一次函数习题(应用题及分段函数)
一次函数应用题及分段函数
1、 如图，直线y=
1
2
x+2交x 轴于点Ａ，交y 轴于点Ｂ，点Ｐ（x , y ）是线段AB 上一动点（与Ａ，Ｂ不重合），△PAO 的面积为Ｓ，求Ｓ与x 的函数关系式。
2、如图，直线L ：22
1
+-
=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点C （0，4）,动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动。
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）求△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式； （3）当t 何值时△COM ≌△AOB ，并求此时M 点的坐标。
3、和谐商场销售甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元.（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价-进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案.
P
B A
O
y
4、上海世博园建设期间，计划在园内某处种植A、B两种花卉，共需购买这两种花卉1200棵. 种植A、B 两种花卉的相关信息如下表：
项目
单价（元/棵）劳务费（元/棵）
品种
A 12 3
B 16 4
设购买A种花卉x棵，种植A、B两种花卉的总费用为y元.
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）由于景观效果的需要，B种花卉的棵数是A种花卉棵数的2倍，求此时种植A、B两种花卉的总费用.
5.一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些
后，又降价出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象
回答下列问题：
（1）农民自带的零钱是多少？
（2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？
（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆？
6、.辽南素以“苹果之乡”著称，某乡组织20辆汽车装满运三种苹果42吨到外地销售。按规定每辆车只装同一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于2车。
(1)、设有x辆车装运种A苹果，用y辆车装运种B苹果，根据下表提供的信息求y与x之间的函数关
系式，并求x的取值范围；
(2)、设此次外销活动的利润为W (百元)，求w与x的函数关系式以及最大利润，并安排相应的车辆分
配方案。
7、A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C市10台，D市8台，已知从A市调运一台机器到C市和D市的运费分别是400元和800元，从B市调运一台机器到C市和D市的运费分别是300元和500元，求总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？
8、手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元，设购进A型手机x部，B型手机y部，三款手机的进价和预售价如下表：
（1）用含x、y的式子表示购进C型手机的部数
（2）求出y与x之间的函数关系式
（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机的过程中，需
另外支出各种费用共1500元
○1求出预估利润P （元）与x （部）的函数关系式；（注：预估利润p=预售总额—购机款—各种费用） ○2求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部？
9（2005·宁夏）春、秋季节，由于冷空气的入侵，地面气温急剧下降到0℃以下的天气现象称为“霜冻”. 由霜冻导致植物生长受到影响或破坏现象称为霜冻灾害。
某种植物在气温是0℃以下持续时间超过3小时，即遭到霜冻灾害，需采取预防措施. 右图是气象台某天发布的该地区气象信息，预报了次日0时~8时气温随着时间变化情况，其中0时~5时，5时~8时的图象分别满足一次函数关系. 请你根据图中信息，针对这种植物判断次日是否需要采取防霜措施，并说明理由。
10、某公司专销产品A ，第一批产品A 上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系． （1）试写出第一批产品A 的市场日销售量y 与上市时间t 的关系式；
（2）第一批产品A 上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？
5 3 0 5
8
-3 x （时） y (℃)
11、在一条直线上依次有A 、B 、C 三个港口，甲、乙两船同时分别从A 、B 港口出发，沿直线匀速驶向C 港，最终达到C 港．设甲、乙两船行驶x （h ）后，与．B ．港的距离．．．．分别为1y 、2y （km ），1y 、2y 与x 的函数关系如图所示．
（1）填空：A 、C 两港口间的距离为 km ， a ； （2）求图中点P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两船的距离不超过10 km 时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x 的取值范围．
12、某办公用品销售商店推出两种优惠方法：○
1购1个书包，赠送1支水性笔；○2购书包和水笔一律按 9折优惠，书包每个定价20元，水性笔每支定价5元，小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）
（1）分别写出两种优惠方法购买费用y(元)与所买水性笔支数x(支)之间的函数关系式 （2）对x 的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜
（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎么购买最经济
13、如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝12厘米，BC =6厘米，点P 从A 点出发，沿A →B →C →D 路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D →C →B →A 运动，到A 点停止．若点P ，点Q 同时出发，点P 的速度为每秒1厘米，点Q 的速度为每秒2厘米，a 秒时点P ，点Q 同时改变速度，点P 的速度变为每秒b 厘米，点Q 的速度变为每秒c 厘米．如图2是描述点P 出发x 秒后△APD 的面积S 1（2
厘米）与x (秒)的函数关系的图象．图3是描述点Q 出发x 秒后△AQD 的面积S 2（2
厘米）与x (秒)的函数关系图象．根
（第3题）
甲 乙
图1
Q P D C A 据图象：
（1）求a 、b 、c 的值；
（2）设点P 离开点A 的路程为y 1(厘米)，点Q 到点A 还需要走的路程为y 2(厘米)，请分别写出改变速度后y 1、y 2与出发后的运动时间x (秒)的函数关系式，并求出P 与Q 相遇时x 的值．
14.如图，折线ABC 是在某市乘出租车所付车费y （元） 与行车里程x （km ）?之间的函数关系图象．
①根据图象，写出当x ≥3时该图象的函数关系式； ②某人乘坐2.5km ，应付多少钱？
③若某人付车费30.8元，出租车行驶了多少千米？
15、2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震。某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区。乙组由于要携带一些救灾物资
比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）。图中的折线、线段分别表示甲、乙两组所走路程(千
米)、(千米)与时间x（小时）之间的函数关系对应的图像。请根据图象所提供的信息，解决下列问题：（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了_________小时；
（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区。请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？
（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此
后两车之间的路程不过25千米。请通过计算说明，按图像所表示
的走法是否符合约定。
16、某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台
空调机电冰箱
甲连锁店200 170
乙连锁店160 150
y（元）．（1）求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？
17、某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，?汽车货运公司和铁路货运公司均开办了海产品运输业务．已
知运输路程为120千米，?汽车和火车的速度分别为60千米/时和100千米/时．两货物公司的收费项目和收费标准如下表所示：
运输工具运输费单价
（元/吨·千米）
冷藏费单价
（元/吨·小时）
过路费
（元）
装卸及管理费
（元）
汽车 2 5 200 0
火车 1.8 5 0 1600
注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/?吨小时”表示每吨货物每小时的冷藏费．
（1）设该批发商待运的海产品有x（吨），?汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1（元）和y2（元），试求出y1和y2与x的函数关系式；
（2）若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，?他应该选择哪个货运公司承担运输业务？
分段函数应用题72955
精心整理 分段函数应用题 1.（四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示： （１）月通话为100分钟时，应交话费元； （２）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式； 3.( （ （ （ 4.3 （1 （2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？ 5.一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的1 ，估计步行不能准时到达，于是 4 他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图2所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了多少分钟？ 6.某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表
示的是市场日销售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系． （1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式； （2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？ 7.为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加 （1 （2 8. （1 （2 9.如图7，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（） 10.星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发2小时到达目的地，游 玩3小时后按原路以原速返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如图11，是他们离家的路程y(千米)与时间x(时)的函数图像。已
初中一次函数典型应用题
中考一次函数应用题 近几年来，各地的中考题中越来越多地出现了与函数有关的经济型考试题，这种类型的试题，由 于条件多，题目长，很多考生无法下手，打不开思路，在考场上出现了僵局，在这里，我特举几例， 也许对你有所帮助。 例1 已知雅美服装厂现有 A 种布料70 米，B 种布料52 米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80 套。已知做一套M型号的时装需要 A 种布料0. 6 米，B种布料0.9 米，可获利润45 元；做一套N型号的时装需要A种布料 1.1 米，B 种布料0. 4 米，可获利润50 元。若设生产N种型号的时装x，用这批布料生产这两种型号的时装所获总利润为y 元。 套数为 （1）求y 与x的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）雅美服装厂在生产这批服装中，当N型号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？ 例2 某市电话的月租费是20 元，可打60 次免费电话（每次 3 分钟），超过60 次后，超过部分每次0. 13 元。 （1）写出每月电话费y （元）与通话次数x之间的函数关系式； （2）分别求出月通话50 次、100 次的电话费； （3）如果某月的电话费是27. 8 元，求该月通话的次数。 例3 荆门火车货运站现有甲种货物1530 吨，乙种货物1150 吨，安排用一列货车将这批货物运往广州， 这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢50 节，已知用一节 A 型货厢的运费是0. 5 万元，用一节 B 型货厢的运费是0.8 万元。 （1）设运输这批货物的总运费为y （万元），用A 型货厢的节数为x（节），试写出y 与x之间的 函数关系式； （2）已知甲种货物35 吨和乙种货物15 吨，可装满一节 A 型货厢，甲种货物25 吨和乙种货物35 吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请你设计出来。 （3）利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？
分段函数练习题
1、分段函数 x 2 +6x +7, x 0, 1、已知函数f (x )＝ 1x 0x +, 6x +7, x x 00, , 提示：本题考查分段函数的求值，注意分段函数分段求。 解析：0代入第二个式子，-1代入第一个式子，解得f (0) + f (-1) =3，故正确答案为C. 90 2、函数 y =x + 的图象为下图中的( ) x 提示：分段函数分段画图。 解析：此题中 x ≠0，当 x>0 时，y=x+1,当 x<0 时，y=x-1, 故正确答案为 C. 120 3、下列各组函数表示同一函数的是( ) x (x 0) x 2 - 4 ①f(x)=|x|，g(x)= ②f(x)= ，g(x)=x+2 ③f(x)= x 2 ，g(x)=x+2 - x ( x 0) x - 2 ④f(x)= 1- x 2 + x 2 -1 ，g(x)=0 ，x ∈{－1，1} A.①③ B.① C.②④ D.①④ 提示：考察是否是同一函数即考察函数的三要素：定义域、值域、对应关系，此题应注意分 段函 数分段解决。 解析：此题中①③正确，故正确答案为 A. 120 2e x -1 , x 2 4、设 f (x )= 2 ，则 f ( f (2))的值为( ) log 3 (x 2 -1) , x 2 A. 0 B.1 C. 2 D.3 提示：此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数 在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．考查对分段函数的理解程度。 解析：因为 f (2)=log 3(22﹣1)=1，所以 f (f (2)) =f (1)=2e 1 1=2．因此 f (f (2)) =f (log 3(22﹣1)) =f (1)=2e 1 1=2，故正确答案为 C. 90 log (4 - x ), x 0 5、定义在R 上的函数 f (x )满足 f (x )= 2 ， 则 f (3)的值为( ) f (x -1)- f (x -2), x A ． 9 B ． 71 10 C ． 3 D ． 11 10 ，则 f (0)+ f (-1)＝(
分段函数应用题
分段函数应用题 1.（四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示： （１）月通话为100分钟时，应交话费元； （２）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式； （3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？ 3. (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x≤100和x≥100时，y与x的函数关系式； （2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准； （3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？ 4.某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元． （1）完成此房屋装修共需多少天？ （2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？ 5.一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的1 4 ，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行 程与时间关系如图2所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了多少分钟？
6. 某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系． （1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式； （2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？ 7.为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取 的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图5所示． （1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖 励小强家务劳动的？ （2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？ 8.有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示． （1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为元； （2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？ 9. 如图7，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y 与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）
分段函数的几种常见题型及解法好
分段函数的几种常见题型及解法 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 【解析】 作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为 [1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 2．求分段函数的函数值 例2．（05年浙江理）已知函数2 |1|2,(||1) ()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()] f f . 【解析】 因为311222()|1|2f =--=-, 所以31 222 3214 [()]()1()13 f f f =-= =+-. 3．求分段函数的最值 例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对
称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 【解析】 当[2,0]x ∈-时, 121y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移 1 个单位, 得解析式为11 22(2)111 y x x =-+-=-, 所以()22([f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2 个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以 1 ()2([0,2]) f x x x =+∈, 综上可得2 22(10) ()2(02)x x x f x x +-≤≤?=?+<≤?, 故选A . 5．作分段函数的图像 例5．函数|ln ||1|x y e x =--的图像大致是（ ） A y x
(完整版)一次函数专题复习考点归纳+经典例题+练习
一次函数知识点复习与考点总结 考点1：一次函数的概念. 相关知识：一次函数是形如y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的函数，特别的当0=b 时函数为)0(≠=k kx y ，叫正比例函数. 1、已知一次函数k x k y )1(-=+3,则k = . 2、函数n m x m y n +--=+1 2)2(，当m= ，n= 时为正比例函数；当m= ， n 时为一次函数． 考点2：一次函数图象与系数 相关知识：一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是一条直线，图象位置由k 、b 确定，0>k 直线要经过一、三象限，0 是 ． 8. 已知一次函数y=mx +n -2的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ） A.m ＞0,n ＜2 B. m ＞0,n ＞2 C. m ＜0,n ＜2 D. m ＜0,n ＞2 9．已知关于x 的一次函数y mx n =+的图象如图所示，则2||n m m --可化简为__ __. 10. 如果一次函数y=4x +b 的图像经过第一、三、四象限，那么b 的取值范围是_ _。 考点3：一次函数的增减性 相关知识：一 次函数)0(≠+=k b kx y ，当0>k 时，y 随x 的增大而增大，当0 / 1 —/ % 1 4 1 3 5 5. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的 他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图 达考场所花的时间比一直步行提前了多少分钟？ 1 -，估计步行不能准时到达，于是 4 2所示（假定总路程为 1）,则他到 全部售完.该公司对第一批产品 如图所示，其中图（3）中的折线表 的折线表示的是每件产品 A 的销 （1） 试写出第一批产品 A 的市 场 （2） 第一批产品A 上市后，哪一 6.某公司专销产品 A,第一批产品A 上市40天内 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查， 调查结果 示的是市场日销售量与上市时间的关系；图 （4）中 售利润与 上市时间的关系. 日销售量y 与上市时间t 的关系式； 天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多 7.为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳 动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的?若设小强每月 的家务劳动时间为 x 小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用 为y 元，贝U y （元）和x （小时）之间的函数图像如图 5所示. （1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖 分段函数应用题 1.（四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间 x （分钟）与相应话费 y （元）之间的函数 图象如图1所示： （1） _____________________________ 月通话为100分钟时，应交话费 元； （2） 当x > 100时，求y 与x 之间的函数关系式； （3） 月通话为280分钟时，应交话费多少元？ 3. （广东）今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若 某户居民每月应交电费 y （元）与用电量 x （度） 的函数图象是一条折线（如图 3所示），根据图象解下列问题: （1） 分别写出当0w x < 100和x > 100时，y 与x 的函数关系式； （2） 利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准； （3） 若该用户某月用电 62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费 105元时，则该用户该月用了多少度电？ 4. 某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修 3天，剩下的工作由甲、乙两个装修 公司合作完成?工程进度满足如图 1所示的函数关系，该家庭共支付工资 8000元. （1） 完成此房屋装修共需多少天？ （2） 若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？ 路裡 时间（分钟） y 口佶售呈/万件 门） 励小强家务劳动 1 4 函数的概念和性质 考点 分段函数 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2．求分段函数的函数值 例2．已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()]f f . 例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? y x 一次函数应用题专题训练 1．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为x(时)，两车之间的距离为y(千米)，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x 之间的函数关系． （1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离； （2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值；（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图像. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上) 2．春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有400人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票．售票时售票厅每分钟新增购票人数4人，每分钟每个售票窗口出售的票数3张．某一天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分钟）的关系如图所示，已知售票的前a分钟只开放了两个售票窗口（规定每人只购一张票）． （1）求a的值． （2）求售票到第60分钟时，售票听排队等候购票的旅客人数． （3）若要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随到随购，至少需要同时开放几个售票窗口？ 3.在一条直线上依次有A 、B 、C 三个港口，甲、乙两船同时分别从A 、B 港口出发，沿直线匀速驶向C 港，最终达到C 港．设甲、乙两船行驶x （h ）后，与．B ．港的距离．．．． 分别为1y 、2y （km ），1y 、2y 与x 的函数关系如图所示． （1）填空：A 、C 两港口间的距离为 km ， a ； （2）求图中点P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； （3）若两船的距离不超过10 km 时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x 的取值范围． 4.一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示： 销售方式 粗加工后销售 精加工后销售 每吨获利（元） 1000 2000 已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行.受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完. ⑴如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？ ⑵如果先进行精加工，然后进行粗加工. ①试求出销售利润W 元与精加工的蔬菜吨数m 之间的函数关系式； ②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多可获得多少利润？此时如何分配加工时间？ O y/km 90 30 a 0.5 3 P 甲 乙 x/h 初中数学—分段函数应用题 1.（四川）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x （分钟）与相应话费y （元）之间的函数图象如图1所示： （１）月通话为100分钟时，应交话费 元； （２）当x ≥100时，求y 与x 之间的函数关系式； （3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？ 3. (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x （度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题： （1）分别写出当0≤x ≤100和x ≥100时，y 与x 的函数关系式； （2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准； （3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？ 4. 某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元． （1）完成此房屋装修共需多少天？ （2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？ 5. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的14 ，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图2所示（假定总路程为1），则他 到达考场所花的时间比一直步行提前了多少分钟？ 6. 某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系． （1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式； （2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？ 7.为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取 的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图5所示． （1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖 励小强家务劳动的？ （2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？ 8.有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话 收费标准如表1所示． （1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为元； （2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？ 9. 如图7，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y 与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（） 分段函数应用题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 分段函数应用题 1.（四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示： （１）月通话为100分钟时，应交话费元； （２）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式； （3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？ 2. （广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图2. (1)分别写出当0≤x≤15和x≥15时,y与x的函数关系式; (2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元? 分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题.观察图象可知, 0≤x≤15时y是x的正比例函数; x≥15时,y是x的一次函数. 3. (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题： （1）分别写出当0≤x≤100和x≥100时，y与x的函数关系式； （2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准； （3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电 4. 某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所 示的函数关系，该家庭共支付工资8000元． （1）完成此房屋装修共需多少天？ （2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？ 5. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的1 4 ，估计步行不能准时到达，于是他 改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图2所示（假定总路程为 1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了多少分钟？ 6. 某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该公司对第 一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系． （1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式； 分段函数常见题型例析 所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数，因此分段函数不是几个函数而是一个函数，它在解题中有着广泛的应用，不少同学对此认识不深，解题时常出现错误．现就分段函数的常见题型例析如下： １．求分段函数的定义域、值域 例１．求函数)(x f ＝?????->-≤+)2(,2 )2(,42x x x x x 的值域． 解：当x ≤－２时，4)2(422-+=+=x x x y ， ∴ y ≥－４． 当x ＞－２时，y ＝2x ， ∴y ＞2 2-＝－１． ∴ 函数)(x f 的值域是｛y ∣y ≥－４，或y ＞－１｝＝｛y ∣y ≥－４｝． 评注：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集． ２．作分段函数的图象 例２ 已知函数2(2)()3[22)3[2)x f x x x x -∈-∞-??=+∈-??∈+∞? ，，，， ，，，画函数( f 解：函数图象如图１所示． 评注：分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成， 作图的关键是根据定义域的不同，分别由表达式做出 其图象．作图时，一要注意每段自变量的取值范围； 二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实． ３．求分段函数的函数值 例３．已知)(x f ＝?? ???<=>+)0.(0)0(,)0(,1x x x x π 求(((3)))f f f -的值． 解：∵ －３＜０ ∴ f （－３）＝０， ∴ f （f （－３））＝f （０）＝π 又π＞０ ∴(((3)))f f f -＝f （π）＝π＋１． 评注：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值． x 图1 一次函数经典应用题 3.某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量） 请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元； （2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式； （3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在O A.AB.BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案） 4．在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x(h)时，汽车与甲地的距离为y(km)，y与x的函数关系如图所示．根据图像信息，解答下列问题： （1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由； （2）求返程中y与x之间的函数表达式； （3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离． 5．邮递员小王从县城出发，骑自行车到A 村投递，途中遇到县城中学的学生李明从A 村步行返校．小王在A 村完成投递工作后，返回县城途中又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县城，结果小王比预计时间晚到1分钟．二人与县城间的距离s (千米)和小王从县城出发后所用的时间t (分)之间的函数关系如图，假设二人之间交流的时间忽略不计，求： （1）小王和李明第一次相遇时，距县城多少千米？请直接写出答案． （2）小王从县城出发到返回县城所用的时间． （3）李明从A 村到县城共用多长时间？ 6．星期天8：00~8：30员以每车20立方米的加气量，依次 给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y （立方米）与时间x （小时）的函数关系如图2所示． （1）8：00~8：30，燃气公司向储气罐注入了多少立 方米的天然气？ （2）当x ≥0.5时，求储气罐中的储气量y （立方米） 与时间x （小时）的函数解析式； （3）请你判断，正在排队等候的第18辆车能否在当天10：30之前加完气？请说明理由． 分 小 数学第19章分段函数（练习） 练1. 已知一次函数y=2x+4的图象上有两点A（3，a），B（4，b），则a与b的大小关系为_________ 练2 一次函数y=(m2+3)x-2,y随x的增大而_________ 练3 函数y=(m –1)x+1是一次函数，且y随自变量x增大而减小，那么m的取值为______. 练4 如图，点A(x1,y2)与点B(x2,y2)都是直线y=kx+b上的点,且x1 练3 学校组织学生到距离6千米的展览馆参观，学生王军因故未能乘上学校的 包车，于是在校门口乘出租车，出租车收费标准如下： （1）写出费用y与行驶里程x之间的函数关系式，并画出函数图象 （2）王军仅有14元钱，他到展览馆的车费是否足够？ 春、秋季节，由于冷空气的入侵，地面气温急剧下降到0℃以下的天气现象称 为“霜冻”．由霜冻导致植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害．某种植物在气温是0℃以下持续时间超过3小时，即遭受霜冻灾害，需采取 预防措施．右图是气象台某天发布的该地区气象信息，预报了次日0时～8时气 温随时间变化情况，其中0时～5时，5时～8时的图象分别满足一次函数关系．请 你根据图中信息，针对这种植物判断次日是否需要采取防霜冻措施，并说明理由． y/ oC O x/ 时 分段函数常见题型及解法 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围，有不同的对应法则的函数，它是一个函数，非几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集. 与分段函数有关的类型题的求解，在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型，并未作深入说明，因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解方法． 1．求分段函数的定义域和值域 例1.求函数 1 2 22[1,0]; ()(0,2); 3[2,); x x f x x x x +∈- ? ? =-∈ ? ?∈+∞ ?的定义域、值域. 解析：作图, 利用“数形结合”易知 () f x 的定义域为 [1,) -+∞ , 值 域为（-1，2]U｛3｝. 例2.求函数的值域. 解析：因为当x≥0时，x2+1≥1；当x<0时，-x2<0.所以，原函数的值域是[1,+∞)∪(-∞,0). 2．求分段函数的函数值 例1.已知函数 2 |1|2,(||1) ()1 ,(||1) 1 x x f x x x --≤ ? ? =? > ?+ ?求12 [()] f f . 解析：因为 3 11 222 ()|1|2 f=--=- , 所以 3 1 222 3 2 14 [()]() 1()13 f f f =-== +- . 例2.已知函数，求f{f[f(a)]} (a<0)的值. 分析: 求此函数值关键是由到外逐一求值，即由 a<0, f(a)=2a，又0<2a<1, , ，所以，. 注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段． 练1.设 ,0. () ,0. x e x g x lnx x ?≤ =? > ?则 1 (()) 2 g g= __________ 练2.设 1 2 3 2(2), () (1)(2). log x x f x x e x - ?< ? =? -≥ ?? 则 [(2)] f f= __________ 1 1 o 3 2 2 -1 y x -1 一.定义型 例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。 解：由一次函数定义知 ， ，故一次函数的解析式为y=-6x+3。 注意：利用定义求一次函数y=kx+b解析式时，要保证k≠0。如本例中应保证m-3≠0。 二. 点斜型 例2. 已知一次函数y=kx-3的图像过点(2, -1)，求这个函数的解析式。 解：一次函数的图像过点(2, -1)， ，即k=1。故这个一次函数的解析式为y=x-3。 变式问法：已知一次函数y=kx-3 ，当x=2时，y=-1，求这个函数的解析式。 三. 两点型 例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4)，则这个函数的解析式为_____。 解：设一次函数解析式为y=kx+b，由题意得 ，故这个一次函数的解析式为y=2x+4 四. 图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 解：设一次函数解析式为y=kx+b由图可知一次函数的图像过点(1, 0)、(0, 2) 有故这个一次函数的解析式为y=-2x+2 五. 斜截型 例5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。 解析：两条直线；。当k1=k2，b1≠b2时， 直线y=kx+b与直线y=-2x平行，。 又直线y=kx+b在y轴上的截距为2，故直线的解析式为y=-2x+2 六. 平移型 例6. 把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 解析：设函数解析式为 y=kx+b， 直线y=2x+1向下平移2个单位得到的直线y=kx+b与直线y=2x+1平行 直线y=kx+b在y轴上的截距为 b=1-2=-1，故图像解析式为 七. 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。 解：由题意得Q=20-0.2t ，即Q=-0.2t+20 故所求函数的解析式为 Q=-0.2t+20（）注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 八. 面积型 例8. 已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。 解：易求得直线与x轴交点为，所以，所以|k|=2 ，即 故直线解析式为y=2x-4或y=-2x-4 九. 对称型 若直线与直线y=kx+b关于 （1）x轴对称，则直线的解析式为y=-kx-b （2）y轴对称，则直线的解析式为y=-kx+b （3）直线y=x对称，则直线的解析式为 （4）直线y=-x对称，则直线的解析式为 （5）原点对称，则直线的解析式为y=kx-b 例9. 若直线l与直线y=2x-1关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。 解：由（2）得直线l的解析式为y=-2x-1 十. 开放型 例10. 已知函数的图像过点A(1, 4)，B(2, 2)两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。 解：（1）若经过A、B两点的函数图像是直线，由两点式易得y=-2x+6 （2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4，所以经过A、B两点的函数图像还可以 是双曲线，解析式为 （3）其它（略） 1、分段函数 1、已知函数)(x f ＝267,0,100,, x x x x x ++<≥????? ，则 )1()0(-+f f ＝（ ） A ． 9 B ． 71 10 C ． 3 D ． 1110 提示：本题考查分段函数的求值，注意分段函数分段求。 解析：0代入第二个式子，-1代入第一个式子，解得)1()0(-+f f =3，故正确答案为C. 90 2、函数||x y x x =+的图象为下图中的（ ） 提示：分段函数分段画图。 解析：此题中x ≠0，当x>0时，y=x+1,当x<0时，y=x-1, 故正确答案为C. 120 3、下列各组函数表示同一函数的是( ) ①f(x)=|x|，g(x)=???<-≥) 0()0(x x x x ②f(x)=242--x x ，g(x)=x+2 ③f(x)=2x ，g(x)=x+2 ④f(x)=1122-+-x x ，g(x)=0 ，x ∈{－1，1} A.①③ B.① C.②④ D.①④ 提示：考察是否是同一函数即考察函数的三要素：定义域、值域、对应关系，此题应注意分段函数分段解决。 解析：此题中①③正确，故正确答案为A. 120 4、设()1232,2()log 1,2 x e x f x x x -? 初中数学—分段函数应用题 1、(四川)某移动公司采用分段计费的方法来计算话费,月通话时间x(分钟)与相应话费y(元)之间的函数图象如图1所示: (１)月通话为100分钟时,应交话费元; (２)当x≥100时,求y与x之间的函数关系式; (3)月通话为280分钟时,应交话费多少元？ 3、(广东)今年以来,广东大部分地区的电力紧缺,电力公司为鼓励市民节约用电,采取按月用电量分段收费办法,若某户居民每月应交电费y(元)与用电量x(度)的函数图象就是一条折线(如图3所示),根据图象解下列问题: (1)分别写出当0≤x≤100与x≥100时,y与x的函数关系式; (2)利用函数关系式,说明电力公司采取的收费标准; (3)若该用户某月用电62度,则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时,则该用户该月用了多少度电？ 4、某家庭装修房屋,由甲、乙两个装修公司合作完成,选由甲装修公司单独装修3天,剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成.工程进度满足如图1所示的函数关系,该家庭共支付工资8000元. (1)完成此房屋装修共需多少天？ (2)若按完成工作量的多少支付工资,甲装修公司应得多少元？ 5、一名考生步行前往考场, 10分钟走了总路程的1 4 ,估计步行不能准时到达,于就 是她改乘出租车赶往考场,她的行程与时间关系如图2所示(假定总路程为1),则她到达考场所花的时间比一直步行提前了多少分钟？ 6、某公司专销产品A,第一批产品A上市40天内全部售完.该公司对第一批产品A 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查,调查结果如图所示,其中图(3)中的折线表示的就是市场日销售量与上市时间的关系;图(4)中的折线表示的就是每件产品A的销售利润与上市时间的关系. (1)试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式; (2)第一批产品A上市后,哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润就是多少万元？ 7、为了鼓励小强做家务,小强每月的费用都就是根据上 月她的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母 那里获取的.若设小强每月的家务劳动时间为x小时, 该月可得(即下月她可获得)的总费用为y元,则y(元) 与x(小时)之间的函数图像如图5所示. (1)根据图像,请您写出小强每月的基本生活费;父母就是 如何奖 励小强家务劳动的？ (2)若小强5月份希望有250元费用,则小强4月份需做家务多少时间？ 8、有甲、乙两家通迅公司,甲公司每月通话的收费标准如图6所示;乙公司每月通话分段函数应用题
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