(完整版)工程数学概率统计简明教程第二版同济大学数学系编课后习题答案(全)

习题一

1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：

(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；

(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。 解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则

},2,1,0|{ΛΛ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .

(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则

)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .

3. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：

(1)B A Y ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B Y ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A Y 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；

(3) =AC {取得球的号码是2，4}；

(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；

(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；

(6) ==C B C B I Y {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}

4. 在区间]2,0[上任取一数，记??????≤<=121x x A ，???

???≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：

(1)B A Y ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A Y .

解 (1) ???

???≤≤=234

1x x B A Y ;

(2) =??????≤<≤≤=B x x x B A I 2121

0或?

?????

≤

≤231214

1x x x x Y ; (3) 因为B A ?，所以φ=B A ；

(4)=??????≤<<≤=223410x x x A B A 或Y Y ?

?????≤<≤<<≤223

121410x x x x 或或 4. 用事件C

B A ,,的运算关系式表示下列事件：

(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。 解 (1)C B A E =1； (2)C AB E =2； (3)ABC E =3； (4)C B A E Y Y =4；

(5)C B A E =5； (6)C B A C B A C B A C B A E Y Y Y =6； (7)C B A ABC E Y Y ==7；(8)BC AC AB E Y Y =8.

6. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设i A 表示事件“第i 次抽到废品”，3,2,1=i ，试用i A 表示下列事件：

(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品；

(2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品；

(4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。

解 (1)21A A Y ； (2)321A A A ； (3)321A A A ；

(4)321A A A Y Y ； (5)321321321A A A A A A A A A Y Y .

7. 接连进行三次射击，设i A ={第i 次射击命中}，3,2,1=i ，=B {三次射击恰好命中二次}，=C {三次射击至少命中二次}；试用i A 表示B 和C 。

解 321321321A A A A A A A A A B Y Y = 323121A A A A A A C Y Y =

习题二

1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。

解 这是不放回抽取，样本点总数???

?

??=350n ，记求概率的事件为A ，则有利于A 的样本点数

???

? ?????? ??=15245k . 于是

39299!2484950!35444535015245)(=??????=????

?????? ?????? ??==n k A P 2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求

(1) 第一次、第二次都取到红球的概率；

(2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率； (3) 二次取得的球为红、白各一的概率； (4) 第二次取到红球的概率。

解 本题是有放回抽取模式，样本点总数27=n . 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为D C B A ,,,.

(ⅰ)有利于A 的样本点数2

5=A k ，故 492575)(2

=??

?

??=A P

(ⅱ) 有利于B 的样本点数25?=B k ，故 4910

725)(2=?=B P

(ⅲ) 有利于C 的样本点数252??=C k ，故 49

20

)(=C P

(ⅳ) 有利于D 的样本点数57?=D k ，故 75

49357

57)(2==

?=D P . 3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1) 最小号码是3的概率；(2) 最大号码是3的概率。

解 本题是无放回模式，样本点总数56?=n .

(ⅰ) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利

样本点数为32?，所求概率为

5

1

5632=??. (ⅱ) 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为22?，

所求概率为

15

2

5622=??. 4．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率：

(1) 2只都合格；

(2) 1只合格，1只不合格； (3) 至少有1只合格。

解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为C B A ,,，则

522562342624)(=????=???? ?????? ??=A P 15856224261214)(=???=???

?

?????? ?????? ??=B P

注意到B A C Y =，且A 与B 互斥，因而由概率的可加性知

15

14

15852)()()(=+=+=B P A P C P

7．掷两颗骰子，求下列事件的概率：

(1) 点数之和为7；(2) 点数之和不超过5；(3) 点数之和为偶数。 解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为C B A ,,,样本点总数26=n (ⅰ)A 含样本点)2,5(),5,2(,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)

61

6

6)(2==∴A P

(ⅱ)B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)

185

6

10)(2==∴B P

(ⅲ)C 含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18个样本点。

2

13618)(==

∴C P 8．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。

解 记求概率的事件为A ，样本点总数为35，而有利A 的样本点数为345??，所以 2512

5

345)(3

=??=A P . 9．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率： (1) 事件A ：“其中恰有一位精通英语”； (2) 事件B ：“其中恰有二位精通英语”； (3) 事件C ：“其中有人精通英语”。

解 样本点总数为???

?

??35

(1) 53106345!332352312)(==????=???? ?????? ?????? ??=

A P ； (2) 103345!33351322)(=???=???

?

?????? ?????? ??=

B P ； (3) 因B A

C Y =，且A 与B 互斥，因而

10

9

10353)()()(=+

=+=B P A P C P . 12．设一质点一定落在xOy 平面内由x

解 记求概率的事件为A ，则A S

为图中阴影部分，而2/1||=Ω，

1859521322121||2

=?=??? ??-=A S 最后由几何概型的概率计算公式可得

9

52/118/5||||)(==Ω=A S A P . 14．已知B A ?，4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，求 (1))(A P ,)(B P ；(2))(B A P Y ；(3))(AB P ；(4))(),(B A P A B P ；(5))(B A P . 解 (1)6.04.01)(1)(=-=-=A P A P ，4.06.01)(1)(=-=-=B P B P ； (2)6.0)()()()()()()()(==-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y ； (3)4.0)()(==A P AB P ；

(4)0)()()(==-=φP B A P A B P , 4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P Y Y ; (5).2.04.06.0)()(=-=-=A B P B A P

15．设B A ,是两个事件，已知5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，8.0)(=B A P Y ，试求)(B A P -及).(A B P - 解 注意到 )()()()(AB P B P A P B A P -+=Y ，因而)()()(B P A P AB P += )(B A P Y -4.08.07.05.0=-+=. 于是，)()()()(AB P A P AB A P B A P -=-=- 1.04.05.0=-=；3.04.07.0)()()()(=-=-=-=-AB P B P AB B P A B P .

习题三

1．已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求)(AB P 及)(B A P .

解 4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P

)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P +--=-==Y Y

3.04.06.05.01=+--=

2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。

解 1078

9

989981989910090910=?=????=p .

3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19

图2.3

(1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ (2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？

解 记=A {基金}，=B {股票}，则19.0)(,28.0)(,58.0)(===AB P B P A P

(1) .327.058.019

.0)()()|(===

A P A

B P A B P (2) 678.028

.019

.0)()()|(===

B P AB P B A P . 6．给定5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，15.0)(=AB P ，验证下面四个等式：

),()|(),()|(A P B A P A P B A P == )()|(B P A B P =，).()|(B P A B P = 解 )(2

1

3.015.0)()()|(A P B P AB P B A P ====

)(5.07.035

.07.015.05.0)(1)()()()()|(A P B P AB P A P B P B A P B A P ===-=--==

)(3.05

.015

.0)()()|(B P A P AB P A B P ====

)(5

.015

.05.015.03.0)(1)()()()()|(B P A P AB P B P A P B A P A B P ==-=--==

7．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率：

(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。

解 (1) 记=B {该球是红球}，=1A {取自甲袋}，=2A {取自乙袋}，已知10/6)|(1=A B P ，14/8)|(2=A B P ，所以

70

41

1482110621)|()()|()()(2211=?+?=+=A B P A P A B P A P B P

(2) 12

72414)(==

B P 8．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。

解 02.04.004.035.005.025.0?+?+??

%45.30345.0008.00140.00125.0==++=

10．发报台分别以概率0.6，0.4发出""?和""-，由于通信受到干扰，当发出""?时，分别以概率0.8和0.2收到""?和""-，同样，当发出信号""-时，分别以0.9和0.1的概率收到""-和""?。求(1) 收到信号""?的概率；(2) 当收到""?时，发出""?的概率。

解 记 =B {收到信号""?}，=A {发出信号""?} (1) )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=

52.004.048.01.04.08.06.0=+=?+?=

(2) 13

12

52.08.06.0)()|()()|(=?==

B P A B P A P B A P . 13．设A 与B 独立，且q B P p A P ==)(,)(，求下列事件的概率：)(B A P Y ，)(B A P Y ，)(B A P Y . 解 pq q p B P A P B P A P B A P -+=-+=)()()()()(Y

pq q q p q p B P A P B P A P B A P +-=---+=-+=1)1(1)()()()()(Y

pq B P A P AB P B A P -=-==1)()(1)()(Y

14．已知B A ,独立，且)()(,9/1)(B A P B A P B A P ==，求)(),(B P A P . 解 因)()(B A P B A P =，由独立性有

)()()()(B P A P B P A P =

从而 )()()()()()(B P A P B P B P A P A P -=- 导致 )()(B P A P =

再由 9/1)(=B A P ，有 2))(1())(1))((1()()(9/1A P B P A P B P A P -=--== 所以 3/1)(1=-A P 。最后得到 .3/2)()(==A P B P

15．三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4. 求此密码被译出的概率。

解 记 =A {译出密码}， =i A {第i 人译出}，.3,2,1=i 则

7075

.02925.016.065.075.01)()()(1)(32131=-=??-=-=???

?

??==A P A P A P A P A P i i Y

16．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为p ，求这

解 记 =A {通达}，

=i A {元件i 通达}，6,5,4,3,2,1=i

则 654321A A A A A A A Y Y =， 所以

)()()()(654321A A P A A P A A P A P ++=

)()(654321652165434321A A A A P A A A A P ---642)1()1(3)1(3p p p -+---=

20．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。

解 0512.0)8.0()2.0(352

3=???

? ??=p . 21．灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。

解 104.0096.0008.0)2.0(8.023)2.0(332

3=+=?????

? ??+???? ??=p . 22．某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T ，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：

(1) 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率； (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率； (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。

解 (1) 256255

)25.0(1)75.01(144=-=--

(2) 1282741436)25.0()75.0(242

22

2=??? ?????? ???=???

? ?? (3) 2568143)75.0(4

4=??

?

??=

23．设在三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于19/27，求事件A 在每次试验中出现的概率)(A P .

解 记=i A {A 在第i 次试验中出现}，.3,2,1=i )(A P p = 依假设 3

32131)1(1)(12719p A A A P A P i i --=-=???

? ??==Y 所以， 27

8

)1(3=-p ， 此即 3/1=p .

习题四

1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。

（1）5,4,3,2,1,0,15==i i

p i ；

（2）()

3,2,1,0,652

=-=i i p i ； （3）5,4,3,2,1,25

1

=+=i i p i 。 解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证i p 是否满足下列二个条件：

其一条件为Λ,2,1,0=≥i p i ，其二条件为1=∑i

i p 。

依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，

因为0646953<-=-=p ；（3）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为∑=≠=5

1

12520

i i p 。 2. 试确定常数c ，使()()4,3,2,1,0,2

===i c

i X P i 成为某个随机变量X 的分布律，并求：

()2≤X P ；??? ??<<252

1

X P 。

解 要使i c 2成为某个随机变量的分布律，必须有12

4

0=∑=i i c

，由此解得3116=c ；

（2） ()()()()2102=+=+==≤X P X P X P X P

3128

412113116=??? ??++=

（3）()()21252

1

=+==??? ??<

3. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数。

解 X 可能取的值为-3，1，2，且()()()6

1

2,211,13=====-=X P X P X P ，即X 的分布律为

X 的分布函数

0 3-

()()x X P x F ≤== 31

13<≤-x

6

5

21<≤x

1 2≥x

4. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X 表示取出的3个球中最大号码，写出X 的分布律和分布函数。

解 依题意X 可能取到的值为3，4，5，事件{}3=X 表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即()1013513=???

? ??=

=X P ；事件{}4=X 表示随机取出的3个球的最大

号码为4，因此另外2个球可在1、2、3号球中任选，此时()103352314=????

?????? ???=

=X P ；同理可得()106352415=???

?

?????? ???=

=X P 。 X 的分布律为

X 的分布函数为

0 3

()=x F

101

43<≤x 10

4

54<≤x

1 5≥x

5. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X 的分布律。

解 依题意X 服从参数6.0,5==p n 的二项分布，因此，其分布律

()5,,1,0,4.06.055Λ=???

? ??==-k k k X P k

k ，

6. 从一批含有到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X 的分布律。

（1） 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （2） 每次取出的产品都不放回这批产品中； （3） 每次取出一件产品后总是放回一件正品。

解 （1）设事件Λ,2,1,=i A i 表示第i 次抽到的产品为正品，依题意，ΛΛ,,,1n A A 相互独立，且

()Λ,2,1,13

10

==

i A P i 而 ()()()()

()ΛΛΛ,2,1,13

10

1331

1

111=?

?

?

??====---k A P A P A P A A A P k X P k k k k k 即X 服从参数13

10

=

p 的几何分布。 （2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X 可能取到的值为1，2，3，4，

()()()().

286

1

10111213101234,143511121310233,26

512131032,13101=??????===????===??===

=X P X P X P X P

X 的分布律为

（3）X 可能取到的值为1，2，3，4，

()()()().

21976

1313131234,21977213131312233,1693313131132,13101=????===????===??===

=X P X P X P X P 所求X 的分布律为

7. 设随机变量()p B X ,6~，已知()()51===X P X P ，求p 与()2=X P 的值。

解 由于()p B X ,6~，因此()()6,,1,0,1666Λ=-?

??

? ??==-k p p k X P k k 。 由此可算得 ()()()(),165,16155p p X P p p X P -==-== 即 ()(),161655p p p p -=- 解得2

1=p ；

此时，()64

1521!25621212626

2

62

=??? ????=?

?

?

????? ?????? ??==-X P 。 10. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X 服从参数4=λ的泊松分布，问在月

初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？

解 设至少要进n 件物品，由题意n 应满足 ()(),99.0,99.01≥≤<-≤n X P n X P 即 ()99.0!

4110

4<=-≤∑

-=-n k k e k n X P

()99.0!

404

≥=≤∑=-n

k k e k n X P

查泊松分布表可求得 9=n 。

11. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。

解 设X 为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X 服从0001.0,1000==p n 的二项分布，即()0001.0,1000~B X ，由于n 较大，p 较小，因此也可以近似地认为X 服从1.00001.01000=?==np λ的泊松分布，即()1.0~P X ，所求概率为

()()()

.

004679.0090484.0904837.01!

11.0!01.0110121

.011.00=--=--≈=-=-=≥--e

e X P X P X P 16. 设随机变量X 的密度函数为 ()=x

f x 2， A x <<0 0， 其他， 试求：（1）常数A ；（2）X 的分布函数。

解 （1）()x f 成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为()0≥x f ；其二为

()?+∞∞-=1dx x f ，因此有?=A

xdx 012，解得1±=A ，其中1-=A 舍去，即取1=A 。

（2）分布函数

()()()?∞-=≤=x

dx x f x X P x F

= ??????+++∞-∞-∞-x

x

x

dx

xdx dx xdx

dx dx

10

1

000020200 1100

≥<≤

= 1

02x 1

100

≥<≤

17. 设随机变量X 的密度函数为()+∞<<-∞=-x Ae x f x ,，求：（1）系数A ；（2）()10<

X 的分布函数。

解 （1）系数A 必须满足?+∞

∞--=1dx Ae x ，由于x e -为偶函数，所以

???+∞∞-+∞+∞

---===12200dx Ae dx Ae

dx Ae

x x

x

解得2

1=A ；

（2）()()

1101012

1

2

1

21

10----===<

-=x

dx x f x F

= ???-∞--∞--+x x

x x

x

dx

e dx e dx

e 00212121 00≥

= ???-∞-∞-+x x

x x

x

dx

e dx e dx

e 00212121 00≥

= ()

x x

e e

--+121

2121 00≥

= x x

e e

--2

1121 00≥

18. 证明：函数

()=x f 0

22c

x e

c x

-

<≥x x （c 为正的常数）

为某个随机变量X 的密度函数。 证 由于()0≥x f ，且()120

22

0222

2

2

=-=???

?

?

?-

-==+∞

-

∞

+-

∞

+∞-∞+∞--

???c

x c x c x e c x d e

dx

e

c

x

dx x f ，

因此()x f 满足密度函数的二个条件，由此可得()x f 为某个随机变量的密度函数。

.

2;20;

0≥≤≤≤x x x

20. 设随机变量X 的分布函数为

()=x F

(),

11,

0x e x -+-

>≤x x 求X 的密度函数，并计算()1≤X P 和()2>X P 。

解 由分布函数()x F 与密度函数()x f 的关系，可得在()x f 的一切连续点处有()()x F x f '=，因此

()=x f

,

0,

x xe - 其他0>x 所求概率()()()112111111---=+-==≤e e F X P ；

()()()()()

223211121212--=+--=-=≤-=>e e F X P X P 。

21. 设随机变量X 在()6,1上服从均匀分布，求方程012=++Xt t 有实根的概率。

解 X 的密度函数为

()=x f

,5

1

61<

方程012=++Xt t 有实根的充分必要条件为042≥-X ，即42≥X ，因此所求得概率为

()

()()()?=+=≥+-≤=≥-≤=≥6225

451

022224dx X P X P X X P X P 或。

23. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min ）服从5

1

=λ的指数分布，其密度函数为()=x f

,5

15

x e - 其他0>x ，某顾客在窗口等待服务，若超过10min ，他就离开。 （1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；

（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。

解 （1）设随机变量X 表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X 服从5

1

=λ的指数分布，且顾客等待时间超过10min 就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为

()?∞

+--==≥10

25

5

110e dx e X P x

； （2）设Y 表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y 服从2,5-==e p n 的二项分布，所求概率为

()()()

()()

()

()()

4

2

24

2

25

20

2141115105101-------+=-???

? ??+-???

? ??==+==≤e e e e e e Y P Y P Y P

25. 设随机变量X 的分布函数为()+∞<<-∞+=x x B A x F ,arctan ，求(1) 常数B A ,；(2)()1

解：(1)要使()x F 成为随机变量X 的分布函数，必须满足()()1lim ,0lim ==+∞

→-∞→x F x F x x ，即

()()1

arctan lim 0arctan lim =+=++∞

→-∞→x B A x B A x x

计算后得

1

2

2

=+

=-

B A B A π

π

解得

π

1

21=

=

B A 另外，可验证当π1,21=

=B A 时，()x x F arctan 1

21π

+=也满足分布函数其余的几条性质。

（2） ()()()()11111--=<<-=

()??????-+-+=

1arctan 1211arctan 121ππ 2

4141πππππ=??? ??-?-?= （3）X 的密度函数

()()()

+∞<<-∞+=

'=x x x F x f ,11

2

π。

26. 设X 服从()1,0N ，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）()2.2

（2）()176>X P ；（3）()78.0-X P 。

解 查正态分布表可得

（1）()()9861.02.22.2=Φ=

（2）()()()0392.09608.0176.1176.1176.1=-=Φ-=≤-=>X P X P ； （3）()()()2177.07823.0178.0178.078.0=-=Φ-=-Φ=-

()()()()8788

.019394.02155.1255.1155.1=-?=-Φ=Φ--Φ= （5）

()()()[]15.2215.215.2-Φ-=≤-=>X P X P

()()0124.09938.0125.222=-=Φ-=。

27. 设X 服从()16,1-N ，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）()44.2X P ；（3）()8.2--X P 。

解 当()2,~σμN X 时，()??

?

??-Φ-??? ??-Φ=≤≤σμσμa b b X a P ，借助于该性质，再查标准正态分布函

数表可求得

（1）()()8051.086.04144.244.2=Φ=???

??+Φ=

（2）()()125.01415.115.1-Φ-=??

?

??+-Φ-=->X P

()()()5498.0125.0125.011=Φ=Φ--=；

（3）()()()3264.06736.0145.0145.0418.28.2=-=Φ-=-Φ=??

?

??+-Φ=-

?

??+-Φ-??? ??+Φ=

()()6678.07734.018944.075.0125.1=+-=Φ+-Φ=；

（5）()()()175.041541225-Φ-Φ=??

?

??+-Φ-???

??+Φ=<<-X P ()()9321.018413.07734.01175.0=+-=+Φ-Φ=；

（6）()()()???

?????? ??+Φ-???

?

?+Φ-=≤≤-=≤--=>-410412*********X P X P X P ()()8253.05987.07724.0125.075.01=+-=Φ+Φ-=。

29. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布()01.0,05.2N ，合格品的规格规定为2.02±，求该厂滚珠的合格率。

解 所求得概率为

()()()()()927

.09938.019332.05.215.15.25.11.005.28.11.005.22.22.022.02=+-=Φ+-Φ=-Φ-Φ=?

??

?

?-Φ-??? ??-Φ=+≤≤-X P

30. 某人上班所需的时间()100,30~N X （单位：min ）已知上班时间为8：30，他每天7：50出

门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率。

解 （1）由题意知某人路上所花时间超过40分钟，他就迟到了，因此所求概率为

()()1587.08413.0111103040140=-=Φ-=??

?

??-Φ-=>X P ；

（2）记Y 为5天中某人迟到的次数，则Y 服从1587.0,5==p n 的二项分布，5天中最多迟到一

次的概率为

()()()()8192.08413.01587.0158413.01587.01514

50=????

? ??+????? ??=≤Y P 。

习题五

1. 二维随机变量()Y X ,只能取下列数组中的值：()()()0,2,31,1,1,1,0,0??

? ?

?--，且取这些组值的概率依次为12

5

,121,

31,61，求这二维随机变量的分布律。

解 由题意可得()Y X ,的联合分布律为

2. 3,2,2,1中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X 、Y 分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求()Y X ,的分布律及()Y X P =。

解 X 可能的取值为3,2,1，Y 可能的取值为3,2,1，相应的，其概率为

()()()()()()()()().

03,3,61

34212,3,1211,3,61

34123,2,6134122,2,6134121,2,12

1

34113,1,6134212,1,01,1====??=======??====??====??====??====??=

=====Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y

X P

或写成

3

12

1 61 0 ()()()()6

1

3,32,21,1===+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P 。

5. 箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量

X 、Y 如下：

X= 0， 若第一次取出正品； Y= 0， 若第二次取出正品； 1， 若第一次取出次品； 1， 若第二次取出次品。 分别就下面两种情况求出二维随机变量()Y X ,的联合分布律：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。

解 （1）在放回抽样时，X 可能取的值为1,0，Y 可能取的值也为1,0，且

()()()(),

251

1010221,1,2541010820,1,

25

4

1010281,0,25161010880,0=??====??====??====??=

==Y X P Y X P Y X P Y X P

或写成

（2）在无放回情形下，X 、Y 样，具体为

()()()(),

451

910121,1,458910820,1,45

8

910281,0,4528910780,0=??====??====??====??=

==Y X P Y X P Y X P Y X P

或写成

联合分布律按行相加得X 按列相加得Y 的边缘分布律为

在有放回情况下X Y 的边缘分布律为

在无放回情况下X 的边缘分布律为

Y 的边缘分布律为

在有放回情况下，由于()250,0===Y X P ，而()()25

16

545400=?===Y P X P ，即

()()()000,0=====Y P X P Y X P ；容易验证()()(),101,0=====Y P X P Y X P

()()()()()()111,1,010,1==========Y P X P Y X P Y P X P Y X P ，由独立性定义知X 与Y 相互独立。

在无放回情况下，由于()45280,0===Y X P ，而()()25

16

545400=?===Y P X P ，易见

()()()000,0==≠==Y P X P Y X P ，所以X 与Y 不相互独立。

9. 设X 、

写出表示()Y X ,解 由于X 与Y 相互独立，因此

()()()

,3,2,1,4,3,2,1,,=======j i y Y P x X P y Y x X P j i j i

例如()()()8

121415.025.0,2=?=-=-==-=-=Y P X P Y X P

11. 设X 与Y 2.0,0Y 服从参数为5的指数分布，

求()Y X ,的联合密度函数及()Y X P ≥。 解. 由均匀分布的定义知

()=x f X

,0,5 其他

2.00<

()=y f Y ,

0,

55y e - 其他0>y

因为X 与Y 独立，易得()Y X ,的联合密度函数

()()()==y f x f y x f Y X , ,

0,

255y e - 其他0,2.00><

概率()()??=≥G

dxdy y x f Y X P ,，

其中区域(){}y x y x G ≥=|,见图5.3，经计算有

()()

12

.0052

.00051525---=-==≥???e dx e dy e dx Y X P x x

y 。

12. 设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为

()=y x f ,

(),

0,

43y x ke +- 其他0,0>>y x 求：（1）系数k ；（2）()20,10≤≤≤≤Y X P ；（3）证明X 与Y 相互独立。

解 （1）k 必须满足()??+∞∞-+∞

∞-=1,dxdy y x f ，即()10430=??+∞

+-+∞

dx ke dy y x ，经计算得12=k ；

（2）()()()()

832

01

043111220,10--+---==≤≤≤≤??e e dx e dy Y X P y x ；

（3）关于X 的边缘密度函数

()()?+∞

∞-==dy y x f x f X , (),

0,120

43dy e y x ?+∞+- 其他

0>x = ,

0,

33x e - 其他0>x

同理可求得Y 的边缘密度函数为

()=y f Y

,

0,

44y e - 其他0>x 易见()()()+∞<<-∞+∞<<-∞=y x y f x f y x f Y X ,,,，因此X 与Y 相互独立。

13. 已知二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为

()=y x f ,

(),0,

1y x k - 其他

x y x <<<<0,10

（1）求常数k ；（2）分别求关于X 及关于Y 的边缘密度函数；（3）X 与Y 是否独立？ 解 （1）k 满足()??+∞∞-+∞∞-=1,dxdy y x f ，即()??=-10011x

ydy x k dx 解得24=k ；

（2）X 的边缘密度函数

()()?+∞

∞-==dy y x f x f X , (),

0,

1240

dy y x x

?- 其他10<

(),

0,

1122x x -

其他

10<

Y 的边缘密度函数为

()=y f Y (),

0,1241

?-y

ydx x 其他

10<

0,

1122

y y - 其他10<

（3）

3141212441,21=??=??

?

??f ，而()()16271694112,23214112=

??==??=y f x f Y X ，易见

??

?

????? ??≠??? ??412141,21Y X f f f ，因此X 与Y 不相互独立。 14. 设随机变量X 与Y

且()5

30|1===X Y P ，（1） 求常数b a ,的值；（2）当b a ,取（1）中的值时，X 与Y 是否独立？为什么？

解 （1）b a ,必须满足∑∑===213

1

1j i ij p ，即

1252251253252=+++++a b ，可推出25

17

=

+b a ，另外由条件概率定义及已知的条件得

()()()5325

201,00|1=+=====

==b b X P Y X P X Y P 由此解得253=b ，结合2517=+b a 可得到2514

=a ，

即

25

325

14=

=

b a

（2）当253,2514==b a 时，可求得()()25

17

0,2550====Y P X P ，易见

()()()0025

2

0,0==≠===Y P X P Y X P

因此，X 与Y 不独立。

15. 对于第2题中的二维随机变量()Y X ,的分布，求当2=Y 时X 的条件分布律。

解 易知()122===?Y P p ，因此2=Y 时X 的条件分布律为

16. 对于第6题中的二维随机变量()Y X ,的分布，求当??

?

??<<-=021,x x X 时Y 的条件密度函数。 解 X 的边缘密度函数为（由第7题所求得）

()=x f X

(),

0,124+x 其他0

21

<<-x 由条件密度函数的定义知当???

??<<-=021,x x X 时Y 的条件密度函数为

()()()==x f y x f x y f X X Y ,|| (),

0,1244

+x 其他

120+<

= ,

0,

121

+x 其他

120+<

习题六

1. 设X 的分布律为

求出：以下随机变量的分布律。（1）2+X ；（2）1+-X ；（3）2X 。

解 由X 的分布律

2+X 0 1.5 2 4 6 1+-X 3 1.5 1 -1 -3 2X

4 0.2

5 0 4 16

由此表可定出

（1）2+X 的分布律为

（2）1+-X 的分布律为

（3）2X 的分布律为

其中()

()()24

682242=+=-=+===X P X P X P 。

2. 设随机变量X 服从参数1=λ的泊松分布，记随机变量=Y

,

1,1;1,0>≤X X 若若试求随机变量Y 的分

布律。

解 由于X 服从参数1=λ的泊松分布，因此

(),,2,1,0,!

!11

1Λ====--k k e e k k X P k

而 ()()()()11

12!

1!01010---=+==+==≤==e e e X P X P X P Y P ； ()()()1211111--=≤-=>==e X P X P Y P 。

即Y 的分布律为

3. 设X 的密度函数为()=x f

,

0,2x

,

;10其他<

（3）2X 。

解 求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数，然后再求密度函数。如果()x g y =为单调可导函数，则也可利用性质求得。

（1）解法一：设X Y 2=，则Y 的分布函数

()()()??? ?

?

≤=≤=≤=22y X P y X P y Y P y F Y

= ??1

02202

xdx xdx y

1212002

≥<≤

=

1

40

2

y 2

200

≥<≤

()()='=y F y f Y Y 0

2y

其他

2

0<

1

='y h ，则

()()()()y h y h f y f X Y '=

= ,0,2122??

y 其他1

2

0<

,

2y 其他

20<

（2）设1+-=X Y ，则()()1,1-='=-=y h y h y x ，Y 的密度函数

()()()()='=y h y h f y f X Y

()()2110

y -?-

其他1

10<-

=

()

12-y

其他

1

10<-

（3）设2X Y =，由于X 只取()1,0中的值，所以2x y =也为单调函数，其反函数()()y

y h y y h 1

21,='=，因此Y 的密度函数为

()()()()='=y h y h f y f X Y

,

0,1

212y y ? 其他

10<

=

,

0,1 其他

1

0<

4. 对圆片直径进行测量，测量值X 服从()6,5上的均匀分布，求圆面积Y 的概率密度。 解 圆面积24

1X Y π=，由于X 均匀取()6,5中的值，所以X 的密度函数

()=x f X

,0,1 .

;65其他<

1

x y π=为单调增加函数()()6,5∈x ，其反函数

()()y y y h y

y

y h πππ

π

1

1212

,24=?

=

'=

=

，

Y 的密度函数为

()()()()='=y h y h f y f X Y

,0,

1

y π ,;

625其他<<

π

y

= ,

0,1y π .;

9425其他ππ<

5. 设随机变量X 服从正态分布()1,0N ，试求随机变量的函数2X Y =的密度函数()y f Y 。 解 ()1,0~N X ，所以()+∞<<-∞=-x e x f x X ,2122

π

，此时2x y =不为单调函数不能直接利用性质求出()y f Y 。须先求Y 的分布函数()y F Y 。

()()()

=≤=≤=y X P y Y P y F Y 2

(

)

y

X y P ≤

≤-0

,0;0≥

()

()??---==≤≤-y y

y y X dx e dx x f y X y P x 22

21π

.

()()='=y F y f Y Y ,

0,2121212122y e y e y y --+ππ

,

;

0其他>y = ,

0,212

y

e y -π .

;

0其他>y

6. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，求随机变量的函数X e Y =的密度函数()y f Y 。

解 ()=x f X ,

0,

x e - .;0其他>x

x e y =的反函数()()y y h y y h 1

,ln ='=，因此所求的Y 的密度函数为

()()()()='=y h y h f y f X Y

ln 1,0,y e y - ,

;

0ln 其他>y = ,

0,12

y .

;1其他>y

7. 设X 服从()1,0N ，证明a X +σ服从()2,σa N ,其中σ,a 为两个常数且0>σ。

证明 由于()1,0~N X ,所以()+∞<<-∞=

-x e x f x X ,2122

π

，记a X Y +=σ，则当0>σ时，a x y +=σ为单增函数，其反函数()()σ

σ1

,='-=

y h a y y h ,因此Y 的密度函数为()()()()()+∞<<-∞=

?

=

'=--

??

? ??--y e

e

y h y h f y f a y a y X Y ,211

21

2

2

2

221σσσ

πσ

π

，

即证明了()2,~σσa a X N +。

8. 设随机变量X 在区间[]2,1-上服从均匀分布，随机变量=Y 1,00,01,0.

X X X >=-<若；

若；若

试求随机变量函数Y 的分布律。

解 []2,1~-R X ，则()=x f ,0,

31

.

;21其他<<-x

而 ()()?-==<=-=013

1

3101dx X P Y P ；

()()000====X P Y P ；

()()?==>==203

2

3101dx X P Y P 。

因此所求分布律为

Y -1 0 1