用类比思想推导圆的面积计算公式
用类比思想推导圆的面积计算公式
中小学数学?小学版2011年第6期
用类比思想推导
圆的面积计算公式
浙江省杭州市萧山区教研室(311201)邵汉民
一
般地,我们把圆面积公式的推导过程定义为转
化的过程,即把圆通过切拼转化为近似的长方形,这种
转化思想的范型来自于平行四边形面积公式的推导.
但当全面回顾了长方形,平行四边形和三角形的面积
公式的推导之后发现,要把曲线图形圆转化为直线图
形是一件不可能完成的操作.
成书于汉代的《九章算术》第一章方田章,主要的
内容是讲述各种面积的计算.其中第32题就是求圆
田面积:
有圆田,周一百八十一步,径六十步三分步之一,
问为田几何?
答日:十一亩九十步十二分步之一
术日:半周半径相乘得积步.
《九章算术》中总结的求圆田面积公式与我们现在
的公式如出一辙,只不过这里的圆周率运用的是它的近似值3.随着圆周率的精确度的提高,应用这个公
式所计算的面积的精确度也随之提高.
这个公式是如何推导的呢?《九章算术》中没有说明.成书年代更早的一本古代天文算书《周髀算经》中有这样一段话:”圆出于方,……”.”圆出于方”这一个
命题给了我们一个新的推导思路.(见图1)
圊
正二十四边形
圆
出一
正十二边形
于
方
正六边形
正方形
贼卿
.
s=号xh
s=皂×h
S=‘
图1
图1中很清晰地表达了规律,从正方形到圆的所
一
5O一
霎
有正多边形的面积计算公式都可以归纳为”半周乘高”.我们猜测《九章算术》中的”半周半径相乘得积步”,可能就是通过这样一种类比的思路得到的.我们
以此为基本思路,展开了圆面积公式的推导.
1.回顾总结推导面积计算公式的方法.
回顾长方形,平行四边形和三角形这三种典型的
直线平面图形的推导过程,总结出用数方格和切拼转化成已知面积公式的图形这两种方法.
2.用单位面积估测圆面积.
教师在两个圆上分别贴一个方格图(如图2),请
学生估计出大致值.
./,f’
IJ
‘\/
图2
用打方格来求圆的面积是一种最原始的方法,在
古埃及的《莱因得纸草书》中就有具体的介绍.它可以比较精确地估计出圆的面积.用数方格的方法估计出
圆的面积,这一个思考过程,既是对原来方法的应用, 也为圆不可能直接转化成直线图形提供了形象的比照,为进一步思考如何求圆的面积指明了方向:化曲为直.
3.体验”圆出于方”.
教师首先用课件演示,发现圆形喷水池的轮廓并
不圆这一现象:
图3
这时,教师用课件从下往上分别演示,其中当演
示到正二十四边形,已经是一个近似的圆了,这时教师把正二十四边形放大,让学生观察到,原来它确实是一个多边形.最后总结:”圆出于方”.
“圆出于方”是古人对圆与正多形关系的一个认
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识,也是对圆进行无限分割的前提.通过本教学环节, 让学生感受到”圆出于方”的变化过程.对推导圆面积公式做足类比与推理的准备.
图4
4.推导圆面积计算公式.
从正方形开始逐步推导出求正多边形的通用公
式,再用无限类比法推导出圆面积公式.既体现了数学的传承现象,也体现了数学创新的过程.下面是具
体的教学实录:
(1)求正方形的面积,要知道什么?
生:正方形的边长.
教师用课件出示公式,并在课件中把正方形按对
角线分成四等分(四个直角三角形).师问:如果已知一
个三角形的面积能够求吗?
生:可以,一个三角形的面积乘4.
教师继续演示:把四个三角形分成两个部分,再拼成一个平行四边形.接着追问:现在你想知道什么就可以求这个正方形的面积.
生:底和高
师追问:底和高分别是原来正方形中的什么?
生:两条边的和与其中一个三角形的高.
师追问:两条边的和刚好是原来周长的多少?
生:原来正方形周长的一半.(可能学生这里不能
想到,那么就由教师直接讲解)
教师在图中演示,并总结得:s=詈×h.
对上述教学过程,用课件形成图5.
正方形
S=
图5
师:如果要你选择求正方形的面积,你喜欢原来的
面积公式,还是现在的?
生:原来的.因为现在的太繁了.
师:是的,如果就是为了求正方形的面积,当然是
原来的公式简便,但是用原来的公式不能推导出求其它几个图形的面积计算公式,但这一个公式却可以,你信不信?让我们再往下看.
【意图:我们充分考虑了学生的认知心理,对于原
来的公式与现在的公式,当然是原来的公式更简捷了. 但是数学学习的过程中,为了求出更为一般化的通用公式,往往要改变视角来考虑问题.这是一个很典型
的例子.因此,我们没有很生硬地进行说教,而是让学生通过比较,首先认同原来的公式的优点,然后教师指出推导现在公式的作用,为进一步学习提供了知识的基础和心理的准备】
(2)推导求正六边形的面积计算公式.
师:能求正六边形的面积吗?
生:分一分.
师把正六边形分成六个同样大小的三角形,然后
用课件演示.
师:正六边形变成了什么?
生:平行四边形.
师:要求正六边形的面积,需要知道什么?怎样
求?
生:正六边形的边长和三角形的高.边长乘3再
乘商.
生:也就是s={×h.
这时屏幕上演示成图6.
正六边形
正方形
s=导
图6
(以上步骤视班级情况,如果班级学习能力较强
的,可让学生先独立思考,小组交流后再汇报)
【意图:通过这个环节的教学,让学生体会到求正
方形面积时第二个公式的威力.为后面的学习迁移打好了基础】
(3)迁移得求正十二边形的面积计算公式.
教师指着正十二边形问:那么这个正十二边形的
面积可以怎么求?
生:正十二边形的周长的一半乘一个三角形的高.
教师直接用课件演示并进行验证.
一
5l一
中小学数学?小学版2011年第6期
这时演示成图7.
正十二边形
正六边形
正方形
S=
s=争
图7
(这一步骤也可以由学生先交流,再反馈)
【意图:推导求正十二边形与正二十四边形的面积
公式,教师均让学生先说出公式,然后通过演示切拼的过程来进行验证.这样做既让学生感受到类比思想的威力,也为实现对圆面积公式的推导提供了想象的空间】
(4)迁移得求正二十四边形的面积计算公式.
教学同正十二边形.
(5)类比得圆面积计算公式.
,1
生:也可以是s=×h.二
师追问:为什么?
学生说可以把它切成许多小三角形,再拼成一个
平行四边形.
教师根据学生的回答演示最后得到图1.
(6)推导出圆的面积计算公式.
观察了前述图形,可能会有学生自觉地发现:圆如
果再继续分,就可以变成一个长方形.如果没有学生说,可以引导学生观察.
【意图:如果有学生自觉发现,那么这位学生的观
察能力十分强,在教师没有引导的情况下,通过图形观察,发现了这一变化规律,十分了得.但这并不能代表绝大部分学生的认知水平,因此,还是要继续引导学生观察与想象,为得出圆面积计算公式做足准备,让计算公式呼之欲出l
引导学生观察转化成平行四边形之后的变化情
况.师:请仔细观察,从正方形转化成的平行四边形到用圆转化成的平行四边形相比,有什么变化规律? 生:越来越接近长方形了.
这时教师回到开头的回顾部分,又把学生带到了
推导公式初的时候,并问:你现在知道把圆怎样转化成我们已知的图形了吗?
一
52一
s=曲
[=]+田
s=
二碉
s一出
一
教师根据
9.
o
图8
学生的回答把圆的变化情况演示如图
图9
师:如果看成长方形,那么这里的高与圆的什么相
等?
生:与半径相等
师:那么圆的公式可以变成……
生:=等×r.教师板书:S:×,
学生齐读一遍后问,教师拿出《中国数学史大系》(《九章算术》卷)翻到事先夹着的第466页,读其中的一
段话:”圆田术:半周乘半径.”在公式后面板书:半周
乘半径.并接着说:这是我们的祖先总结出的一个求
圆面积的公式.作为现代的你,对这个公式还想进行
怎样的改进?(如果学生前面已经有了S:7rr,则问
你能知道这两个公式的联系吗?
【意图:教师用古人在算术书的记载来总结前面推
导的成果,既体现了数学的传承现象,也为后面推导圆面积公式打下了基础】
学生边回答教师边写出推导过程:
s=C×r=×r:盯2
.
请学生再读一遍整个过程,然后再请学生读一遍,
要求只读可以成公式的部分.
正如弗赖登塔尔曾经指出的:”没有任何一种数学
思想,是以它被发现时的那个样子公开发表的.一个问题被解决后,相应发展成为一种形式化的技巧,结果就将真实的求解过程丢在一边,使得火热的发明变成了冰冷的美丽.”如何让这一种”冰冷”的美丽在我们的课堂上转变成”火热”的发明,需要我们数学教师”思接千年”,通过数学史料的学习,更好地理解数学本质,丰厚数学知识,寻找数学知识的现实源头与逻辑源头,引导学生在数学的具体源头和抽象形式之间来回穿行, 领悟其间的数学思想方法.
圆的面积公式03
《圆的面积》教学设计 正定回民小学吴彦霞 教材分析： 本课是学生学习了其它平面图形的面积后教学的，是小学平面几何的最后阶段，教材通过直观的组合图形面积的计算，让学生操作、观察、比较推导出圆的面积计算公式来解决生活中的实际问题。 学情分析： 学生已经掌握长方形、正方形、三角形、梯形的面积计算公式，并有了将一个图形转化成另一个面积相等的图形的转化思想，在此基础上将圆转化成长方形学生是乐于接受的。 教学目标： 知识与技能: 让学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动的过程，探索并掌握圆的面积计算公式，能正确计算圆的面积，并能应用公式解决相关的简单实际问题，构建数学模型。 过程与方法： 让学生进一步体会“转化”的数学思想方法，感情极限思想的价值，培养运用已有知识解决新问题的能力，增强空间观念，发展数学思维。 情感态度价值观： 让学生进一步体验数学与生活的联系，感受用数学的方式解决实际问题的过程，提高学习数学的兴趣。 教学重点：让学生经历圆面积公式的推导过程，理解和掌握圆面积的计算
公式。 教学难点：“化圆为方”的转化方法和极限思想的感受。 教学准备：平均分成16份的学具、课件。 教学策略： 1、本课是在学生掌握了面积的含义及长方形、正方形等平面图形面积的计算方法，认识了圆，会计算圆的周长的基础上进行教学的，教学时要注意遵循学生的认识规律，重视学生获取知识的思维过程，重视从学生的生活经验和已有的知识出发。 2、教学本课时，重点引导学生参与知识形成的过程，从而培养学生的创新意识、实践能力，并发展学生的空间观念提出将圆割拼成已学过的图形，组织学生动手操作，让学生主动。 教学过程： 一、复习导入，激发探索欲望 1.复习圆的周长计算方方法，圆周长的一半计算方法。 2.复习圆的面积，学生自己总结圆的面积是什么？ 3.复习已学的平面图形的计算方法。 4.我们先来回忆一下平行四边形的面积计算公式是怎样推导出来？ 我们遇到没学过的图形可以转化成学过的图形来计算,那能否把圆也转化成学过的图形来计算呢？ 【设计意图:复习铺垫，让学生能很快联系所学过的知识，很快就能进入新课的学习。】 二、新课探究
推导圆的面积公式
推导圆的面积公式 教学目标 1.学生通过观察、操作、分析和讨论，找出拼前圆形和拼后图形各部分之间的联系，从而推导出圆的面积公式。能够利用公式进行简单的面积计算。 2.渗透转化思想，初步了解极限思想。培养学生的观察能力和动手操作能力。 3.培养学生集体观念。利用小组合作学习，使学生养成互相合作、互相帮助的好品质。 教学重点和难点 1.学生通过自己的观察、操作，找出拼前圆的各部分与拼后图形各部分之间的联系。 2.用不同的方法推导出圆的面积公式。 教学用具 每组两个同样大的等分成16份的圆。 教学过程设计 （一）复习引课 1.投影一个圆，引出课题。 问：（1）你都知道圆的哪些知识？ （2）已知直径怎样求圆的周长？ 板书：C=πd （3）已知半径怎样求圆的周长？ （4）已知半径怎样求圆周长的一半？ （5）你还想学习圆的什么知识？ 师：这节课我们就来满足你们的愿望。一起研究圆的面积。（投影复合出圆的面积。） 板书：圆的面积 2.质疑引趣。 师：老师家里想买一个茶叶筒。老师看上两种不同的样式（拿出实物），一个是正方形形状的，一个是圆柱体形状的。可老师家桌面很小，想买一个占桌面面积小的，我应该选哪一个
呢？谁能帮老师拿个主意？为什么你们都没有确切的把握？这个问题与什么知识有关？上完这节课后，看谁能帮老师解决实际问题。 3.复习旧知。 问：（1）以前我们学过哪几种平面图形的面积？ （2）想一想，我们用什么方法推导出平行四边形面积公式的？（投影过程） 质疑：圆的面积公式能不能也用分割拼摆的方法把圆转化成学过的图形推导出来呢？ 问：（1）圆与我们以前学过的平面图形有什么不同？ （2）如何能把曲线转化成近似的线段呢？这就是我们首先要研究的问题。 （二）新授教学 问：圆的大小与谁有关？ 师：沿半径把圆平均分成若干份，剪开拉直，你会发现什么？ 投影：把3个等圆分别平均分成4份、8份、16份。拉开，看曲线的变化。 问：继续分，32份、64份，你发现了什么规律？ 生：平均分的份数越多，曲线越趋近于直的线段。 师：这个问题解决了，我们试着把圆分割、拼摆，转化成以前学过的什么图形？ 2.学生剪拼。 问：把圆平均分成若干份，沿着圆的什么分？为什么这么分？ （1）每组有两个等分成16份的圆，只剪一个圆。组长先剪成4份，每人再剪，看哪组快。师：每人拿起其中一份。圆的周长是C，这个近似三角形的底是多少？
圆的面积计算公式的推导(吴琼)
九年义务教育第十一册第94页 圆的面积计算公式的推导 江油市世纪奥桥小学吴琼 设计意图： 拓展学生的思路，培养学生的创新能力，多角度来推导圆的面积计算公式。教学目标： （一）知识与技能 1．知道圆面积的含义。 2．理解和掌握圆面积的计算公式。 （二）过程与方法 1. 通过公式推导培养操作、观察、比较、分析、判断、推理、归纳概括能力，发展空间观念。 2．培养学生迁移类推能力。 （三）情感态度价值观 1.通过对圆面积公式的推导，认识到事物在一定条件下可以互相转化，渗透转化和极限的思想和方法。 2.运用转化思考方法解决实际问题， 探究过程： 1．回忆学过的图形面积公式的推导过程。 2．推导圆面积的计算公式。 （1）教师指导转化。
将已分成16等份的圆用剪刀把每一份剪开，用这些近似等腰三角形的小纸片依次横着拼起来，并用固体胶粘在纸上，看能拼成什么图形？ （2）学生动手操作。 按照老师的示范，请同学们动手剪拼一下，看到底能拼成什么图形。（学生动手操作。） 谁能向大家汇报一下，你把圆拼成了一个什么图形？（生答：拼成了一个近似的平行四边形。请把你拼好的图形放在实物投影上展示给大家看。） （3）课件演示过程。 把圆分成16等份，这些小纸片可以拼成一个近似的平行四边形；把圆分成32等份，可以拼成一个近似的长方形；如果分的份数越多，每一份就会越细，拼成的图形就会越接近于长方形。） （4）推导面积公式。 拼成的长方形与圆有什么联系？同位讨论。 学生汇报讨论结果。生答师继续演示课件。 生：拼成的长方形的面积与圆的面积相等。 师：这个长方形的长和宽与圆的周长和半径有什么关系？ 生：长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于半径。 因为长方形的面积＝长×宽 所以圆的面积＝周长的一半×半径 S＝πr×r S＝πr2 [设计意图：动手操作是学生学习数学的重要方式，让学生经历公式的推导过程，
圆的面积公式推导教案
圆的面积公式推导教案 教学目标; 1、通过操作，使学生理解圆的面积公式推导过程，掌握圆的面积的方法并能正确计算。 2、激发学生参与整个课堂教学活动的学习兴趣，培养学生的分析、观察和概括能力，发展学生的空间观念。 3、渗透转化的数学思想和极限思想 教学重点： 1、理解圆的面积公式的推导过程。 2、掌握圆的面积的计算公式，能够正确地计算圆的面积。 教学难点：理解圆的面积公式的推导过程。 教具准备：多媒体课件，圆片，剪刀。学具准备：分成十六等分的圆硬片，剪教学过程： 一、故事导入 【设计意图】引起学生学习兴趣，同时也让学生明白这个故事与所要学习的内容有联系。【出示课件1、2】 二、出示学习目标【出示课件3】 【设计意图】让学生清楚学习的重点，难点是什么？也提醒老师要有的放矢。 三、学习新知 （一）、定义： 1、摸一摸哪里是圆的面积？圆所占平面的大小就是圆的面积。【出示课件4】（二）、小组交流【出示课件5】 圆与以前我们研究的平面图形有什么不同？ 不同之处：圆是由一条封闭曲线围成的平面图形，而以前学过的平面图形都是由几条线段围成的封闭图形。 如何化曲为直呢，推导出它的面积公式呢？ （三）复习旧知，渗透极限思想【出示课件6】
1、还记得这些平面图形的面积计算公式吗？ 2、平行四边形的面积公式推导过程还记得吗？（我们是通过剪拼的方法把它转化成长方形的。）【出示课件7、8】 小结：把圆转化成哪一个我们学过的平面图形，从而得到它的面积公式。（四）小组合作学习【出示课件9、10、11、12、13、14】 （1)老师引导学生将圆化曲为直，先将圆沿直径剪开，然后沿半径再把圆平均分成偶等份。然后把剪成多份并用拼的方法将其转化成学过的规则图形。 (2)请学生观察四组图。随着份数的不断增加，有何发现？【出示课件15】 （3）转化后的图形面积与圆的面积有什么关系？【出示课件16】 （4）长方形各部分相当于圆的什么？【出示课件17】 (5）试着推导出圆的面积公式。【出示课件18】 （五）风采展示 1、学生汇报推导过程。 2、学生齐读圆面积公式。并说一说圆的面积大小与什么有关系？ 【设计意图】这两个环节是在教师的引导和启发中，每个学生都动口，动手，动脑，培养学生学习的主动性和积极性。 （六）当堂测试与应用 1、做课件图示，求半径为2分米的圆的面积【出示课件19】 2、做课前出示的圆形花坛的面积。【出示课件20】 3、根据下面所给的条件，求圆的面积。【出示课件21】 （1）、半径2分米 （2）、直径10厘米 4、一个雷达屏幕的直径是40厘米，它的面积是多少平方厘米？ 5、判断对错： （1）圆的半径越大，圆所占的面积也越大。（） （2）圆的半径扩大3倍，它的面积扩大6倍。（） 【设计意图】在当堂测试与应用中设计了基本练习与综合练习。基本练习主要是加强学生对圆面积的认识，并能计算圆的面积。综合练习是培养学生的综合应用
圆面积公式的各种证明方法刘晓丽李小龙
圆面积公式的各种证明方法刘晓丽李小龙 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
圆面积公式的各种证明方法证明方法1：转化（小学段） （1）拼成平行四边形，4份，8份，16份。 （2）拼成长方形。 近似长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。 长方形的面积 = 长×宽 圆的面积 = πr × r 所以，圆的面积公式是：S =πr2 （3）拼成两层平行四边形（两层） 近似平行四边形的面积 = 底×高 圆的面积 = 1 2 C × 2r = 1 2πr × 2r 所以，圆的面积公式是： S =πr2（4）用三角形（小）拼 三角形的面积 = 1 2×底×高 圆的面积 = 1 2×（ 1 16× C ）× r ×16 所以，圆的面积公式是：S =πr2（5）拼成梯形 梯形的面积 = 1 2（上底+下底）×高 圆的面积 = 1 2×（ 5 16 + 3 16）× C × 2r 所以，圆的面积公式是：S =πr2
拼成三角形（大） （6）三角形的面积 = 1 2底×高 圆的面积 = 1 2×（ 1 4× C ）× 4r 所以，圆的面积公式是：S =πr2 证明方法2： 半径为r的圆的圆周长为2πr 1.先将圆周等分成n份:每份长为2πr/n. 2.连接每个分点与圆心,并且连接各个分点,组成三角形. 3.那么,根据三角形面积公式,该圆的面积近似等于:(n-1)·r·(2πr)/n/2.(因为在n充分大时,各个三角形的高近似等于r,并且有n-1个三角形,所以有该公式) 取极限:l im (n→+∞)(n-1)·r·(2πr)/n/2,因为lim(n→+∞)(n-1)/n=1 所以lim (n→+∞)(n-1)·r·(2πr)/n/2=πr^2 证明方法3：极限法（高中段: 以圆的正n边形表示圆的面积: 设圆的半径为r,内接一个正n边形,它的任意一边所对的圆心角为2π/n,先算出其中一个三角形的面积(用两边夹角的公式S=(1/2)a*b*sinC),然后得到这个正n六边形的面积: Sn=(n/2)r2sin(2π/n) 当n无限增大时,内接正n边形的形状无限接近于圆,它的面积也无限接近圆的面积.求这个极限要用一高等数学中一个重要的极限公式(函数的极限): 当x→0时,lim[(sinx)/x]=1 [题外话:这个极限的几何意义是,当x无限减小时,y=sinx的图象与直线y=x是重合的,在这种情况下,我们可以用x的值来代替sinx,以在某些领域做近似计算]
圆面积公式的三种推导方法
圆面积公式的三种推导方法 圆是个封闭的曲线图形，用面积单位度量求面积是行不通的，要么用初等数学中的剪拼的方法把圆转化为学过的简单图形计算面积，要么用高等数学定积分的方法求解。笔者就初等方法谈几点粗浅的认识，对于提高数学思维能力不无裨益。下面就将圆分别剪拼成三角形、平行四边形（长方形）、梯形来计算面积的方法作具体详细的分析。 在剪拼的过程中，图形的大小没有发生变化，只是形状改变了。圆的面积等于拼成的近似图形的面积。 一、将圆剪拼成三角形的方法 把圆平均分成四份，得到四个小扇形，再把小扇形如下图拼成一个近似三角 形。若圆的半径为r ，近似三角形的底可以看作两个扇形的弧长之和r π24 2?，高可以看作是两个半径r 2，则近似三角形的面积为22)24 2(21r r r S ππ=???=，即圆的面积为2r π。 把圆平均分的份数越多，拼成的图形就越近似于三角形。要拼成三角形，分的份数只能是2n （22≥n 的整数）份，将圆2n 等份后，拼成的三角形叠了n 层扇形，最后一层有12-n 个扇形 ，其中扇形的顶点向上的是n 个扇形，向下的是 1-n 个扇形，故近似三角形的底为n r n r n ππ222=?，高为nr ，则近似三角形的面积为2221r nr n r S ππ=??=，即圆的面积为 2r π= S 。下面是把圆9等份的剪拼图示，
二、将圆剪拼成平行四边形的方法 把圆平均分成四份，得到四个小扇形，再把小扇形如图拼成一个近似平行四边形。同样，圆的半径为r ，近似平行四边形的底可以看作2个扇形并成的为r π24 2?，高可以看作是小扇形的半径r ，则近似平行四边形的面积为222r r r S ππ=??=，即圆的面积为2r π= S 。 同样的把圆平均分的份数越多，拼出来的图形越接近平行四边形，当分的份 数无限大时，拼出的图形也可以看作是长方形。要拼成平行四边形，分的份数只能是n 2（2≥n 的自然数）份，将圆n 2等份后，拼成的平行四边形（叠了一层） 的底为n r n 22π?，高为半径r ，则平行四边形的面积为222r r n r n S ππ=??=，即圆的面积2r π= S 。 同样可以考虑叠2层，3层等。下面是把圆8等份后，由两层扇形拼成平行四边形的图示；
圆的面积公式探索
数学有形思想无痕 ——圆的面积公式的探索 董文华 一、在折剪中悟“极限” 师：在前几节课的学习中，我们知道了圆是最美丽的平面图形。现在我们举行一个“小巧手”比赛，每小组都备有纸和剪刀，想办法剪一个圆，比一比谁剪的最漂亮（小组活动后交流） 小组1：（举起两个纸片）我们小组先是随意剪，怎么也剪不圆。对折一次再剪，剪了半圈，这次剪得好多了，但是仍不太圆。 小组2：我们小组把纸对折了两次，剪了圆弧的四分之一，剪起来比较接近圆。 小组3：（举着剪好的像花瓣一样的纸片）我们小组遇到了麻烦，把纸对折三次，剪了一刀展开后像一朵花一样。 师：其他小组有没有这种情况 小组4：我们小组刚开始也出现了这些问题，试了几次后发现了窍门，纸片折好后应该尽量剪直线，这样才能避免剪出花瓣形状。 师：这个发现很重要，大家可以再尝试着剪一剪。 （学生再次尝试，不断发出惊喜的声音。每个小组纷纷把最得意的作品展示在黑板上。）
师：想一想，圆是个曲线图形，为什么要“直着剪”展开后才会更圆 学生1：受刘徽的“割圆术”的启示，正多边形最接近圆，“直着剪”其实就是剪了一个圆内的正多边形。 学生2：剪的时候，要尽量的多对折，剪出的边越多越接近圆。 师：认真观察黑板上我们的作品，你有什么发现 学生1：我们刚才剪“圆”时，对折时留下了许多折痕，其实就是圆的半径，和圆弧围成了许多近似的小三角形，折的次数越多的作品越接近三角形。 学生2：圆其实可以看成是由一些近似的等腰三角形组成的。 二、在探究中巧“转化” 师：如何求圆的面积能不能像推导三角形、平行四边形的面积公式那样推导出圆的面积计算公式 （小组活动后交流） 小组1：我们把圆对折三次平均分成8个小三角形，三角 形的底是圆周长的1 8，三角形的高也就是圆的半径r，推出 圆的面积公式：1 8×2∏r×r÷2×8＝∏r2； 小组2：折的次数越多分的份数就越多，我们可以这样想
【原创】圆的面积公式证明
圆的面积公式的证明 山东省莱芜市陈毅中学初四八班郑康杰作 设f(x)= r 2?x 2(r>0) 证明之前，我们需要明确f(x)= r 2?x 2(r>0)的图形一定是一个半径为r 半圆，为什么是个半圆？这么基础的问题你们就自己考虑吧。 我们只需要证明| f x dx|=πr 22r ?r 即可（为什么积分的上下限分别为r 和-r ，想想这个函数与x 轴的两个交点的 坐标），我们想要计算定积分 f x dx r ?r ，就必须要计算出F(x),使得 F ’(x)=f(x),怎么计算呢？用不定积分去计算即可，计算过程： 设x=rsint f x dx = r 2?x 2dx = r 2? rsint 2d(rsint)= r 1? sint 2d(rsint) = rcost d rsint = r ?cost ?rcost dt = r 2? cost 2dt =r 2? cost 2dt =r 2? 1+cos 2t dt =r 2? 1+cos2t dt =r 2? 1 dt + cos2t dt =r 2? t +sin 2t =r 2t +r 2?sin 2t （为了计算简便，我省去了常数C ） ∵x=rsint ∴sint=x r ∴t=arcsin(x r ) 将t=arcsin(x r )代入r 2t 2+r 2?sin 2t 4得， ∴F x =r 2arcsin(x r )2+r 2 ?sin2?arcsin(x r )4 接下来，再用微积分基本定理计算 f x dx r ?r 即可。 f x dx r ?r =F r ?F ?r = r 2arcsin r r 2+r 2?sin 2?arcsin r r 4 ? r 2arcsin ?r r 2+r 2?sin 2?arcsin ?r r 4