信号与系统考试试题及答案
长沙理工大学拟题纸
课程编号 1 拟题教研室(或老师）签名 教研室主任签名 符号说明:)sgn(t 为符号函数，)(t δ为单位冲击信号,)(k δ为单位脉冲序列,)(t ε为单位阶跃信号,)(k ε为单位
阶跃序列。
一、填空(共3０分，每小题３分）
１. 已知
)()4()(2
t t t f ε+=，求_______)("=t f 。)('4)(2)("t t t f δε+ 2. 已知}4,2,4,3{)(},1,2,2,1{)(=-=k h k f ,求______)()(=*k h k f 。}4,6,8,3,4,10,3{)()(-=*k h k f 3. 信号通过系统不失真的条件为系统函数_______)(=ωj H 。0
)(t j Ke j H ωω-=
4. 若)(t f 最高角频率为m ω,则对)4(t f 取样的最大间隔是______。
m T ωπωπ4max max ==
5． 信号t t t f ππ30cos 220cos 4)(+=的平均功率为______。
10
1122222
=+++==
∑∞
-∞
=n n
F
P
6. 已知一系统的输入输出关系为)3()(t f t y =,试判断该系统是否为线性时不变系统
______。故系统为线性时变系统。
７. 已知信号的拉式变换为
)1)(1(1
)(2-+=
s s s F ，求该信号的傅立叶变换)(ωj F =______。故傅立叶变
换)(ωj F 不存在。
８． 已知一离散时间系统的系统函数
2121
)(---+=
z z z H ，判断该系统是否稳定______。故系统不稳
定。
9. =+-+?∞
∞-dt t t t )1()2(2δ______
。3
1０. 已知一信号频谱可写为)(,)()(3ωωωω
A e
A j F j -=是一实偶函数，试问)(t f 有何种对称性______。关于ｔ=3的偶对称的实信号。
二、计算题（共50分,每小题1０分）
1． 已知连续时间系统的单位冲激响应)(t h 与激励信号)(t f 的波形如图A －1所示，试由时域求解该系 统的零状态响应)(t y ,画出)(t y 的波形。
图 A-1
1． 系统的零状态响应)()()(t h t f t y *=，其波形如图A －7所示。
图 A-７
2. 在图A-2所示的系统中,已知
)()5.0()(),2()(21k k h k k h k
εδ=-=，求该系统的单位脉冲响应)(k h 。
f
图 A-2
2.
)2()5.0()(][)5.0()2()()()()()(2
21-+=*-+=*+=-k k k k k k h k h k k h k k εδεδδδ
3. 周期信号)(t f 的双边频谱如图A －3所示，写出)(t f 的三阶函数表示式。
图 A-３
3. 写出周期信号)(t f 指数形式的傅立叶级数，利用欧拉公式即可求出其三阶函数表示式为
t
t e e e e e
F t f t j t j t j t j n t
jn n
00222cos 2cos 42222)(00000ωωωωωωω++=++++==
--∞
-∞
=∑
4． 已知信号)1()()(--=t t t f εε通过一线性时不变系统的响应)(t y 如图A-４所示，试求单位阶跃信号
)(t ε
通过该系统的响应并画出其波形。
图 Ａ-4
4. 因为
∑∞
=-=+-++-+=0
)
()()1()()(i i t f i t f t f t f t ε故利用线性时不变特性可求出)(t ε通过该
系统的响应为
∑∞
=-=0
)
()}({i i t y t T ε波形如图A －8所示。
图 Ａ－8
5. 已知)(t f 的频谱函数)1()1()(--+=ωωωSgn Sgn j F ,试求)(t f 。
5. )
(21,01,
2)1()1()(2ωωωωωωg Sgn Sgn j F =?????><=--+=,因为
)(2)(2ωSa t g ?,由对称性可得：)(2)(2)(222ωπωπg g t Sa =-?,因此，有
)
(2
)(t Sa t f π
=
三、综合计算题(共２０分，每小题１０分）
１. 一线性时不变因果连续时间系统的微分方程描述为
)(3)('2)(10)('7)("t f t f t y t y t y +=++
已知
,1)0(',1)0(),()(===-
--y y t e t f t ε由s 域求解： (1)零输入响应)(t y x ,零状态响应)(t y f ,完全响应)
(t y ;
(２）系统函数)(s H ，单位冲激响应)(t h 并判断系统是否稳定； (３)画出系统的直接型模拟框图。
解:
１. (１)对微分方程两边做单边拉斯变换得 )()32()(10)0(7)(7)0(')0()(2s F s s Y y s sY y sy s Y s +=+-+-----
整理后可得
)(1073
2107)0(7)0(')0()(2
2s F s s s s s y y sy s Y ++++++++=---
零输入响应的ｓ域表达式为
51
221078)(2+-+
+=+++=
s s s s s s Y x
进行拉斯反变换可得 0,2)(52≥-=--t e e t y t t x
零状态响应的s 域表达式为
57
/1223/114/1)1)(107(32)(10732)(22+-
+++=++++=+++=
s s s s s s s s F s s s s Y f
进行拉斯反变换可得
)
()127
3141()(52t e e e t y t t t f ε----+=
完全响应为
0,12193141)()()(52≥-+=
+=---t e e e t y t y t y t
t t f x
(2)根据系统函数的定义，可得
53
/723/110732)
()()(2
+++-=+++=
=
s s s s s s F s Y s H f
进行拉斯反变换即得
)
()37
31()(52t e e t h t t ε--+-=
由于系统函数的极点为-2、－5,在左半ｓ平面,故系统稳定。
(3)将系统函数改写为
212
1107132)(----++=
s s s s s H 由此可画出系统的直接型模拟框图，如图A －9所示
)
2. 一线性时不变因果离散时间系统的差分方程描述为
0)
()2(2)1(3)(≥=-+-+k k f k y k y k y
已知,3)2(,2)1(),()(=--=-=y y k k f ε由z 域求解：
(１)零输入响应)(k y x ，零状态响应)(k y f
，完全响应)(k y ;
(２）系统函数)(z H ,单位脉冲响应)(k h 。 (3) 若)5()()(--=k k k f εε,重求(1）、(2)。
２. （１)对差分方程两边进行z 变换得 )()}2()1()({2)}1()({3)(121z F y y z z Y z y z Y z z Y =-+-++-++---
整理后可得
11212211214
142314231)2(2)1(2)1(3)(--------++
+=++=++------=z z z z z z z y y z y z Y x
进行z 变换可得系统零输入响应为 )(])2(4)1(4[)(k k y k k x ε---=
零状态响应的z 域表示式为
)21(3
/4)1(2/1)1(6/1113311331)()(11112121--------++
+-+-=-++=++=
z z z z z z z z z F z Y f
进行z 反变换可得系统零状态响应为
)
(])2(43
)1(2161[][k k Y k k f ε-+--=
系统的完全响应为
)
(]61
)2(38)1(27[)()()(k k y k y k y k k f x ε+---=+=
(2)根据系统函数的定义,可得
1121212
112311)
()()(----++
+-=++=
=
z z z z z F z Y z H f
进行z 反变换即得
)(])2(2)1([)(k k h k k ε-+--=
(3) 若)5()()(--=k k k f εε，则系统的零输入响应)(k y x 、单位脉冲响应)(k h 和系统函数)(z H 均不变,
根据时不变特性，可得系统零状态响应为
)5(])2(43
)1(2161[)(])2(43)1(2161[)
5()()}5()({55--+----+--=--=----k k k y k y k k T k k k k f f εεεε
完全响应为
)5(])2(43
)1(2161[)(])2(38)1(2761[)}
5()({)()(55--+----+--=--+=--k k k k T k y k y k k k k x εεεε
长沙理工大学拟题纸
课程编号 2 拟题教研室（或老师)签名 教研室主任签名 符号说明：)sgn(t 为符号函数,)(t δ为单位冲击信号,)(k δ为单位脉冲序列,)(t ε为单位阶跃信号,)(k ε为单位
阶跃序列。
一、填空(共３０分,每小题3分)
１． 已知某系统的输入输出关系为
)0(2)
()
()(2X dt t df t f t t y +=（其中X （0)为系统初始状态,)(t f 为外
部激励）,试判断该系统是（线性、非线性)________（时变、非时变)________系统。线性时变
2. ?∞-=-+3
2
_________)221()32(dt t t t δ。0
3.
?
∞
∞
-=--_________)24()22(dt t t εε??∞∞
-==--1
)24()22(2
1
dt dt t t εε
4. },3,5,2{)()},3()({2)(0
21=↓
=--=K k f k k k f k
εε计算)()(21k f k f *=________。
}12,26,21,9,2{)()(21↓
=*k f k f
５. 若信号)(t f 通过某线性时不变系统的零状态响应为
)
,(),()(00为常数t K t t Kf t y f -=
则该系统的频率特性)(ωj H =________,单位冲激响应=)(t h ________。
系统的频率特性0
)(t j Ke
j H ωω-=，单位冲激响应)()(0t t K t h -=δ。
6． 若)(t f 的最高角频率为)(Hz f m ,则对信号)2()()(t f t f t y =进行时域取样，其频谱不混迭的最大取样
间隔=
max T ________。m ax T 为
)(61
21max max s f f T m
==
7． 已知信号的拉式变换为
)1)(1(1
)(2-+=
s s s F ,求该信号的傅立叶变换)(ωj F =______。不存在
８. 已知一离散时间系统的系统函数
2121
)(---+=
z z z H ，判断该系统是否稳定______。不稳定
9. =+-+?∞
∞-dt t t t )1()2(2δ______。3
10． 已知一信号频谱可写为)(,)()(3ωωωω
A e A j F j -=是一实偶函数,试问)(t f 有何种对称性
______。因此信号是关于t=3的偶对称的实信号。
二、计算题(共５０分,每小题１0分)
1. 已知一连续时间系统的单位冲激响应
)
3(1
)(t Sa t h π
=
，输入信号∞<<-∞+=t t t f ,2cos 3)(时,试求
该系统的稳态响应。
二、解:
1. 系统的频响特性为
??
?><===3
,
03
,3/1)(31
)]([)(6ωωωωg t h FT j H
利用余弦信号作用在系统上,其零状态响应的特点，即
))(cos()()}{cos(0000θωφωωθω++=+t j H t T
可以求出信号∞<<-∞+=t t t f ,2cos 3)(，作用在系统上的稳态响应为
∞
<<-∞+=t t t f T ,2cos 31
1)}({
2. 已知信号)22(+t f 如图A-1所示，试画出)24(t f -波形。
图 A-1
2． )24()22(t f t f -→-，根据信号变换前后的端点函数值不变的原理,有
)24()22(111t f t f -=+
)24()22(222t f t f -=+
变换前信号的端点坐标为2,221-==t t ,利用上式可以计算出变换后信号的端点坐标为 32/)224(,12/)2124(22211=--=-=--=t t t t
由此可画出)24(t f -波形，如图A-８所示。
３． 已知信号)(t f 如图Ａ－2所示,计算其频谱密度函数)(ωj F 。
图A －２
3. 信号)(t f 可以分解为图Ａ-10所示的两个信号)(1t f 与)(2t f 之和，其中
)]2([2)2(2)(1--=+-=t t t f εε。由于
ωωπδεj t 1)()(+
?
根据时域倒置定理:)()(ωj F t f -?-和时移性质,有
ωωπδεωω
j e t FT j F j 212)(2)]2([)(-
=+-=
)(6)]([)(222ωωSa t f FT j F ==
故利用傅立叶变换的线性特性可得
)
(62)(2)()()(2221ωωωπδωωωω
Sa j e j F j F j F j +-=+
=
图A-１0
4. 某离散系统的单位脉冲响应)(])
5.0()1[()(1
1
k k h k k ε---+-=，求描述该系统的差分方程。 4． 对单位脉冲响应进行z 变换可得到系统函数为
211
115.05.115.235.01211)(-----++--=
+-++-=z z z z z z H
由系统函数的定义可以得到差分方程的z 域表示式为 )()5.23()()5.05.11(121z F z z Y z z f -----=++
进行z 反变换即得差分方程为
)1(5.2)(3)2(5.0)1(5.1)(---=-+-+k f k f k y k y k y
5． 已知一离散时间系统的模拟框图如图A －3所示,写出该系统状态方程和输出方程。