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函数y=Asin(ωx+φ)的图象
一、 内容归纳 １、 知识精讲：
⑴一般地，函数y=Asin(ωx+φ),x ∈R （其中A>0,ω>0）的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左（当φ>0时）或向右（当φ<0时）平行移动|φ|个单位长度 （得y=sin(x+φ)图）,，再把所得各点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的
ω
1
倍（纵坐标不变）（得y=sin(ωx+φ)图,），再把所得各点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0 π 2= T 、相位ωx+φ、初相φ。 (3) y=Asin(ωx+φ)图象的对称轴是: ωx+φ=k π+2 π ,即ω φ π π-+ = 2 k x k ∈Z.对称中心为:(ω φ π-k ,0), k ∈Z. (4)函数y=Asin(ωx+φ),x ∈R （其中A>0,ω>0）的 单调递增区间是:ωx+φ∈[2 k π-2π,2 k π+2 π ], k ∈Z. 单调递减区间是ωx+φ∈[2 k π+2 π ,2 k π+23π], k ∈Z. （5）y=cos(ωx+φ)也类似。 ２、 重点、难点： 函数y=Asin(ωx+φ),x ∈R （其中A>0,ω>0）的图象、性质。及图象与解析式间的互求。 ３、 思维方法： 数形结合，数形转化。 ４、 特别提示： y=Asin(ωx+φ),x ∈R （其中A>0,ω>0）中A 、ω、φ对图形变换的作用。 二、问题讨论 【例1】P64(2018年春季高考·上海)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x ∈R （其中A>0,ω>0） 在一个周期内的图象如图所示。求直线y=3 与函数f(x)图象的所有交点的坐标 .〖解〗根据图象得A=2,T= 27π-)2(π-=4π,ω=2 1 )2sin(2φ+=∴x y ,又由图象可得相位移为2π-,422 1π φπφ=∴-=-∴. 即??? ??+=42 1 sin 2πx y ,根据条件: )421sin(23π+=x ,234121 sin = ?? ? ??+∴x ()Z k k x k ∈--+=∴2 32)1(2π ππ()?? ? ??--+∴3,23212πππk k 交点坐标为 〖思维点〗按图可求得f(x)=Asin(ωx+φ)，再求交点即可。 练习1:写出下列函数图象的解析式 （1）将函数y=sinx 的图象上所有点向左平移 3 π 个单位，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得到所求函数的图象。 （2）将函数y=cosx 的图象上所有点横坐标缩为原来的一半，纵坐标保 持不变，然后把图象向左平移 4 π 个单位，得到所求函数的图象。 （1）分析：按图象变换的顺序，自变量x 的改变量依次是：+3π；21 倍。 图象的解析式依次为： y=sinx →y=sin(x+3 π )→y=sin(32π+x ). 解：所求函数图象的解析式为y=sin(3 2π +x ),也可以写为： y=sin 2 1 (x+32π). （2）分析：按图象变换的顺序，自变量x 的改变量依次是：2倍；+4 π 。图 象的解析式依次为：y=cosx →y=cos2x →y=cos2(x+4 π ). 解：所求函数图象的解析式为y=cos2(x+4π)也可以写为：y=cos(2x+2 π )。 〖思维点拨〗此类问题关键是A 、ω、φ对图形变换的作用。 练习2:若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后将整个图形沿x 轴向左平移2 π 个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到曲线与x y cos 2 1 =的图象相同，求f(x)的表达式（说明具体过程） 〖解〗x y cos 21= 1cos 21 +=x y 12cos 2 1+??? ? ?-= πx y 1)2 2cos(21+-= π x y 〖思维点拨〗本题要注意的是图形变换也是互逆的， 但要注意移的方向。 【例2】(P62)(2018年高考．全国文史类)如图某地 一天从６时至１４时的温度变化曲线近似满足 函数y=Asin(ωx+φ)+b （１） 求这段时间的最大温差． （２） 写出这段曲线的函数解析式． 〖解〗（１）由图示，这段时间内的最大温差是３０－１０＝２０（０ Ｃ） （2）图中从６时到１４时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图 象、 614221-=?ωπ，8 π ω=∴， 由图示A=（30-10）/2=10，b=（30+10）/2=20， 这时208sin 10+?? ? ??+=φπx y ，将点（6，10）代入上式，可取43πφ= 综上所求的解析式为]14,6[,20)4 38 sin( 10∈++ =x x y π π 〖思维点拨〗本题虽是实际问题，但实质还是y=Asin(ωx+φ)+b 由图得解析式问题。 例3 P64 向上平移 １个单位 向右平移π／２ 每个点的横坐标 缩短到原来的１／２倍 h