SARS数学模型建立--王议峰等

王议锋6410795

杨倩6410436

田一6410482

2003/6/9

摘要SARS时疫对中国社会发展产生了重大影响，本论文以传统的微分方程为理论基础，以2003年6月以前的有关SARS的数据为参考资料，着重从数学的角度研究和预测其发展趋势，提出了控制前的自然传播模型和控制后的传播模型，重点分析了控后模型，并根据各参数对疫情的影响对北京、内蒙古、广东、香港四个SARS重点疫区的疫情作了详细的分析，并提出了应对SARS时疫的若干对策。最后针对微分方程自身的缺陷提出了模型的改进方向和思路。

关键词：微分方程概率平均曲线拟合

一. 问题的提出

2003年春天，SARS这一突发疫情袭击了世界上20多个国家和地区，中国首当其冲，且受其影响最大。面对突如其来的灾害，中国人民在党中央和国务院的统一指导下，迅速展开了抗击SARS的顽强斗争。尽管SARS作为一种时疫尚未过去，人类与SARS的斗争可能才刚刚开始，但SARS时疫对我国社会发展的影响迫切需要我们进行理性的思考，并为抗击SARS时疫并取得阶段性胜利提出有价值的建设性意义。

二．数学模型的分析与建立

◆分析与假设

在SARS爆发的初期, 由于潜伏期的存在, 社会对病SARS毒传播的速度和危害程度认识不够, 所以政府和公众并不以为然; 当人们发现被感染者不断增加时, 政府开始采取多种措施以控制SARS的进一步蔓延.所以SARS的传播规律可以分为三个阶段:

I.控制前, 接近于自然传播时的传播模式。

II.过渡期，在公众开始意识到SARS的严重性到政府采取得力措施前的一段时间内。

III.控制后,在介入人为因素之后的传播模式。

但是，除了广东和香港地区外，内地的其他城市都是在SARS刚刚大肆传播就采取了很强有力的措施，因此，这些地区的过渡期都可以包括在控后期；而广东和香港的情况虽然有一些不同，但根据我们的分析和模拟，这两个地区也可以用两个阶段即“控制前（包括控制力度不大的阶段）”和“控制后”来较好的符合采集到的数据，因此，我们统一将所有地区的SARS传播规律用“控制前”和“控制后”两个时期来模拟。

另外,社会,经济,文化,风俗习惯等因素都会影响SARS的传播及最终的结果, 但是, 最直接的因素是: 自由传染者的数量及其在健康人群中的分布, 被传染者的数量, 传播形式及病毒本身的传播能力等。在建立模型时不可能也没有必要考虑所有的因素, 只能抓主要的因素进行合理的假设和建模。

由此,我们作如下的假设:

●总体假设：国家卫生部提供的全国疫情统计真实可信。

●控制前(包括控制力度不大的阶段)的传播模型的相关假设

1.将SARS所有可能的传播途径都视为与病源的直接接触。

2.在疾病传播期内所考察的地区的总人数N视为常数,即认为本地区流入的人口与流入的人口数

相等,时间以天为计量单位。

3.设每个病人单位时间有效接触的人数 (所谓“有效接触”是指病人与健康者接触时,足以使健

康者受到感染而成为病人)可视为常数。

4.根据国家卫生部资料可知处于潜伏期的SARS病人不具有传染性。

5.假设潜伏期为一常数(5天)。

6.根据目前的医学调查资料，SARS康复者尚未复发情况，因为对于一个SARS康复者，他势必

会更注重自己的个人卫生习惯并主动远离SARS传染源；从社会心理学的角度来看，其身边的

人会主动远离他。因此，我们可以假设一个SARS康复者二度感染SARS的概率为0，这些人

既不是健康者(易感染者)，也不是病人(已感染者)，他们已经退出传染体系，因此将他们归为“退出者”。

7.由于SRAS的传播时间不是很长(相比于传统的传染病,比如天花,麻疹等)，故假设不考虑这段时

间内的人口出生率和自然死亡率，而对于由SARS引起的死亡人数,也将其归为“退出者”。

8.流入和流出的人群中的带菌者处于潜伏期。

9.将人群分为四类：

健康者(易受感染者)：用S表示健康者在人群中的比例。

处于潜伏期者：这些人还没发病，但他们最终将发病。用E表示他们在人群众的比率。

病人(已受感染者)：用I表示病人在人群中的比例。

退出者(包括“被治愈者”和“死亡者”)：用R表示退出者在人群中的比例。

控制后的传播模型的相关假设

1.由于对人口流动加以了限制,我们假设此阶段无病源的输入和输出.

2.由于SARS的治愈疗程迄今还没有确切的资料,而且每一天都有一批人被治愈,故我们在计算退出率时并没有考虑疗程的问题.

3.被隔离的人群完全断绝与外界的接触,不再具有传染性.

4.不考虑隐性非典患者，即只要感染上SARS病毒的患者最后都会表现出症状。

5.不考虑被隔离而实际又未被感染者，因为这部分人没有自由活动，对疾病的传播（感染和被感染）基本不造成任何的影响。

6.我们将人群分为五类:

健康者(易受感染者)：用S表示健康者在人群中的比例.

病人(已受感染者)：用I表示病人在人群中的比例.

退出者(包括“被治愈者”和“死亡者”)：用R表示退出者在人群中的比例.

隔离者：指的是每天被病源传染的人中可控制的部分,它包括家人,同事,邻居以及能够通过调查追踪到的其他人.这些接触者将被有效隔离. 用G表示他们在人群中的比例.

未隔离者：无法追踪到的和传染源有直接接触的人.对于强化控制后的模型来说,病人和可控者皆被完全隔离,使病毒的进一步传播中断,所以,此时的不可控的人中带病毒者将成为社会上的流动病

源. 用W表示他们人群中的比例.

模型的建立

I 控前模型的建立

由于控制以前公众和政府对疫情不甚重视，所以我们无法找到这一阶段的数据；而且，考虑到控制以前的模型和我们现在的实际情况不符，对我们分析和预测将来的疫情走向没有太大的实际意义，故对于控前的模型我们没有做太多具体的数值分析，只是给出了各个参数是如何得到的，而把重点放在了控后模型的建立上

1．参数设定

1λ——每个病人平均每天有效接触（足以使被解除者感染）的人数。

q ——退出率，为SARS 患者的日死亡率和日治愈率之和。

l ——（流入）流出人口占本地总人口的比率。

1ε——处于潜伏期的病人的日发病率。

P ——流入人口中带菌者所占的比例。

2．控前方程的建立

根据我们的分析和各变量的分析，结合实际的疫情的传播规律，我们可以建立如下的方程组：

IS dt dS

1λ-= （1）

LE LP E IS dt

dE

-+-=11ελ （2） qI E dt

dI

-=1ε （3） qI dt dR

= （4）

0000,,,E R I S （初值）

3．参数的确定

1) 1λ ——根据医学资料和有关数据推导而得。

2) q ——由该城市的医疗水平和已知的统计数据分析，求其统计平均值。

3) l ——由城市的出入人口流动情况（主要由经济发达程度和交通状况决定）。可查有关资料。 4) 1ε——根据医学研究和调查的有关结果和该城市的疫情发展状况可得。

5) P ——由流入该城市人群的地区分布情况和各其他地区的疫情决定。

II 控后模型的建立

1．参数设定

λ2

——不可控人群(在后面的分析中可得到)在发病后到被隔离前平均每天接触的人的数目。 q ——退出率，为SARS 患者的日死亡率和日治愈率之和。

——接触病源的人的发病率。

ε——每天由可控人群和不可控人群转化为病人的日转化率。

2．控后方程的建立

根据上面我们的各种假设和各变量和参数的实际意义,我们可以建立如下控制后的疾病模型的方程组：

(5)

()qI G dt

dI

-+=ωεβ (6) qI dt

dR

= (7) ()βεωωωβωλω

-+=G S dt d 2 (9)

00000,,,,ωE R I S （初值）

S dt dS

ωβλ2-=()G G G S dt

dG

βεωβωλ-+=2(8)

在得到这个模型后,我们对模型和数据进行了进一步的分析,发现这个模型中存在以下的问题:

(1) 该模型中,没有充分考虑疑似病例,即“疑似者”和“隔离者”的之间的关系不明确。

(2) 从收集到的数据中我们无法得到有关隔离者和未被隔离者的信息，因此无法对其做出分析。 从以上两点出发,我们对模型进行了改进,我们仍将将人群分为五类,但这五类人的界定作了改动：我们将隔离者和未被隔离者改为“疑似者”和“自由带菌者”，用Y 和M 分别代表这两者在人群中所占的比例。以下是对“疑似者”和“自由带菌者”的说明：

疑似者：所有未确诊的非健康者。包括已出现有关症状但未确诊的被隔离者和还未出现症状但已疑为带菌者而被隔离观察的。在此我们假设这一阶段中的所有的病人产生都是被前几阶段的病人传染而来的。

自由带菌者：不可控的病毒携带者。

综合上面的未考虑因素和部分不确定因素，我们提出以下改进模型：

III 控后优化模型的建立

1．参数说明

1y —— 疑似中每日被排除的人数占疑似人数的比例；

2y ——疑似者中每日确诊的人数占疑似人数的比例；

ε ——每个自由带菌者转化为病人的日转化率；

2λ——每个自由带菌者发病后被收治前平均每天感染的有效人数；

α ——被自由带菌者有效感染的人中可以控制的比率；

2．方程的建立

MS Yy dt

dS

21λ-= (10) Y y qI M dt

dI

2+-=ε (11) qI dt

dR

= （12） αλMS Y y Y y dt

dY

221+--= (13) M MS dt dM

εαλ--=)1(2 (14)

00000,,,,M Y R I S (初值)

与前一个模型相比，此优化模型的优点在于：

? 明确了疑似者所指的范围；

? 基本可从数据中分析出所需的参数和变量初值；

? 将2 定义为“有效接触人数”既有利于数据的分析也可减少未知参数的数量；

3． 参数的确定

鉴于每个地区的情况（医疗卫生水平，经济发展情况，人口密度等）不同，所以对于模型中各参数不能用全国总的情况来分析，而应该各个城市分别对待。由于北京在强化控制阶段采取措施相当严格，而且找到的数据也比较齐全，故我们以北京为例来说明参数的分析方法。

1) 1y ——疑似者的日排除比例：

计算公式：1y =当天疑似病例累计人数数每天新增的疑似排除人

以北京为例说明：

首先我们直观的观察一下y1的变化趋势，根据卫生部的每日疫情公布数据求出每天对应的y1（见后面列表 5 ），用matlab 画图，如下图1所示：

图1

初步用曲线拟合处理一下原始数据，如图2所示：

（光滑的线为cubIc 拟合曲线）

图2

可以看出y1大概有两个峰值，第一个峰值是由于采取措施力度很大，加之强化控制初期市民有较恐慌的心理，导致疑似病例中非感染者比例较高；第二个峰值则是因大部分真正带病的疑似者已转化为确诊后，未带菌者相对比例增大造成的。

虽然三阶拟合能在一定程度上反映y1的规律，但如果用这个图来分析就会发现误差特别大，为此，我们去除几个偏离太大的点，得到下图3：

图3

其中，平直的线为lIneaR拟合直线。

再用威布尔分布观察一下处理后的y1的值的分布情况，如图4所示：（对威布尔分布做解释）

图4

可以看出y1的值主要分布2%—4.5%之间，其中概率最大的取值为：3.51%，故我们在模型建立过程

中，就取3.51%为y1的概率平均值。

2) 2y ——疑似转化为病例的日转化比：

计算公式：2y =

当天疑似累计人数确诊的人数每天新增的疑似转化为

以北京为例 同y1的分析方法一样，首先我们直观的观察一下由已知数据算得的各天的y2（见后面的列表 5）的变化趋势如下图5所示：

图5

原始的数据有一些点偏离太大，去除这些点后，得到下图6：

图6

从原始数据可以看出y2总的趋势是下降的，先用曲线拟合处理一下如图7：（光滑的线是y2的五阶拟合线）

图7

显然，y2在病情得到较大重视之后总的趋势是下降的，但是初期因初始的自由带菌者较多，还有一个较大的峰值。

最后，我们依然用威布尔分布来观察一下y2的值的分布情况，如图8所示：

图8

可以看出y2的值主要分布0.05%—2%之间，但是y2不同于y1的分布那么均匀，所以我们不能用一个有效值来取代y2的值。在这里，我们把y2的值分布人为划分为两个阶段值：2.229%和0.59%。

如下图9所示，y2的两个有效值分布在中直线的两侧。

图9

从对y1与y2的数据处理来看，我们可以将强化控制后的这段时间分为两个阶段：过渡期和平稳期；这两个阶段的产生是与非典自身的特性分不开的。由于非典具有潜伏期，所以在强化控制初期，由于前一段时间对非典的控制力度不够，造成较多的人处于非典潜伏期，这一部分人最终将转化为非典病人；且因为他们为自由带菌者，在被收治以前会传染较多的人；加之各项措施从颁布到实行总会有一段反应时间，所以上述原因直接导致了过渡期的形成，其特征为：y2较大，q（退出率）较小。（有关q的分析见对q数据处理）

3)q的计算公式=

当天病人累计人数的人数

每天新增的治愈和死亡

以北京为例：

从q的原始数据（见附表5）中我们可以看出，q的值也存在阶段性。5.16日以前，q的值大概在1%左右摆动，不存在较大的波动；而5.16日以后,q的值基本都在1%以下。由于q的定义中包括了治愈率与死亡率两部分，在过渡期，由于发病人数较多，治愈率相对较低；当进入平稳期后，发病人数减少，治愈率必然增高。故这与我们上面对于过渡期和平稳期的假设是吻合的。

4)ε——从数据可推算出其值在12%—30%之间我们在这里令%

20

=

ε。

5)α——与城市的人口密度、生活习惯等因素有关，由于在强化控制阶段对人员的流动控制的相

当严格，还采取了比如封校、小区隔离、公共场合的关闭、减少聚集活动等有效措施，故我们

可估计%

90

~

%

70

=

α

3．模型的求解：

很明显从我们建立的模型是无法得到s，i，r，y，m的解析解的。为了解决这个问题，我们求助于matlab 中的龙格—库塔方法来求出它们的数值解。

我们先通过采集到的实际数据算出每一天的s，i,r,y,m，做出它们与时间的函数图象，然后画出我们通过模型解出的数值解随时间变化的图象。对比这两组图，可以发现实际和理论存在着一定的差异。这必然是因为我们的参数估计不合理造成的。所以，我们必须通过不断调整那些非计算得到的参数（λ2，ε，α）来使实际图象和理论图象趋于一致。

经过多次调试,我们发现，当λ2=0.71人,ε=0.2,α=0.8时,实际图象和理论图象有最好的符合。而这三个值均在我们估计的范围内，所以我们认为这三个值的得到是合理的。（matlab程序及画图结果附于论文后）

三. 各地疫情分析

北京地区

首先从已知数据看一下北京地区病人比率图（如下图10所示）：

图10

显而易见，北京的发病人数在4月29日到5月15日这段时间内有最大的增长率即这段时间是北京非典疫情的“高潮期”；由于政府措施得力，公众健康意识增强，非典病情从5月16号之后开始趋于缓和，在我们的参数分析中，北京各参数取值如下：:1y =0.0351，21y =0.0299，22y =0.00555;1q =0.0087 2q =0.025，2λ=0.71,α=0.8 ，=ε0.2。2λ取的是0.71，即每个未被隔离的病人平均每天感染0.71人，

所以，北京地区政府采取的隔离措施是较为得力和及时的，在疫情完全扩散之前就阻断了大部分病源与健康人群的接触，使传染链受阻，有效的阻止了疫情的进一步扩大；在政府正式采取措施后 2q =0.025，可

以看出此时的治愈率是比较高的，与其他疫区相比北京的治愈率也是相对较高的，这说明：北京的卫生部门对非典的预防措施比较及时的控制了病人与医护人员以及其他易感染人群的交叉感染，从而基本断绝了病毒传播的一个主要途径；同时其治疗措施相对较为完善，稳定了疫情。

从北京的地理位置和特定的社会环境（全国政治、经济、文化、交通的中心）来看，北京要想有效控制疫情的传播，应该注意以下几点：

? 首先必须强化对流动人口的管理，即认真抓好流入人口是否患有非典或携带有非典病毒的检查和

确认。这样的话，北京才可能在不受输入病人侵袭的前提下，打好抵御非典的攻坚战。

? 其次，要强化对公共场合（如公交、商场、餐厅、娱乐场所等）的管理，要采取责任到部门，责

任到单位，责任到个人的管理方式，明确责任，规范管理，做到环环相扣，一丝不漏。

? 最后还要注意那些人口流动比较快的场合(如汽车站、火车站、飞机场、宾馆等)的管理，要强化这些场所的卫生宣传，增加防护工具以及消毒工具、药品的使用，以减少病毒大肆蔓延的可能性。 ? 内蒙古地区

下图11为根据内蒙古公布的数据画出的内蒙古每日病人累计所占比率的统计图，

图11

可以看到由于内蒙古的地理位置比较偏僻，人口密度比较小，经济较不发达，其疫情的控制相比较于北京而言难度要小一些，从而出现了疫情很快得到较好控制的局面，在分析内蒙古模型时我们的参数设定如下：11y =0.0271, 12y =0.06 ，21y =0.0456, 22y =0.0078; 1q =0.014，2q =0.030，λ2=0.75,α=0.78，ε=0.2。可以看到λ2取得是 0.75比北京的稍高一些，这是由于内蒙人口比较分散、自由带菌者不好控制而导致的；但是，由于内蒙古疫情始期较晚，其时全国对非典已较为重视，因此采取措施就相对比较及时，所以尽管措施实施有一定难度，疫情还是被有效地控制了下来。同时，由1q =0.014而2q =0.030，2q 明显比1q 大，说明内蒙古卫生部门在后来采取的措施是更有效的，这从一定程度上促进了疫情得以快速缓解。

考虑到内蒙古的地理位置偏远，人口较分散，经济较不发达，内蒙古非典的防治主要应做到以下几点： ? 做好非典卫生知识的宣传，在比较偏远的乡村和人口密度很小的地区要专门进行有关非典的传播特点、典型病症、预防常识等知识的大力宣传。

? 强化对农村人口的管理。农村是相对人口密度比较小，但是医疗水平最低，人们健康意识最低的区域。一旦农村人口染病，就可能导致一大批人的交叉感染，出现新的疫情。因此，保证农村人口不被感染具有很重要的意义。

? 强化消毒工具、药品的使用。由于内蒙古的经济不是很发达，可能导致人们不重视或不能有效的

使用消毒工具和药品，政府应该拿出专门的资金和人力来弥补由于经济原因带来的隐患，而不要等到病毒死灰复燃之时再来采取应急措施。

? 其他。比如改善建筑物的通风条件、改善人们的卫生环境、提高人的自然免疫力等都是政府应该

想到的有效措施。

? 广东地区

还是先看一下广东地区的病人累计所占比率统计图（如下图12所示）：

图12

从上图可以看出，广东地区发病人的比率在4月21号到5月10号左右是上升的很快的，这主要是因为本地区疫情持续的时间较长，政府采取的措施不是很得力造成的，我们在模型分析中采用的参数得值如下：11y =0.0694, 12y =0.01 ，21y =0.25, 22y =0.001; 1q =0.006，2q =0.005，λ2=0.8, 1α =0.8，2α=0.85，ε=0.2。从1q =0.006，2q =0.005，可以看出广东的卫生部门采取的措施开始不是很得力，疫情的初期没有得到政府的充分重视，从而导致了疫情的持续，快速增长，一直到国家下达严防命令后才采取有效的措施，故广东的疫情缓解也是从5月10号左右才开始的。针对这一情况，我们对广东的非典疫情的控制提出以下建议：

? 强化流动人口的控制和管理。广东地区，经济比较发达，人流量大，且和北京不同的是外来打工

者占流动人口的比率很大，这些人口是不易控制和管理的潜在非典传播者，因此，做好外来人口的管理工作在这里显得特别重要了。

? 强化潜在、分散的病毒转播者的控制。广州地区由于疫情的传播时间长，地区比较分散，造成了

潜在的病毒携带者比较多且分布很分散，所以，在非典开始呈缓解趋势的这段时间，我们一定不能放松对这些潜在危险的警惕，提前做好相关的宣传和制定相关的切实可行的法规，做到有章可循，有法可依，真正消除大面积的交叉感染。

?注意卫生环境的改善。据专家研究发现非典的传播和天气有一定的关系，病毒容易在日温差比较小，气压产生回差的气候下大肆传播，因此，随着夏日的来临，大家要注意不要把工作环境营造成特别利于病毒传播的小气候。而应该注意开窗通风，保持室内空气的流通。

?注意消毒液的合理使用。如使用像过氧乙酸之类的消毒液时，由于过氧乙酸等溶液容易挥发、分解，其分解物是醋酸、水和氧，腐蚀性较强，因此，室内消毒后，一定要保持室内空气中的药液的相对浓度不能太高。避免对人体造成大的刺激。

?香港

下图13是根据香港特区卫生署的非典疫情发布数据画出的原始统计图：

图13

从图上可以看出：香港地方政府采取的措施比较早，而且成效不错。但是由于人口流动快，社会各层面的人相互交往频繁，导致不可控的病毒传播者比较多，因此，疫情一直呈现出上升趋势，而且，我们可以看到在近期内病人比率还不会有较大幅度的下降，因此香港的非典工作需加大力度。结合香港的实际情况，我们有以下建议：

?加强散发病人的管理。由于香港的人口流动快，潜在传播者的危害就更明显了，所以一定要强化和关注零散病人的及时隔离和医治，以防再次引起大片的感染人群。

?强化确诊病例和疑似病人的医治和隔离。香港的疑似病人和确症人数基数很大，在病情出现缓和的阶段如果放松对这些人的医治和隔离可能会导致再次的大量的交叉感染的发生，因此，一定要坚持不懈的抓好对他们的医治和管理。

?注意对流动人口的管理。由于香港是亚洲的金融中心，人口流动明显不可避免，这给疫情的控制带来了一定的难度，同时也是导致病毒大量传播的潜在因素，控制好流动人口不仅仅对香港的疫情有很重要的意义，同时对祖国大陆的疫情的早日消失也有着较强的作用和影响的。

四. 各地疫情预测

●分析与假设

?本模型根据现有的控制程度进行预测。假设政府和公众采取的措施不会下降，如果随着疫情的缓解人们的警惕心理下降，政府的措施不再特别得力，将会导致病菌的传播死灰复燃，引起病人的比率又出现小的峰值（这在“各地疫情分析”中已经对各地进行了假设分析）。

?预测依据现在的医疗及防控水平，因SARS是一种非典型的病疫，医学界对它的认识不足，既没有有效的预防措施，也没有较完善的治疗方案，因此在控制初期治愈率较低，自由带菌者的日传

染人数

较大；但是，随着医学研究的深入，SARS治疗方案的完善，治愈率可能会有较大的提2

高，同时，预防措施也会更加有效（据有关资料，在不久的将来可能会研制出非典预防针），因此实际疫情可能会比我们预测的提前结束。

?北京地区的疫情预测

利用我们建立的优化模型对北京地区的SARS发病人数进行预测，下图14是我们通过matlab画图得到的病人比率图。（其中的不规则的点是卫生部公布的累计确诊人数占的比率）

图14

从上图我们可以看出：

病情在5月3号到5号左右达到“高潮期”，即图中曲线上升最快到开始平缓的时期；

发病人的比率在x=30即5月28~31号左右出现最大值，且0002.0max =I ；但此时已经

不是病情的“高潮期”，因为这个比率是累计确诊的人数的比率；

疫情大约在5月30号之后开始缓解，并逐渐趋向缓解。从5月30号到10月份左右是

庾情的“缓解期”；

发病者的比率在x=80左右即7月20号左右下降到4月25号左右的水平，此时，

0001.0=I ;但是，需要指出的是，我们的预测是依据现在的医疗水平和药疗效果进行的，因

此，预测可能会因为将来新药的研发而提前进入SARS 的完全控制期；

发病者所占的比率大概在x=300时将到0，因此，我们预计北京的SARS 疫情将在明年

2月份左右得到完全的消除，即疫情的“最终控制期”；

?内蒙古地区的疫情预测

利用我们建立的内蒙古地区的SARS 模型和我们前面的假设，我们可以利用matlab 得到内蒙古的疫情预测图如下图15所示：（其中的离散的不规则的点是根据卫生部公布的每日非典型肺炎疫情数据画出的原始图）

注意：图中y 轴值得数量级为510-?

图15

从上图可以看出：

病情在5月8号到9号左右达到“高潮期”，即图中曲线上升最快到开始平缓的过渡时

期；

发病人的比率在x=22即5月14~15号左右出现最大值，且4max 102968.0-?=I ；但此

时已经不是病情的“高潮期”，因为这个比率是累计确诊的人数的比率；

疫情大约在5月30号之后开始缓解，并逐渐趋向缓解。从5月30号到10月份左右是

庾情的“缓解期”；

发病人的比率在x=120左右即8月20号左右下降到4月23号左右的水平，此时，

6106753.03-?=I ，需要指出的是，我们的预测是依据现在的医疗水平和药疗效果进行的，

因此，预测疫情可能会因为将来新药的研发而以更快的速度得到完全控制；

发病者的比率大概在x=280时将降到0，因此，我们预计北京的SARS 疫情将在明年1

月份中下旬得到完全的消除，即疫情的“最终控制期”；

?广东地区的疫情预测

利用我们建立的内蒙古地区的SARS 模型和我们前面的假设，我们可以利用matlab 得到内蒙古的疫情预测图如下图 所示：（其中的离散的不规则的点是根据卫生部公布的每日非典型肺炎疫情数据画出的原始图）

从上图可以看出：

病情在5月初达到“高潮期”，即图中曲线上升最快到开始平缓的过渡时期；

发病人的比率在x=26即5月17号左右出现最大值，且5max 109194.1-?=I ；但此时已

经不是病情的“高潮期”，因为这个比率是累计确诊的人数的比率；

疫情大约在7月20号之后开始缓解，并逐渐趋向缓解。从7月20号到明年2月份左右

是疫情的“缓解期”；

发病人的比率在x=60左右即6月20号左右下降到4月21号左右的水平，此时，

5

=

I；i—t曲线的下降阶段在6月初到明年2月一直都有较大斜率，这说明在这?

69

10

.1-

么长的一段时期内都将会有大量的病人出院。以后的一段时期里虽然病人并没有完全消除，

但我们可以说这少量病人都是在我们的控制之下的，治愈他们只是时间早晚的问题。所以在

明年2月份广东地区能达到其控制期。但是由于发病者的比率大概在x=900时将降到0，因

此，在未考虑医疗条件和新药的研发前提下，我们预计广东的SARS疫情将在2004年4月份

中下旬得到比较好的控制到2005年12月得到完全的消除，即达到疫情的“最终控制期”。

比较三地疫情预测，我们可以看出广东地区是最晚达到“最终控制期”的，通过分析我们发现这是因为从数据来看，这段时期广东地区的病人治愈人数一直比较少，而我们是按现在的治愈率来预测疫情的发展，故疫情维持的时间比实际的可能长一些，但是总体趋势是不会有大的变化的。再则，由于广东发布的数据表现出的统计规律不是很强，导致数据出现陡升陡降的情况，给我们的预测也多少带来了困难和误差，还需要指出的是，我们采集到的数据是从4月21号才开始的，而广东的疫情是从2002年11月开始的，因此造成我们的数据点主要分布在广东地区的疫情已经开始趋于平缓的时段，造成我们的预测可能有较大的误差；

五.模型优缺点分析与改进方向

?模型优点：

●模型根据现有的数据资料设置变量，各变量之间关系明确，且各个参数可比较方便地得到。

●模型重点是分析规律和进行预测。因为已知数据受很多随机因素的影响，规律性受到干扰，所以

其变化情况不能较好地表达总体的规律性，进而不能对疫情进行较准确的预测；针对这个问题，我们对已知数据进行了统计平均，从总体的平均规律入手，没有局限于仅对现有数据的模拟。但是也要根据现有的数据对模型进行检验。从前面求解方程得到的图形结果来看，模拟的曲线确实较好地代表了现有数据的总体变化规律。

●控后模型具有较好的代表性，表现在以下两个方面：

1)欲对某疫区进行预测，只需对几个参数进行求解，代入方程组并给出初值即可；

2)对于控后的过渡期和稳定期两个阶段，只改变其中的三个参数和初值，即可得到较好的模拟

和合理的预测。

?模型缺陷与改进：

●控前模型只考虑了流动人口对出入城市的影响，忽略了交通工具上的传播，实际上从北京、太原

以及全国其他地区的SARS疫情来看，交通中的传播有一定的影响。

改进思路：分析交通工具内的传播，除了容积、通风等外，还应考虑旅程时间的长短。同样条件下，距离越远SARS传播的概率越大。根据民工流动与SARS扩散趋势，可得：以北京为输入地的

SARS的传播

数学建模作业 SARS的传播 成员：章俊龙龚悦峰陆芳婷

摘要 本文分析了题目所提供的早期传染病的合理性和实用性。我们认为该模型可以对传染病作出预测，但存在一些不足，首先通过其他地区做预测，忽略了地区的差异，在预测结果上不够准确。其次模型的参数设定缺乏依据，具有一定的主观性，最后混淆了累积患病人数与确诊病例人数的概念，在染病人数的预测上产生了一定的影响。 针对早期模型的不足，我们全面分析了传染病的传播机理，将人群分为健康者、病人和病愈免疫移出者三类，构建了SIR模型。建立了病人和健康者所占总人数比例关于时间t的微分方程通过matlab计算得出i-s图形（相轨线）。通过分析，得到制止传染病的蔓延的两种手段为降低日接触率，提高日治愈率和提高移出者比例的初值。 应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论，尽早发现和隔离能够减少累积患病人数，严格隔离能有效缩短疫情持续时间。同时我们分析了1997-2003年北京外来游客接待人数的变化，运用spss的logistic回归分析对2003年9-12月的游客人数进行预测，可以得出在SARS流行期间对北京入境旅游业造成了很大的损失，并预计海外旅游人数将在10月以前恢复正常。 最后我们写了一片小短文，论述了传染病模型在生活中的重要性，以及对疾病预测和防控的实用性，希望能引起相关部门和公民的重视，并能有效的预测传染病的发生，减少公民的财产损失和保障公民的生命健康。 关键词： SIR模型传染病模型回归预测时间序列

一、问题重述 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 （2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。 （3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。 （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 二、问题分析 问题一要求我们对早期的模型进行评价，主要从其合理性与实用性两方面进行评价，首先我们要考虑模型是否与实际情况相符合，其次是要探究该模型是否有一定的理论基础。是否与实际情况相符需要将模型的计算值与实际值进行比较，从而得出结论。模型的理论基础需要从模型的建立是否与传统的传染病模型相符，是否与传染病的基本特征项相符这两个方面进行。 问题二要求我们在早期模型的基础上进行优化，主要目的是提供准确的预测和防控，及实施的困难情况进行分析。我们在充分探讨早期模型的基础上，对SARS的传播原因和传播途径分析比较。SARS的传播过程受传染病人的多少、易受传染者的大小、传染率的大小、人口迁移、潜伏期的长短、个体的抵抗力大小、疾病的宣传力度等因素的影响。我们将从主要因素开始考虑，次要因素为辅建立优于早期的模型，对SARS进行更好的预防和控制。 问题三要求我们分析对国家经济造成的影响，附件三为北京接待海外游客的

建立数学模型的方法、步骤、特点及分类

建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 [学习目标] 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非 预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 §16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 图16-5 建模步骤示意图 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．

SARS 数学建模

问题重述 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性(假设的合理，分析的合理，结果的合理)和实用性（对于实际应用上的作用）。 （2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。 （3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。 （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 第一问 早起模型的评析 一、早期模型的重述 ①模型的假设： 根据附件一中的模型，我们可以得出此模型具有如下假设

1)不考虑“非典”的潜伏期，感染非典后立即具有传染性； 2)当感染者有效接触健康者时，使健康者被感染； 3)整个“非典”发病期间政府不采取任何预防措施和隔离治疗措施； 4)忽略“非典病人的个体差异”，假设传染期为常数； ②早期模型建立： 假定初始时刻的病例数为N0，平均每位病人每天可传染K个人（K一般为小数），平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是： N（t）= N0 (1+K)t 如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。考虑传染期限L的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢。我们采用半模拟循环计算的办法，把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。为了简单起见，从开始至到高峰期间均采用同样的K值（从拟合这一阶段的数据定出）。到达高峰期后，在10天的范围内逐步调整K值到比较小，然后保持不变，拟合其后在控制阶段的全部数据。 二、早起模型的合理性和实用性的简评 A.早期模型的优点： 1.模型简明 本模型主要有三个参数N0、K、L，且都具有实际意义。L可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，在此期限后失去传染能力，可能原因是被隔离、病愈或死去等等。K表示某种社会条件下平均每位病人每天传播的人数（但并非文中所述的一个病人的感染他人的平均概率）。整个模型抓住了SARS传播过程中两个主要特征：传染期L和传染率K，反映了SARS的传播过程。使人很容易理解该模型。 2.模型灵活 通过调整N0、K、L值，就可以描述不同地区，不同环境下SARS的初期传播规律 3.预测准确 通过模型对北京、广东与香港的疫情进行了分析，得到的预测值与实际统计数据较接近。 可大致预测出疫情的爆发点和发展趋势。 B.早期模型的缺点： 1.对于如何确定对于三个参数N0、K、L，未给出一般的原则或算法，只能通过对 于已发病地区的数据进行拟合得出。按照作者的表述，K值是以病发高峰为界取各 段的平均值作为传染概率，虽然简化了运算，但是在现实情况下，不同地区的K值 是不同的。在实际应用中，如果没有一定量的数据，是无法得出K值的。在我们对 该模型进行拟合事发现，对于N0、K、L作者未给出调整的标准和相关理论，所 以我们很难重复该求解过程。 2.当需要对某一地区进行疫情分析时，还需考虑到该地区相对于北京、广州、香港这 类人口密集，人员流动性大的城市之间的差异。地域因素会造成不同地区的K值不 同（如人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病，初期的K值会比人口密度和人 口流动小的城市大，等等），而很难找到地域因素几乎相同的两城市。所以此作法

SARS传播的数学模型 数学建模全国赛优秀论文

SARS传播的数学模型 (轩辕杨杰整理) 摘要 本文分析了题目所提供的早期SARS传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数L、K的设定缺乏依据，具有一定的主观性. 针对早期模型的不足，在系统分析了SARS的传播机理后，把SARS的传播过程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期4个阶段.将每个阶段影响SARS 传播的因素参数化，在传染病SIR模型的基础上，改进得到SARS传播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到：北京SARS疫情的预测持续时间为106天，预测SARS患者累计2514人，与实际情况比较吻合. 应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：“早发现，早隔离”能有效减少累计患病人数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间. 在建立模型的过程中发现，需要认清SARS传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难. 本文分析了海外来京旅游人数受SARS的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出SARS会对北京入境旅游业造成23.22亿元人民币损失，并预计北京海外旅游人数在10月以前能恢复正常. 最后给当地报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性.

1．问题的重述 SARS （严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.现需要做以下工作： （1） 对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性. （2） 建立自己的模型，说明优于早期模型的原因；说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后5天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影响. （3） 根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测SARS 对社会经济的影响. （4） 给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性. 2．早期模型的分析与评价 题目要求建立SARS 的传播模型，整个工作的关键是建立真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型的合理性和实用性，首先需要明确： 合理性定义 要求模型的建立有根据，预测结果切合实际. 实用性定义 要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际. 所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控制提供足够的信息. 2.1早期模型简述 早期模型是一个SARS 疫情分析及疫情走势预测的模型， 该模型假定初始时刻的病例数为0N ， 平均每病人每天可传染K 个人（K 一般为小数），K 代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.整个模型的K 值从开始到高峰期间保持不变，高峰期后 10天的范围内K 值逐步被调整到比较小的值，然后又保持不变. 平均每个病人可以直接感染他人的时间为L 天.整个模型的L 一直被定为20.则在L 天之内，病例数目的增长随时间t (单位天)的关系是： t k N t N )1()(0+?= 考虑传染期限L 的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢.采用半模拟循环计算的办法，把到达L 天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉. 2.2早期模型合理性评价 根据早期模型对北京疫情的分析与预测，其先将北京的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左右达到高峰，然后通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K =0.13913.高峰期后的K 值按香港情况变化，即10天范围内K 值逐步被调整到0.0273.L 恒为20.由此画出北京3月1日至5月7日疫情发展趋势拟合图像以及5月7日以后的疫情发展趋势预测图像，如图1.

数学建模传染病模型剖析

传染病的传播 摘要：本文先根据材料提供的数据建立了指数模型，并且全面地评价了该模型的合理性与实用性。而后对模型与数据做了较为扼要地分析了指数模型的不妥之处。并在对问题进行较为全面评价的基础上引入更为全面合理的假设和建立系统分析模型。运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法结合

MATLAB 编程(程序在附件二)拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测。同时运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议以及指出建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难本文的最后，通过本次建模过程中的切身体会，说明建立如SARS 预测模型之类的传染病预测模型的重要意义。 关键词：微分方程 SARS 数学模型 感染率 1问题的重述 SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： 1)建立传染病传播的指数模型，评价其合理性和实用性。 2)建立你们自己的模型，说明为什么优于指数模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件1提供的数据供参考。 3)说明建立传染病数学模型的重要性。 2 定义与符号说明 N …………………………………表示为SARS 病人的总数； K （感染率）……………………表示为平均每天每人的传染他人的人数； L …………………………………表示为每个病人可能传染他人的天数； dt d N(t)………………………… 表示为每天（单位时间）发病人数； N(t)-N(t-L)………………………表示可传染他人的病人的总数减去失去传染能力的病人数； t …………………………………表示时间； R 2 ………………………………表示拟合的均方差； 3 建立传染病传播的指数模型 3.1模型假设 1) 该疫情有很强的传播性，病人（带菌者）通过接触（空气，食物，……）将病菌传播给健康者。单位时间（一天）内一个病人能传播的人数是常数k ； 2) 在 所传染的人当中不考虑已治愈的人是否被再次被传播，治愈的人数占该地区的总人数是绝对的少数，治愈者不会再被传播并不影响疫情在该时间内的感染率常数k; 3) 病者在潜伏期传播可能性很小， 仍按健康人处理； 4) SARS 对不同的年龄组的感染率略有不同（相差不大），但我们只考虑它健康人的感染率是一样的；

什么是数学模型与数学建模

1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。

建立数学模型的方法步骤特点及分类

§16.3 建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 [学习目标] 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理 性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.§16.2节的示例都属于机理分析方法。测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从§16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 图16-5 建模步骤示意图 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份

SARS传播的数学模型

SARS传播的数学模型 摘要 通过对题目附件1的SARS模型进行分析和评价，加深了对SARS的认识和了解。根据传染病的传播特点，建立了关于SARS病人率和疑似病人率两个常微分方程模型。以所给数据为基本依据，用Matlab软件进行数值计算，与图形模拟方法求得模型中的有 关参数。当λ 1=1.5 和λ 2 =1时，理论图形与实际图形有良好的吻合，分别得到了SARS 病人率和疑似病人率比较符合实际数据的变化图，能正确地预测它们的发展趋势。他们对于模型中的参数有非常强的灵感性，λ 1 的值作微小的改变对于整个疫情的发展有很大的影响，所以政府采取对SARS疫情的有关措施是完全正确的。本文重点分析了关于SARS病人率的模型一，根据求得的参数，利用相轨线理论对结果加以分析并对整个疫情作出预测，并推论出SARS病人率关于t的表达式i(t),然后提出了对传染病的控制方案，同时列举了具体方法，并论证了方法的合理性和可行性，用其它地区的数据对模型进行检验，说明模型的参数有区域性。 关键词：SARS 微分方程曲线拟合数学模型相轨线 本文首先分析评价了附件1中SARS传播的数学模型，指出该模型可以对疫情走势进行预测,但同时也存在一定缺点，第一，混淆了累计病例数与累计确诊人数的概念；第二，对参数的确定缺乏根据；第三，预测时借助了其他地区的参数，偏差较大. 本文针对其缺点建立了一个比较完善的传播模型. 该传播模型按政府开始控制的时刻分为控制前与控制后两个模型，两个模型均以潜伏期5天为周期，以一个周期为整体建立差分方程模型. 再结合5月15日以前北京疫情的公开数据，配合不同的政府监控力度，对整个北京的SARS疫情状况进行了预测.预计政府的监控力度一直保持在5月10日－5月15日的水平上时，6月10日－6月15日北京将会无新增病例，最后累积病例数为2993.对卫生部门采取的措施进行了评价：若提前或延后5天采取严格的隔离措施最后累计病例数分别为1300多与5200左右. 进一步通过对人群的不同分类，建立了两个微分方程组，可分别预测出实际发病人数、不可控/可控带菌者人数与当天疑似病例数、累计确诊人数、不可控/可控带菌者人数及治愈、死亡人数，结合两者的信息就可以得到足够的信息量.但模型中的部分参数无法确定给模型求解带来困难.可以通过搜集更多的数据和资料加以解决. 本文同时就外国来京旅游人数受SARS的影响，建立了模型，估算出4、5、6、7四个月中北京地区入境旅游人数比往年同期减少了94.8万人，旅游经济损在4.74亿美元至9.48亿美元之间.并预测出在2003年10月上旬，旅游人数将恢复到正常水平. 最后给报纸写了一篇短文，说明了建立传染病数学模型的必要性与重要性. 一、问题的提出公元2003年春天，一种叫SARS的病毒从天而降，降到人类赖以生存的星球，降到中国人的头上.SARS究竟是什么，它为什么会代给人类这么多的伤

2003年A题全国数学建模优秀论文5

测控SARS流行趋势的优化模型 齐秋锋魏杰万晓晨 指导教师谭欣欣等 摘要 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。为了能定量的研究传染病的传播规律，人们建立了各类模型来预测、控制疾病的发生发展。 在本题中给出了一个早期指数模型，我们把它称为模型1，它在短期内有着计算参数简单等合理性与实用性，但却存在着用短期参数描述长期过程偏离实际的缺陷。基于此，我们考虑应该引进新的参数，建立更优的模型。 由于SARS是新发传染病，人们对其的有效防治手段主要还是以预防为主的隔离和检疫，所以我们引进一个预防效果指数k，来反映防控措施对SARS传播的影响；又由于SARS发病传染迅猛，为了描述这个特征，我们又引入了参数 r ，用来表示发病率。在假设所研究各地区人口为理想状态下的人群、对该病普遍易感等前提下，我们应用Logistic回归结合各地SARS发病的疫情资料，用Matlab软件模拟，得到了一个更为优化的Logistic SARS模型，它给出了SARS流行趋势以及控制措施有效性的定量评估。由于参数k的引进，更符合实际情况也符合医学解释，并且能够预测SARS高峰期的到来时间，可能累计最大发病数，在测控和拟合实际上优于模型1。同时，我们也通过Matlab语言对北京、山西等的计算值和实际数据进行了拟合，进而验证了这个模型的可靠性。 当然，要建立一个最优模型还需要考虑更多因素，在考虑了传播途径及易感人群等因素后，也可以建立一个最优的SEIRQ模型。但这样考虑就需要大量的数据采集整理工作，但在实际中这是不易实现的。 在对卫生部所采取部分措施的评析中，我们引入了小世界网络模型，对政府措施作出了定量评论，并用图形直观的表示出来。 最后，我们分析了Logistic SARS模型的特点，并对其改进与应用做出了展望。 一、问题的重述 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响；不过，我们也从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律以及为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 （2）建立自己的模型，说明此模型为什么优于附件1中的模型；特别地，要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供

数学建模的基本步骤

数学建模的基本步骤 一、数学建模题目 1）以社会，经济，管理，环境，自然现象等现代科学中出现的新问题为背景，一般都有一个比较确切的现实问题。 2）给出若干假设条件： 1. 只有过程、规则等定性假设； 2. 给出若干实测或统计数据； 3. 给出若干参数或图形等。 根据问题要求给出问题的优化解决方案或预测结果等。根据问题要求题目一般可分为优化问题、统计问题或者二者结合的统计优化问题，优化问题一般需要对问题进行优化求解找出最优或近似最优方案，统计问题一般具有大量的数据需要处理，寻找一个好的处理方法非常重要。 二、建模思路方法 1、机理分析根据问题的要求、限制条件、规则假设建立规划模型，寻找合适的寻优算法进行求解或利用比例分析、代数方法、微分方程等分析方法从基本物理规律以及给出的资料数据来推导出变量之间函数关系。 2、数据分析法对大量的观测数据进行统计分析，寻求规律建立数学模型，采用的分析方法一般有： 1）. 回归分析法(数理统计方法)-用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式。 2）. 时序分析法--处理的是动态的时间序列相关数据，又称为过程统计方法。 3）、多元统计分析（聚类分析、判别分析、因子分析、主成分分析、生存数据分析）。 3、计算机仿真（又称统计估计方法）：根据实际问题的要求由计算机产生随机变量对动态行为进行比较逼真的模仿，观察在某种规则限制下的仿真结果（如蒙特卡罗模拟）。 三、模型求解： 模型建好了，模型的求解也是一个重要的方面，一个好的求解算法与一个合

适的求解软件的选择至关重要，常用求解软件有matlab，mathematica，lingo，lindo，spss，sas等数学软件以及c/c++等编程工具。 Lingo、lindo一般用于优化问题的求解，spss，sas一般用于统计问题的求解，matlab，mathematica功能较为综合，分别擅长数值运算与符号运算。 常用算法有：数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法,通常使用spss、sas、Matlab作为工具. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划、动态规划等通常使用Lindo、Lingo,Matlab软件。 图论算法,、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法, 模拟退火法、神经网络、遗传算法。 四、自学能力和查找资料文献的能力： 建模过程中资料的查找也具有相当重要的作用，在现行方案不令人满意或难以进展时，一个合适的资料往往会令人豁然开朗。常用文献资料查找中文网站：CNKI、VIP、万方。 五、论文结构： 0、摘要 1、问题的重述，背景分析 2、问题的分析 3、模型的假设，符号说明 4、模型的建立（局部问题分析，公式推导，基本模型，最终模型等） 5、模型的求解 6、模型检验:模型的结果分析与检验，误差分析 7、模型评价:优缺点，模型的推广与改进 8、参考文献 9、附录 六、需要重视的问题 数学建模的所有工作最终都要通过论文来体现，因此论文的写法至关重要：

数学模型的定义

一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果

数学建模模型的建立

数学建模期中作业 姓名：赵洪 学号：200806002910 班级：信计08-1

工厂升级方案的优化模型 摘要：随着科学技术的飞速发展，各种产品日新月异，工厂面临着提高产品科技含量和优化改革方案的双重挑战。本文讨论工厂升级的优化问题，即分配各工厂的升级以使公司获得最大的利润，需要对其建立模型并借助LINGO软件对非线性规划问题进行了求解，通过比较利润最大值和收益率得出了两个方案的优劣性并在此基础上给出一个更好的提案。 关键词：工厂升级、优化、非线性规划、目标函数、约束条件 问题重述： 某公司所属的高新技术研究所开发了一种新的产品W200X，该公司现有三个工厂，都生产普通的产品W100X。公司计划将现有工厂升级，升级后的工厂将能产生W100X和W200X 其中A1离该公司的研究所最近，A2是最新最大的工厂。升级过程需要一周，在此期间，工厂将停产。该公司在过去的几个月进行了市场调研，W100X现有的批发价为400元。 工人的工资是45元/小时。工厂一星期做工40小时。工人数为固定数值。W100X的零件成本40元，需1.5小时工作量；W200X的零件成本为64元，需1.75小时工作量；每个W100X产品需要两个老芯片，每个W200X产品需要两个新芯片，该公司提供芯片的生产方程为： 公司老板要求： 两位副总裁分别提出了方案1，方案2，如下： 方案1：只让A1工厂升级，只生产新产品W200X； 方案2：所有工厂都升级，可生产两种产品。 要求： （1）研究每一种方案，包括你自己的一个提案，总裁希望基于你的研究推出一个最好的方案，他非常非货币损失和利益。 （2）问题陈述，方案的模型和分析，寻求最佳方案的方法，结果的分析。 （3）下个月第几个工厂升级，每种产品的产量和定价。 问题分析：

建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 ()

薅§16.3建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 螁[学习目标] 蚀1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 蒆2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 羆3.能表述数学建模的分类； 蒃4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 葿5.培养建模的想象力和洞察力。 薆一、建立数学模型的方法和步骤 膃—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.§16.2节的示例都属于机理分析方法。测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(SystemIdentification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 袁可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 膈建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 薆§16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 薄图16-5建模步骤示意图 蚃模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 芁模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．

SARS传播的数学模型

SARS传播的数学模型 摘要 本文分析了题目所提供的早期SARS传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数L、K的设定缺乏依据，具有一定的主观性. 针对早期模型的不足，在系统分析了SARS的传播机理后，把SARS的传播过程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期4个阶段.将每个阶段影响SARS 传播的因素参数化，在传染病SIR模型的基础上，改进得到SARS传播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到：北京SARS疫情的预测持续时间为106天，预测SARS患者累计2514人，与实际情况比较吻合. 应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：“早发现，早隔离”能有效减少累计患病人数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间. 在建立模型的过程中发现，需要认清SARS传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难. 本文分析了海外来京旅游人数受SARS的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出SARS会对北京入境旅游业造成23.22亿元人民币损失，并预计北京海外旅游人数在10月以前能恢复正常. 最后给当地报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性.

1．问题的重述 SARS （严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.现需要做以下工作： （1） 对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性. （2） 建立自己的模型，说明优于早期模型的原因；说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后5天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影响. （3） 根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测SARS 对社会经济的影响. （4） 给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性. 2．早期模型的分析与评价 题目要求建立SARS 的传播模型，整个工作的关键是建立真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型的合理性和实用性，首先需要明确： 合理性定义 要求模型的建立有根据，预测结果切合实际. 实用性定义 要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际. 所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控制提供足够的信息. 2.1早期模型简述 早期模型是一个SARS 疫情分析及疫情走势预测的模型， 该模型假定初始时刻的病例数为0N ， 平均每病人每天可传染K 个人（K 一般为小数），K 代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.整个模型的K 值从开始到高峰期间保持不变，高峰期后 10天的范围内K 值逐步被调整到比较小的值，然后又保持不变. 平均每个病人可以直接感染他人的时间为L 天.整个模型的L 一直被定为20.则在L 天之内，病例数目的增长随时间t (单位天)的关系是： t k N t N )1()(0+?= 考虑传染期限L 的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢.采用半模拟循环计算的办法，把到达L 天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉. 2.2早期模型合理性评价 根据早期模型对北京疫情的分析与预测，其先将北京的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左右达到高峰，然后通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K =0.13913.高峰期后的K 值按香港情况变化，即10天范围内K 值逐步被调整到0.0273.L 恒为20.由此画出北京3月1日至5月7日疫情发展趋势拟合图像以及5月7日以后的疫情发展趋势预测图像，如图1.

数学建模—传染病模型

传染病模型 摘要 当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。 本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。 关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。

一、问题重述 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。 1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。 2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。 3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。 二、问题分析 1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。 2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。 3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。 因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。