c++求解非线性方程组的牛顿顿迭代法
牛顿迭代法c++程序设计
求解{0=x*x-2*x-y+0.5;
0=x*x+4*y*y-4;
}的方程
#include
#include
#define N 2 // 非线性方程组中方程个数、未知量个数
#define Epsilon 0.0001 // 差向量1范数的上限
#define Max 100 //最大迭代次数
using namespace std;
const int N2=2*N;
int main()
{
void ff(float xx[N],float yy[N]); //计算向量函数的因变量向量yy[N]
void ffjacobian(float xx[N],float yy[N][N]);/ /计算雅克比矩阵yy[N][N]
void inv_jacobian(float yy[N][N],float inv[N][N]); //计算雅克比矩阵的逆矩阵inv
void newdundiedai(float x0[N], float inv[N][N],float y0[N],float x1[N]); //由近似解向量x0 计算近似解向量x1
float x0[N]={2.0,0.25},y0[N],jacobian[N][N],invjacobian[N][N],x1[N],errornorm;
int i,j,iter=0;
//如果取消对x0的初始化，撤销下面两行的注释符，
就可以由键盘向x0读入初始近似解向量for( i=0;i cin>>x0[i]; cout<<"初始近似解向量："< for (i=0;i cout< cout< do { iter=iter+1; cout<<"第"< ff(x0,y0); //计算雅克比矩阵jacobian ffjacobian(x0,jacobian); //计算雅克比矩阵的逆矩阵invjacobian inv_jacobian(jacobian,invjacobian); //由近似解向量x0 计算近似解向量x1 newdundiedai(x0, invjacobian,y0,x1); //计算差向量的1范数errornorm errornorm=0; for (i=0;i errornorm=errornorm+fabs(x1[i]-x0[i]); if (errornorm for (i=0;i x0[i]=x1[i]; } while (iter return 0; } void ff(float xx[N],float yy[N]) //调用函数 {float x,y; int i; x=xx[0]; y=xx[1]; yy[0]=x*x-2*x-y+0.5; yy[1]=x*x+4*y*y-4; //计算初值位置的值 cout<<"向量函数的因变量向量是："< for( i=0;i cout< cout< cout< } void ffjacobian(float xx[N],float yy[N][N]) { float x,y; int i,j; x=xx[0]; y=xx[1]; //jacobian have n*n element //计算函数雅克比的值 yy[0][0]=2*x-2; yy[0][1]=-1; yy[1][0]=2*x; yy[1][1]=8*y; cout<<"雅克比矩阵是："< for( i=0;i {for(j=0;j cout< cout< } cout< } void inv_jacobian(float yy[N][N],float inv[N][N]) {float aug[N][N2],L; int i,j,k; cout<<"开始计算雅克比矩阵的逆矩阵："< { for(j=0;j aug[i][j]=yy[i][j]; for(j=N;j if(j==i+N) aug[i][j]=1; else aug[i][j]=0; } for (i=0;i { for(j=0;j cout< cout< } cout< for (i=0;i { for (k=i+1;k {L=-aug[k][i]/aug[i][i]; for(j=i;j aug[k][j]=aug[k][j]+L*aug[i][j]; } } for (i=0;i { for(j=0;j cout< } cout< for (i=N-1;i>0;i--) { for (k=i-1;k>=0;k--) {L=-aug[k][i]/aug[i][i]; for(j=N2-1;j>=0;j--) aug[k][j]=aug[k][j]+L*aug[i][j]; } } for (i=0;i { for(j=0;j cout< cout< } cout< for (i=N-1;i>=0;i--) for(j=N2-1;j>=0;j--) aug[i][j]=aug[i][j]/aug[i][i]; for (i=0;i { for(j=0;j cout< cout< for(j=N;j inv[i][j-N]=aug[i][j]; } cout< cout<<"雅克比矩阵的逆矩阵："< { for(j=0;j cout< } cout< } void newdundiedai(float x0[N], float inv[N][N],float y0[N],float x1[N]) { int i,j; float sum=0; for(i=0;i { sum=0; for(j=0;j sum=sum+inv[i][j]*y0[j]; x1[i]=x0[i]-sum; } cout<<"近似解向量："< for (i=0;i cout< cout< } 解线性方程组的迭代法 1.rs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=rs(A,b,x0,eps,M) if(nargin==3) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值elseif(nargin==4) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-A)*x0+b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 2.crs里查森参数迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=crs(A,b,x0,w,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-w*A)*x0+w*b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 3.grs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=grs(A,b,x0,W,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1;%前后两次迭代结果误差 %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-W*A)*x0+W*b;%迭代公式 n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 4.jacobi雅可比迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin) if nargin==3 eps=1.0e-6; M=200; elseif nargin<3 error return elseif nargin==5 M=varargin{1}; end D=diag(diag(A));%求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1);%求A的下三角阵 C++实现牛顿迭代解非线性方程组（二元二次为例） 求解{0=x*x-2*x-y+0.5; 0=x*x+4*y*y-4; }的方程 #include 毕业论文开题报告 信息与计算科学 非线性方程组的迭代解法 一、选题的背景和意义 =的系数矩阵具有两非线性问题是近代数学研究的主流之一，随着计算问题的日益复杂化Ax b 个明显的特点：大型化和稀疏化。大型化指系数矩阵阶数可达上万甚至更高，稀疏性指A的零元素占绝大多数对这样的A作直接三角分解，稀疏性会遭到破坏，零元素被大量填入变为非零元素，因此迫切需要新的数值方法，适用于大型稀疏线性方程，以节省储存空间和计算时间，即提高计算效 =是数值计算的重要任务，但是率，迭代法在这样的背景下得到关注和发展，求解线性方程组Ax b 大多数科学和实际问题本质上是非线性的，能做线性化的毕竟有限，对这些非线性问题是各种解决方案，常常归纳为求解一个非线性方程组，而与线性方程相比非线性方程组的求解要困难和复杂的多，计算量也大的多，现有的理论研究还比较薄弱。而对于非线性方程，一般都用迭代法求解。二、国内外研究现状、发展动态 近年来，国内外专家学者非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增，他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展（科学、物理、生产、农业等），取得了一系列研究成果。这些研究，既丰富了非线性方程组的内容，又进一步完善了非线性方程组的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了数值计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。三、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点） 非线性的迭代法是解非线性方程组的基本途径，是数值计算中非线性方程组求根的重要工具，也是研究非线性方程组整体性质和具体分布的重要工具。就因为这样，很多专家学者对非线性方程组的迭代法进行研究。在前人研究的基础上，本文首先介绍非线性方程组迭代法的产生背景以及国内外状况，然后从数值计算的定义及理论定理出发来研究非线性方程组的迭代法的一些相关的结论，包括非线性方程组的基于不动点原理的迭代法、newton迭代法及其收敛性、非线性方程组的迭代法及其收敛性、最小二乘法、迭代法的收敛加速性等，进一步讨论非线性方程组迭代解法的收敛性质以及其他一些相关定理，以便我们更好、更清楚的看到非线性方程组和迭代法之间的联系，以及收敛和加速。 四、研究（工作）步骤、方法及措施（思路） （一）研究方法 CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告 非线性方程组的牛顿迭代法的应用 一、问题背景 非线性是实际问题中经常出现的，并且在科学与工程计算中的地位越来越重要，很多我们熟悉的线性模型都是在一定条件下由非线性问题简化的，为得到更符合实际的解答，往往需要直接研究非线性科学，它是21世纪科学技术发展的重要支柱，非线性问题的数学模型有无限维的如微分方程，也有有限维的。道遥咏计算机进行科学计算都要转化为非线性的单个方程或方程组的求解。从线性到非线性是一个质的变化，方程的性质有本质不同，求解方法也有很大差别。本文主要介绍的是非线性方程组的牛顿迭代法的数值解法。 二、数学模型 对于方程()0=x f ，如果()x f 湿陷性函数，则它的求根是容易的。牛顿法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将线性方程()0=x f 逐步归结为某种线性方程来求解。 设已知方程()0=x f 有近似根k x （假定()0'≠k x f ），将函数()x f 在点k x 展开，有 ()()()()k k k x x x f x f x f -+≈'， 于是方程()0=x f 可近似地表示为 ()()()0'=-+k k k x x x f x f 这是个线性方程，记其根为1+k x ，则1+k x 的计算公式 ()() k k k k x f x f x x ' 1- =+， ,1,0=k 这就是牛顿法。 三、算法及流程 对于非线性方程 ()()()???? ????????=n n n n x L x x f M x L x x f x L x x f f ,,,,,,,,,2 1212211 在()k x 处按照多元函数的泰勒展开，并取线性项得到 作业六：分别编写用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组Ax=B的标准程序，并求下列方程组的解。 可取初始向量 X(0) =(0，0，0)’； 迭代终止条件||x(k+1)-x(k)||<=10e-6 （1） = （2） = Jacobi迭代法： 流程图 开 始 判断b中的最大值 有没有比误差大 给x赋初值 进行迭代 求出x，弱到100次还没到，警告不收 结束 程序 clear;clc; A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5]; b=[1;4;3]; e=1e-6; x0=[0;0;0]'; n=length(A); x=zeros(n,1); k=0; r=max(abs(b)); while r>e for i=1:n d=A(i,i); if abs(d) 程序结果（1） （2） Gauss-Seidel迭代法： 程序 clear;clc; %A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5]; %b=[1;4;3]; A=[5,2,1;-1,4,2;2,-3,10]; b=[-12;20;3]; m=size(A); if m(1)~=m(2) error('矩阵A不是方阵'); end n=length(b); %初始化 N=0;%迭代次数 L=zeros(n);%分解A=D+L+U,D是对角阵，L是下三角阵，U是上三角阵U=zeros(n); D=zeros(n); G=zeros(n);%G=-inv(D+L)*U d=zeros(n,1);%d=inv(D+L)*b x=zeros(n,1); for i=1:n%初始化L和U for j=1:n if i 牛顿迭代法求解非线性方程组 非线性方程组如下： 221122121210801080 x x x x x x x ?-++=??+-+=?? 给定初值()00.0T x =，要求求解精度达到0.00001 1.首先建立函数()F X ,方程编程如下，将F.m 保存到工作路径中： function f=F(x) f(1)=x(1)^2-10*x(1)+x(2)^2+8; f(2)=x(1)*x(2)^2+x(1)-10*x(2)+8; f=[f(1),f(2)] ; 2.建立函数()DF X ,用于求方程的jacobi 矩阵,将DF.m 保存到工作路径中： function df=DF(x) df=[2*x(1)-10,2*x(2);x(2)^2+1,2*x(1)*x(2)-10]; %jacobi 矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。 3.编程牛顿迭代法解非线性方程组，将newton.m 保存在工作路径中： clear,clc; x=[0,0]'; f=F(x); df=DF(x); fprintf('%d %.7f %.7f\n',0,x(1),x(2)); N=4; for i=1:N y=df\f'; x=x-y; f=F(x); df=DF(x); fprintf('%d %.7f %.7f\n',i,x(1),x(2)); if norm(y)<0.0000001 break; else end end ezplot('x^2-10*x+y^2+8',[-6,6,-6,6]); hold on ezplot('x*y^2+x-10*y+8',[-6,6,-6,6]); 运行结果如下： 0 0.0000000 0.0000000 1 0.8000000 0.8800000 2 0.9917872 0.9917117 3 0.9999752 0.9999685 求解线性方程组——超松弛迭代法 #include cout<<"输入松弛因子w (1 Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 一． 问题描述 用Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组 由Jacobi 迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值。使用了两倍的存储空间，浪费了存储空间。若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第i 个分量 ) 1(+k i x 时，用最新分量 ) 1(1 +k x ， ???+) 1(2 k x ) 1(1 -+k i x 代替旧分量 ) (1 k x ， ???) (2 k x ) (1 -k i x ，可以起 到节省存储空间的作用。这样就得到所谓解方程组的Gauss-Seidel 迭代法。 二． 算法设计 将A 分解成U D L A --=，则b x =A 等价于b x =--U)D (L 则Gauss-Seidel 迭代过程 ) ()1()1(k k k Ux Lx b Dx ++=++ 故 ) ()1()(k k Ux b x L D +=-+ 若设1 )(--L D 存在，则 b L D Ux L D x k k 1)(1)1()()(--+-+-= 令 b L D f U L D G 11)()(---=-=， 则Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式为 f Gx x k k +=+) () 1( 其迭代格式为 T n x x x x ) ()0()0(2)0(1)0(，，，???= (初始向量)， ) (1 1 1 1 1 )()1()1(∑∑-=-+=++--=i j i i j k j ij k j ij i ii i i x a x a b a x )210i 210(n k ???=???=，，，；，，， 或者 ?? ???--=???=???==?+=∑∑-=-+=+++) (1)210i 210(111 1)()1()1()()1(i j i i j k j ij k j ij i ii i i i k i k i x a x a b a x n k k x x x ，，，；，，， 三． 程序框图 二元非线性方程组求根的牛顿迭代法 摘要:本文根据一元函数的Taybr 公式和求解一元非线性方程的牛顿迭代法之间的关系,利用多元函数的Taybr 公式推导出了二元非线性方程组的牛顿迭代法;在此基础上,通过MA TLAB 仿真计算一个方程组的根来说明该方法是可行的。 关键词:牛顿迭代法;一元函数;二元函数; Taybr 公式; Matlab 0 引言 非线性方程()0f x =的数值解法有逐步搜索法、区间二分法、迭代法、牛顿 迭代法等, 那么, 对于对于非线性方程组(,)0 (,)0f x y g x y =??=?,其牛顿迭代法的迭代方 程是什么? 本文根据一元函数的Taybr 公式和一元非线性方程牛顿迭代法之间的关系,利用多元函数的Taybr 公式推导出了二元非线性方程组的牛顿迭代法,在此基础上利用推导出的二元非线性方程组求根的牛顿迭代法通过matlab 仿真计算出一个方程组的根,检验了所得方法的有效性。 1 基本定理、结论 定理1 (一元函数的Taybr 公式) 如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(,)a b 内具有直(1)n +阶的导数,则对任一(,)x a b ∈ ,有 ()2 0000000()()()()()()()...()()2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ 其中()n R x = ()(1)10() ()1! n n f x x n ξ++-+,这里ξ是0x 与x 之间的某个值。 定理2 (二元函数的Taybr 公式) 设(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内连续且有直到(1)n +阶的连续偏导数, 00(,)x k y k ++为此邻域内任一点,则有 2 000000001(,)(,)(,)(,)... 2!f x k y k f x y h k f x y h k f x y x y x y αααααααα???? ++=++++++ ? ????? Newton迭代法求解非 线性方程 一、 Newton 迭代法概述 构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。因此，如果能将非线性方程f (x )=0用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。 设k x 是方程f (x )=0的一个近似根，把如果)(x f 在k x 处作一阶Taylor 展开，即： )x x )(x ('f )x (f )x (f k k k -+≈ (1-1) 于是我们得到如下近似方程： 0)x x )(x ('f )x (f k k k =-+ (1-2) 设0)('≠k x f ，则方程的解为： x ?=x k +f (x k ) f (x k )? (1-3) 取x ~作为原方程的新近似根1+k x ，即令： ) x ('f ) x (f x x k k k 1k -=+, k=0,1,2,… (1-4) 上式称为牛顿迭代格式。用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。 牛顿法具有明显的几何意义。方程： )x x )(x ('f )x (f y k k k -+= (1-5) 是曲线)x (f y =上点))x (f ,x (k k 处的切线方程。迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)的零点来代替曲线的零点。正因为如此，牛顿法也称为切线法。 牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。一般来说，牛顿法对初值0x 的要求较高，初值足够靠近*x 时才能保证收敛。若 要保证初值在较大范围内收敛，则需对)x (f 加一些条件。如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式： ) x ('f ) x (f x x k k k 1k λ -=+, ?=,2,1,0k (1-6) 上式中，10<λ<，称为下山因子。因此，用这种方法求方程的根，也称为牛顿下山法。 牛顿法对单根收敛速度快，但每迭代一次，除需计算)x (f k 之外，还要计算 )x ('f k 的值。如果)x (f 比较复杂，计算)x ('f k 的工作量就可能比较大。为了避免计算导数值，我们可用差商来代替导数。通常用如下几种方法： 1. 割线法 如果用 1 k k 1k k x x ) x (f )x (f ----代替)x ('f k ，则得到割线法的迭代格式为： )x (f ) x (f )x (f x x x x k 1k k 1 k k k 1k --+---= (1-7) 2. 拟牛顿法 如果用 ) x (f )) x (f x (f )x (f k 1k k k ---代替)x ('f k ，则得到拟牛顿法的迭代格式为： )) x (f x (f )x (f ) x (f x x 1k k k k 2k 1k -+--- = (1-8) 3. Steffenson 法 如果用 ) x (f ) x (f ))x (f x (f k k k k -+代替)x ('f k ，则得到拟牛顿法的迭代格式为： ) x (f ))x (f x (f ) x (f x x k k k k 2k 1 k -+- =+ 迭代法解线性方程组作业 沈欢00986096 北京大学工学院，北京100871 2011年10月12日 摘要 由所给矩阵生成系数矩阵A和右端项b，分析系数矩阵A，并用Jacobi迭代法、GS迭代法、SOR(逐步松弛迭代法)解方程组Ax=b 1生成系数矩阵A、右端项b,并分析矩阵A 由文件”gr900900c rg.mm”得到了以.mm格式描述的系数矩阵A。A矩阵是900?900的大型稀 疏对称矩阵。于是，在matlaB中，使用”A=zeros(900,900)”语句生成900?900的零矩阵。再 按照.mm文件中的描述，分别对第i行、第j列的元素赋对应的值，就生成了系数矩阵A，并 将A存为.mat文件以便之后应用。 由于右端项是全为1的列向量，所以由语句”b=ones(900,1)”生成。 得到了矩阵A后，求其行列式，使用函数”det(A)”,求得结果为”Inf”,证明行列式太大，matlaB无法显示。由此证明，矩阵A可逆，线性方程组 Ax=b 有唯一解。 接着，判断A矩阵是否是对称矩阵(其实，这步是没有必要的，因为A矩阵本身是对称矩阵，是.mm格式中的矩阵按对称阵生成的)。如果A是对称矩阵，那么 A?A T=0 。于是，令B=A?A T,并对B求∞范数。结果显示： B ∞=0,所以，B是零矩阵，也就是：A是对称矩阵。 然后，求A的三个条件数： Cond(A)= A ? A?1 所求结果是，对应于1范数的条件数为：377.2334;对应于2范数的条件数为：194.5739;对应 于3范数的条件数为：377.2334; 1 从以上结果我们看出，A是可逆矩阵，但是A的条件数很大，所以，Ax=b有唯一解并且矩阵A相对不稳定。所以，我们可以用迭代方法来求解该线性方程组，但是由于A的条件数太大迭代次数一般而言会比较多。 2Jacobi迭代法 Jacobi迭代方法的程序流程图如图所示： 图1:Jacobi迭代方法程序流程图 在上述流程中，取x0=[1,1,...,1]T将精度设为accuracy=10?3，需要误差满足： error= x k+1?x k x k+1 基于Matlab 实现牛顿迭代法解非线性方程组 已知非线性方程组如下 2211221212 10801080x x x x x x x ?-++=??+-+=?? 给定初值0(0,0)T x =，要求求解精度达到0.00001 首先建立函数F(x)，方程组编程如下，将F.m 保存到工作路径中： function f=F(x) f(1)=x(1)^2-10*x(1)+x(2)^2+8; f(2)=x(1)*x(2)^2+x(1)-10*x(2)+8; f=[f(1) f(2)]; 建立函数DF(x),用于求方程组的Jacobi 矩阵，将DF.m 保存到工作路径中： function df=DF(x) df=[2*x(1)-10,2*x(2);x(2)^2+1,2*x(1)*x(2)-10]; 编程牛顿迭代法解非线性方程组，将newton.m 保存到工作路径中： clear; clc x=[0,0]'; f=F(x); df=DF(x); fprintf('%d %.7f %.7f\n',0,x(1),x(2)); N=4; for i=1:N y=df\f'; x=x-y; f=F(x); df=DF(x); fprintf('%d %.7f %.7f\n',i,x(1),x(2)); if norm(y)<0.0000001 break ; else end end 运行结果如下： 0 0.0000000 0.0000000 1 0.8000000 0.8800000 2 0.9917872 0.9917117 3 0.9999752 0.9999685 4 1.0000000 1.0000000 数值分析实验报告 0 a 12 K a 1,n 1 K a 2,n 1 U O M 则有： 第一步： Jacobi 迭代法 a 1n a 2n M , 则有： A D L U a n 1,n Ax b A A x D b L U (D L U)x b Dx (L U)x b x D (L U)x D b 令 J D (L U) 则称 J 为雅克比迭代矩阵 f D b 由此可得雅克比迭代的迭代格式如下： x (0) , 初始向量 x (k 1) Jx (k) f ,k 0,1,2,L 第二步 Gauss-Seidel 迭代法 Ax b (D L U )x b (D L)x Ux b x (D L) Ux (D L) b A D L U a 11 a 12 L a 1n a 11 A a 21 a 22 L a 2n a 22 M MM MO a n1 a n2 L a nn a 11 得到 D a 22 O a nn 由 a 21 0 M M O a n 1,1 a n 1,2 L 0 a nn a n1 a n2 L a n,n a 21 L M M O a n 1,1 a n 1,2 L a n1 a n2 L a n,n 1 a 12 K a 1,n 1 a 1n 0 K a 2,n 1 a 2n O M M a n 1,n 10 令 G (D L) U ，则称G 为Gauss-Seidel 迭代矩阵 f (D L) b 由此可得 Gauss-Seidel 迭代的迭代格式如下： x (0) , 初始向量 第三步 SOR 迭代法 w0 AD L U 1 ( D 1 wL ((1 w)D wU )) (D 1 wL) ((1 w)D wU ) w w w 令M w 1 (D wL), N 1 ((1 w)D wU )则有：A MN w w Ax b AM L W N M (M N )x b Mx Nx b x M Nx M b N M, 令W f Mb 带入 N 的值可有 L W ((1 w)D wU) (D wL) 1((1 w)D wU) (D wL) f 1 b w 1(D wL) 1b 1 (D wL) w 称 L W 为 SOR 迭代矩阵，由此可得 SOR 迭代的迭代格式如下： x (0) ,初始向量 二、算法程序 Jacobi 迭代法的 M 文件： function [y,n]=Jacobi(A,b,x0,eps) %************************************************* %函数名称 Jacobi 雅克比迭代函数 %参数解释 A 系数矩阵 % b 常数项 % x0 估计解向量 x (k 1) Gx (k) f ,k 0,1,2,L (k 1) f,k 0,1,2,L 华中师范大学 课程结业论文 题目：非线性方程组牛顿法及MATLAB程序 院系：数学与统计学学院 专业：数学与应用数学 年级：2014级 课堂名称：数值分析（1）实验 学生姓名：杨帅 学号：2014212643 2016年6月18 非线性方程组牛顿法及其MATLAB 程序 〔摘要〕学了《数值分析》这门课，了解到非线性方程的数值解法有：对分区间法、简单迭代法、Aitken-Steffensen 加速法、Newton 迭代法、正割法等，自然就会想到非线性方程组的数值解法有哪些呢？和非线性方程的数值解法有哪些不不同呢？ 在研究非线性方程组的数值解法之前，首先要给非线性方程组下一个合理定义；n 个变量n 个方程（n>1）的方程组表示为0 ),...,,(2 1 =n i x x x f （其中i=1,2...，n ），若i f 中至少有一个是非线性函数，则称上述 的表示为非线性方程组。在R 中记，T n x x x f f ),...,,(2 1 =，其中记 ),...,()(1n i i i x x f x f f ==且D x ∈。 若存在尣∈D ，使?(尣)=0，则称尣为非线性方程组的解。上述方程组可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。根据不同思想构造收敛于解尣的迭代序列{尣}(k=0，1，…)，即可得到求解非线性方程组的各种迭代法；但研究数学问题的时候，一般是由简单到复杂，由特殊到一般。因此要在研究非线性方程组牛顿解法的时候，首先要探究非线性方程的牛顿解法。 1.1求解线性方程组的牛顿法及其MATAB 程序 1.1.1程序设计思路 输入的量：初始值0 x 、近似根k x 的误差限tol ，近似根k x 的函数 值)(k x f 得误差限ftol ，迭代次数的最大值gxmax 、函数fnq （x ）=) (x f 1. 二元函数的newton 迭代法理论分析 设),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数，),(00h y h x ++为该邻域内任意一点，则有 ?? ? ????? +??+≈++==00) ,(),(),(),(0000y y x x y x f y k y x f x h y x f k y h x f 其中 0x x h -=，0y -=y k 于是方程0),(=y x f 可近似表示为 0) ,(),(),(k =?? ? ????? +??+==k k y y x x k y x f y k y x f x h y x f 即 0),()(),()(),(y k =-+-+k k k k k x k k y x f y y y x f x x y x f 同理，设y)g(x,z =在点),(00y x 的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数，),(00h y h x ++为该邻域内任意一点，亦有 ?? ?????? +??+≈++==00),(),(),(),(0000y y x x y x g y k y x g x h y x g k y h x g 其中0x x h -=，0y -=y k 于是方程0),(g =y x 可近似表示为 0) ,(),(),(k =?? ? ????? +??+==k k y y x x k y x g y k y x g x h y x g 即 0),(g )(),()(),(y k =-+-+k k k k k x k k y x y y y x g x x y x g 于是得到方程组 ? ??=-+-+=-+-+0),(g )(),()(),(0),()(),()(),(y k y k k k k k k x k k k k k k k x k k y x y y y x g x x y x g y x f y y y x f x x y x f 第六章 线性方程组的迭代法 一、教学目标及基本要求 通过对本节的学习，使学生掌握线性方程组的数值解法。 二、教学内容及学时分配 本节主要介绍线性方程组的数值解法，迭代公式的建立，迭代收敛性。 三、教学重点难点 1．教学重点：迭代公式的建立、迭代收敛性。 2. 教学难点：迭代收敛性。 四、教学中应注意的问题 多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解。 6.2 解线性方程组的迭代法 重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和科学计算中具有特殊的地位和作用。如弹性力学、电路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商业经济中的各种问题。在实际问题中产生的线性方程组的类型有很多，如按系数矩阵含零元素多少分类，有稠密和稀疏(零元素占80%以上)线性方程组之分；如按阶数的高低分类，有高阶(阶数在1000阶以上)中阶、(500~1000阶) 和低阶(500阶以下)线性方程组之分；如按系数矩阵的形状和性质分类，有对称正定、三对角、对角占优线性方程组之分。因为数值解法必须考虑方法的计算时间和空间效率以及算法的数值稳定性。因此，不同类型的线性方程组，其数值解法也不相同。但是，基本的方法可以归结为两大类，即直接法和迭代法。 分类：线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法。 (a) 直接法：对于给定的方程组，在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解。最基本的直接法是Gauss 消去法，重要的直接法全都受到Gauss 消去法的启发。计算代价高。但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解，如何避免舍入误差的增长是设计直接法时必须考虑的问题。 (b) 迭代法：基于一定的递推格式，产生逼近方程组精确解的近似序列。收敛性是其为迭代法的前提，此外，存在收敛速度与误差估计问题。迭代法要求方程组系数矩阵具有某种特殊形式（如对角占优阵），是解高阶稀疏矩阵方程组的重要方法。 §6.1 迭代公式的建立 迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求线性方程组的解。 设有方程组b Ax = （1） 将其转化为等价的便于迭代的形式f Bx x += （2） （这种转化总能实现，如令b f A I B =-=,）并由此构造迭代公式 一． 问题描述 用Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组 由Jacobi 迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值。使用了两倍的存储空间，浪 费了存储空间。若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第i 个分量) 1(+k i x 时， 用最新分量) 1(1 +k x ，???+) 1(2 k x ) 1(1 -+k i x 代替旧分量)(1k x ，???) (2 k x ) (1-k i x ，可以起到节省存储 空间的作用。这样就得到所谓解方程组的Gauss-Seidel 迭代法。 二． 算法设计 将A 分解成U D L A --=，则b x =A 等价于b x =--U)D (L 则Gauss-Seidel 迭代过程 ) ()1()1(k k k Ux Lx b Dx ++=++ 故 )()1()(k k Ux b x L D +=-+ 若设1 )(--L D 存在，则 b L D Ux L D x k k 1)(1)1()()(--+-+-= 令 b L D f U L D G 11)()(---=-=， 则Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式为 f Gx x k k +=+)()1( 其迭代格式为 T n x x x x )()0()0(2)0(1)0(，，，???= (初始向量)， )(1111 1 )() 1()1(∑∑-=-+=++--=i j i i j k j ij k j ij i ii i i x a x a b a x )210i 210(n k ???=???=，，，；，，， 或者 ?? ???--=???=???==?+=∑∑-=-+=+++) (1)210i 210(111 1)() 1()1()()1(i j i i j k j ij k j ij i ii i i i k i k i x a x a b a x n k k x x x ，，，；，，， 三． 程序框图 解线性方程组的迭代法 Haha 送给需要的学弟学妹 摘要:因为理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的，但是实际情况是否如此，需要我们来具体检验。系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，是著名的病态问题。因而决定求解Hx b =此线性方程组来验证上述问题。 详细过程是通过用Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法四种方法求解Hx b =线性方程组。 关键词：病态方程组、Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法、SOR 迭代法 目录： 一、问题背景介绍 二、建立正确额数学模型 三、求解模型的数学原理 1、Gauss 消去法求解原理 2、Jacobi 迭代法求解原理 3、G-S 迭代法求解原理 4、SOR 迭代法求解原理 5、Jacobi 和G-S 两种迭代法收敛的充要条件 四、计算过程 （一）Hilbert 矩阵维数n=6时 1、Gauss 消去法求解 2、Jacobi 迭代法求解 3、G-S 迭代法求解 4、SOR 迭代法求解 （二）Hilbert 矩阵维数n=20、50和100时 1、G-S 迭代法求解图形 2、SOR 迭代法求解图形 五、编写计算程序 六、解释计算结果 1、Gauss 消去法误差分析 2、G-S 迭代法误差分析 3、SOR 迭代法误差分析 G-S 迭代法与SOR 迭代法的误差比较 七、心得体会 正文： 一、问题背景介绍。 理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？ 二、建立正确的数学模型。 考虑方程组Hx b =的求解，其中系数矩阵H 为Hilbert 矩阵， ,,1 (), , ,1,2, ,1 i j n n i j H h h i j n i j ?== =+- 这是一个著名的病态问题。通过首先给定解（为方便计算，笔者取x 的各个分量等于1），再计算出右端,b Hx =这样Hx b =的解就明确了，再用Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法四种方法分别求解,Hx b =将求解结果与给定解比较，而后求出上述四种方法的误差，得出哪种方法比较好。 三、求解模型的数学原理。 1、Gauss 消去法求解原理 对于Ax b =（A 非奇异）求解时，可以先将A 分解成一个下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U 的乘积，即A LU =，就可以通过 牛顿迭代法c++程序设计 求解{0=x*x-2*x-y+0.5; 0=x*x+4*y*y-4; }的方程 #includeMATLAB代码 解线性方程组的迭代法
C++实现 牛顿迭代 解非线性方程组
非线性方程组的迭代解法【开题报告】
非线性方程组的牛顿迭代法的应用
数值分析5-用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组
牛顿迭代法求解非线性方程组的代码
求解线性方程组——超松弛迭代法(c)
Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组
非线性方程组求根的牛顿迭代法
Newton迭代法求解非线性方程
迭代法解线性方程组
基于Matlab的牛顿迭代法解非线性方程组
实验解线性方程组的基本迭代法实验
非线性方程组牛顿迭代法(1)
非线性方程组求解的牛顿迭代法用MATLAB实现
线性方程组的迭代法
Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组
解线性方程组的迭代法
c++求解非线性方程组的牛顿顿迭代法
- 解非线性方程组的迭代法
- 第4章 非线性方程求根的迭代法
- c++求解非线性方程组的牛顿顿迭代法
- 利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组
- 基于Matlab的牛顿迭代法解非线性方程组
- 不动点迭代法求解非线性方程组
- 牛顿迭代法解非线性方程组
- 迭代法解非线性方程
- 42 非线性方程组的迭代解法讲解
- 解非线性方程组的迭代解法
- 迭代法求解非线性方程
- 非线性方程组求解及matlab实现
- 牛顿迭代法求解非线性方程组的代码
- 解非线性方程组的牛顿迭代法
- 非线性方程组的牛顿迭代法的应用
- 解非线性方程组的迭代法
- 十、解非线性方程(组)的迭代法和加速法
- 非线性方程组的迭代解法
- 解线性方程组的迭代法
- 不动点迭代法求解非线性方程组