(A ?C) D. (A ?B)(A ? B )=AB 7 设随机变量X~N(3,16), 则P{X+1>5}为( B ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(4 ) D. Φ(-4) 8 设随机变量X~N(3,16), Y~N(2,1) ，且X 、Y 相互独立，则P{X+3Y<10}为( A ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(0 ) D. Φ(1) 9. 已知随机变量X 在区间（0，2）的密度函数为, 则其在此区间的分布函数为（ C ） A. 2x B. C. 2x D. x 10 已知随机变量X 在区间（1，3）的密度函数为, 则x>3区间的分布函数为（ B ） A. 2x B. 1 C. 2x D. 0 11. 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X=n}=! n e n λλ, n=0,1,2…… 则称随机变量X 服从( B ) A. 参数为λ的指数分布 B. 参数为λ的泊松分布 C. 参数为λ的二项式分布 D. 其它分布 12. 设f (x )为连续型随机变量X 的密度函数，则f (x )值的范围必须（ B ）。 (A) 0≤ f (x ) ≤1； (B) 0≤ f (x )； (C ）f (x ) ≤1； (D) 没有限制 第一章测试 1 【单选题】(10分) 设样本空间Ω={1，2，10}，事件A={2，3，4}，B={3，4，5}，C={5，6，7}，则事件=()。 A. {1,2,5,6,7,9,10} B. {1,2,5,6,7,8,9,10} C. {1,2,4,5,6,7,8,9,10} D. {1,2,3,5,6,7,8,9,10} 2 【单选题】(10分) 同时掷3枚均匀的硬币，恰好有两枚正面向上的概率为()。 A. 0.325 B. 0.125 C. 0.375 D. 0.25 3 【单选题】(10分) 假设任意的随机事件A与B，则下列一定有（）。 A. B. C. D. 4 【单选题】(10分) 设A，B为任意两个事件，则下式成立的为()。 A. B. C. D. 5 【单选题】(10分) 设则＝（）。 A. 0.48 B. 0.24 C. 0.32 D. 0.30 6 【单选题】(10分) 设A与B互不相容，则结论肯定正确的是()。 A. B. C. D. 与互不相容 7 【单选题】(10分) 已知随机事件A,B满足条件，且，则（）。 A. 0.7 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.6 8 【单选题】(10分) 若事件相互独立，且，则()。 A. 0.665 B. 0.875 C. 0.775 D. 0.95 9 【单选题】(5分) A. B. C. D. 10 【判断题】(5分) 不可能事件的概率一定为0。（） A. 对 B. 错 11 【判断题】(5分) A. 错 B. 对 12 【判断题】(5分) 贝叶斯公式计算的是非条件概率。（） 1. 某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一 个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______． 2. 甲、乙、丙、丁四人排成一行，则甲、乙都不在两端的概率为( ) A．1 12B． 1 6 C．1 24D． 1 4 3. 已知x、y的取值如下表所示： x0134 y0.9 1.9 3.2 4.4 从散点图分析，y与x线性相关，且y^＝0.8x＋a，则a＝( ) A．0.8 B．1 C．1.2 D．1.5 4. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示; 若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7 人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为( ) A、3 B、4 C、5 D、6 5. 为了解某校高三学生身体状况，用分层抽样的方法抽取部分男生和女 生的体重，将男生体重数据整理后，画出了频率分布直方图，已知图中 从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，若全校 男、女生比例为3：2，则全校抽取学生数为________． 6.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( ) （A）1 10（B）1 8 （C）1 6 （D）1 5 7.如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)．且点C 与点 D 在函数1,0()1 1,02 x x f x x x +≥?? =?-+ 第一章 随机事件和概率 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．设随机事件A 与B 互不相容，且()(),P A p P B q ==，则A 与B 中恰有一个发生的概率等于（ ） .A p q + .B p q pq +- .C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+- 6．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 7．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 8．设()0.6,()0.8,()0.8P A P B P B A ===，则下列结论中正确的是（ ） .A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆 专题六、概率统计 1、计数原理、二项式定理 热点一 两个原理、排列与组合 例１、从A ，B ，C ，D ，E 五名学生中选出四名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( )． A ．24 B ．48 C ．72 D ．120 变式训练：1、若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )． A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 2、现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，则不同取法的种数为( )． A ．232 B ．252 C ．472 D ．484 3、将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有________种． 热点二 求展开式中的指定项 例２、在6 2x x ? ?- ?? ?的二项展开式中，常数项等于_________． 变式训练：1、8 的展开式中常数项为( )． A ．3516 B ．358 C ．35 4 D ．105 2、若1n x x ? ?+ ?? ?的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数 为_________． 3、在5 212x x ? ?- ?? ?的二项展开式中，x 的系数为( )． A ．10 B ．－10 C ．40 D ．－40 热点三 求展开式中的各项系数的和 例３、若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为( )． A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2 变式训练：1、若(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________. 2、若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝__________. 课外训练： 一、选择题 1 ．已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a （ ） A ．4- B ．3- C ．2- D ．1- 2 ．用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 （ ） A ．243 B ．252 C ．261 D ．279 3 ．设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式 的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m = （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 第一次 1．6个毕业生，两个留校，另4人分配到4个不同单位，每单位1人.则分配方法有___________种. 2．平面上有12个点，其中任意三点都不在一条直线上，这些点可以确定_______条不同的直线. 3．若随机试验E是：在六张卡片上分别标有数字0，1，2，3，4，5，从中任意依次取出两张,取后不放回，组成一个二位数，则E的样本空间中基本事件个数是______________ 4．由0，1，2，3，4，5六个数字可以构成多少个不能被5整除的六位数. 5．一项工作需5名工人共同完成，其中至少必须有2名熟练工人.现有9名工人，其中有4名熟练工人，从中选派5人去完成该项任务，有多少种选法. A表示“第i个零件是正品”()4,3,2,1=i.试用i A表示事件A: 6．设有四个零件.事件 i “至少有一个次品”,B:“至多一个次品” 1．下列诸结论中, 错误的是( ) )(A 若0)(=A P 则A 为不可能事件 )()()()(B A P B P A P B ≥+ )()()()(A P B P A B P C -≥- )()()()(BA P B P A B P D -=- 2．设事件B A ,互斥 ,q B P p A P ==)(,)(, 则)(B A P 等于 ( ) q A )( q B -1)( p C )( p D -1)( 3．已知 ===)(,18.0)(,72.0)(A P B A P AB P 则 ___________ 4．将3个球随机地放入4个盒子中，记事件A 表示：“三个球恰在同一盒中” .则)(A P 等于 _________________ 5．8件产品中有5件是一级品，3件是二级品，现从中任取2件，求下列情况下取得的2件产品中只有一件是一级品的概率：( 1 ) 2件产品是无放回的逐次抽取；( 2 ) 2件产品是有放回的逐次抽取. 6．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人2 0分钟，过时就可离去.试求这两人能会面的概率. 专题六 概率与统计 第2讲 统计与统计案例训练 文 一、选择题 1.(2015·重庆卷)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下： 则这组数据的中位数是( ) A.19 B.20 C.21.5 D.23 解析 由茎叶图，把数据由小到大排列，处于中间的数为20，20，所以这组数据的中位数为20. 答案 B 2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( ) A.p 1＝p 2＜p 3 B.p 2＝p 3＜p 1 C.p 1＝p 3＜p 2 D.p 1＝p 2＝p 3 解析 由于三种抽样过程中每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p 1＝p 2＝p 3. 答案 D 3.(2016·山东卷)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( ) A.56 B.60 C.120 D.140 解析 由题图知，组距为2.5，故每周的自习时间不少于22.5小时的频率为：(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，∴人数是200×0.7＝140人，故选D. 答案 D 4.某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如下表： 现已求得上表数据线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为( ) A.84分钟 B.94分钟 C.102分钟 D.112分钟 解析 由表中数据得：x ＝20，y ＝30，又b ^＝0.9，故a ^＝30－0.9×20＝12，∴y ^ ＝0.9x ＋12.将x ＝100代入线性回归方程，得y ^ ＝0.9×100＋12＝102.∴预测加工100个零件 第一章测试题 一、选择题 1.设A, B, C 为任意三个事件,则与A一定互不相容得事件为 (A) (B) (C) (D) 2、对于任意二事件A与B,与不等价得就是 (A) (B) (C) (D) 3.设、就是任意两个事件,,,则下列不等式中成立得就是( ) 4.设,,,则( ) 事件与互不相容事件与相互独立 事件与相互对立事件与互不独立 5.对于任意两事件与,( ) 6.若、互斥,且,则下列式子成立得就是( ) 7.设、、为三个事件,已知,则( ) 0、3 0、24 0、5 0、21 8.设A,B就是两个随机事件,且0 11.将一枚均匀得硬币独立地掷三次,记事件A=“正、反面都出现”,B=“正面最多出现一次”,C=“反面最多出现一次”,则下面结论中不正确得就是( ) (A)A与B独立(B)B与C独立(C)A与C独立(D)与A独立 12.进行一系列独立重复试验,每次试验成功得概率为p,则在成功2 次之前已经失败3次得概率为( ) (A) (B) (C) (D) 二、选择题 1、设A, B, C为三个事件, 且____、 2、设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件就是不合格品, 另一件也就是不合格品得概率为_______、 3、随机地向半圆为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域得概率与区域得面积成正比, 则原点与该点得连线与x轴得夹角小于得概率为______、 4、设随机事件A, B及其与事件A?B得概率分别就是0、4, 0、3, 0、6, 若表示B得对立事件, 则积事件得概率= ______、 5、某市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中得一种, 则同时订这两种报纸得住户得百分比就是________、 6、三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器不发生故障得概率依次为0、9, 0、8, 0、7, 则这三台机器中至少有一台发生故障得概率________、 7、电路由元件A与两个并联元件B, C串联而成, 若A, B, C损坏与否相互独立, 且它们损坏得概率依次为0、3, 0、2, 0、1, 则电路断路得概率就是________、 8、甲乙两人投篮, 命中率分别为0、7, 0、6, 每人投三次, 则甲比乙进球多得概率______、 9、三人独立破译一密码, 她们能单独译出得概率分别为, 则此密码被译出得概率_____、 10、设A,B就是任意两个随机事件,则 11、已知A、B两事件满足条件,且,则 12、已知 13 ()()(),()()0,() 416 P A P B P C P AB P BC P AC ======,则都不发生得概 率为__________ 三、计算题 概率统计(2009.6.9计算机,机械.经管) 一、填空题(3×10分) 1.设A,B为相互独立的两事件,P(A)=0.7,P(B)=0.8,则事件A,B至多有一个发生的概率为 . 2.设某学习小组有10位同学,其中4位女生,6位男生,今任选3位组成一个代表队,则代表队由1位女生和2位男生组成的概率为 . 3.设P(A-B)=0.5,P(AB)=0.3,则P(A)= . 4.设X~U(1,5),则P(X<3)= . 5.设,且E(X)=100.则 . 6.设，，…,独立同N(, )分布,,则 . 7.设X服从指数分布,且,则X的概率密度函数为 . 8.设X与Y为任意两随机变量,DX=1,DY=4,,则D(X-Y)= . 9.设,,为总体X的一组简单随机样本，E(X)=μ，则下列统计量 , , 中有个是μ的无偏估计量. 10.设事件A在某试验中发生的概率,独立地进行试验,直到A发生为止,记X 为试验的次数,则X的分布律为 , . 二、解答题(5×3分) 1.某人投篮的命中率为0.7,独立地投篮10次.记X为命中的次数.(1)写出X 的分布律;(2)求至少命中一次的概率. 2.设随机变量X的分布律为 X-2-101 P0.10.20.30.4 求的数学期望EY及方差DY. 3.设，，…, 为总体X的简单随机样本,已知EX=2,DX=4,利用独立同分布中心极限定理求的概率. 三、解答题(6×3＋8×2分) 1.设连续性随机变量X的分布函数为. (1)求X的概率密度函数;(2)求. 2.设有一批同类产品，由甲、乙、丙三个车间生产，所占比例分别为批 量的25%，35%，40%，且甲、乙、丙三厂产品的次品率分别为5%，4%，2%. 现在从这批产品中任取一件。(提示:分别以A,B,C表示取到甲、乙、丙车间的产品;D表示取到次品) (1) 求取出的产品为次品的概率； (2) 已知所取的产品为次品，求该产品是丙车间生产的概率。概率论第一章课后习题答案
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