当前位置：文档库 › 电子科技大学随机信号分析期末测验题

电子科技大学随机信号分析期末测验题

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

电子科技大学20 -20 学年第学期期考试卷

课程名称：_________ 考试形式：考试日期： 20 年月日考试时长：____分钟课程成绩构成：平时 10 %，期中 10 %，实验 %，期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成，共_____页。

题号一二三四五六七八九十合计得分

一、填空题（共20分，共 10题，每题2 分）

1. 设随机过程0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞，其中0ω为常数，A Φ和是相互独立的随机变量，

[]01A ∈，且均匀分布，Φ在[]02π，上均匀分布，则()X t 的数学期望为： 0

2. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=，请写出()X t 和(2)X t +的协方差12-e

3. 若随机过程()X t 的相关时间为1τ，()Y t 的相关时间为2τ，12ττ>，则()X t 比()Y t 的相关性

要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。 4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。

5. 窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布，相位服从___均匀___分布，且在同一时刻其包络和相

位是___互相独立___的随机变量。

6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____（奇、偶、非奇非偶）函数。

7. 设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程，其单边功率谱密度为)(ωY F ，且0()Y F ωω-为一偶函数，

则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。

得

二、计算题（共80分）

1. (16分)两随机变量X 和Y 的联合概率密度函数为(,)=XY f x y axy ，a 是常数，其中0,1x y ≤≤。求：

1) a ;

2) X 特征函数；

3) 试讨论随机变量X 和Y 是否统计独立。

解：因为联合概率密度函数需要满足归一性，即（2分）

1(,)124

XY f x y dxdy Axydxdy

A xdx ydy A

∞∞

-∞-∞=

===??

????（分）

所以4A = （1分）

X 的边缘概率密度函数：

()4201X f x xydy x x ==≤≤? （2分）

所以特征函数

()2()2122

12j X

X j x X j x j x j x j j E e f x e dx

xe dx

e xe j j e j e ωωωωωωω

φωωωωω∞

-∞??=??

==??

=-??????=

--???

?（分）

（分）（分）

容易得1

()4201Y f y xydx y y ==≤≤?

则有 (,)()()XY X Y f x y f x f y = （2分）因此X 和Y 是统计独立。（2分）

2. (12分)设随机过程()0xt X t e t -=<<∞，其中x 在(]0,2π均匀分布，求： 1) 求均值()X m t 和自相关函数(,)X R t t τ+；

2) 判断是否广义平稳；解：

[]

()20

220

()()(2)1(1)211(2)

22X xt t

xt m t E X t e dx e e t

ππ

ππ---==-=

分分分

[]

2()

2(2)2(2)0(,)()()(2)1(1)211(2)

2(2)(2)2X xt x t t x t R t t E X t X t e e dx e e t t πτπ

τπτττπ

πττπ

--+-+-++=+=-==-++?

分分分

因为()X m t 和(,)X R t t τ+均随时间变化，所以不是广义平稳；

(2)分

3. (12分)设一个积分电路的输入与输出之间满足关系式：()()t t T

Y t X u du -=?

其中T 为积分时间常数，如输

入随机过程()X t 是平稳随机过程，且已知其功率谱密度为()X S ω，求()Y t 的功率谱和自相关函数

解：很显然，()Y t 是平稳随机过程，故有：

[]

()

()()()()()()(1)()(1)1()(1)21()(12Y t t t T t T t

t X t T t T t

t j v u x t T

t T t

t j v u x t T

t T

R E Y t Y t E X u du X v dv R v u dvdu

S d dvdu

S e dvdud τ

ττ

ωττ

ωτττωωπ

ωω

π+-+-+-+-∞

+--+--∞∞

+--+--∞=+??

=????

=-==????

????

分分分分2

)12(1(cos ))

()

(2)

2j x T e

S d ωτ

ωωω

ω∞

-∞

-=?分

()22()()(1)

12(1cos )

()

(1)22(1cos )1

()(1)22(1cos )

()

()(1)2(1cos(()

j Y Y j j x j x x

x S e R d T e

S e d d T S e d d T S

d S ωτωτ

βτωβτωττ

βββτ

ββτβ

πβββδωβββω∞

--∞∞

∞

--∞-∞

∞

---∞

-∞∞

-∞

=-=-=-=

--=???

?分分分分2

))

(2)

sin (2)

4()

x T T S ωωωωω=分或者

4. (16分)已知零均值的窄带高斯随机过程00()()cos ()sin X t a t t b t t ωω=-，其中0100ωπ=，且已知()X t 的功率谱如图所示，求： 1) 自相关函数()a R τ和()b R τ； 2) ()a t 和()b t 的一维联合概率密度；解：

因为()X t 是零均值的高斯随机过程，因此有： (2分)

00()()10()()0

x x a b S S S S ωωωωωπ

ωω?-++≤?

==?

??其它

(2分)

所以3

10()()0

a b S S ωπ

ωω?≤?=?

??＝其它

(2分)

因此sin(10)

()()3

a b R R πτττπτ

== (2分)

因为()a t 和()b t 都为零均值的高斯随机过程，且在同一时刻是独立的，所以只要求出其方差，即可得到其一维联合概率密度： (3分)

显然有和22

30a

b σσ== (2分) 所以：

(,;,)(;)(;)60a b ab a b e

f a b t t f a t f b t π

+-==

(3分)

5. (12分)一数学期望为零的平稳高斯白噪声()N t ，功率谱密度为0/2N ，经过如图所示的系统，输出为()Y t ，求输出过

程的相关函数。

解：令1/RC α=，得RC 积分电路的功率传输函数为：

()H αωαω=+ (2分) 则()X t 的功率谱密度为：

2()2X N S αωαω=+ (2分) 得()X t 的自相关函数为：

()4

X N R e

ατ

αω-=

（2分）

最后得：

[]

[][]222

222222222222200(,)()()1)()()1)

()()2()()()())

(0)2())

Y X X R t t E Y t Y t a E X t X t a E X t E X t a E X t X t E X t X t a R a R a N a N e

ατττττττταα-+=+??=+??????=++

????++=+=+（分（分（2分（2分

6. (12分)证明平稳随机过程()X t 希尔伯特变换^

()X t 的自相关函数^

()()X X R R ττ=。证明：平稳随机过程进行希尔伯特变换后仍为平稳随机过程，因此有：

[]^

()()()()()()()()

()

X X X X R E X t X t X t X t E d d E X t X t d d R d d R d R ττητληλπηπλητληλπηπλ

ητλλη

πηπλητη

πηητ∞∞-∞-∞∞∞

-∞-∞

∞

-∞-∞

∞

-∞

=+??

??-+-=??

-+-=+-=+=

=+??????

证毕