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2009年高考题(函数与导数)

2009年高考题汇总(函数与导数部分)

第一部分选择题

1（2009广东文数）若函数()y f x =是函数(01)x y a a a =>≠且的反函数，且(2)1f =，则()f x = （） A 2log x B

12x C 12

log x D 2

2x - 2（2009广东文数）函数()(3)x f x x e =-的单调递增区间是（） A (),2-∞ B ()0,3 C ()1,4 D ()2,+∞

3（2009全国卷I 理数）已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为（） A 1 B 2 C 1- D 2-

4（2009全国卷I 理数）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（）

A ()f x 是偶函数

B ()f x 是奇函数

C ()(2)f x f x =+

D (3)f x +是奇函数

5（2009浙江理数）对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合，

12,x x R ?∈且21x x >，有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-，下列结论中正确的

是（）

A 若1()f x M α∈，2()g x M α∈，则12()()f x g x M αα??∈

B 若1()f x M α∈，2()g x M α∈，且()0g x ≠，则

()

()f x M g x αα∈ C 若1()f x M α∈，2()g x M α∈，则12()()f x g x M αα++∈

D 若1()f x M α∈，2()g x M α∈，且12αα>，则12()()f x g x M αα--∈ 6（2006浙江文数）若函数2

()()a

f x x a R x

∈，则下列结论正确的是（） A a R ?∈，()f x 在()0,+∞上是增函数 B a R ?∈，()f x 在()0,+∞上是减函数 C a R ?∈，()f x 是偶函数 D a R ?∈，()f x 是奇函数

7（2009北京文数理数）为了得到函数3

x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点（）

A 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

8（2009山东文数理数）函数x x

x x

e e y e e --+=-的图像大致为（）

A B

C D

9（2009山东理数）定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0

()(1)(2),0x x f x f x f x x -≤?=?

--->?

，则

(2009)f 的值为（）

A 1-

B 0

C 1

D 2 10（2009山东文数）定义在R 上的函数()f x 满足2log (4),0

()(1)(2),0

x x f x f x f x x -≤?=?

--->?，则

(3)f 的值为（）

A 1-

B 2-

C 1

D 2

11（2009山东文数）已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间

[]0,2上是增函数，则（）

A (25)(11)(80)f f f -<<

B (80)(11)(25)f f f <<-

C (11)(80)(25)f f f <<-

D (25)(80)(11)f f f -<<

12（2009全国卷II 文数）函数0)y x ≤的反函数是（）

A 2(0)y x x =≥

B 2(0)y x x =-≥

C 2(0)y x x =≤

D 2(0)y x x =-≤

13（2009全国卷II 文数）函数2

2log 2x

y x

-=+的图像（） A 关于原点对称 B 关于直线y x =-对称 C 关于y 轴对称 D 关于直线y x =对称

14（2009全国卷II 文数）设lg a e =，()2

lg b e =，c = （） A a b c >> B a c b >> C c a b >> D c b a >> 15（2009广东理数）若函数()y f x =是函数(01)x y a a a =>≠且的反函数，其图像经过

点)a ，则()f x = （）

A 2log x

B 12

log x C

x D 2

x 16（2009广东文数）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行使，甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙，如图所示。那么对于图中给定的0t 和1t ，下列判断中一定正确的是（）

A 在1t 时刻，甲车在乙车前面

B 1t 时刻后，甲车在乙车后面

C 在0t 时刻，两车的位置相同

D 0t 时刻后，乙车在甲车前面

17（2009安徽文数理数）设a b <，函数2

()()y x a x b =--的图像可能是（） A B

C D

18（2009安徽理数）已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线

()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（）

A 21y x =-

B y x =

C 32y x =-

D 23y x =-+

19（2009江西文数）函数y =的定义域为（）

A []4,1-

B [)4,0-

C (]0,1

D [)(]4,00,1-

20（2009江西文数）已知函数()f x 是(),-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有

(2)()f x f x +=，且当[)0,2x ∈时，2()log (1)f x x =+，则(2008)(2009)f f -+的值

为（）

A 2-

B 1-

C 1

D 2

21（2009江西文数）如图所示，一质点(,)P x y 在xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点(,0)Q x 的运动速度()V V t =的图像大致是（）

A B

C D

22（2009江西文数）若存在过点()1,0的直线与曲线3

y x =和2

y ax x =+

-都相切，则a 等于（）

A 1-或2564-

B 1-或214

C 74-或2564-

D 7

4-或7

23（2009江西理数）函数

y =

的定义域为（）

A ()4,1--

B ()4,1-

C ()1,1-

D (]1,1-

24（2009江西理数）设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为（） A 4 B 14-

C 2

D 12

25（2009江西理数）设函数()0)f x a =

<的定义域为D ，若所有点

(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（）

A 2-

B 4-

C 8-

D 不能确定

26（2009天津文数）设13log 2a =，12

log 3b =，0.3

12c ??

= ???，则（）

A a b c <<

B a c b <<

C b c a <<

D b a c <<

27（2009天津文数）设函数246,0

()6,0

x x x f x x x ?-+≥=?+的解集是（）

A ()()3,13,-+∞

B ()()3,12,-+∞

C ()()1,13,-+∞

D ()(),31,3-∞-

28（2009天津文数）设函数()f x 在R 上的导函数为'()f x ，且22()'()f x xf x x +>，下面不等式在R 内恒成立的是（）

A ()0f x >

B ()0f x <

C ()f x x >

D ()f x x <

29（2009湖北理数）设a 为非零实数，函数11

()1ax y x R x ax a

-=∈≠-+且的反函数是（） A 11()1ax y x R x ax a -=

∈≠-+且 B 11

()1ax y x R x ax a

+=∈≠--且 C 1(1)(1)x y x R x a x +=

∈≠-且 D 1(1)(1)

y x R x a x -=∈≠-+且

30（2009湖北理数）设球的半径为时间t 的函数()R t ，若球的体积以均匀速度C 增长，则球的表面积的增长速度与球半径（）

A 成正比，比例系数为C

B 成正比，比例系数为2

C C 成反比，比例系数为C

D 成反比，比例系数为2C 31（2009四川文数）函数1

()x y x R +=∈的反函数是（）

A 21log (0)y x x =+>

B 2log (1)(1)y x x =->

C 21log (0)y x x =-+>

D 2log (1)(1)y x x =+>-

32（2009四川文数）已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有，(1)(1)()xf x x f x +=+，则5()2

f 的值是（）

A 0 B

12 C 1 D 52

33（2009全国卷II 理数）曲线21

y x =-在点()1,1处的切线方程为（）

A 20x y --=

B 20x y +-=

C 450x y +-=

D 450x y --=

34（2009全国卷II 理数）设3log a π=，2log b =log c = （） A a b c >> B a c b >> C b a c >> D b c a >>

35（2009湖南文数）2log 的值为（）

A B

C 12-

D 1

36（2009湖南文数）若函数()y f x =的导函数在区间[],a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[],a b 上的图像可能是（）

37（2009湖南文数）设函数()y f x =在(),-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数(),()(),()K f x f x K f x K f x K

≤?=?

>?，取函数()2x

f x -=，当12K =时，函数()K f x 的单调递增

区间为（）

A (),0-∞

B ()0,+∞

C (),1-∞-

D ()1,+∞

38（2009福建理数）下列函数()f x 中，满足“对任意()12,0,x x ∈+∞，当12x x <时，都有()()12f x f x >”的是（） A 1()f x x

= B 2()(1)f x x =- C ()x

f x e = D ()ln(1)f x x =+

39（2009福建理数）函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像关于直线2b

x a

对称。据此可推测，对任意的非零实数,,,,,a b c m n p ，关于x 的方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是（）

A {}1,2

B {}1,4

C {}1,2,3,4

D {}1,4,16,64

40（2009辽宁文数）已知函数()f x 满足：当4x ≥时，则1()()2

f x =；当4x <时，

()(1)f x f x =+，则2(2log 3)f += （）

124 B 112 C 18 D 38

41（2009辽宁文数）已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞单调增加，则满足1

(21)()3

f x f -<的

x 的取值范围是（）

A 12(,)33

B 12[,)33

C 12(,)23

D 12

[,)23

42（2009辽宁理数）若1x 满足225x

x +=，2x 满足222log (1)5x x +-=，12x x +=（） A

52 B 3 C 7

D 4 43（2009宁夏海南理数）用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值，设

{}()min 2,2,10(0)x f x x x x =+-≥，则()f x 的最大值为（）

A 4

B 5

C 6

D 7

44（2009

陕西文数）函数()4)f x x ≥的反函数为（）

A 1

21()4(0)2f

x x x -=

+≥ B 121

()4(2)2f x x x -=+≥ C 121()2(0)2f x x x -=+≥ D 1

21()2(2)2

f x x x -=+≥

45（2009陕西文数）定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)1212,0,()x x x x ∈+∞≠，有

2121

()()

0f x f x x x -<-，则（）

A (3)(2)(1)f f f <-<

B (1)(2)(3)f f f <-<

C (2)(1)(3)f f f -<<

D (3)(1)(2)f f f <<-

46（2009陕西文数）设曲线1()n y x n N ++=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为

n x ，则12n x x x ??? 的值为（）

1n B 11n + C 1

n n + D 1 47（2009陕西理数）定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的(]1212,,0()x x x x ∈-∞≠，有2121()(()())0x x f x f x -->，则当n N +

∈时，有（）

A ()(1)(1)f n f n f n -<-<+

B (1)()(1)f n f n f n -<-<+

C (1)()(1)f n f n f n +<-<-

D (1)(1)()f n f n f n +<-<-

48（2009全国卷I 文数）已知函数()f x 的反函数为()12lg (0)g x x x =+>，则(1)

(1)f g +=

（）

A 0

B 1

C 2

D 4

49（2009湖南理数）若2log 0a <，1()12

>，则（）

A 1,0a b >>

B 1,0a b ><

C 01,0a b <<>

D 01,0a b <<<

50（2009湖南理数）如图，当参数12,λλλ=时，连续函数

(0)1x

y x x

λ=

≥+的图像分别对应曲线1C 和2C ，则（） A 120λλ<< B 210λλ<< C

120λλ<< D 210λλ<<

51（2009湖南理数）设函数()y f x =在(),-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函

数(),()(),()K f x f x K

f x K f x K

≤?=?>?，取函数()2x f x x e -=--。若对任意的(),x ∈-∞+∞，恒

有()()K f x f x =，则（）

A K 的最大值为2

B K 的最小值为2

C K 的最大值为1

D K 的最小值为1 52（2009天津理数）设函数1

()ln (0)3

f x x x x =

->，则()y f x = （） A 在区间1(,1),(1,)e e

内均有零点

B 在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点

C 在区间1

(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点

D 在区间1

(,1)e

内无零点，在区间(1,)e 内有零点

53（2009天津理数）已知函数22

4,0()4,0

x x x f x x x x ?+≥?=?-

(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是（）

A ()(),12,-∞-+∞

B ()1,2-

C ()2,1-

D ()(),21,-∞-+∞

54（2009四川理数）已知函数22log (2)()4(2)2

a x x f x x x x +≥??

=?-

-?当时当时在点2x =处连接，则常数a 的

值是（）

A 2

B 3

C 4

D 5 55（2009

福建文数）下列函数中，与函数y =

有相同定义域的是（） A ()ln f x x = B 1()f x x

C ()f x x =

D ()x f x e = 56（2009福建文数）定义在R 上的偶函数()f x 的部分图像如图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是（）

A 21y x =+

B 1y x =+

C 321,01,0

x x y x x +≥?=?+

,0x x e x y e x -?≥?=?

57（2009福建文数）若函数()f x 的零点与()422x

g x x =+-的零点之差的绝对值不超过

0.25，则()f x 可以是（）

A ()41f x x =-

B 2

()(1)f x x =-

C ()1x

f x e =- D 1()ln 2f x x ??=- ???

58（2009重庆文数）把函数3()3f x x x =-的图像1C 向右平移u 个单位长度，再向下平移v 个单位长度后得到图像2C ，若对任意的0u >，曲线1C 和2C 至多只有一个交点，则v 的最小值为（）

A 2

B 4

C 6

D 8

第二部分填空题

59（2009辽宁文数）若函数2()1

x a

f x x +=+在1x =处取极值，则a =______________。

60（2009重庆理数）若1

()21

x f x a =

+-是奇函数，则a =______________。 61（2009重庆理数）若曲线2()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是_______________。

62（2009上海文数）函数3()1f x x =+的反函数1()f x -=_______________。

63（2009北京文数）已知函数3,1

(),1

x x f x x x ?≤=?->?，若()2f x =，则x =_______________。

64（2009北京理数）若函数1

,0()1(),03

x x x

f x x ?

65（2009江苏）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为_________________。 66（2009江苏）在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为_______________。 67（2009江苏）

已知a =

函数()x f x a =，若实数,m n 满足()()f m f n >，则,m n 的大小关系为________________。

68（2009江苏）已知集合{}

2log 2A x x =≤，(),B a =-∞，若A B ?，则实数a 的取值范围是(),c +∞，其中c =_________________。

69（2009山东理数）若函数()(01)x

f x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是________________。

70（2009山东理数）已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数，

若方程()(0)f x m m =>在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++=_________________。

71（2009四川文数）设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:,f V V a V →∈

，记a 的象为()f a 。若映射:f V V →

满足：对所有,a b V ∈及任意实数,λμ都有

()()()

f a b f a f b λμλμ+=+

，则f 称为平面M 上的线性变换。现有下列命题： ① 设f 是平面M 上的线性变换，,a b V ∈，则()()()f a b f a f b +=+；

② 若e 是平面M 上的单位向量，对a V ∈ ，设()f a a e =+

，则f 是平面M 上的线性

变换；

③ 对a V ∈ ，设()f a a =-

，则f 是平面M 上的线性变换；

④ 设f 是平面M 上的线性变换，a V ∈ ，则对任意实数k 均有()()f ka kf a =

。

其中的真命题是_____________________(写出所有真命题的编号)。

72（2009陕西理数）设曲线1()n y x n N ++=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为

n x ，令lg n n a x =，则1299a a a +++ 的值为_________________。

73（2009宁夏海南文数）曲线21x

y xe x =++在点(0,1)处的切线方程为_____________。 74（2009重庆文数）记3()log (1)f x x =+的反函数为1

()y f

x -=，则方程1()8f x -=的解

x =_______________。

第三部分解答题

75（2009广东文数）已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得最小值1(0)m m -≠，设函数()

()g x f x x

。

⑴ 若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q m 的值； ⑵ ()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点。

76（2009全国卷I 理数）设函数32()33f x x bx cx =++的两个极值点12,x x ，且[]11,0x ∈-，

[]21,2x ∈。

⑴ 求,b c 满足的约束条件，并在坐标平面内画出满足这些条件的点(),b c 的区域； ⑵ 证明：21

10()2

f x -≤≤-

。 77（2009浙江理数）函数322()(1)52f x x k k x x =--++-，22()1f x k x kx =++，k R ∈。

⑴ 设函数()()()p x f x g x =+，若()p x 在区间()0,3上不单调，求k 的取值范围；

⑵ 设函数(),0

()(),0g x x q x f x x ≥?=?

，是否存在k ，对任意给定的非零实数1x ，存在唯一的非

零实数221()x x x ≠，使得21'()'()q x q x =成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由。 78（2009浙江文数）已知函数32()(1)(2)(,)f x x a x a a x b a b R =+--++∈。 ⑴ 若函数()f x 的图像过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； ⑵ 若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围。 79（2009北京文数）设函数3

()3(0)f x x ax b a =-+≠。

⑴ 若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处与直线8y =相切，求,a b 的值； ⑵ 求函数()f x 的单调区间与极值点。 80（2009北京理数）设函数()(0)kx f x xe k =≠。 ⑴ 求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； ⑵ 求函数()f x 的单调区间；

⑶ 若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围。 81（2009江苏）设a 为实数，函数2

()2()f x x x a x a =+--。 ⑴ 若(0)1f ≥，求a 的取值范围； ⑵ 求()f x 的最小值；

⑶ 设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出不等式()1h x ≥的解集。

82（2009山东理数）两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧

AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对

城A 和城B 的总影响度为城A 和城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为xkm ，建在

C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y 。统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的

影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k 。当垃圾处理厂建在 AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065。 ⑴ 将y 表示成x 的函数；

⑵ 讨论⑴中的函数的单调性，并判断 AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由。 83（2009山东文数）已知函数3

21()33

f x ax bx x =

+++，其中0a ≠。 ⑴ 当,a b 满足什么条件时，()f x 取得极值？

⑵ 已知0a >，且()f x 在区间(]0,1上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围。 84（2009山东理数）设函数3

21()(1)4243

f x x a x ax a =--++，其中常数1a >。 ⑴ 讨论()f x 的单调性；

⑵ 若当0x ≥时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围。 85（2009安徽理数）已知函数2

()(2ln ),(0)f x x a x a x

=-+->，讨论()f x 的单调性。

86（2009安徽文数）已知函数2

()1ln ,0f x x a x a x

=-+->。 ⑴ 讨论()f x 的单调性；

⑵ 设3a =，求()f x 在区间21,e ????上的值域，其中e 是自然对数的底数。

87（2009江西文数）设函数3

9()62

f x x x x a =-

+-。 ⑴ 对于任意实数x ，'()f x m ≥恒成立，求m 的最大值； ⑵ 若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围。

88（2009江西理数）设函数()x

e f x x

=。

⑴ 求函数()f x 的单调区间；

⑵ 若0k >，求不等式'()(1)()0f x k k f x +->的解集。 89（2009天津文数）设函数3

221()(1),()3

f x x x m x x R =-

++-∈，其中0m >。 ⑴ 当1m =时，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率； ⑵ 求函数的单调区间与极值；

⑶ 已知函数()f x 有三个互不相同的零点120,,x x ，且12x x <。若对任意的[]12,x x x ∈，

()(1)f x f >恒成立。求m 的取值范围。

90（2009湖北理数）在R 上定义运算：1

:()()43

p q p c q b bc ??=---+(,)b c 为实常数，记21()2f x x c =-，22()2f x x b =-，x R ∈，令12()()()f x f x f x =?。 ⑴ 如果函数()f x 在1x =处有极值4

，试确定,b c 的值； ⑵ 求曲线()y f x =上斜率为c 的切线与该曲线的公共点；

⑶ 记{}

()'()11g x f x x =-≤≤的最大值为M ，若M k ≥对任意的,b c 恒成立，试求k 的最大值。

91（2009四川文数）已知函数3

()22f x x bx cx =++-的图像与x 轴交点处的切线方程是

510y x =-。

⑴ 求函数()f x 的解析式； ⑵ 设函数1

()()3

g x f x mx =+

，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值。

92（2009全国卷II 理数）设函数2

()ln(1)f x x a x =++有两个极值点12,x x ，且12x x <。 ⑴ 求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； ⑵ 证明：212ln 2

()4

f x ->。

93（2009湖南文数）已知函数32()f x x bx cx =++的导函数的图像关于直线2x =对称。 ⑴ 求b 的值；

⑵ 若()f x 在x t =处取得最小值，记此极小值()g t ，求()g t 的定义域和值域。 94（2009福建理数）已知函数3

21()3

f x x ax bx =

++，且'(1)0f -=。 ⑴ 试用含a 的代数式表示b ，并求()f x 的单调区间；

⑵ 令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处的极值，记点11(,())M x f x ，

22(,())N x f x ，(,())P m f m ，12x m x <<。请仔细观察曲线()f x 在点P 处的切线与线

段MP 的位置变化趋势，并解释以下问题：

① 若对任意的12(,)m x x ∈，线段MP 与曲线()f x 均有异于,M P 的公共点，试确定t 的最小值，并证明你的结论；

② 若存在点(,())Q n f n ，1x n m ≤<，使得线段PQ 与曲线()f x 有异于,P Q 的公共点，请直接写出m 的取值范围(不必给出求解过程)。

95（2009辽宁文数）设2()(1)x f x e ax x =++，且曲线()y f x =在1x =处的切线与x 轴平行。

⑴ 求a 的值，并讨论()f x 的单调性； ⑵ 证明：当0,

2πθ??

∈????

时，(cos )(sin )2f f θθ-<。 96（2009辽宁理数）已知函数2

1()(1)ln 2

f x x ax a x =-+-，1a >。 ⑴ 讨论函数()f x 的单调性；

⑵ 证明：若5a <，则对任意()12,0,x x ∈+∞，12x x ≠，有

1212

()()

1f x f x x x ->--。

97（2009宁夏海南理数）已知函数3

()(3)x

f x x x ax b e -=+++。 ⑴ 如3a b ==-，求()f x 的单调区间；

⑵ 若()f x 在(),α-∞，()2,β 单调增加，在(),2α，(),β+∞单调减少，证明：

6βα-<。

98（2009陕西文数）已知函数3()31,0f x x ax a =--≠。 ⑴ 求()f x 的单调区间；

⑵ 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y m =与()y f x =的图像有三个不同的交点，求

m 的取值范围。

99（2009陕西理数）已知函数1()ln(1),01x

f x ax x x

-=++≥+，其中0a >。 ⑴ 若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值； ⑵ 求()f x 的单调区间；

⑶ 若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围。

100（2009湖北文数）已知关于x 的函数3

21()3

f x x bx cx bc =-

+++，其导函数为'()f x ，令()'()g x f x =，记函数()g x 在区间[]1,1-上的最大值为M 。 ⑴ 如果函数()f x 在1x =处有极值4

，试确定,b c 的值； ⑵ 若1b >，证明：对任意的c ，都有2M >； ⑶ 若M k ≥对任意的,b c 恒成立，试求k 的最大值。

101（2009宁夏海南文数）已知函数3

()39f x x ax a x a =--+。 ⑴ 设1a =，求函数()f x 的极值； ⑵ 若1

a >

，且当[]1,4x a ∈时，'()12f x a ≤恒成立，试确定a 的取值范围。

102（2009湖南理数）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米

的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2x 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y 万元。 ⑴ 试写出y 关于x 的函数关系式；

⑵ 当640m =米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？

103（2009天津理数）已知函数22()(23)()x f x x ax a a e x R =+-+∈，其中a R ∈。 ⑴ 当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率； ⑵ 当3

a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

104（2009四川理数）已知0a >，且1a ≠，函数()log (1)x a f x a =-。 ⑴ 求函数()f x 的定义域，并判断()f x 的单调性；

⑵ 若n N +

∈，求()

lim f n n n a a a

→+∞+；

⑶ 当a e =(e 为自然对数的底数)时，设()2()(1)(1)f x h x e x m =--+，若函数()h x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()h x 的极值。

105（2009福建文数）已知函数3

21()3

f x x ax bx =++，且'(1)0f -=。 ⑴ 试用含a 的代数式表示b ； ⑵ 求()f x 的单调区间；

⑶ 令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点11(,())M x f x ，

22(,())N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于,M N 的公共点。

106（2009上海理数）有时可用函数0.115ln ,(6)() 4.4,(6)4

a x a x

f x x x x ?

+≤??-=?-?>?-?描述学习某学科知识

的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数()x N +

∈，()f x 表示对该学科知识的掌

握程度，正实数a 与学科知识有关。

⑴ 证明：当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降；

⑵ 根据经验，学科甲、乙，丙对应的a 的取值区间分别为(]115,121，(]121,127，

(]127,133。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。

107（2009上海理数）已知函数()y f x =的反函数。定义：若对给定的实数(0)a a ≠，函数()y f x a =+与1()y f x a -=+互为反函数，则称()y f x =满足“a 和性质”；若函数()y f ax =与1()y f ax -=互为反函数，则称()y f x =满足“a 积性质”。 ⑴ 判断函数2()1(0)g x x x =+>是否满足“1和性质”，并说明理由； ⑵ 求所有满足“2和性质”的一次函数；

⑶ 设函数()(0)y f x x =>对任何0a >，满足“a 积性质”。求()y f x =的表达式。 108（2009重庆理数）设函数2()(0)f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线

()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=。

⑴ 求,a b 的值；

⑵ 若函数()()

x e g x f x =，讨论()g x 的单调性。

109（2009重庆文数）已知2()f x x bx c =++为偶函数，曲线()y f x =过点(2,5)，

()()()g x x a f x =+。

⑴ 若曲线()y g x =有斜率为0的切线，求实数a 的取值范围； ⑵ 若当1x =-时函数()y g x =取得极值，确定()y g x =的单调区间。