指数与指数函数
【考纲要求】
1.理解分数指数的概念,掌握有理指数幂的运算性质
2.掌握无理指数幂的概念,将指数的取值范围推广到实数集;
3.掌握指数函数的概念,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域;
4.掌握指数函数图象:
5.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习,培养观察、分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法;
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、整数指数幂的概念及运算性质
(1)整数指数幂的概念
()
()),0(1010*Z*n a a
a a a Z n a a a a n n a n n ∈≠=≠=∈???=-
个
(2)运算法则
①n m n m a
a a +=?; ②()mn n m a a =; ③()0≠>=-a n m a a
a n m n m ,; ④()m m m
b a ab =. 指数与指数函数
图象与性质
指数运算
性
质 指数函数的
图
像
与
指
数
的
概
念
考点二、根式的概念和运算法则
(1)n 次方根的定义:
若x n =y(n ∈N *,n>1,y ∈R),则x 称为y 的n 次方根.
要点诠释:
n 为奇数时,正数y 的奇次方根有一个,是正数,记为n y ;负数y 的奇次方根有一个,是负数,记为n y ;零的奇次方根为零,记为00=n ;
n 为偶数时,正数y 的偶次方根有两个,记为
0=.
(2)根式的意义与运算法则
y y n n =)(
???=)
(||)(,为偶数为奇数n a n a a n n
考点三、分数指数幂的概念和运算法则
为避免讨论,我们约定a>0,n ,m ∈N *,且m n
为既约分数,分数指数幂可如下定义: 1
n
a =
m m n
a ==-1m n m n
a a =
考点四、有理数指数幂的运算性质 ()Q b a ∈>>βα,00,,
(1);a a a
αβαβ+?= (2)();a a αβαβ=
(3)();ab a b ααα=
当a>0,p 为无理数时,a p 是一个确定的实数,上述有理数指数幂的运算性质仍适用.
要点诠释:
(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质,将根式转化为分数指数幂运算;
(2)根式运算中常出现乘方与开方并存,要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-;
(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.
考点五、指数函数
(1)定义:
2.1.1指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次 当n 是偶数时,正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根. n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数 时,0a ≥. n a =;当n a =;当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-. (2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: 0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.② 正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0 的负分数指 数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习
1.下列各式中成立的一项 ( ) A .71 7 7)(m n m n = B .31243)3(-=- C .4 343 3)(y x y x +=+ D . 33 39= 2.化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 ( ) A .a 6 B .a - C .a 9- D .2 9a 3.设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ,则下列等式中不正确的是 ( ) A .f (x +y )=f(x )·f (y ) B .) () (y f x f y x f =-) ( C .)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D .)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4.函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y ( ) A .}2,5|{≠≠x x x B .}2|{>x x C .}5|{>x x D .}552|{><
指数函数 (一)整数指数幂 1.整数指数幂概念: a n n a a a a 个???=)(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2.整数指数幂的运算性质:(1)(),m n m n a a a m n Z +?=∈ (2)() (),n m mn a a m n Z =∈ (3)()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=, ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? . 3.a 的n 次方根的概念 一般地,如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1,那么这个数叫做a 的n 次方根, 即: 若a x n =,则x 叫做a 的n 次方根,()* ∈>N n n ,1 例如:27的3次方根3273=, 27-的3次方根3273-=-, 32的5次方根2325=, 32-的5次方根2325-=-. 说明:①若n 是奇数,则a 的n 次方根记作n a ; 若0>a 则0>n a ,若o a <则0
一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂: ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂: 01(0) a a =≠ 负整数指数幂: 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂:正分数指数幂的意义是: (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是: 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量,a是常数(我们只讨论a是有理数的情况). 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图;当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图: 由图象可知,对于幂函数而言,它们都具有下列性质:
a y x =有下列性质: (1)0a >时: ①图象都通过点(0,0),(1,1); ②在第一象限内,函数值随x 的增大而增大,即在(0,)+∞上是增函数. (2)0a <时: ①图象都通过点(1,1); ②在第一象限内,函数值随x 的增大而减小,即在(0,)+∞上是减函数; ③在第一象限内,图象向上与y 轴无限地接近,向右与x 轴无限地接近. (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点; (4)任何幂函数图象都不经过第四象限; (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点. 二、指数函数 ①定义:函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1)函数的定义域为R ; 2)函数的值域为),0(+∞; 3)当10<a 时函数为增函数. 4)有两个特殊点:零点(0,1),不变点(1,)a . 5)抽象性质: ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =(0a >,1a ≠),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >,1a ≠,0N >). 1.对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+. log log log a a a M M N N =-.
高一数学 指数函数平移问题 ⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x +a )的图象;向右平移a 个单位得到f (x -a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )+a 的图象;向下平移a 个单位得到f (x )-a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3,∴值域是≤<.0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 (1)4 12 -=x y ; (2)|| 2()3 x y =; (3)12 41 ++=+x x y ; 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 及时演练 指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ). 【例3】比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 358945 12--()
指数函数与对数函数知识点总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次 方根,其中n >1,且n ∈N * . 当n 是奇数时, a a n n =,当n 是偶数时, ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3)s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数, 记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值 真数 (二)对数的运算性质 如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○ 1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○ 2 =N M a log M a log -N a log ; ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式 a b b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ; 0>b ). 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log =; (2)a b b a log 1log =. (二)对数函数
高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素,则集合A 的所有不同的子集个数为n 2,所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=,顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422,。用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式,即(一般式)c bx ax x f ++=2)(,(零点式))()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( (顶点式)。 2、 幂函数n m x y = ,当n 为正奇数,m 为正偶数, m ),(y x P ,点P 到原点的距离记为r ,则sin α= r y ,cos α=r x ,tg α=x y ,ctg α=y x ,sec α=x r ,csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中,平方关系是:1cos sin 2 2 =+αα,αα22sec 1=+tg ,αα22csc 1=+ctg ; 倒数关系是:1=?ααctg tg ,1csc sin =?αα,1sec cos =?αα; 相除关系是:αααcos sin = tg ,α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为:奇变偶不变,符号看象限。如:=-)23sin( απαcos -,)2 15(απ -ctg =αtg ,=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω),(其中00>>ωA 的最大值是B A +,最小值是A B -,周期是ω π 2= T ,频 率是πω2= f ,相位是?ω+x ,初相是?;其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω,凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间: x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ,)(Z k ∈,递减区间是????? ? ++23222ππππk k ,)(Z k ∈;x y cos =的递增区间是[]πππk k 22,-)(Z k ∈,递减区间是[]πππ+k k 22,)(Z k ∈,tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ,)(Z k ∈,ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ,)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是:sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。 指数函数与对数函数总结与练习 一、指数的性质 (一)整数指数幂 1.整数指数幂概念: a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2.整数指数幂的运算性质:(1)(),m n m n a a a m n Z +?=∈ (2)() (),n m mn a a m n Z =∈ (3)()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=, ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? . 3.a 的n 次方根的概念 一般地,如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1,那么这个数叫做a 的n 次方根, 即: 若a x n =,则x 叫做a 的n 次方根, ()* ∈>N n n ,1 说明:①若n 是奇数,则a 的n 次方根记作n a ; 若0>a 则0>n a ,若o a <则0 指数函数知识点汇总 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解)
指数函数知识点汇总