考点规范练52 直线与圆锥曲线
考点规范练52 直线与圆锥曲线
考点规范练B 册第37页
基础巩固
1.双曲线x 2a 2?y 2
b 2=1的一条渐近线与抛物线y=x 2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( ) A .5
4 B.
5 C .
√54
D .√5
答案:D
解析:不妨设x 2a ?y 2
b =1的渐近线y=b
a x 与y=x 2+1只有一个交点,由{y =b
a x ,y =x 2
+1,
得ax 2-bx+a=0,
所以Δ=b 2
-4a 2
=0,即c 2
-a 2
-4a 2
=0,c 2
a 2=5,e=c
a =√5.故选D .
2.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是抛物线y=2x 2上的两点,直线l 是AB 的垂直平分线.当直线l 的斜率为1
2时,直线l 在y 轴上的截距的取值范围是( ) A .(34,+∞) B .[3
4,+∞)
C.(2,+∞)
D.(-∞,-1)
答案:A
解析:设直线l 在y 轴上的截距为b ,则直线l 的方程为y=1
2x+b ,过点A ,B 的直线可设为y=-2x+m ,联立方程{y =2x 2,y =-2x +m 得2x 2+2x-m=0,从而有x 1+x 2=-1,Δ=4+8m>0,m>-1
2.
又AB 的中点(-1
2,m +1)在直线l 上,即m+1=-1
4+b ,得m=b-5
4,将m=b-5
4代入4+8m>0,得b>3
4,所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围是(3
4,+∞).
3.过双曲线x 2
a 2?y 2
b 2=1(a>0,b>0)的右焦点F (1,0)作x 轴的垂线与双曲线交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若△AOB 的面积为8
3,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y=±3
2x B.y=±2√2x C.y=±2√3x D.y=±2x
答案:B
解析:由题意得|AB|=
2b 2a
,
∵S △AOB =8
3,∴1
2×2b 2a
×1=8
3,
∴
b 2a
=8
3.①
∵a 2+b 2=1,② 解①②得a=1
3,b=
2√2
3
, ∴双曲线的渐近线方程为y=±b
a x=±2√2x.故选B .
4.斜率为1的直线l 与椭圆x 2
4+y 2=1相交于A ,B 两点,则|AB|的最大值为( ) A.2 B .
4√5
5
C .
4√10
5
D .
8√10
5
答案:C
解析:设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),直线l 的方程为y=x+t ,由{x 2+4y 2=4,
y =x +t 消
去y ,
得5x 2+8tx+4(t 2-1)=0. 则x 1+x 2=-8
5t ,x 1x 2=
4(t 2-1)5
.
所以|AB|=√1+k 2|x 1-x 2| =√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2
=√2·√(-85t)2
-4×4(t 2
-1)
5
=
4√25
·√5-t 2当t=0时,|AB|max =
4√10
5
. 5.已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A ,B 两点,直线l 2与C 交于D ,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 答案:A
解析:方法一:由题意,易知直线l 1,l 2斜率不存在时,不合题意. 设直线l 1方程为y=k 1(x-1), 联立抛物线方程,得{y 2=4x ,
y =k 1(x -1),
消去y ,得k 12x 2-2k 12x-4x+k 12
=0,
所以x 1+x 2=
2k 12+4k 1
2.
同理,直线l 2与抛物线的交点满足x 3+x 4=
2k 22+4k 2
2.
由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x 1+x 2+x 3+x 4+2p=
2k 12+4k 1
2+
2k 22+4k 2
2+4=4
k 1
2+
4
k 2
2+8≥2√16
k 12k 2
2+8=16,
当且仅当k 1=-k 2=1(或-1)时,取得等号.
方法二:如图所示,由题意可得F (1,0),设AB 倾斜角为θ(不妨令θ∈(0,π
2)).
作AK 1垂直准线,AK 2垂直x 轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得{|AF |·cosθ+|GF |=|AK 1|,|AK 1|=|AF |,|GF |=2,
所以|AF|·cos θ+2=|AF|,即|AF|=2
1-cosθ. 同理可得|BF|=21+cosθ,所以|AB|=41-cos θ=4
sin θ. 又DE 与AB 垂直,即DE 的倾斜角为π
2+θ,则|DE|=4
sin 2(π
2
+θ)
=4
cos 2θ,
所以|AB|+|DE|=4sin 2θ+4cos 2θ=4sin 2θcos 2θ=4
1
4
sin 22θ
=16
sin 22θ≥16,当θ=π
4时取等号,即
|AB|+|DE|最小值为16,故选A .
6.在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线x 2-y 2=1右支上的一个动点.若点P 到直线x-y+1=0的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为 . 答案:√2
2
解析:直线x-y+1=0与双曲线的渐近线y=x 平行,且两平行线间的距离为√2
2.
由图形知,双曲线右支上的动点P 到直线x-y+1=0的距离的最小值无限趋近于√2
2,要使距离d 大于c 恒成立,只需c ≤
√2
2
即可,故c 的最大值为√2
2.
7.已知椭圆C :x 2
a 2+y 2
b 2=1(a>b>0)的左焦点F (-2,0),上顶点B (0,2).
(1)求椭圆C 的方程;
(2)若直线y=x+m 与椭圆C 交于不同的两点M ,N ,且线段MN 的中点G 在圆x 2+y 2=1上,求m 的值.
解:(1)由题意可得,c=2,b=2,
由a 2=b 2+c 2得a 2=22+22=8,所以a=2√2. 故椭圆C 的方程为x 2
8+
y 24
=1.
(2)设点M ,N 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),线段MN 的中点G (x 0,y 0), 由{y =x +m ,x 28+y 24=1消去y 得3x 2+4mx+2m 2-8=0,
则Δ=96-8m 2>0,所以-2√3 x 1+x 22 =- 2m 3 ,y 0=x 0+m=m 3, 因为点G (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上, 所以(-2 3m)2 +(1 3m)2 =1.解得m=± 3√5 5 . 8.在平面直角坐标系xOy 中,直线l :y=t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C :y 2=2px (p>0)于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连接ON 并延长交C 于点H. (1)求|OH | |ON |; (2)除H 以外,直线MH 与C 是否有其他公共点?说明理由. 解:(1)由已知得M (0,t ),P (t 2 2p ,t). 又N 为M 关于点P 的对称点, 故N (t 2 p ,t),ON 的方程为y=p t x ,代入y 2 =2px 整理得px 2 -2t 2 x=0,解得x 1=0,x 2= 2t 2p . 因此H ( 2t 2p ,2t).所以N 为OH 的中点,即|OH | |ON |=2. (2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点. 理由如下: 直线MH 的方程为y-t=p 2t x ,即x=2t p (y-t ). 代入y 2=2px 得y 2-4ty+4t 2=0,解得y 1=y 2=2t ,即直线MH 与C 只有一个公共点, 所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点. 能力提升 9.(2019广东六校第一次联考)抛物线y=2x 2上有一动弦AB ,中点为M ,且弦AB 的长为3,则点M 的纵坐标的最小值为( ) A .11 8 B .5 4 C .3 2 D.1 答案:A 解析:由题意设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),直线AB 的方程为y=kx+b. 由题意知y 0≥b>0.联立得{y =kx +b ,y =2x 2, 整理得2x 2-kx-b=0,Δ=k 2 +8b>0,x 1+x 2=k 2,x 1x 2 =-b 2,则|AB|=√1+ k 2 ·√k 2 4+2b ,点M 的纵坐标y 0= y 1+y 22 = x 1 2 + x 2 2= k 24 +b.因为弦AB 的长为 3,所以√1+ k 2√k 2 4 +2b =3, 即(1+k 2 )(k 2 4+2b)=9,故(1+4y 0-4b )(y 0+b )=9, 即(1+4y 0-4b )(4y 0+4b )=36.由基本不等式得,(1+4y 0-4b )+(4y 0+4b )≥2√00+4b )=12,当且仅当{b =1 8, y 0=118时取等号,即 1+8y 0≥12,y 0≥ 11 8 ,所以点M 的纵坐标的最小值为11 8.故选A . 10.已知双曲线C :x 2 3-y 2=1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ,N.若△OMN 为直角三角形,则|MN|=( ) A .3 2 B. 3 C.2√3 D.4 答案:B 解析:由条件知F (2,0),渐近线方程为y=±√3 3x , 所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°.不妨设∠OMN=90°, 则|MN|=√3|OM|. 又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos 30°=√3, 所以|MN|=3. 11.平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:x 2 a2?y2 b2 =1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为. 答案:3 2 解析:如图,双曲线的渐近线为y=±b a x. 由{y=b a x, x2=2py, 得A(2bp a ,2b2p a ). 由{y=-b a x, x2=2py, 得B(-2bp a ,2b2p a ). ∵F(0,p 2 )为△OAB的垂心,∴k AF·k OB=-1. 即2b2p a2 - p 2 2bp a-0 ·(-b a )=-1,解得b2 a2 =5 4 , ∴c2 a2=9 4 ,即可得e=3 2 . 12.在平面直角坐标系xOy中,曲线C:y=x 2 4 与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点. (1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程; (2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.解:(1)由题设可得M(2√a,a),N(-2√a,a)或M(-2√a,a),N(2√a,a). 又y'=x 2,故y=x 2 4 在x=2√a处的导数值为√a,C在点(2√a,a)处的切线方程为y-a=√a(x- 2√a),即√a x-y-a=0. y=x 2 4 在x=-2√a处的导数值为-√a,C在点(-2√a,a)处的切线方程为y-a=-√a(x+2√a),即√a x+y+a=0. 故所求切线方程为√a x-y-a=0和√a x+y+a=0. (2)存在符合题意的点,证明如下: 设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2. 将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0. 故x1+x2=4k,x1x2=-4a. 从而k1+k2=y1-b x1+y2-b x2 =2kx1x2+(a-b)(x1+x2) x1x2 =k(a+b) a . 当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意. 高考预测 13.已知椭圆E:x 2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,右焦点F的坐标为(√3,0),点 P坐标为(-2,2),且直线PA1⊥x轴,过点P作直线与椭圆E交于A,B两点(A,B在第一象限且点A在点B的上方),直线OP与AA2交于点Q,连接QA1. (1)求椭圆E的方程; (2)设直线QA1的斜率为k1,直线A1B的斜率为k2,问:k1k2的斜率乘积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由. 解:(1)由题意可知{a=2, c=√3, 所以b=1. 所以椭圆的方程为x 2 4 +y2=1. (2)是定值,定值为-1 4 . 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线AB过点P(-2,2), 设直线AB的方程为x=my-2m-2, 联立{x2+4y2=4, x=my-2m-2 ?(m2+4)y2-(4m2+4m)y+(4m2+8m)=0, 所以y1+y2=4m 2+4m m2+4,y1y2=4m 2+8m m2+4 . 因为点Q 在直线OP 上,所以可设Q (-t ,t ). 又Q 在直线AA 2上,所以t -t -2=y 1 x 1 -2 ?t=-2y 1 x 1+y 1-2 , 所以 k 1k 2=- 2y 1x 1+y 1-2 2y 1x 1+y 1-2 +2·y 2 x 2+2 =-y 1y 2 (x 2+2)(x 1+2y 1-2) =-y 1y 2 (my 2-2m )(m+2)(y 1-2) =-y 1y 2 (m +2m )[y 1y 2-2(y 1+y 2)+4] =-1 4. 直线与圆锥曲线位置关系 一、基础知识： （一）直线与椭圆位置关系 1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点） 2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定， 下面以直线y kx m =+和椭圆：()22 2210x y a b a b +=>>为例 （1）联立直线与椭圆方程：222222 y kx m b x a y a b =+??+=? （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：() 2 22 2 22b x a kx m a b ++=，整理可得： ()22 222222220a k b x a kxm a m a b +++-= （3）通过计算判别式?的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0?>?方程有两个不同实根?直线与椭圆相交 ② 0?=?方程有两个相同实根?直线与椭圆相切 ③ 0?>为例： （1）联立直线与双曲线方程：22 2 2 22 y kx m b x a y a b =+?? -=?，消元代入后可得： ()()2 2222222220b a k x a kxm a m a b ---+= （2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2 2 2 0a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为2 2 2 b a k -，有可能为零。所以要分情况进行讨论 专题 直线与圆、圆锥曲线 一、直线与方程 1、倾斜角与斜率：1 21 2tan x x y y k --= =α 2、直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y += ⑶两点式： 121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：1x y a b += ⑸一般式：0=++C By Ax 3、对于直线： 222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴???≠=?21 2 121//b b k k l l ； ⑵1l 和2l 相交12k k ?≠；⑶1l 和2l 重合???==?2 12 1b b k k ；⑷12121-=?⊥k k l l . 4、对于直线： 0:, 0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⑴???≠=?122 11 22121//C B C B B A B A l l ；⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠?； ⑶1l 和2l 重合?? ?==?1 2211 221C B C B B A B A ；⑷0212121=+?⊥B B A A l l . 5、两点间距离公式： ()()21221221y y x x P P -+-= 6、点到直线距离公式： 2 2 00B A C By Ax d +++= 7、两平行线间的距离公式： 1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2 2 21B A C C d +-= 二、圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()2 2 2 r b y a x =-+-其中圆心为(,)a b ，半径为r . ⑵一般方程：02 2=++++F Ey Dx y x . 其中圆心为(,)22 D E - - ，半径为r = 2、直线与圆的位置关系 直线0=++C By Ax 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: 专题三 直线、圆、圆锥曲线测试题 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知圆O 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0，过点M (3,0)的最短弦所在的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －y －3＝0 C ．2x －y －6＝0 D ．2x ＋y －6＝0 解析 x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0，即(x －4)2＋(y －1)2＝7， 圆心O (4,1)，设过点M (3,0)的直线为l ，则k OM ＝1， 故k l ＝－1，∴y ＝－1×(x －3)，即x ＋y －3＝0. 答案 A 2．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．2x ＋y －5＝0 解析 因为直线x －2y ＋3＝0的斜率是1 2，故所求直线的方程为y －3＝1 2(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0. 答案 A 3．曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( ) A.722 B.922 C.1122 D.91010 解析 曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的纵坐标为－1，故切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1×[x －(－1)]，整理得x ＋y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋1 2＝722. 答案 A 4．若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上相异两点P 、Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为( ) A ．1 B ．－1 C.12 D ．2 解析 曲线方程可化为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，由题设知直线过圆心，即k ×(－1)＋2×3－4＝0，∴k ＝2.故选D. 答案 D 5．直线ax －y ＋2a ＝0(a ≥0)与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．不确定 解析 圆x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3.由点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2得该圆圆心(0,0)到直线ax －y ＋2a ＝0的距离 d ＝ 2a a 2＋(－1)2 ＝ 2a a 2＋12 ，由基本不等式可以知道2a ≤ a 2＋12， 第12讲 圆与圆锥曲线综合 【教学目标】 知识与技能 （1）能解决圆与圆锥曲线综合出现等有关问题； （2）促进学生形成系统化、结构化的知识结构。 过程与方法 （1）综合运用方程思想、函数思想、数形结合、等价转换等方法解决相关问题； （2）通过教学过程中的分析和解题后的反思，培养学生自觉领悟，自觉分析的意识。 情感态度与价值观 （1）培养学生坚忍不拔、勇于探究的意志品质。 （2）通过课堂中和谐、民主的师生关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞，培养学生严谨的科学态度。 教学重点： 圆和圆锥曲线的综合问题 教学难点： 圆和圆锥曲线的综合问题 考点链接：能够对圆锥曲线的问题进行探究、分析 [典型例题] 例1 若已知曲线C 1方程为)0,0(18 2 2 ≥≥=-y x y x ，圆2C 的方程为（x-3）2+y 2=1，斜率 为k （k ＞0）直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与曲线C 1相交于点B ，3=AB ，则直线AB 的斜率为（ ） A ．1 B ． 21 C ．3 3 D ．3 例2 若椭圆的一个焦点与圆x 2+y 2-2x=0的圆心重合，且经过），（05，则椭圆的标准方程__________________． 例3 已知椭圆E ：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）过点P （3，1），其左、右焦点分别为F 1，F 2， 且621-=?F F ． （1）求椭圆E 的方程； （2）若M ，N 是直线x=5上的两个动点，且F 1M ⊥F 2N ，圆C 是以MN 为直径的圆，其面积为S ，求S 的最小值以及当S 取最小值时圆C 的方程． 直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v = 2、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 3、中点坐标公式：1212 ,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 4、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB = 或者AB = 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2(1)y k x y x =+??=?消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得 2 2 4 2 (21)4410k k k ?=--=-+> 即2 1 04 k << ② 由韦达定理，得：2122 21 ,k x x k -+=-121x x =。 则线段AB 的中点为22 211 (,)22k k k --。 直线与圆锥曲线 考情分析： 本节内容是高中数学的重要内容之一，也是历年高考尝试新题的板块，各种解题方法在这里表现得比较充分，尤其是在近几年高考的新课程卷中.平面向量与解几融合在一起，综合性很强，题目多变，解法灵活多样，能充分体现高考的选拔功能. 1、考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程、直线的位置关系，此类题大都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考. 2、二次曲线的基础知识，直线与二次曲线的普通方程、参数方程，以及普通方程与参数方程的互化，常以选择题、填空题的形式出现属于中档题. 3、有关直线与圆、直线与圆锥曲线的综合题，多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生几何知识与代数知识的综合应用，对学生分析问题、解决问题的能力要求较高. 二、考点整合 1、第一部分内容：直线的倾斜角、斜率，直线的方程，两条直线的位置关系；简单的线性规划及其实际应用；曲线和方程、圆的方程. 2、第二部分内容包括椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质，以及它们与直线的位置关系的判定，弦长的有关计算、证明等，本部分内容为高考命题的热点. 3、椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质. 4、椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线，它们的统一性如下： （1）从方程的形式看：在直角坐标系中，这几种曲线的方程都是二元二次方程，所以它们属于二次曲线； （2）从点的集合（或轨迹）的观点看：它们都是与定点和定直线距离的比是常数e 的集合（或轨迹），这个点是它们的焦点，定直线是它们的准线.只是由于离心率e 取值范围的不同，而分为椭圆（10< 专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线 1.(2020全国Ⅱ,理19)已知椭圆C 1: x 2a + y 2b =1(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合,C 1的中心 与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ,B 两点,交C 2于C ,D 两点,且|CD|=4 3|AB|. (1)求C 1的离心率; (2)设M 是C 1与C 2的公共点.若|MF|=5,求C 1与C 2的标准方程. 2. 已知圆O :x 2+y 2=4,点A (√3,0),以线段AB 为直径的圆内切于圆O ,记点B 的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程; (2)直线AB 交圆O 于C ,D 两点,当B 为CD 的中点时,求直线AB 的方程. 3.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为3 2的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP ????? =3PB ????? ,求|AB|. 4.(2020山东威海一模,20)已知椭圆x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(-1,3 2 )是椭圆上 一点,|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项. (1)求椭圆的标准方程; (2)若A为椭圆的右顶点,直线AP与y轴交于点H,过点H的另一条直线与椭圆交于M,N两点,且S△HMA =6S△PHN,求直线MN的方程. 5.(2020重庆名校联盟高三二诊,19)已知椭圆C:x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0),F1,F2为椭圆的左、右焦点,P(1,√2 2 ) 为椭圆上一点,且|PF1|=3√2 2 . (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线l:x=-2,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l、直线AB于M,N两点,当∠MAN最小时,求直线AB的方程. 圆锥曲线经典练习题及解答 大足二中 欧国绪 一、选择题 1. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的4 1 ，则该椭圆的离心率为 （A ）31 （B ）21（C ）32（D ）4 3 2. 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =k x （k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = （A ） 12 （B ）1 （C ）3 2 （D ）2 3.双曲线C:22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2C 的 焦距等于( ) A. 2 B. 4.已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2，离心率为3，过F 2的直线l 交C 与A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为( ) A. 22132x y += B. 22 13x y += C. 221128x y += D. 221124 x y += 5. 已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲 线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A.120522=- y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.125 310032 2=-y x 6.已知F 为抛物线2 y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ?=（其中O 为坐标原点），则ABO ?与AFO ?面积之和的最小值是（ ） A 、2 B 、3 C D 7.抛物线2 4 1x y = 的准线方程是（ ） (A) 1-=y (B) 2-=y (C) 1-=x (D) 2-=x 高考数学 直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =r r g 2、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 3、中点坐标公式：1212,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 4、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB = 或者AB = 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 解： 14m m ≤≠且。 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2 (1)y k x y x =+?? =?消y 整理，得2222 (21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得 2242(21)4410k k k ?=--=-+> 即2 1 04 k << ② 由韦达定理，得：212221 ,k x x k -+=-121x x =。 则线段AB 的中点为22211 (,)22k k k -- 。 线段的垂直平分线方程为：2 21112()22k y x k k k --=-- 《圆锥曲线与直线》学案（一） 学习目标：1．能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为方程组解的问题； 2．能够运用数形结合的方法，迅速判断某些直线与圆锥曲线的公共点个数. 问题导学： 1．回忆在直线和圆的位置关系中，怎样判断有几个公共点． ２．你能否用作图的方法粗略地探究直线与椭圆、双曲线有几种位置关系，分别有几个公共点， ３．怎样能准确地判断我们的探究结果是否正确？ ４．你能同样画出直线与双曲线的各种位置关系吗？分别有几个公共点？并试着举出实例证明自己的观点。 问题探究： 以上各种情况中的公共点能否说成是交点，为什么？ 课堂训练： 1．判断直线01=+-y x 与椭圆116252 2=+y x 、双曲线122=-y x 、抛物线x y 42=公共点的个数，并说出位置关系。 2．过点P(1,1)与双曲线11692 2=-y x 只有一个交点的直线共有几条？ <变式>：若将点P(1,1)改为 （1）A(3,4) （2）B(3,0) （3）C(4,0) （4）D(0,0). 3． 3.（04全国）设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 4．（04全国）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有 条 5．过点)2,0(M 与抛物线x y 82=只有一个公共点的直线的方程是 6．直线1-=kx y 与双曲线122=-y x 只有一个公共点，则k 的取值是 7．直线1+=kx y 与椭圆13 42 2=+y x 的交点个数是 ><变式：若直线1+=kx y 与椭圆1252 2=+m y x 恒有公共点，则m 的范围是 8．直线3-=x y 与曲线14 92=-x x y 的交点个数为 ><变式：若方程24x -=2+kx 恰好有两个实数根，则实数k 的取值范围是 9．已知双曲线以两条坐标轴为对称轴,且与x 2+y 2=17圆相交于A(4,-1),若圆在点A 的切线与双曲线的一条渐近线平行,求双曲线的方程． 10．已知抛物线)0(22>=p px y ，过动点)0,(a M ，且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点，p AB 2≤， （1） 求a 的取值范围。 （2） 若线段AB 的中垂线交x 轴于点N ，求三角形ABC 面积的最大值。 自主小结： 课时跟踪检测（五十五） 直线与圆锥曲线 1．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( ) A ．有且只有一条 B ．有且只有两条 C ．有且只有三条 D ．有且只有四条 解析：选B 设该抛物线焦点为F ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝x A ＋ p 2＋x B ＋p 2 ＝x A ＋x B ＋1＝3＞2p ＝2.所以符合条件的直线有且只有两条． 2．(2019·张掖高三诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为 10 3 ，则|AB |＝( ) A.133 B.143 C ．5 D.163 解析：选D 过抛物线的焦点的弦长公式为|AB |＝p ＋x 1＋x 2.∵p ＝2，∴|AB |＝2＋10 3＝ 163 . 3．(2018·聊城二模)已知直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－2x ＋5 C ．y ＝－x ＋3 D ．y ＝2x －3 解析：选D 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有? ???? y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②①－②得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， 由题可知x 1≠x 2.∴ y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝4 2 ＝2，即k AB ＝2，∴直线l 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.故选D. 4．(2019·厦门模拟)过双曲线C ：x 24－y 29＝1的左焦点作倾斜角为π 6的直线l ，则直线l 与 双曲线C 的交点情况是( ) A ．没有交点 B ．只有一个交点 C ．有两个交点且都在左支上 D ．有两个交点分别在左、右两支上 1．已知对任意k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,5) C ．[1,5)∪(5，＋∞) D ．[1,5) 2．(2020·青岛模拟)直线l ：x －2y －5＝0过双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( ) A.x 220－y 25 ＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24 ＝1 3．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A ．3 2 B ．2 3 C.303 D.32 6 4．(2019·兰州期末)设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA →·OB →等于( ) A.34 B. －34 C ．3 D ．－3 5．(2019·石家庄质检)双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为60°的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段F 1B ，则该双曲线的离心率是( ) A. 3 B ．2＋ 3 C ．2 D.2＋1 6．(2020·宜昌调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)上存在A ，B 两点恰好关于直线l ：x －y －1＝0对称，且直线AB 与直线l 的交点的横坐标为2，则椭圆C 的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.12 7．(多选)我们把离心率为e ＝5＋12的双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)称为黄金双曲线．给出以下几个说法中正确的是( ) A ．双曲线x 2－2y 2 5＋1＝1是黄金双曲线 B ．若b 2＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线 C ．若F 1，F 2为左右焦点，A 1，A 2为左右顶点，B 1(0，b )，B 2(0，－b )且∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线 D ．若MN 经过右焦点F 2且MN ⊥F 1F 2，∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线 8．(多选)已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，则下列四个命题中正确的是( ) A ．直线P B 1与PB 2的斜率之积为定值－a 2 b 2 B.PB 1→·PB 2→>0 C ．△PB 1B 2的外接圆半径的最大值为a 2＋b 2 2a D ．直线PB 1与QB 2的交点M 的轨迹为双曲线 9．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，若原点O 与线段MN 的中点P 连线的斜率为22，则m n 的值是____________． 直线与圆锥曲线题型总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 直线和圆锥曲线基本题型 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 :14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范 围 解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆 22 :14x y C m +=过动点04m ±≠（，且，如果直线:1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m +=始 终有交点，则 14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。 题型二：弦的垂直平分线问题 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+?? =?消y 整理，得 2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ?=--=-+> 即21 04 k << ② 由韦达定理，得：212221 ,k x x k -+=-121x x =。则线段 AB 的中点为 22 211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得021122 x k = -，则211( ,0)22 E k - 专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线 1.(2020全国Ⅱ,理 19)已知椭圆C 1:x 2 a 2 + y 2b 2=1(a>b>0)的右焦点 F 与抛物线C 2的焦点重合,C 1的中心 与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ,B 两点,交C 2于C ,D 两点,且|CD|=43 |AB|. (1)求C 1的离心率; (2)设M 是C 1与C 2的公共点.若|MF|=5,求C 1与C 2的标准方程. 2. 已知圆O :x 2+y 2=4,点A (√3,0),以线段AB 为直径的圆内切于圆O ,记点B 的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程; (2)直线AB 交圆O 于C ,D 两点,当B 为CD 的中点时,求直线AB 的方程. 3.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为3 2的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP ????? =3PB ????? ,求|AB|. 4.(2020山东威海一模,20)已知椭圆x 2 a 2 + y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P (-1,3 2)是椭圆上 一点,|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项. (1)求椭圆的标准方程; (2)若A 为椭圆的右顶点,直线AP 与y 轴交于点H ,过点H 的另一条直线与椭圆交于M ,N 两点,且S △ HMA =6S △PHN ,求直线 MN 的方程. 5.(2020重庆名校联盟高三二诊,19)已知椭圆C :x 2 a 2+y 2b 2=1(a>b>0),F 1,F 2为椭圆的左、右焦点,P (1, √2 2 ) 为椭圆上一点,且|PF 1|=3√2 2 . (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线l :x=-2,过点F 2的直线交椭圆于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M ,N 两点,当∠MAN 最小时,求直线AB 的方程. 圆锥曲线归纳总结 ——for Y uri 第22sin cos θθ+部分：知识储备 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-=+ （3）弦长公式 直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离： 12AB x =-=或12AB y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1) 椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n + =>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2) 双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n + =?< 距离式方程：2a = (3) 三种圆锥曲线的通径 椭圆：22b a ；双曲线：2 2b a ；抛物线：2p (4) 圆锥曲线的定义 黄楚雅，分别回忆第一定义和第二定义！ (5) 焦点三角形面积公式： P 在椭圆上时，122tan 2F PF b θ?=S P 在双曲线上时，122cot 2 F PF b θ ?=S （其中2221212121212||||4,cos ,||||cos ||||PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠===?u u u r u u u u r u u u r u u u u r g ） (6) 记住焦半径公式： ①椭圆焦点在时为0a ex ±，焦点在y 轴上时为0a ey ± ②双曲线焦点在x 轴上时为0||e x a ± ③抛物线焦点在x 轴上时为0||2p x + ，焦点在y 轴上时0||2 p y + 33333333333333333333333333333333333华丽的分割线3333333333333333333333333333333333333333 第0sin xdx π ?部分：三道核心例题 例1．椭圆长轴端点为,A B ,O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且1AF FB ?=u u u r u u u r ， 1OF =u u u r 。 （1）求椭圆的标准方程； （2）记椭圆的上顶点为M ，直线交椭圆于,P Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为的垂心？若存在，求出直线l 的方程;若不存在，请说明理由。 l PQM ? 第1讲直线与圆、圆锥曲线的方程与性质 [选题明细表] 知识点、方法题号 直线与圆2,3,13 圆锥曲线的定义与标准方程的应用1,7,8,9,14 圆锥曲线的几何性质5,10,11,16 圆锥曲线的离心率4,6,12,15 一、选择题 1.(2019·武汉模拟)已知F1(-3,0),F2(3,0),若点P(x,y)满足|PF1|- |PF2|=6,则P点的轨迹为( D ) (A)椭圆(B)双曲线 (C)双曲线的一支(D)一条射线 解析:F1(-3,0),F2(3,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=6, 因为|F1F2|=6,则点P的轨迹是一条射线.故选D. 2.过点(0,1)的直线l被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦长最短时,直线l 的斜率为( A ) (A)1 (B)-1 (C) (D)- 解析:点(0,1)在圆(x-1)2+y2=4内,要使得过点(0,1)的直线l被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦长最短,则该弦以(0,1)为中点,与圆心和(0,1) 的连线垂直,而圆心和(0,1)连线的斜率为=-1,所以所求直线斜率为1,故选A. 3.(2019·合肥三模)已知直线l:x-y-a=0与圆C:(x-3)2+(y+)2=4交于点M,N,点P在圆C上,且∠MPN=,则实数a的值等于( B ) (A)2或10 (B)4或8 (C)6±2(D)6±2 解析:由∠MPN=可得∠MCN=2∠MPN=. 在△MCN中,CM=CN=2,∠CMN=∠CNM=, 可得点C(3,-)到直线MN,即直线l:x-y-a=0的距离为2sin=1. 所以=1,解得a=4或8.故选B. 4.(2019·临沂三模)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+(y-2)2=2所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为( B ) (A) (B)2 (C)(D)2 解析:双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x, 由对称性,不妨取y=x,即bx-ay=0. 圆x2+(y-2)2=2的圆心坐标为(0,2),半径为, 则圆心到渐近线的距离d==1, 专题突破练25直线与圆及圆锥曲线 1.(2020全国Ⅱ,理19)已知椭圆C1:x 2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心 与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=4 3 |AB|. (1)求C1的离心率; (2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程. 2. 已知圆O:x2+y2=4,点A(√3,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程; (2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程. 3.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为3 2 的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP ????? =3PB ????? ,求|AB|. 4.(2020山东威海一模,20)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F 1,F 2,点P (-1,3 2)是椭圆上 一点,|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项. (1)求椭圆的标准方程; (2)若A 为椭圆的右顶点,直线AP 与y 轴交于点H ,过点H 的另一条直线与椭圆交于M ,N 两点,且S △ HMA =6S △PHN ,求直线 MN 的方程. 5.(2020重庆名校联盟高三二诊,19)已知椭圆C :x 2a 2+ y 2b 2=1(a>b>0),F 1,F 2为椭圆的左、右焦点,P (1, √2 2 ) 为椭圆上一点,且|PF 1|=3√2 . (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线l :x=-2,过点F 2的直线交椭圆于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M ,N 两点,当∠MAN 最小时,求直线AB 的方程. 最新高中数学奥数竞赛试题直线和圆，圆锥曲线 课后练习 1．已知点A 为双曲线122=-y x 的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC ?是等边三角形，则ABC ?的面积是 （A ） 33 （B ）2 33 （C ）33 （D ）36 2．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5 4 35+=x y 的距离中的最小值是 （A ）17034 （B ）8534 （C ）201 （D ）30 1 3．若实数x, y 满足(x + 5)2+(y – 12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 4．直线13 4=+y x 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 5．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2＝ab 的图形是 A B 6．过抛物线y 2＝8(x ＋2)的焦点F 作倾斜角为60o 的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于 A ． 3 16 B ． 3 8 C ． 3 3 16 D ．38 7．方程 13 cos 2cos 3sin 2sin 2 2=-+-y x 表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆 D. 焦点在y 轴上的双曲线 8．在椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B 。 若该椭圆的离心率是 2 1 5-，则ABF ∠= 。 9．设F 1，F 2是椭圆14 92 2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| : |PF 2|＝2 : 1，则 三角形?PF 1F 2的面积等于______________． 专题突破练24直线与圆及圆锥曲线 1.(节选)已知圆M:x2+y2=r2(r>0)与直线l1:x-√3y+4=0相切,设点A为圆上一动点,AB⊥x轴于B,且动点N满足AA ????????? ,设动点N的轨迹为曲线C. ????????? =2AA (1)求曲线C的方程; (2)略. 2.(2019甘肃武威第十八中学高三上学期期末考试)已知圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0. (1)求证:圆C1和圆C2相交; (2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长. 3.已知圆O:x2+y2=4,点A(√3,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程; (2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程. 的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P. 4.(2019全国卷1,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为3 2 (1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程; ????????? ,求|AB|. (2)若AA ????????? =3AA 5.(2019湖南长沙第一中学高三下学期高考一模)已知椭圆A2 A2+A2 A2 =1(a>b>0)的离心率e=1 2 ,过焦点且垂直于x轴的直 线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆的方程; (2)已知P为直角坐标平面内一定点,动直线l:y=1 2 x+t与椭圆交于A,B两点,当直线PA与直线PB的斜率均存在时,若直线PA与PB的斜率之和为与t无关的常数,求出所有满足条件的定点P的坐标. 6.(2019天津第一中学高三下学期第五次月考)已知椭圆C1:A2 A2+A2 A2 =1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,F2的坐标满足圆 Q方程(x-√2)2+(y-1)2=1,且圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a. (1)求椭圆C1的方程; (2)过点P(0,1)的直线l1:y=kx+1交椭圆C1于A,B两点,过P与l1垂直的直线l2交圆Q于C,D两点,M为线段CD中点, 若△MAB的面积为6√2 5 ,求k的值. §18直线和圆，圆锥曲线 课后练习 1．已知点A 为双曲线122=-y x 的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC ?是等边三角形，则ABC ?的面积是 （A ） 33 （B ）2 33 （C ）33 （D ）36 2．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5 4 35+=x y 的距离中的最小值是 （A ）17034 （B ）8534 （C ）201 （D ）30 1 3．若实数x, y 满足(x + 5)2+(y – 12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 4．直线13 4=+y x 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 5．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2＝ab 的图形是 A B 6．过抛物线y 2＝8(x ＋2)的焦点F 作倾斜角为60o 的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于 A ． 3 16 B ． 3 8 C ． 3 3 16 D ．38 7．方程 13 cos 2cos 3sin 2sin 2 2=-+-y x 表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆 D. 焦点在y 轴上的双曲线 8．在椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B 。若 该椭圆的离心率是 2 1 5-，则ABF ∠= 。 9．设F 1，F 2是椭圆14 92 2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| : |PF 2|＝2 : 1，则三 角形?PF 1F 2的面积等于______________．圆锥曲线-直线与圆锥曲线的位置关系
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