模拟退火算法基本原理介绍(可编辑修改word版)

模拟退火算法

一、模拟退火算法概念

模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis 准则，粒子在温度

T 时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E 为温度T 时的内能，ΔE 为其改变量，k 为Boltzmann 常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E 模拟为目标函数值f，温度T 演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i 和控制参数初值t 开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t 值，

算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t 及其衰减因子Δt、每个t 值时的迭代次数L 和停止条件S。

二、模拟退火算法的模型

模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。

模拟退火的基本思想:

(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)，每个T 值的迭代次数L

(2) 对k=1，……，L 做第(3)至第6 步：

(3)产生新解S′

(4)计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数

(5)若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.

(6)如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。

终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。

(7)T 逐渐减少，且T->0，然后转第2 步。

算法对应动态演示图：

模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：

第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。

第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is 准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。

第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全

局优化算法；模拟退火算法具有并行性。

三、模拟退火算法的应用领域

模拟退火算法是解NP 完全组合优化问题的有效近似算法,将该算法应用于路径优化问题,利用该算法对类似货郎担问题的路径问题进行求解;针对城市道路行走不同的目标条件(路径最短、时间最短)进行优化,选择最佳行走路径;并将用该算法优化得到的计算结果与树

形算法进行比较,显示该算法能够克服传统优化算法易陷入局部极值的缺点,同时表明该算法在解类似货郎担交通路径方面的问题时有较高的精确性。因而该算法在解决城市道路交通

问题方面具有一定的实用价值。

在企业运营与管理中,管理者总是希望把人员最佳分派以发挥其优势,从而降低成本,提

高效益.例如,某公司需完成m 项任务,恰好有n 名员工可承担这些任务(n≥m);每项任务只能

由一名员工来做,每名员工也只能做一项任务;不同的员工完成各项任务的成本不同.这样就

可采用模拟退火算法将企业的人员分配做到最佳的分配。

四、具体案例

C#数值计算之模拟退火法简介

摘要

本文简介了模拟退火的基本思想，以于模拟时的主要参数的选择根据，然后给出一个求二

维函数极值的具体问题和解法,并给出C#源代码。

l 概述

在管理科学、计算机科学、分子物理学和生物学以及超大规模集成电路设计、代码设计、

图像处理和电子工程等科技领域中，存在大量组合优化瓿。其中许多问题如货郎担问题、

图着色问题、设备布局问题以及布线问题等，至今没有找到有效的多项式时间算法。这些

问题已被证明是NP 完全问题。

1982 年,KirkPatrick 将退火思想引入组合优化领域，提出一种解大规模组合优化问题的算法，对NP 完全组合优化问题尤其有效。这源于固体的退火过程，即先将温度加到很高,再缓慢降温(即退火)，使达到能量最低点。如果急速降温(即为淬火)则不能达到最低点.。

即：模拟退火算法是一种能应用到求最小值问题或基本先前的更新的学习过程（随机或决

定性的）。在此过程中，每一步更新过程的长度都与相应的参数成正比，这些参数扮演着温度的角色。然后，与金属退火原理相类似，在开始阶段为了更快地最小化或学习，温度被

升得很高，然后才（慢慢）降温以求稳定。

模拟退火算法的主要思想

就函数最小值问题来说，模拟退火的主要思想是：在搜索区间（二维平面中）随机游走

（即随机选择点），再以Metropolis 抽样准则，使随机游走逐渐收敛于局部最优解。而温度即是Metropolis 算法中的一个重要控制参数，可以认为这个参数的大小控制了随时过程向

局部或全局最优解移动的快慢。

冷却参数表、领域结构和新解产生器、接受准则和随机数产生器（即Metropolis 算法）一起构成算法的三大支柱。

重点抽样与Metroplis 算法：

Metropolis 是一种有效的重点抽样法，其算法为：系统从能量一个状态变化到另一个状态时，相应的能量从E1 变化到E2，概率为p = exp[ - (E2- E1)/kT ]。如果E2 < E1，系统接收此状态，否则，以一个随机的概率接收此或丢弃此状态。这种经常一定次数的迭代，系统会逐渐趋于一引稳定的分布状态。

重点抽样时，新状态下如果向下则接受（局部最优），若向上（全局搜索），以一定机率接受。模拟退火方法从某个初始解出发,经过大量解的变换后,可以求得给定控制参数值时组合优化问题的相对最优解。然后减小控制参数T 的值，重复执行Metropolis 算法，就可以在控制参数T 趋于零时，最终求得组合优化问题的整体最优解。控制参数的值必须缓慢衰减。

其中温度是一个Metropolis 的重要控制参数，模拟退火可视为递减控制参数什时Metroplis 算法的迭代。开始T 值大，可能接受较差的恶化解，随着T 的减小，只能接受较好的恶化解，最后在T 趋于0 时，就不再接受任何恶化解了。

在无限高温时，系统立即均匀分布，接受所有提出的变换。T 的衰减越小，T 到达终点的

时间越长；但可使马可夫链越小，到达准平衡分布的时间越短，

参数的选择：

我们称调整模拟退火法的一系列重要参数为冷却进度表。它控制参数T 的初值及其衰减函数，对应的MARKOV 链长度和停止条件，非常重要。

一个冷却进度表应当规定下述参数：

1.控制参数t 的初值t0;

2.控制参数t 的衰减函数；

3.马尔可夫链的长度Lk。（即每一次随机游走过程，要迭代多少次，才能趋于一个准平

衡分布，即一个局部收敛解位置）

4.结束条件的选择

有效的冷却进度表判据：

一．算法的收敛：主要取决于衰减函数和马可夫链的长度及停止准则的选择

3

二．算法的实验性能：最终解的质量和CPU 的时间

参数的选择：

一）控制参数初值T0 的选取

一般要求初始值t0 的值要充分大，即一开始即处于高温状态，且Metropolis 的接收率约为1。

二）衰减函数的选取

衰减函数用于控制温度的退火速度，一个常用的函数为：T(n + 1) = K*T(n)，其中K 是一个非常接近于1 的常数。

三）马可夫链长度L 的选取

原则是：在衰减参数T 的衰减函数已选定的前提下，L 应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡。

四）终止条件

有很多种终止条件的选择，各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响，本文只介绍一个常用的终止条件。即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差，即可停止此次马尔可夫链的迭代。

以上说明可能太过于抽象，下一节将以一个实际的例子来说明，其中所有的源码已贴出，可以从中了解到很多细节。

使用模拟退火法求函数f(x,y) = 5sin(xy) + x2 + y2 的最小值

解：根据题意，我们设计冷却表进度表为：

即初始温度为100

衰减参数为0.95

马可夫链长度为10000

Metropolis 的步长为0.02

结束条件为根据上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差。

使用METROPOLIS 接受准则进行模拟, 程序如下

/*

*模拟退火法求函数f(x,y) = 5sin(xy) + x^2 + y^2 的最小值

*结束条件为两次最优解之差小于某小量

*/

using System;

namespace SimulateAnnealing

{

class Class1

{

// 要求最优值的目标函数

static double ObjectFunction( double x, double y )

{

double z = 0.0;

z = 5.0 * Math.Sin(x*y) + x*x + y*y;

return z;

}

[STAThread]

static void Main(string[] args)

{

// 搜索的最大区间

const double XMAX = 4;

const double YMAX = 4;

5

// 冷却表参数

int MarkovLength = 10000; // 马可夫链长度

double DecayScale = 0.95; // 衰减参数

double StepFactor = 0.02; // 步长因子

double Temperature = 100; // 初始温度

double Tolerance = 1e-8; // 容差

double PreX,NextX; // prior and next value of x

double PreY,NextY; // prior and next value of y

double PreBestX, PreBestY; // 上一个最优解

double BestX,BestY; // 最终解

double AcceptPoints = 0.0; // Metropolis 过程中总接受点Random rnd = new Random();

// 随机选点

PreX = -XMAX * rnd.NextDouble() ;

PreY = -YMAX * rnd.NextDouble();

PreBestX = BestX = PreX;

PreBestY = BestY = PreY;

// 每迭代一次退火一次(降温), 直到满足迭代条件为止do

{

Temperature *=DecayScale;

AcceptPoints = 0.0;

// 在当前温度T 下迭代loop(即MARKOV 链长度)次

for (int i=0;i

{

// 1) 在此点附近随机选下一点

do

{

NextX = PreX + StepFactor*XMAX*(rnd.NextDouble()-0.5);

NextY = PreY + StepFactor*YMAX*(rnd.NextDouble()-0.5);

}

while ( !(NextX >= -XMAX && NextX <= XMAX && NextY >= -YMAX && NextY <= YMAX) );

// 2) 是否全局最优解

if (ObjectFunction(BestX,BestY) > ObjectFunction(NextX,NextY))

{

// 保留上一个最优解

PreBestX =BestX;

PreBestY = BestY;

// 此为新的最优解

BestX=NextX;

BestY=NextY;

}

// 3) Metropolis 过程

if( ObjectFunction(PreX,PreY) - ObjectFunction(NextX,NextY) > 0 )

7

{

// 接受,此处lastPoint 即下一个迭代的点以新接受的点开始

PreX=NextX;

PreY=NextY;

AcceptPoints++;

}

else

{

double change = -1 * ( ObjectFunction(NextX,NextY) - ObjectFunction(PreX,PreY) ) / Temperature ;

if( Math.Exp(change) > rnd.NextDouble() )

{

PreX=NextX;

PreY=NextY;

AcceptPoints++;

}

// 不接受, 保存原解

}

}

Console.WriteLine("{0},{1},{2},{3}",PreX, PreY, ObjectFunction ( PreX, PreY ), Temperature);

}while( Math.Abs( ObjectFunction( BestX,BestY) – ObjectFunction (PreBestX, PreBestY)) > Tolerance );

Console.WriteLine("最小值在点:{0},{1}",BestX, BestY);

Console.WriteLine( "最小值为:{0}",ObjectFunction(BestX, BestY) );

}

}

}

结果：

最小值在点:-1.956,1.618

最小值为:-2.686

后记：

一开始在网上搜索模拟退火的资料并想作为C＃数值计算的一个例子，找不到现成的源码。后来自己实验了很久，终于将此程序写出。

本文尽量避免太过学术化，如数学和物理名称和公式，仓促下笔，有很多地方可能讲得不是很清楚，希望老师谅解。

模拟退火还可以应用到其它更多更复杂的问题，如“推销员问题”等组合优化问题。本例只是求一个二维函数的最小值问题，而且其冷却表参数的选择也过于简单，只能作用一个初步的入门简介。

五、总结

模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis 准则，粒子在温度

T 时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E 为温度T 时的内能，ΔE 为其改变量，k 为Boltzmann 常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E 模拟为目标函数值f，温度T 演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i 和控制参数初值t 开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t 值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随

机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t 及其

衰减因子Δt、每个t 值时的迭代次数L 和停止条件S。

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模拟退火算法介绍

解析模拟退火算法 一.爬山算法(Hill Climbing) 介绍模拟退火前，先介绍爬山算法。爬山算法是一种简单的贪心搜索算法，该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解，直到达到一个局部最优解。 爬山算法实现很简单，其主要缺点是会陷入局部最优解，而不一定能搜索到全局最优解。如图1所示：假设C点为当前解，爬山算法搜索到A点这个局部最优解就会停止搜索，因为在A点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解。 二.模拟退火(SA,Simulated Annealing)思想 爬山法是完完全全的贪心法，每次都鼠目寸光的选择一个当前最优解，因此只能搜索到局部的最优值。模拟退火其实也是一种贪心算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以图1为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解A后，会以一定的概率接受到E的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达D点，于是就跳出了局部最大值A。 模拟退火算法描述：

若J(Y(i+1))>=J(Y(i))(即移动后得到更优解)，则总是接受该移动 若J(Y(i+1))

模拟退火算法原理及改进

作者简介：李香平（１９７８￣），男，湖北监利人，中国地质大学计算机学院硕士研究生，研究方向为科学研究与可视化；张红阳（１９８２￣），男，湖北咸宁 人，中国地质大学计算机学院硕士研究生，研究方向为数据挖掘与数据仓库。 模拟退火算法原理及改进 李香平，张红阳 （中国地质大学计算机学院，湖北武汉４３００７４） 摘 要：模拟退火算法是一种强大的随机搜索算法，能应用于许多前提信息很少的问题，能渐进地收敛于最优值。对 ＳＡ算法进行了介绍，论述了ＳＡ算法的原理并对算法进行了改进，展示了计算实验的结果。 关键词：模拟退火；全局优化中图分类号：ＴＰ３１２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２－７８００（２００８）０４－００４７－０２ ０引言 近年来，传统的单一算法越来越不适应大规模非线性规划 问题。它们要求目标函数是可微的和收敛的。ＳＡ能很好地弥补它们的缺陷。 从用于统计力学的ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ方法上受到启发，ＳＡ算法在 １９８３被Ｋｉｒｋｐａｔｒｉｃｋ提出来。对比传统局部搜索算法，ＳＡ在搜索 时会在搜索空间上下移动而不依赖初始条件，擅长解决多维问题。此外，它能处理任意程度的非线性、 不连续和随机的问题。能处理任意边界和约束的评估函数。因此，它能轻易处理有脊背和高地的函数。只要初温高、退火表适当，它就能得到全局最优。ＳＡ成功应用于组合优化、神经网络、图像处理和代码设计。 １模拟退火算法原理 组合优化问题是在给定的约束条件下，求目标函数的最值 的问题。设（Ｓ，ｆ）是组合优化问题的一个实例，ｉｏｐｔ∈Ｓ若对所有 ｉ∈Ｓ，都有ｆ（ｉｏｐｔ）≥ｆ（ｉ），则称ｆ（ｉｏｐｔ）≤ｆ（ｉ）为ｍｉｎｆ（ｉ）的最优解。 ＳＡ来源于物理热力学原理，综合了固体退火与组合优化 之间的类似性。类似固体的复杂系统，先被加热到一个物质粒子能自由移动的很高的温度，当它慢慢冷却时，它的能量减少。如果“冷却”过程足够慢，系统将忽略局部稳定构造，到达能量最低状态，即基态。 在模拟的每一步中，新解的产生按照Ｍｅｔｒｏｐｏｌｉｓｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ法则，一个新的状态从现有的状态中产生，这个法则能以一定的概率接受能量上升（即产生劣解）的新状态，而能量下降是优化的总目的。法则如下所示： ｐ（ｘ＝＞ｙ）＝ １， ｆ$%ｙ≤ｆ$%ｘｅｘｐ－ｆ$% ｘｆ$%ｙ $ % ， ｏｔｈｅｒｗｉｓ&ｅ ｆ是系统能量，ｔ是温度。ＳＡ的一般框架： Ｇｅｎｅｒａｔｅｄｉｎｉｔｉａｌｓｔａｔｅａｔｒａｎｄｏｍ；Ｇｅｎｅｒａｔｅｄｉｎｉｔｉａｌｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ；ＲＥＰＥＡＴＲＥＰＥＡＴ ｙ＝ｇｅｎｅｒａｔｅ（，）； ＩＦａｃｃｅｐｔ（，ｙ，）ＴＨＥＮ＝ｙ ＵＮＴＩＬ＇ｉｎｎｅｒｌｏｏｐｓｔｏｐｃｒｉｔｅｒｉｏｎ＇ｓａｔｉｓｆｉｅｄ 为了提高ＳＡ的性能，我们应该仔细处理控制参数的协调。（１）初始温度的选择。初始温度太高会花费高昂的计算时间，太低会拒绝劣解的接受，会丢失ＳＡ全局优化的优点。本文提出了一个初始温度的公式： ｔ０＝’ｆ＋ ｌｎｘ －１ ’ｆ＋ 是函数增量的平均值，χ 是初始的接受概率。（２）温度降低策略。温度降低越快，陷入局部的概率就越大。然而，温度降低太慢会导致算法速度慢得不能接受。本文采用了一种快速的非线性降低法： ｔｋ＝ ｔ０ １＋ｋ ｋ＝１，２，３，…… （３）适当的邻域结构。在退火期间，步长太小导致算法在探索相位空间效率低，太大新解总被拒绝。在持续优化时，新的等价值均一地按间距分布在以ｘｉ的坐标为中心的邻域中，沿轴的间距的一半被看作步长向量ξ。当点落在ｆ的定义域内时，就随机产生新解。 （４）终止标准。内循环是单一温度下在各种条件下Ｍａｒｃｏｖ链的一种渐进接近全局最优的模拟实现，即循环Ｍａｒｃｏｖ链长次数结束。外循环取某个温度ｔ作为算法终止标准，或者是迭代若 软件导刊 ＳｏｆｔｗａｒｅＧｕｉｄｅ 第７卷第４期 ２００８年４月Ｖｏｌ．７Ｎｏ．４Ａｐｒ．２００８

模拟退火算法算法的简介及程序

模拟退火算法 模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。 模拟退火算法的模型 模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。 模拟退火的基本思想: (1)初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起 点)，每个T值的迭代次数L (2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步： (3) 产生新解S′ (4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数 (5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)

接受S′作为新的当前解. (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。 (7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。 算法对应动态演示图： 模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤： 第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。 第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。 第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。 第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则

模拟退火算法及其改进_蒋龙聪

第4卷第2期2007年4月　 工程地球物理学报 CHIN ESE J OU RNAL OF EN GIN EERIN G GEOP H YSICS Vol 14,No 12Apr 1,2007 文章编号:1672—7940(2007)02—0135—06 模拟退火算法及其改进 蒋龙聪,刘江平 (中国地质大学地球物理与空间信息学院,武汉430074) 作者简介:蒋龙聪(1983— ),男,硕士研究生,现在主要从事地震数据处理和反演理论方法研究。E 2mail :longcja @https://www.wendangku.net/doc/4c2506198.html, 刘江平(1957— ),男,教授,博士生导师,主要从事地震勘探的科研与教学工作。E 2mail :liujp @https://www.wendangku.net/doc/4c2506198.html, 摘　要:借鉴遗传算法中的非均匀变异思想,用非均匀变异策略对当前模型扰动产生新的模型,对传统的模 拟退火算法提出了改进,通过多峰值函数数值优化测试结果表明,该算法在高温的时候能够进行大范围的搜索,随着温度的降低,逐渐缩小解的搜索范围,大大加快了收敛速度,证实了该改进算法的有效性和高效性。 关键词:模拟退火算法;非均匀变异;数值最优化;反演 中图分类号:P631文献标识码:A 收稿日期:2006— 12—07R evised Simulated Annealing Algorithm Jiang Longcong ,Liu Jiangping (I nstitute of Geop hysics and Geomatics ,China Universit y of Geosciences ,W uhan 430074,China ) Abstract :Based on t he idea of non 2uniform mutation in genetic algorit hm ,we present a novel revised simulated annealing (RSA ),which used t he non 2uniform mutation to generate a new model f rom current model.Tested by some numerical f unctions ,RSA can search in t he large area for t he solutions in high temperat ure.Wit h t he lowering of t he temperat ure ,t he area of searching t he solutions will be gradually reduced and convergence will speed up.So t he re 2sult s p rove t he effectiveness of RSA. K ey w ords :simulate annealing ;non 2uniform mutation ;numerical optimal ;inversion 1　引　言 人类对地球内部物理性质(包括速度、密度、电导率、温度等)以及矿产资源分布的了解,大多来自地表地质和地球物理、地球化学资料的反演和解释[1]。反演方法可以分为线性反演和非线性反演两种,线性反演已成为一套科学的反演理论,然而,绝大部分地球物理问题都是非线性的,并且实践表明,线性反演方法有容易陷入局部极值和依赖于初始值等缺点。因此,地球物理学者们不 断的尝试开发非线性反演方法,比如人工神经网 络[2]、小波多尺度反演[3]、模拟退火算法[4]等。 模拟退火算法是近年发展起来的全局最优化算法,其主要优点是;不用求目标函数的偏导数及解大型矩阵方程组,即能找到一个全局最优解,而且易于加入约束条件,编写程序简单。目前此法已开始用于解决非线性地球物理反问题,如波形反演、静校正、叠前偏移速度分析等非线性反演中,并取得了较好的效果。 然而,由于模拟退火法是建立在随机搜寻方法的基础上,要达到一定的精度要求,每一模型参

关于模拟退火算法及其影响因素的研究

关于模拟退火算法及其影 ｉ《＿■ ＳＩＬＩＣＯＮＶ ＶＡＬＬＥ工响因素的研究 邓超陈文宣王树青 （东莞南博职业技术学院广东东莞５２３０８３）信毫科学 插要：通过使用模拟退火算法模拟逼近函数：ｙ＝ｘ＋ｃｏｓｘ＋ｉ开展实验，并在实验过程中对模拟退火算法的影响因素进行比较ｔ并提出相应的改进方案，直观的将两者的差别体现出来。 关键词：模拟退火算法；权系数；阀值：神经网络结构；ＭＡＴＬＡＢ 中圈分类号：ＴＰ３文献标识码：Ａ文章编号ｚ１６７１－７５９７（２０１０）０４１００４５－－０１ １鬟拟量火算法的基本曩客 模辛｝ｌ退火算法最初的思想［自Ｍｅｔｒｏｐｏｌｉｓ在１９５３年提出，其来源统计物理学中对于固体退火过程的模拟。他采用Ｍｅｔｒｏｐｏｌｉｓ准则接收新解，用冷去系数的参数对算法进程进行控制。使得算法在多项时间里得出最优解．２对曩板退火算法进行试ｔ研究 １）用模拟退火算法模拟逼近函数：ｙ＝ｘ＋ｃｏｓｘ＋１并对神经网络的权系数、阀值进行学习其神经网络结构为１—３－４＿３—１． ２）具体试验过程如下： 模拟退火算法的实现主要采用了¨ＴＬＡＢ软件，利用其中的神经网络工具箱进行编程模拟．在网络ＵＵｌ练方面，隐层采用ｌｏｇｓｉｇ（厂（ｊ）＝＿—二—＿＿－） Ｈ’ａ烈一哪函数作为传递函数。在输出层方面采用线性输出函数ｉｍｒｅｌｉｎ（，（善）＝＃）．降温函数采用ｔ＝＾ｔ． ①给定的学习样本、初始温度、结柬温度及降温速率＾． ＠在某一温度下．以正态分布（Ｍａｔｌａｂ中用ｒａｎｄｎ）生成函数产生新的权系数增量△翻。‘虬．＝缈＋△翻生成新的权系数。 ③根据代价函数求出神经网络的输出偏差Ｅ∥ｔ 胛＝；（歹一ｙ）２． ＠如果Ｐ，ｒＳ０，则取翻ｒ＋ｌ为新值，即ｑ＝够＋ｌ? ⑤如果Ｐ玎＞ｏ，采用接收函数：Ｂ（ｉ）＝［Ｉ＋ｅ＝Ｖ／‘】＿１ 以其值和［０，ｌ】随机数ｄ进行比较： 若Ｂ（ｉ）＞ｄ。则Ｃｄ＝够．。；， 若Ｂ（ｉ）≤ｄ，则国不变。 ＠以ｔ：ｘｔ修改参数ｔ．即缓慢降温。返回②执行． ３）试验生产的原函数和网络输出图如下： ４）结果分析ｔ 由学习的结果来看，学习的曲线和原曲线相差较大，而且函数收敛得很慢．其原因是模拟退火法的初始参数包括初温ｔＯ，结束温度ｔｆ’衰减温度ｄｅｌｔａＴ及控制内循环的马尔可夫链长Ｌ的选择对整个结果产生较大影响。 ３樱报遗火法的改盛可行性方毫 １）设计合适的状态产生函数：设计高效的退火历程；避免状态的迂回搜索；采用并行搜索结构：改进对温度的控制方式；选择合适的初始状态；设计合适的算法终止准则。 ２）也可通过增加某些来实现：如增加升温或重升温过程；增加记忆功能｛增加朴充搜索过程。 ４－｝墨横挂鼍火算法的实验改进方囊 ”对原算法的神经喇络结构进行更改．由卜３－４—３一ｌ改为卜１０一ｈ ２）调整即网络训练参数：具体为添加代码为： ｎｅｔ．ｔｒａｉｎＰａｒａＬｅｐｏｃｈｓ２３０００： ｎｅｔ．ｔｒａｉｎＰａｒ∞．ｇｏａｌ＝０．００２： ｎｅｔ．ｔｒａｉｎＰａｒａｎＩｒ２０．０ｌ： Ｉ开始训练 ｎｅｔ２ｔｒａｉｎ（ｎｅｔ，ｘ．ｙ）：） 在对原算法改进后试验产生的原函数和网络输出图如下（改进处在源程序中体现）： 由结果可以看到，改进后的算法收敛速度加快，函数的逼近和精度都已经较高。 参考文献： 【ｌ】王士同、陈剑夫等编著。问题求解的人工智能神经网络方法ｒ气象出版社． ［２］焦李成．神经网络系统理论，西安，西安电子科技大学出版社，１９９６．６． 作者简介： 邓超（１９７９－），男．汉族．广东省韶关市人，硕士．东莞南博职业技术 学院助教，研究方向；神经网络?　万方数据

模拟退火算法基本原理介绍

模拟退火算法 一、模拟退火算法概念 模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T 时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann 常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。 二、模拟退火算法的模型 模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。 模拟退火的基本思想: (1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数L (2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步： (3) 产生新解S′ (4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数 (5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解. (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。 终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。 (7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。 算法对应动态演示图： 模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤： 第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。 第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。 第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。 第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。 模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。

遗传模拟退火算法及其应用

本科毕业设计（论文）外文参考文献译文及原文 学院轻工化工学院 专业制药工程 （天然药物方向）年级班别20 09级（2）班 学号3109002300 学生姓名黄学润 指导教师魏关锋 2013年6月

遗传/模拟退火算法及其应用 Guangming Lv, Xiaomeng Sun, Jian Wang College of Mechanical and Electronic Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin Heilongjiang, China lgmhit@https://www.wendangku.net/doc/4c2506198.html, 摘要：本文将模拟退火算法和遗传算法相结合，提出了一种新的算法。遗传算法（GA）中嵌入模拟退火算法（SA），结合成一个新的全局优化算法。SA的使用降低了GA的参数选择的困难。此外，新算法可以缩减组合的搜索区域，并避免了遗传算法中存在的“过早收敛”问题，提高了算法的收敛性。遗传操作的交叉算子在该算法中发挥着重要作用。通过计算机仿真，我们可以看到新的算法相对于传统的遗传算法和模拟退火算法更具优势。 关键词：模拟退火法；遗传算法；过早收敛；交叉算子 I．引言 遗传算法（GA）首先由密歇根大学教授J.Holland提出，源于对自然和人工系统的自适应行为的研究。GA是模拟生物在自然环境中的遗传和进化过程而形成的一种基于达尔文的进化论和孟德尔的遗传学说的自适应全局优化概率搜索算法。对于复杂的优化问题，没有必要使用GA的建模和复杂操作[1]。与传统的搜索算法相比，GA将优化问题的解空间转换成遗传空间。它从一个种群中产生问题的一个解，并根据“优胜劣汰”的原则，一代又一代的达到问题的最优解或最近解。 遗传算法的主要特点是：处理对象不是参数本身，而是参数集的编码操作；GA同时处理的几个群体中个体，即同时估计在搜索空间中的几个解；GA只利用问题的目标函数，不需要任何其他条件或辅助信息；GA不采取一定的角色，而采用概率的变化规律来指导搜索方法；GA可以在较大的解空间快速搜索。 GA通过选择复制的行为和遗传因素保持优化种群的进化使得他们最终收敛到最优解。选择复制给予个体更大的适应性和函数值更大的复制概率，并能加速

模拟退火算法解决函数优化问题

智能信息处理实验报告 14电科一班 XX XXXX 模拟退火算法解决函数优化问题

实验二 一、实验目的 1. 掌握模拟退火算法的基本原理和步骤。 2. 复习VB 、VC 的基本概念、基本语法和编程方法，并熟练使用VB 或VC 编写遗传算法程序。 二、实验设备 微机 三、实验原理 模拟退火算法是基于Monte Carlo 迭代求解策略的一种随机寻优算法，其出发点是基于物理退火过程与组合优化之间的相似性，模拟退火算法由某一较高初温开始，利用具有概率突跳特性的Metropolis 抽样策略在解空间中进行随机搜索，伴随温度的不断下降重复抽样过程，最终得到问题的全局最优解。 标准模拟退火算法的一般步骤可描述如下： (1) 令m =0，给定初温t m ，随机产生初始状态s m ； (2) Repeat ； s old =s m ； (2.1) Repeat ； (2.1.1) 产生新状态：s new =Generate(s old )； (2.1.2) 若min{1, exp[(C (s old )-C (s new ))/t m ]}≥random[0, 1]，则s old =s new ； (2.1.3) Until 抽样稳定准则满足； (2.2) 退温：t m +1=update(t m )，s m +1=s old ，m =m +1； (3) Until 算法终止准则满足； (4) 输出算法搜索结果：s m 。 四、实验内容及步骤 1. 上机编写程序，解决以下函数优化问题：()221min 10i i i f x x =??=≤ ? ?? ∑X 2. 调试程序。 3. 根据实验结果，写实验报告。

模拟退火算法及其Matlab实现

模拟退火算法及其Matlab 实现 模拟退火算法（Simulated Annealing algorithm ，简称SA ）是柯克帕垂克（S. Kirkpatrick ）于1982年受热力学中的固体退火过程与组合优化问题求解之间的某种“相似性”所启发而提出的，用于求解大规模组合优化问题的一种具有全局搜索功能的随机性近似算法。与求解线性规划的单纯形法、Karmarkar 投影尺度法，求解非线性规划的最速下降法、Newton 法、共轭梯度法，求解整数规划的分支定界法、割平面法等经典的优化算法相比，模拟退火算法在很大程度上不受制于优化问题的具体形式和结构，具有很强的适应性和鲁棒性，因而也具有广泛的应用价值。 模拟退火算法源于对固体退火过程的模拟；采用Metropolis 接受准则；并用一组称为冷却进度表的参数来控制算法进程，使得算法在多项式时间里给出一个近似最优解。固体退火过程的物理现象和统计性质是模拟退火算法的物理背景；Metropolis 接受准则使算法能够跳离局部最优的“陷阱”，是模拟退火算法能够获得整体最优解的关键；而冷却进度表的合理选择是算法应用的关键。 1 物理退火过程 物理中的固体退火是先将固体加热至熔化，再徐徐冷却，使之凝固成规整晶体的热力学过程。在加热固体时，固体粒子的热运动不断增加，随着温度的升高，粒子与其平衡位置的偏离越来越大，当温度升至溶解温度后，固体的规则性被彻底破坏，固体溶解为液体，粒子排列从较有序的结晶态转变为无序的液态，这个过程称为溶解。溶解过程的目的是消除系统中原先可能存在的非均匀状态，使随后进行的冷却过程以某一平衡态为始点。溶解过程与系统的熵增过程相联系，系统能量也随温度的升高而增大。 冷却时，液体粒子的热运动渐渐减弱，随着温度的徐徐降低，粒子运动渐趋有序。当温度降至结晶温度后，粒子运动变为围绕晶体格点的微小振动，液体凝固成固体的晶态，这个过程称为退火。退火过程之所以必须“徐徐”进行，是为了使系统在每一温度下都达到平衡态，最终达到固体的基态（图1-1）。退火过程中系统的熵值（衡量不能利用的热能数量）不断减少，系统能量也随温度降低趋于最小值。冷却时，若急剧降低温度，则将引起淬火效应，即固体只能冷凝为非均匀的亚稳态，系统能量也不会达到最小值。 退火过程中系统在每一温度下达到平衡态的过程，可以用封闭系统的等温过程来描述。根据玻尔兹曼（Boltzmann ）有序性原理，退火过程遵循应用于热平衡封闭系统的热力学定律——自由能减少定律： “对于与周围环境交换热量而温度保持不变的封闭系统，系统状态的自发变化总是朝着自由能减少的方向进行，当自由能达到最小值时，系统达到平衡态”。 系统的自由能F E TS =-，其中E 是系统的内能，T 是系统温度，S 是系统的熵。设 i 和j 是恒温系统的两个状态，即i i i F E TS =-和j j j F E TS =-，而 ()()j i j i j i F F F E E T S S E T S ?=-=---=?-? 若系统状态由i 自发变化到j ，则应有0F ?<。显然，能量减少（0E ?<）与熵增加

模拟退火算法研究概况

模拟退火算法文献综述 吕正祥交控1501 1模拟退火算法简述 1.1模拟退火算法的来源 模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。 模拟退火算法(Simulated Annealing，SA)最早由Kirkpatrick 等应用于组合优化领域，它是基于Monte-Carlo迭代求解策略的一种随机寻优算法，其出发点是基于物理中固体物质的退火过程与一般组合优化问题之间的相似性。模拟退火算法从某一较高初温出发，伴随温度参数的不断下降,结合概率突跳特性在解空间中随机寻找目标函数的全局最优解，即在局部最优解能概率性地跳出并最终趋于全局最优。模拟退火算法是一种通用的优化算法，理论上算法具有概率的全局优化性能,目前已在工程中得到了广泛应用，诸如VLSI、生产调度、控制工程、机器学习、神经网络、信号处理等领域。 模拟退火算法是通过赋予搜索过程一种时变且最终趋于零的概率突跳性，从而可有效避免陷入局部极小并最终趋于全局最优的串行结构的优化算法。 1.2模拟退火算法的模型 模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。

1.3模拟退火的基本思想 (1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数L (2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步： (3) 产生新解S′ (4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数 (5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解. (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。 (7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。

模拟退火算法报告

模 拟退火算法 一 定义 1 概念 什么是退火？在热力学上，退火现象指物体逐渐降温的物理现象，温度愈低，物体的能量状态会低；够低后，液体开始冷凝与结晶，在结晶状态时，系统的能量状态最低。大自然在缓慢降温（亦即，退火）时，可“找到”最低能量状态：结晶。但是，如果过程过急过快，快速降温（亦称「淬炼」）时，会导致不是最低能态的非晶形。如下图所示，首先（左图）物体处于非晶体状态。我们将固体加温至充分高（中图），再让其徐徐冷却，也就退火（右图）。加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小（此时物体以晶体形态呈现）。 似乎，大自然知道慢工出细活：缓缓降温，使得物体分子在每一温度时，能够有足够时间找到安顿位置，则逐渐地，到最后可得到最低能态，系统最安稳。 模拟退火算法(SA)最早的思想是由N. Metropolis 等人于1953年提出。1983 年,S. Kirkpatrick 等成功地将退火思想引入到组合优化领域。它是基于Monte-Carlo 迭代求解策略的一种随机寻优算法，其出发点是基于物理中固体物质的退火过程与一般组合优化问题之间的相似性。模拟退火算法从某一较高初温出发，伴随温度参数的不断下降,结合概率突跳特性在解空间中随机寻找目标函数的全局最优解，即在局部最优解能概率性地跳出并最终趋于全局最优。 模拟退火其实也是一种贪心算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。在迭代更新可行解时，以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以下图为例，假定初始解为左边蓝色点A ，模拟退火算法会快速搜索到局部最优解B ，但在搜索到局部最优解后，不是就此结束，而是会以一定的概率接受到左边的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达全局最优点D ，于是就跳出了局部最小值。 根据热力学的原理，在温度为T 时，出现能量差dE 的降温的概率为P(dE)，表示 为: ()?? ? ??=kT dE E P ex p d 。其中k 是波尔兹曼常数，值为-2310×13)1.3806488(=k ，exp 表示自然指数，且dE<0。因此dE/kT<0，所以P(dE)函数的取值范围是(0,1)。满足概率密度函数的定义。其实这条公式更直观意思就是：温度越高，出现一次能量差为P(dE)的降温的概率就越大；温度越低，则

数学建模优秀方法-模拟退火算法简介

模拟退火算法 算法简介 模拟退火算法得益于材料的统计力学的研究成果。统计力学表明材料中粒子的不同结构对应于粒子的不同能量水平。在高温条件下，粒子的能量较高，可以自由运动和重新排列。在低温条件下，粒子能量较低。如果从高温开始，非常缓慢地降温（这个过程被称为退火），粒子就可以在每个温度下达到热平衡。当系统完全被冷却时，最终形成处于低能状态的晶体。 如果用粒子的能量定义材料的状态，Metropolis 算法用一个简单的数学模型描述了退火过程。假设材料在状态i 之下的能量为)(i E ，那么材料在温度T 时从状态i 进入状态j 就遵循如下规律： （1）如果)()(i E j E ≤，接受该状态被转换。 （2）如果)()(i E j E >，则状态转换以如下概率被接受： 其中K 是物理学中的波尔兹曼常数，T 是材料温度。 在某一个特定温度下，进行了充分的转换之后，材料将达到热平衡。这时材料处于状态i 的概率满足波尔兹曼分布： ∑∈--= =S j KT j E KT i E T e e i x P )()()( 其中x 表示材料当前状态的随机变量，S 表示状态空间集合。 显然

| |1lim )()(S e e S j KT j E KT i E T = ∑∈-- ∞ → 其中||S 表示集合S 中状态的数量。这表明所有状态在高温下具有相同的概率。而当温度下降时， ∑∑∑?-- ∈-- -- →∈-- -- →+ =min min min min min min min )()()(0 )()(0 lim lim S j KT E j E S j KT E j E KT E i E T S j KT E j E KT E i E T e e e e e ?? ? ??∈==∑∈-- -- →其它若 0 ||1 lim min min )()(0 min min min S i S e e S j KT E j E KT E i E T 其中)(min min j E E S j ∈=且})(|{min min E i E i S ==。 上式表明当温度降至很低时，材料会以很大概率进入最小能量状态。 假定我们要解决的问题是一个寻找最小值的优化问题。将物理学中模拟退火的思想应用于优化问题就可以得到模拟退火寻优方法。 考虑这样一个组合优化问题：优化函数为+→R x F :，其中S x ∈，它表示优化问题的一个可行解，}0,|{>∈=+y R y y R ，S 表示函数的定义域。S x N ?)(表示x 的一个邻域集合。 首先给定一个初始温度0T 和该优化问题的一个初始解)0(x ，并由 )0(x 生成下一个解))0(('x N x ∈，是否接受'x 作为一个新解)1(x 依赖于下 面概率： ??? ??<=→--其它若 ))0(()'(0 )) 0(()'( 1)')0((T x f x f e x f x f x x P