高中数学人教A版必修四课下能力提升习题：(二十三) 含解析

课下能力提升(二十三) [学业水平达标练]

题组1 给角求值问题 1．sin 105°的值为( ) A.3＋22 B.2＋1

2 C.

6－24 D.2＋6

4

2．cos ????－17π4－sin ????－17π4的值是( )

A.2B ．－2C ．0 D.

2

2

3．tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°的值是________． 题组2 给值(式)求角问题 4．设α，β为钝角，且sin α＝

55，cos β＝－31010

，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π

4 D.5π4或7π4

5．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝________．

6．已知△ABC 中B ＝60°，且1cos A ＋1cos C ＝－2cos B ，若A >C ，求A 的值．

题组3 条件求值问题

7．若cos α＝－4

5，α是第三象限角，则sin ????α＋π4＝( )

A ．－7210B.7210C ．－210D.2

10

8．已知α为钝角，且sin ????α＋π12＝13，则cos ????α＋5π

12的值为( )

A.22＋36

B.22－3

6

C ．－22＋36 D.－22＋36

9．若sin(θ＋24°)＝cos(24°－θ)，则tan(θ＋60°)＝________．

10．已知sin ????α－β2＝45，cos ????α2－β＝－1213，且α－β2和α

2－β分别为第二、第三象限角，求tan α＋β

2

的值．

[能力提升综合练]

1．在△ABC 中，如果sin A ＝2sin C cos B ，那么这个三角形是( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等边三角形

2．已知向量a ＝????sin ????α＋π6，1，b ＝(4，4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ????α＋4π

3等

于( )

A ．－34

B ．－14C.34D.1

4

3.

tan 10°＋tan 50°＋tan 120°

tan 10°tan 50°

的值等于( )

A ．－1

B ．1 C.3D ．－ 3 4.

cos 15°－sin 15°

cos 15°＋sin 15°

＝________．

6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为

210，255

.

(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．

7．已知函数f (x )＝2cos ????x 4＋π

6，x ∈R .设α，β∈????0，π2，f ????4α＋4π3＝－3017，f ????4β－2π3＝8

5，求cos(α＋β)的值．

答 案

[学业水平达标练]

1. 解析：选D sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝22×12＋2

2

×32＝2＋64

.

2. 解析：选A cos ? ????－17π4－sin ? ????－17π4＝cos 17π4＋sin 17π4＝2sin ? ????

17π4＋π4＝2

sin 9π

2

＝ 2. 3. 解析：∵tan 60°＝3＝tan 23°＋tan 37°

1－tan 23°tan 37°，

∴tan 23°＋tan 37°＝3－3tan 23°tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3. 答案： 3

4. 解析：选C 因为α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，所以cos α＝－25

5

，sin β＝

1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝???

?

－255×(－31010)－55×1010＝22，所以α＋β的值为7π

4

.

5. 解析：(tan α－1)(tan β－1)＝2?tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2?tan α＋ tan β＝tan αtan β－1?tan α＋tan β1－tan αtan β

＝－1，即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝k π－π

4，k ∈Z .

答案：k π－π

4

，k ∈Z

6. 解：由已知B ＝60°，A ＋C ＝120°， 设A －C 2＝α，∵A >C ，则0°<α<120°，

故A ＝A ＋C 2＋A －C 2＝60°＋α，

C ＝A ＋C 2－A －C

2＝60°－α，

故1cos A ＋1cos C ＝1cos （60°＋α）＋1cos （60°－α） ＝

1

12cos α－32sin α＋1

12cos α＋3

2

sin α

＝cos α14cos 2α－34sin 2α＝cos αcos 2

α－34

. 由题设有cos α

cos 2

α－

34＝－2cos B ＝－22，

整理得：42cos 2α＋2cos α－32＝0. (2cos α－2)(22cos α＋3)＝0. ∵22cos α＋3≠0，∴2cos α－2＝0. ∴cos α＝

2

2.故α＝45°，A ＝60°＋45°＝105°. 7. 解析：选A 因为cos α＝－4

5，α是第三象限角，

所以sin α＝－3

5，由两角和的正弦公式可得

sin ? ????

α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4

＝????－35×22＋????－45×22＝－72

10

. 8. 解析：选C ∵α是钝角，且sin ? ????α＋π12＝13，

∴cos ? ????α＋π12＝－223，

∴cos ? ????

α＋5π12＝cos ??????? ????α＋π12＋π3

＝cos ? ????α＋π12cos π3－sin ? ????α＋π12sin π3

＝????－223×12－13×32＝－22＋36.

9. 解析：由已知得：

sin θcos 24°＋cos θsin 24°＝cos 24°cos θ＋sin θsin 24° ?(sin θ－cos θ)(cos 24°－sin 24°)＝0 ?sin θ＝cos θ?tan θ＝1，

∴tan(θ＋60°)＝1＋3

1－3＝－2－ 3.

答案：－2－ 3

10. 解：由题意，得cos ????α－β2＝－35，sin ????α2－β＝－513， ∴tan ????α－β2＝－43，tan ????α2－β＝5

12， ∴tan α＋β

2＝tan ????????α－β2－????α2－β ＝tan ????α－β2－tan ? ????

α2－β1＋tan ????α－β2tan ? ??

??α2－β

＝－43－5121－43×512

＝－6316.

[能力提升综合练]

1. 解析：选C ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝π－(B ＋C )． 由已知可得sin(B ＋C )＝2sin C cos B ? sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin C cos B ? sin B cos C －cos B sin C ＝0?sin(B －C )＝0. ∵0

2. 解析：选B a ·b ＝4sin ? ????

α＋π6＋4cos α－3＝23sin α＋6cos α－3＝43

sin ? ??

??

α＋π3－3＝0， ∴sin ? ????α＋π3＝14

.

sin ? ????α＋4π3＝－sin ? ??

??α＋π3＝－14.

3. 解析：选D ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝tan 10°＋tan 50°

1－tan 10°tan 50°

，

∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°. ∴原式＝tan 60°－tan 60°tan 10

°tan 50°＋tan 120°

tan 10°tan 50°

＝－ 3.

4. 解析：原式＝1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°

1＋tan 45°tan 15°

＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝33

. 答案：33

5.

∵0<β<α<π2，∴cos(α－β)＝13

14.

又∵cos α＝17，∴sin α＝43

7

，

∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin α·cos(α－β)－cos α·sin(α－β)＝437×1314－17×3314＝3

2

，∴β＝π

3

.

答案：π3

6. 解：由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝

72

10

， sin β＝

1－cos 2β＝

55

. ∴tan α＝7，tan β＝1

2

.

(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan α·tan β＝7＋12

1－7×1

2

＝－3.

(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β] ＝

tan （α＋β）＋tan β

1－tan （α＋β）tan β＝－3＋

12

1－（－3）×1

2

＝－1，

又∵α，β为锐角， ∴0<α＋2β<3π

2，

∴α＋2β＝3π

4

.

7. 解：∵f ?

????4α＋4π3＝－30

17，

∴2cos ??????

14?

????4α＋4π3＋π6＝2cos ? ????α＋π2＝－3017，

∴sin α＝15

17.

又∵f ?

?

???4β－2π3＝85，

∴2cos ??????

14?

????4β－2π3＋π6＝2cos β＝85，

∴cos β＝4

5

.

又∵α，β∈????

??

0，π2，

∴cos α＝817，sin β＝3

5

，

∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝817×45－1517×35＝－13

85.