随机过程考试真题
1、设随机过程C t R t X +?=)(,),0(∞∈t ,C 为常数,R 服从]1,0[区间上的均匀分布。
(1)求)(t X 的一维概率密度与一维分布函数; (2)求)(t X 的均值函数、相关函数与协方差函数。
2、设{
}∞<<∞-t t W ),(就是参数为2
σ的维纳过程,)4,1(~N R 就是正态分布随机变量; 且对任意的∞<<∞-t ,)(t W 与R 均独立。令R t W t X +=)()(,求随机过程
{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数与协方差函数。
3、设到达某商场的顾客人数就是一个泊松过程,平均每小时有180人,即180=λ;且每个 顾客的消费额就是服从参数为s 的指数分布。求一天内(8个小时)商场营业额的数学期望与方差。
4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为:
???
?
?
??=3.007.08.02.0007.03.0P
(1)求两步转移概率矩阵)
2(P 及当初始分布为
0}3{}2{,
1}1{000======X P X P X P
时,经两步转移后处于状态2的概率。
(2)求马尔可夫链的平稳分布。
5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ,转移概率矩阵为:
???
???
?
?
??=010007.03.0000
0001
00004.06.0003.04
.03.0P
求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。
6、设{}(),0N t t ≥就是参数为λ的泊松过程,计算[]()()E N t N t s +。
7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以i N 记在i 第层进入电梯的人数。假定i N 相互独立,且i N 就是均值为i λ的泊松变量。在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯,
1ij
j i
p
>=∑。令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。
(1)计算()j E O (2)j O 的分布就是什么
(3)j O 与k O 的联合分布就是什么
8、一质点在1,2,3点上作随机游动。若在时刻t 质点位于这三个点之一,则在),[h t t +内,它都
以概率 )(h o h +分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程,转移概率)(t p j i 及平稳分布。
1有随机过程{ξ(t ),-∞ A,B,ω,φ为实常数,Θ均匀分布于[0,2π],试求R ξη(s ,t ) 2(15分)随机过程ξ(t )=A cos(ωt +Φ ),-∞ 3某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson 过程,已知商店9:00开门,试求:(1)在开门半小时中,无顾客到来的概率; (2)若已知开门半小时中无顾客到来,那么在未来半小时中,仍无顾客到来的概率。 4设某厂的商品的销售状态(按一个月计)可分为三个状态:滞销(用1表示)、正常(用2表示)、畅销(用3表示)。若经过对历史资料的整理分析,其销售状态的变化(从这月到下月)与初始时刻无关,且其状态转移概率为p ij (p ij 表示从销售状态i 经过一个月后转为销售状态j 的概率),一步转移开率矩阵为: []??????? ????? ????=613 26 195913102121P 试对经过长时间后的销售状况进行分析。 5设{X (t ),t ≥0}就是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}就是一个马尔科夫过程。 6设{}N(t),t 0≥就是强度为λ的泊松过程,{}k Y ,k=1,2,L 就是一列独立同分布随机变量,且 与{}N(t),t 0≥独立,令N(t) k k=1X(t)=Y ,t 0≥∑,证明:若2 1E(Y <)∞,则[]{}1E X(t)tE Y λ= 7、设明天就是否有雨仅与今天的天气有关,而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为α,而今天无雨明天有雨的概率为β;规定有雨天气为状态0,无雨天气为状态1。设0.7,0.4αβ==,求今天有雨且第四天仍有雨的概率。 8设(){ }+∞<<∞-t t ,ξ就是平稳过程,令()()()+∞<<∞-Θ+=t t t t ,cos 0ωξη,其中ω0就是常数,Θ为均匀分布在[0,2π]上的随机变量,且(){ }+∞<<∞-t t ,ξ与Θ相互独立,R ξ(τ)与S ξ(ω)分别就是(){}+∞<<∞-t t ,ξ的相关函数与功率谱密度,试证: (1)(){ }+∞<<∞-t t ,η就是平稳过程,且相关函数: ()()τωττξη0cos 2 1 R R = (2)(){ }+∞<<∞-t t ,η的功率谱密度为: ()()()[]004 1 ωωωωωξξη++-= S S S 9已知随机过程ξ(t )的相关函数为: ()2 ατξτ-=e R ,问该随机过程ξ(t )就是否均方连续？就是否均方可微？ 1、设随机过程C t R t X +?=)(,),0(∞∈t ,C 为常数,R 服从]1,0[区间上的均匀分布。 (1)求)(t X 的一维概率密度与一维分布函数; (2)求)(t X 的均值函数、相关函数与协方差函数。 【理论基础】 (1)? ∞ -= x dt t f x F )()(,则)(t f 为密度函数; (2))(t X 为),(b a 上的均匀分布,概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1)(b x a a b x f ,分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(,2)(b a x E += ,12)()(2a b x D -=; (3)参数为λ的指数分布,概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ,分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ,λ1)(=x E ,21 )(λ=x D ; (4)2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布,概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ,分 布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ,若1,0==σμ时,其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2、1及2、2题。 (1)因R 为]1,0[上的均匀分布,C 为常数,故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知,) (t X