初高中数学衔接知识点专题1-6(精简版)

初高中数学衔接知识点专题（一）

数与式的运算

【要点回顾】 1．绝对值

[1]绝对值的代数意义： ．即||a = ． [2]绝对值的几何意义： 的距离．

[3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离． [4]

两

个

绝

对

值

不

等式

:

||(0)x a a <>?

；

||(0)x a a >>?

．

2．乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1]2

()a b c ++=

[公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3]

33a b =- (立方差公式)

说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式

[1]

0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：

(1) 2

= ；

(2)

= ；

(3) = ；

(4)

= ． [2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a 的平方根，记

作

0)x a =≥

(0)a ≥叫做a 的算术平方根．

[3]立方根的概念： 叫做a

的立方根，记为x =4．分式

[1]分式的意义 形如

A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B

具有下列性质： （1） ； （2） ．

[2]繁分式 当分式

A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A

B

就叫做繁分式，如2m n p m n p

+++，

说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

【例题选讲】

例1 解下列不等式：（1）21x -<

例2 计算：

（1

）2

2

1()3

x +

（2）2211111()()5225104

m n m mn n -

++

（3）42

(2)(2)(416)a a a a +-++

例3 已知2310x x -==，求3

3

1

x x +的值．

例4 已知0a b c ++=，求111111

()()()a b c b c c a a b

+++++的值．

例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：

（1）

（2）

1)x ≥

（3）

（4）

例6

设x y ==

，求33

x y +的值．

★ 专题二 因式分解

1．公式法

常用的乘法公式：

[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． [4]2()a b c ++=

[5]33a b +=(立方和公式) [6] 33a b -=

(立方差公式)

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解． 2．分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多

项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式 3．十字相乘法

（1）2

()x p q x pq +++型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．

∵2

()x p q x pq +++2

()()()()x px qx pq x x p q x p x p x q =+++=+++=++， ∴2()()()x p q x pq x p x q +++=++

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．

（2）一般二次三项式2

ax bx c ++型的因式分解

由2

121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，

常数项c 分解成12c c ，把1212

,,,a a c c 写成11

22a c a c ?，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，

如果它正好等于2

a x

b x

c ++

的一次项系数b ，那么2

a x

b x

c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，

从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 4．其它因式分解的方法

其他常用的因式分解的方法：（1）配方法 （2）拆、添项法 例1 （公式法）分解因式：(1) 34381a b b -；(2) 76

a a

b -

例2 （分组分解法）分解因式：（1）2222()()ab c d a b cd --- （2）222

2428x xy y z ++-

例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 2

524x x +-

(2) 2

215x x -- (3) 2

2

6x xy y +- (4) 2

2

2

()8()12x x x x +-++

例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 2

1252x x -- ；(2) 22568x xy y +-

解：

324 1-?

1 254y

y -?

说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为

提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号． 例5 （拆项法）分解因式32

34x x -+

(3) 32

113121x x x -+- (4) 3223428x xy x y y --+

★ 专题三 一元二次方程根与系数的关系 【要点回顾】

1．一元二次方程的根的判断式

一元二次方程2

0 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： ． 由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把2

4b ac -叫做一元二次方程2

0 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：2

4b ac ?=- 对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有

[1]当Δ 0时，方程有两个不相等的实数根： ； [2]当Δ 0时，方程有两个相等的实数根： ； [3]当Δ 0时，方程没有实数根． 2．一元二次方程的根与系数的关系

定理：如果一元二次方程2

0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：

1212,x x x x +==

说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0?≥．

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知

x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，

所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有

以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．

【例题选讲】

例1 已知关于x 的一元二次方程2

320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有实数根； （4）方程无实数根．

例2 已知实数x 、y 满足22

210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．

例3 若12,x x 是方程2

220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：

(1) 22

12x x +；

(2)

12

11x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．

例4 已知12,x x 是一元二次方程2

4410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123

(2)(2)2

x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． (2) 求使

12

21

2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：(1) 假设存在实数k ，使12123

(2)(2)2

x x x x --

=-成立．∵ 一元二次方程

24410kx kx k -++=的两个实数根，∴ 2

40

0(4)44(1)160

k k k k k k ≠??

?+=??

∴ 222

121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939

425

k k k +=-

=-?=，但0k <．

∴不存在实数k ，使12123

(2)(2)2

x x x x --=-

成立．

(2) ∵ 222121212211212()44224411

x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-

++ ∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <，要使12

21

2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---．

★ 专题四平面直角坐标系一次函数、反比例函数

要点回顾】

1．平面直角坐标系平面直角坐标系内的对称点：

2．函数图象

[1]一次函数： 称y 是x 的一次函数，记为：y kx b =+(k 、b 是常数，k ≠0)

特别的，当b =0时，称y 是x 的正比例函数。

[2] 正比例函数的图象与性质：函数y =kx (k 是常数，k ≠0)的图象是 的一条直线，当 时，图象过原点及第一、第三象限，y 随x 的增大而 ；当 时，图象过原点及第二、第四象限，y 随x 的增大而 ．

[3] 一次函数的图象与性质：函数y kx b =+(k 、b 是常数，k ≠0)的图象是过点(0，b )且与直线y =kx 平行的一条直线.设y kx b =+(k ≠0)，则当 时，y 随x 的增大而 ；当 时， y 随x 的增大而 ．

[4]反比例函数的图象与性质：函数k

y x

=(k ≠0)是双曲线，当 时，图象在第一、第三象限，在

每个象限中，y 随x 的增大而 ；当 时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y

随x 的增大而 ．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线y x =与y x =-；又是中心对称图形，对称中心是原点．

【例题选讲】

例1 已知()12,A y 、()2,3B x -，根据下列条件，求出A 、B 点坐标． (1) A 、B 关于x 轴对称；(2) A 、B 关于y 轴对称；(3) A 、B 关于原点对称．

例2已知一次函数y ＝kx ＋2的图象过第一、二、三象限且与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，O 为原点，若ΔAOB 的面积为2，求此一次函数的表达式。

例3如图，反比例函数k

y x

=

的图象与一次函数y mx b =+的图象交于(13)A ，，(1)B n -，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．

★

专题五 二次函数

二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：

[1]当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口方向 ；顶点坐标为 ，对称轴

为直线 ；当 时，y 随着x 的增大而 ；当 时，y 随着x 的增大而 ；当 时，函数取最小值 ．

[2]当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口方向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当 时，y 随着x 的增大

而 ；当 时，y 随着x 的增大而 ；当 时，函数取最大值 ． 上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

图（12）

[2]二次函数的三种表示方式：

（1）．一般式： ； （2）顶点式： （3）

交点式： ．说明：确定二此函数的关系式的一般方法是

待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：

①给出三点坐标可利用一般式来求；

②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．

③给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x .)0,(2x 时可利用交点式来求． 【例题选讲】

例1 求二次函数y ＝－3x 2

－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）

应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

例3 已知函数2

,2y x x a =-≤≤，其中2a ≥-，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．

例4 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1）； （2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2； （3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．

★ 专题六 二次函数的最值问题

【要点回顾】

1．二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的最值．

二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b

x a

=-

处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b

x a

=-处取得最大值244ac b a -，无最小值． 2．二次函数（X 为全体实数时）最大值或最小值的求法． 第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值．

如：2

y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =； 第二步：讨论：

[1]若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论： ①对称轴小于m 即0x m

<，即对称轴在m x n ≤≤的左侧； ②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部； ③对称轴大于n 即0x

n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。

[2] 若0a >时求最大值或0a <时求最小值，需分两种情况讨论：

①对称轴02m n

x +≤

，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧； ②对称轴02

m n

x +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧；

说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，参考例4。

【例题选讲】

例1求下列函数的最大值或最小值．

（1）5322

--=x x y ； （2）432

+--=x x y ．

例2当12x ≤≤时，求函数2

1y x x =--+的最大值和最小值．

例3当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．

例4当1t x t ≤≤+时，求函数215

22

y x x =

--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．

解：函数215

22

y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图．

(1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时：当x t =时，2min 1522

y t t =

--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+?≤≤时： 当1

x =时，2m i n

1511322

y =?--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +

22min 151

(1)(1)3222

y t t t =+-+-=-．

综上所述：2

213,023,0115

,1

22t t y t t t t ?-

=-≤≤???-->?

例5当02x ≤≤时，求函数2

21y x ax =-+的最大值。

1

A 0 C |x －1|

|x －3|

● 各专题参考答案 ●

专题一数与式的运算参考答案

例1 （1）解法1：由20x -=，得2x =；

①若2x >，不等式可变为21x -<，即3x <； ②若2x <，不等式可变为(2)1x --<，即

21x -+<，解得：1x >．综上所述，原不等式的解为13x <<．

解法2： 2x -表示x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式21x -<的几

何意义即为x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x 的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为13x <<． 解法3：2112113x x x -

（2）解法一：由10x -=，得1x =；由30x -=，得3x =；

①若1x <，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ； ③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4， 解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4． 综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．

解法二：如图，1x -表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －

1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|P A |＋|PB |＞4．由|AB |＝2可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． 所以原不等式的解为x ＜0，或x ＞

4． 例2（1）解：

原式

=

2

21[()

]3x +

+222222

111()()()2(22()333

x x x x =

++++

?+??

43281339

x x x =-+-

+ 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．

（2）原式=3333

1111()()521258m n m n -=

- （3）原式=24222336

(4)(44)()464a a a a a -++=-=-

（4）原式=2

2

22

2

2

2

()()[()()]x y x xy y x y x xy y +-+=+-+3

32

6

3

3

6

()2x y x x y y =+=++ 例3解：

2310x x -== 0x ∴≠ 13x x

∴+

= 原式=22

22

1111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x

+-+

=++-=-= 例4解：0,,,a b c a b c b c a c a b ++=∴+=-+=-+=-

∴原式=b c a c a b a b c bc ac ab

+++?+?+?

222()()()

a a

b b

c c a b c bc ac ab abc ---++=++=- ① 33223()[()3](3)3a b a b a b ab c c ab c abc +=++-=--=-+

3333a b c abc ∴++= ②，把②代入①得原式=33abc

abc

-=-

例5解：（

1）原式

2

3(2623==-- （2）原式=(1)(2)2 3 (2)

|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->?-+

-=?---=≤≤?

说明：

||a

=的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．

（3）原式

ab

=

（4）

原式

=

==

例6

解

：2

2

(277 14,123x y x y xy ===+=-?+==- 原式=2222

()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=

说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．

【巩固练习】

1．

43x -<< 2．

3．3-或2 4．3

5．4

4

4

2

2

22

22

222x y z x y x z y z --

-+++ 6．()(

)(

(13,2,3,43-

专题二因式分解答案

例1分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66

a b -，可看着是32

32

()()a b -或23

23

()()a b -．

解：(1) 3

4

3

3

2

2

3813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．

(2) 7

6

6

6

3

3

3

3

()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-2

2

2

2

()()()()a a b a ab b a b a ab b =+-+-++

2222()()()()a a b a b a ab b a ab b =+-++-+

例2（1）分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．

解：2

2

2

2

2

2

2

2

()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+2

2

2

2

()()abc a cd b cd abd =-+-

()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+

（2）分析：先将系数2提出后，得到2

2

2

24x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式． 解

：

22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-

例5 解： 3

2

3

2

34(1)(33)x x x x -+=+--2

(1)(1)3(1)(1)x x x x x =+-+-+-

2(1)[(1)3(1)]x x x x =+-+--22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-

【巩固练习】

1．2

2

(1)()();(2)(42)(2);(3)(48)(48);bc ad ac bd x m n x n x x x x +--+--+++

2(4)(1)(3)(7);(5)(2)(2)x x x x y x y ----+．

2．283；

3．222

11(1)(31)422

x x x x x x +-+++=+ (4)x x =+

其他情况如下：)1)(1(1)21()121(2

22-+=-=-+-+x x x x x x x ；

2222)1(12)2

1

()1321(+=++=-+++x x x x x x x . 4．322322

()()a a c b c abc b a ab b a b c ++-+=-+++

专题三一元二次方程根与系数的关系习题答案

例1解：∵2

(2)43412k k ?=--??=-，∴(1) 141203k k ->?<； (2) 1

41203

k k -=?=；

(3) 141203k k -≥?≥

；(4)1

41203

k k -

(2)10x y x y y --+-+=

由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222

[(2)]4(1)300y y y y y ?=----+=-≥?=，

代入原方程得：2

2101x x x ++=?=-．综上知：1,0x y =-= 例3解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-

(1) 2222

121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=

(2) 1212121122

20072007

x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-

(4) 12||x x -====

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222

121212()2x x x x x x +=+-，

121212

11x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-

，12||x x -=理体现了整体思想． 【巩固练习】

1． A ； 2．A ； 3．1,3p q =-=-； 4．3,3,0a b c ===； 5． 1m = (1)当3k =时，方程为310x +=，有实根；(2) 当3k ≠时，0?>也有实根．6．(1) 3

14

k k ≥

≠且； (2)

7k =．

专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参考答案

例1 解：(1)因为A 、B 关于x 轴对称，它们横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以22x =，13y =，则()2,3A 、()2,3B -．

(2)因为A 、B 关于y 轴对称，它们横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以，22x =-，13y =-，则()2,3A -、()2,3B --．

(3)因为A 、B 关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数，所以22x =-，13y =，则

()2,3A 、()2,3B --．

例2分析：因为直线过第一、三象限，所以可知k>0，又因为b ＝2，所以直线与y 轴交于（0，2），即可知OB ＝2，而ΔAOB 的面积为2，由此可推算出OA ＝2，而直线过第二象限，所以A 点坐标为（－2，0），由A 、B 两点坐标可求出此一次函数的表达式。 解：∵B 是直线y ＝kx ＋2与y 轴交点，∴B （0，2），∴OB ＝2，1

222

AOB S AO BO AO ?=

?=∴=又

， 2y kx =+又

，过第二象限，(20)A ∴-，112021

2x y y kx k y x =-==+=∴=+把，代入中得， 【巩固练习】

1． B 2． D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)． 3．（1）8k =．（2）点P 的坐标是(24)P ，或(81)P ，．

专题五二次函数参考答案

例1 解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2

＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x ＝－1；顶点坐标为(－1，4)；

当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；

当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞－1时，y 随着x 的增大而减小； 采用描点法画图，选顶点A (－1，4))，与x 轴交于点

B 3(

,0)3和

C 3

(,0)3

-

与y 轴的交点为D (0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．

说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．

例2 分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值． 解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋（B ），将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有70130,

50150,

k b k b =+??

=+? 解得 k ＝－1，b ＝200．∴ y ＝－x ＋200．

设每天的利润为z （元），则z ＝(－x +200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000＝－(x －160)2＋1600， ∴当x ＝160时，z 取最大值1600．

答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．

例3 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论． 解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；

（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；

（3）当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；

（4）当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a 2；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．

①

②

说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．

例4（1）分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．

解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上，所以，2＝x ＋1，∴x ＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为

2(2)1(0)y a x a =-+<，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴21(32)1a -=-+，解得a ＝－

2．

∴二次函数的解析式为2

2(2)1y x =--+，即y ＝－2x 2＋8x －7．

说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用

条件简捷地解决问题．

（2） 分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．

解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)，

展开，得 y ＝ax 2

＋2ax －3a ， 顶点的纵坐标为

22

12444a a a a

--=-，由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，∴|－4a |＝2，即a ＝12±．所以，二次函数的表达式为y ＝213

22

x x +-，或y ＝

－21322

x x -+． 分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．

解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1．又顶点到x 轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．∴a ＝－12，或a ＝1

2

．所以，所求的二次函数为y ＝－

12(x ＋1)2＋2，或y ＝1

2

(x ＋1)2－2． 说明：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．

（3）解：设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得

228842a b c

c

a b c -=-+??

-=??=++?

解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．

【巩固练习】

1．（1）D （2）C （3）D 2．（1）y ＝x 2＋x －2 （2）y ＝－x 2＋2x ＋3 3．（1）1222--=x x y ．（2）1843)1(422+-=--=x x x y ． （3）3

5

2

51)5)(3(512--=-+=

x x x x y ．（

4）()22115323222y x x x =--=-+ 4．当长为6m ，宽为3m 时，矩形的面积最大．

5．（1）函数f （x ）的解析式为, 02,4, 24,4, 46,8, 68.

x x x x y x x x x <≤??-<

=?-<≤??-<

（2）函数y 的图像如图所示

（3）由函数图像可知，函数y 的取值范围是0＜y ≤2．

专题六二次函数的最值问题参考答案

例1分析：由于函数5322--=x x y 和432

+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．

解：（1）因为二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2＞0，所以抛物线5322--=x x y 有最低点，

即函数有最小值．因为5322--=x x y =8

49

)43(22--x ，所以当43=x 时，函数5322--=x x y 有

最小值是8

49

-．

（2）因为二次函数432

+--=x x y 中的二次项系数-1＜0，所以抛物线432+--=x x y 有最高点，

即函数有最大值．因为432+--=x x y =425)23

(2+

+-x ，所以当2

3-=x 时，函数432+--=x x y 有最大值4

25

．

例2解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．

说明：二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

例3解：作出函数2

(2)2y x x x x =--=-在0x ≥

内的图象．

可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．

例5解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．2

(30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤ (2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下

∴当42x =时，2max 342252424860432y =-?+?-=

∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．

【巩固练习】

1．4 14或2，32 2．2216l m 3．2,2a b ==-． 4．1

4

a =-或1a =-．

5．当0t ≤时，max 22y t =-，此时1x =；当0t >时，max 22y t =+，此时1x =-．

专题七不等式答案

例2解：(1) 不等式可化为(2)(4)0x x +-<∴ 不等式的解是24x -<<

(2) 不等式可化为2

(2)0x -≤ ∴ 不等式的解是2x =；(3) 不等式可化为2

17

()024

x -+

<．

例3解：显然0k =不合题意，于是：22

2000

111

(2)4010k k k k k k k k >>>??????>???<->--<->???或 例4分析：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解． (2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数．

解：(1) 解法(一)原不等式可化为：3323023031221010211

x x x x x x x x x ??

-<-><>????

??-<

+>+-<-??或或 解法(二) 原不等式可化为：3

(23)(1)012

x x x -+

(2) 解：原不等式可化为：13535

3000222x x x x x --+-≤?≤?≥+++(35)(2)020

x x x ++≥????+≠?

5

23

x x <-≥-或

说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．

(2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：

20201

33(2)13(2)12x x x x x +>+

+≥+≤+??

或 【巩固练习】 1．1

(1)0 (2)3 6 (3) 1 (4)32

x x x x -

<<-≤≤=-≠-；

史上最全的初高中数学知识点衔接归纳

初高中数学教材衔接的必要性与措施 近几年，随着我国教育体制改革步代加大，素质教育理念不断深入人心,课改新教材在我省大多数中小学已经实施。黄石市初中是率先使用课改新教材的县市之一，经过两届学生实验，结果表明：使用课改新教材的学生学习的自主性，思维的广阔性，师生的互动性明显增强，但思维的严谨性，推理的逻辑性显得有些不足。加上我市高中教材未与课改新教材接轨，教学内容上有明显“脱节”。学生从初中进入高中出现明显“不适应”现象。因此解决初高中数学教材衔接问题势在必行。 一、初高中数学知识“脱节”点 1. 绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用 2．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 3．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 4．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 5．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 6．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 7．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 8．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 9．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 10. 圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习，高中则在使用。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 二、“脱节”知识点掌握情况调查 高一新生入学不久，在已进行“乘法公式”与“因式分解”讲授后，我们对学生初高中“脱节”知识点作了全面调查，统计情况如下：

(完整版)《新课程背景下初高中数学教学的衔接研究》课题开题报告

开远市教育科研“小课题” 《新课程背景下初高中数学教学的衔接研究》 课题研究开题报告 立项编号：20120661 课题名称：新课程背景下初高中数学教学的衔接 研究 课题类别：市级一般课题 研究领域：学科教学 课题负责人：刘红映 所在单位：开远市第九中学

《新课程背景下初高中数学教学的衔接研究》 课题开题报告 一、课题名称 《新课程背景下初高中数学教学的衔接研究》 二、课题研究周期 2012年6月—2013年9月（一年） 三、课题提出的背景 2009年云南省进入高中新课改，高中课程标准，教学大纲都有很大变化，数学结构、内容等都与往年有所改变，初高中脱节问题日益突出。近几年来普通高中办学规模不断扩大，学业水平起点不同的新生涌入高中，我校作为普及高中试点学校，学生录取成绩较低，被调查对象15届高一新生，入学数学成绩最高分85，最低分6，平均分约为52.4。初中基础较弱，大部分高一新生学习数学感觉很吃力，教师教学方面也倍感困难，不但要教授高中新知还要补充初中知识，因此研究衔接教学十分必要。通过分析初高中学习衔接方面存在问题，主要集中在以下几点： 1. 教材的变革与深化需要进行衔接教学 教材是课程建设的主要载体，是课程改革的主要内容之一，每次的课程改革都体现出新的课程理念，全新的课程设计，新课程改革后使用的教材，虽然初高中教材的难度都有所降低，但与初中义务制教材相比，高中现行教材（人教A 版）有如下特点：一是容量大，高中必修课本5本，高考考察选修内容理科3本，文科2本，另外高考选作题涉及选修4系列的三本课本。高中知识点增多、灵活性加大、课时减少、课容量增大、进度加快。二是内容抽象，高中教材不仅有大量抽象的数学符号和数学术语，我们既要准确理解他们的意义，区别与初中教学中的差距，同时还要能够运用它们进行推理、运算，这对刚进高中抽象思维能力不强的学生来说难度不小。三是起点高，从整个高中教材编排体系来看，要求高一学年完成必修1、2、3、4四本课本的教学，由于《函数》这一章太难，很容易让学生产生畏惧情绪，新教材又把空间立体几何安排在高一上学期，也超出了部分学生的思维水平和接受能力，造成知识脱节。加上高中受高考指挥棒的牵制，虽然教材缩减了不少内容，但许多教师不敢轻易降低难度，补充了大量的知识，人为加大初高中教材的内容难度差距。 2.学法与教法的变化需要进行衔接教学研究

浅谈初高中数学教学衔接的问题与策略

淺談初高中數學教學銜接的問題與策略 遂寧市攔江中學陳榮華 [摘要]：新課標下,高中數學與初中數學相比,高中數學在教材內容、教學要求、教學方式、思維層次以及學習方法上都發生了許多變化,如何銜接好初高中數學教學,是提高高中數學教學質量一個十分重要的問題。這些都要求高中數學教師，要認真思考和研究兩者彼此潛在的聯系和區別，做好新舊知識的串連和溝通，在教學中合理處理好二者的銜接。 [关键词]：高中數學；初中數學；銜接 每一個升入高一的同學都滿懷著美好的憧憬,都有強烈的愿望把高中階段的所有課程學好。但經過一段時間，他們普遍感覺高中數學并非想象中那么簡單易學。新課改后學生在學習習慣、思維方式、性格特點等方面都有了較大改變。他們具有強烈的表現欲，敢于發表不同的觀點，動手能力強，但是運算能力卻較弱，書寫不規范，有很強的隨意性。初中升入高中后將面臨很多變化，若高一學生不能很快進入高中學習狀態，隨著學習內容的增多，學生的數學能力也會出現 GAGGAGAGGAFFFFAFAF

較大的分化。相當部分學生進入數學學習的“困難期”，數 學成績出現嚴重的滑坡現象。漸漸地他們認為數學神秘莫測，從而產生畏懼感，動搖了學好數學的信心，甚至失去了學習數學的興趣。造成這種現象的原因是多方面的，但最主要的根源還在于初、高中數學教學上的銜接問題。下面就這個問題進行分析，探討其原因，尋找解決對策。 一．新課改后銜接問題分析 1. 新課改后初高中數學知識的銜接問題 新課標在義務教育階段刪減了很多內容，而這些內容在高中階段卻有著重要作用。例如乘法公式只有平方差、完全平方公式，沒有立方和與立方差公式。多項式相乘僅指一次式相乘。因式分解，只要求提公因式、公式法，導致學生數式化簡的能力不夠。從而使教師在高中數學的函數、數列、不等式、平面解析幾何初步的教學中會感到很吃力，學生也會感到困難重重。在義務教育階段，新課標對一元一（二）次方程中含字母系數的方程、可化為一元二次方程的分式方程、無理方程、二元二次方程組、一元二次方程根與系數的 關系不作要求，導致學生解方程能力不足，大大影響學生在 GAGGAGAGGAFFFFAFAF

初高中数学衔接知识点

初高中数学到底“衔接”什么？新生需掌握的八个知识点 很多新高一的同学，暑假里都忙着“衔接”，步入高中，无论是学习方法还是知识难度都有了很大的改变，大家都想趁着暑假来全方位提升自己，让这一级台阶迈得更稳。但是到底该衔接些什么内容，才可以达到事半功倍，直击问题的核心呢?为新高一的学生们答疑解惑，如何做好初高中衔接教育。 初高中数学到底“衔接”什么? 衔接≠上新课、竞赛培训、巩固复习课每年的暑假，都有不少新高一的学生去参加初高中衔接的课程，二八学习法温馨提醒：做好衔接方面的工作是必要的，但是不要盲目参加，要分清楚到底是不是衔接，衔接的是哪些知识。 初高中衔接教材：不是要急于学习高一的新课本，而是将一些初中应该提高与拓展的部分进行巩固。目前初高中数学衔接教学存在的三个误区： 误区之一：衔接课程讲授大量的高一新知识，衔接课变成了新课。 误区之二：衔接课程讲授大量的初中竞赛内容，衔接课变成了竞赛培训课。 误区之三：衔接课程仅仅是巩固初中知识，衔接课变成了复习课。 数学语言更抽象了思维方法更理性了王老师提醒，高中数学和初中有很大不同： 一是数学语言在抽象程度上突变：历来学生都反映，集合、映射等概念难以理解，离生活很远，似乎很“玄”。 二是思维方法向理性层次跃迁：数学语言的抽象化对思维能力提出了更高的要求。 三是知识内容的整体数量剧增，加之时间紧、难度大，这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。 王老师建议同学们做好课后的复习工作，理解新旧知识的内在联系，学会对知识结构进行梳理. 二八学习法初高中衔接教材系列的三大优势： 1.针对性强：内容衔接，复习已学过的内容，预习新学期学习的内容，温故知新。 2.新颖性强：通过《二八学习法讲义》掌握高效学习方法，并通过二八学习法视频加深对二八学习法的理解，并将掌握的方法运用于学习之中。资料部分，内容新颖，知（知识）、能（能力）、思（思考方法）并重，讲、练、评一体化。 3.实用性强：二八学习法讲义+视频讲解+资料（读和练）三维一体，相得益彰，高效学习，效率惊人！ 初中名师家教、高中名师家教、初高中衔接教材 产品类别内容（二八学习法讲义+DVD光盘+资料） 秋季开学新初一版语、数、英三科 秋季开学新初二版语、数、英三科 秋季开学新初三版语、数、英、理四科 秋季开学新高一版语、数、英、理、化五科 秋季开学新高二版语、数、英、理、化五科 秋季开学新高三版语、数、英、理、化五科 二八学习法，是指引学习方向的学习方略，方向正确，事半功倍，相信二八学习法会给你的学习带来神奇的效果！ 二八学习法五大系列产品是：名师家教、同步导学、复习指南、模法解题、试题分析 足不出户尽享名师家教 单科提分20-30分

初高中数学衔接研究报告

初高中数学衔接研究报告

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初高中数学衔接教学的实验与研究研究报告 平舆县第一高级中学“初高中数学衔接教学的实验与研究”课题组 执笔人:韩雨濛 摘要: 国家教委在八十年代对初中数学教学要求和内容的调整,较大地降低了有关知识的要求，造成了初、高中数学教学的较为严重的脱节。从高一数学老师的现状看:各校大部分是教学不足5年的青年教师,有学历,有热情,但对高一数学教材不熟悉,对初中数学教材知之更少,他们急需要有一个学习、了解初高中数学数学教材的衔接与初高中教学的差异,以便于更好的组织教学，使学生更快适应高中、 一、问题的提出 1．学生升入高中学习之后，无论选择理科或者文科的学习，数学课程都是必须继续学习的课程之一。初高中数学教学内容上有很强的延续性,初中数学是高中数学学习的基础,高中数学是建立在初中数学基础上的延续与发展,在教学内容上、思想方法上，均密切相关。因此，从教学内容、数学思想方法上，理顺初高中数学之间的关系，进而在高中刚开始阶段强化初高中衔接点的教学,为学生进一步深造打下基础,是高中数学教学必须研究的重要课题。 2．初高中数学教学衔接研究，主要从初高中数学教学内容、基本的数学思想方法、新课程标准对数学教学的要求，试图找出初高中数学教学衔接的相关关

键点，从而为高中数学教学提出有用的建议，让高一学生尽快适应高中数学，从而进行有效的学习。 3．近年来初高中数学教学衔接作为“初高中教学衔接”这一宏观课题,在很多地方被人们提及，一些教育科研部门也作过尝试,试图寻找其间的规律与共性，但大多是从教学内容上进行简单地分类研究，也没有作为专项课题进行研究。因为这一课题将直接影响学生高中数学学习的效果,因此有进行全面研究的重要价值。 二、选题目的与意义 １．找出初高中数学教学衔接的相关关键点,从而为高中数学教学提出有用的建议,为学生适应高中数学学习进行有效地定位。 2．从教学内容、数学思想方法上，理顺初高中数学之间的关系，进而在高中初期阶段强化初高中衔接点的教学,为学生进一步深造打下基础。 3.为学生有效适应高中阶段的数学学习打好基础,提高教师对新课程理念以及学科课程目标的全面、深刻地理解; 三、课题研究目标 １、通过研究,促使教师从研究的视角来审视初高中数学衔接问题,在课堂教学中更多地关注学生的这一学习主体。反思自身的教学思想和教学行为。寻找初高中数学教材的知识衔接,结合旧知识,寻找新知识的结合点和突破点，充分发挥数学本身所具有的激发、推动学生学习的动力。

浅谈如何做好初高中数学衔接教学

浅谈如何做好初高中数学衔接教学 发表时间：2015-02-02T15:06:13.260Z 来源：《教育学文摘》2014年12月总第142期供稿作者：邓瑞云[导读] 初中数学与高中数学相比较，在教材内容、教学要求、教学方式、思维层次以及学习方法上差异性显著。 邓瑞云山东省昌邑市围子初中261300 初中数学与高中数学相比较，在教材内容、教学要求、教学方式、思维层次以及学习方法上差异性显著。如何做好教学衔接工作，是提高数学科目教学质量的重要保证。初高中衔接一直以来是初中教师和高中教师最头痛的问题,初中教学和高中教学出现了教学思想和教学内容的真空状态。作为初中数学教师,我们应该注重学生的延续性,加强教学思想方法的探讨。 一、初高中数学知识中存在的“真空” 1.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中要用。 2.因式分解一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是贯穿高中的重要内容。 5.二次函数、二次不等式、二次方程的联系、根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，仅限于简单的常规运算和简单的应用题型，而在高中三者之间的相互转化被视为重要内容，但高中却未安排专门的课程讲解。 6.图象的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图形的上、下、左、右平移，两个函数关于原点、直线、轴的对称问题必须掌握。 7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中这部分内容被视为重难点，三者的综合考查常成为高考的综合题。 8.几何部分的概念（如重心、垂心等）和定理（平行线分线段成比例、射影定理、相交弦定理），初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 二、初高中数学教法与学法的形态对比 1.教材的变化。首先，初中数学教材内容通俗具体，多为常量，题型少而简单；而高中数学内容抽象，多研究变量、字母，不仅注重计算，而且还注重理论分析，这与初中相比增加了难度。其次，由于近几年教材内容的调整，虽然初高中教材都降低了难度，但相比之下，初中降低的幅度大，而高中由于受高考的限制，教师都不敢降低难度，造成了高中数学实际难度没有降低。因此，从一定意义上讲，调整后的教材不仅没有缩小初高中教材内容的难度差距，反而加大了。 2.学法的变化。在初中，教师讲得细，类型归纳得全，练得熟，考试时，学生只要记准概念、公式及教师所讲例题类型，一般均可对号入座取得好成绩。因此，学生习惯于围着教师转，不注重独立思考和对规律的归纳总结。到了高中，由于内容多时间少，教师不可能把知识应用形式和题型讲全讲细，只能选讲一些具有典型性的题目，以落实“三基”培养能力。因此，高中数学学习要求学生勤于思考、善于归纳总结规律、掌握数学思想方法，做到举一反三，触类旁通。然而，刚入学的高一新生往往继续沿用初中学法，致使学习困难较多，完成当天作业都很困难，更没有预习、复习及总结等自我消化、自我调整的时间。这显然不利于良好学法的形成和学习质量的提高。 3.教法的变化。初中教材大都以模型为主，每一个知识点都配以一定的例题，教师仔细进行讲解，然后结合教材和教辅资料上的练习题反复训练。教师在教法上通常是目标明确、直接，对知识点的探索和发散较少，也就是我们通常所说的只教教材。到了高中后，内容加深，对知识点的考查不再是以书上的例题类型为主，而是围绕知识点进行发散，这就要求学生对每一个知识点都要有透彻的理解。因此，高中教师在进行教学时以对知识点的理解为主，然后深层次地进行挖掘。 三、发现问题，解决问题正是由于初中和高中在教法上的差异，初中数学和高中数学在教法的思想统一上越走越远，问题越来越尖锐。当然，这和现行中考、高考的体制以及这种体制下各学校对成绩的考核体制是分不开的，这也造成初中和高中衔接的距离越来越大，学生的适应度逐渐降低。我们应该立足于学生的延续性发展。初中数学教师作为学生数学学习的引领人，除了作好基础性教育之外，更要做好延续性教育。我们初中数学教师要尽量抛开考核机制给我们带来的影响，力争打破这种传统。 四、解决办法 1.初中教师要多研究初中和高中教材，找到初高中在教材上的“脱节”处和联系的地方。 2.初中教师在课余时间要多研究高中教师的教法，溶入初中数学的教法，形成一套完善的初高中衔接教法的特色。（1）互动交流。学生完成初一的基础教育，对初中数学教学已完全适应后，进入初二，要帮助学生树立正确的学习目标和人生观，可在教学过程中适当地让学生了解高中数学的特点，明确高中数学的学习方法，端正学习态度。（2）情感教学与特色教学。初中数学教学中要多创造情境，在情境中激发学生参与探讨，发表自己的观点，训练学生的理解能力。应有适应学生现有学习方法的课堂教学，以后再逐步调整，平稳完成初高中过渡。要针对不同的学习内容，选择不同的授课方式，比如多让学生探究、合作、模仿、体验等，使学生的学习变得丰富而有个性。（3）调动学习积极性。（4）加强学法指导。

初高中数学衔接知识点总结讲课稿

初高中数学衔接读本 数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”： 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。

目录 1.1 数与式的运算 1.1.1绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3二次根式 1.1.４分式 1.2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 一元二次不等式解法

1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >??==??-

初高中数学教学衔接问题的研究

北京家教 找家教上阳光家教网 初高中数学教学衔接问题的研究 唐惠荣 一、研究背景 “八五”期间，市政府制定了上海市建设一流基础教育规划，并着手制定《进入21世纪的中小学数学教育行动纲领》。中小学数学教育是整个基础教育的重要内容之一，对于培养学生辩证唯物主义的世界观和方法论具有独特的作用。然而中学作为基础教育的重要组成部分，由于受办学条件的限制，严重影响教育质量的提高，高中数学教育质量的下降是中学教学所面临的共同问题。随着高中教育规模的扩大，大量学生进入高中学习，学生由初中升入高中后，普遍认为数学难学，许多学生在初中阶段数学成绩较好，但步入高中后数学成绩明显下降。究其原因主要在于初、高中数学未能很好衔接。 初、高中数学教学衔接问题存在的原因主要有以下三个方面： （1） 教材内容方面：初中数学教材通俗易懂，难度不大，侧重于定量计算；而高中数学教材，较多研究的是变量和集合，不但注重定量计算，且需作定性研究，注重于各种数学思维能力的提高、空间想象能力的培养等，在初、高中教材知识点衔接上有脱节现象。 （2） 教学方法方面：初中教师的教学主要依据初中学生特点及教材的内容，教学进度较慢，对重点内容及疑难问题都有较多时间反复强调、答疑解惑；而高中教师在处理高中教材时却没有充裕的时间去反复强调教材内容，对于习惯于初中教师教法的学生进入高中后，难以适应高中教师的教法。另外，初中教师在知识点的处理上侧重记忆，学生只要记住概念、公式、定理和法则，就能取得较好的成绩，而高中教师在教学中，不仅要对教材中的概念、公式、定理和法则加以认真讲解，还要重视学生各种能力的培养，加上其他原因，要求教学中不但重视书本上内容，还要补充各种课外知识，对习惯于“ 依样画葫芦”缺乏“举一反三”能力的高一学生，显然无法接受。 （3） 学习方法方面：初中学生习惯于跟着老师转，不善于独立思考和刻苦钻研数学问题，缺乏归纳总结能力。进入高中后，则要求学生勤于思考、勇于钻研、善于触类旁通、举一反三、归纳探索规律。然而高一新生往往沿用初中一套学习方法，不善于抓住学习中自学、阅读、复习、小结等必要环节，对高中学习内容缺乏必要的抽象思维能力和空间想象能 力。 二、概念内涵的界定 教学内容的衔接。以《衔接教材》为载体，通过相关知识点的比较和补充、单元知识的补充，达到完成初、高中知识和能力的衔接的目的。 教学方法的衔接。以《衔接教材》为载体，通过问题教学融合衔接教学模式的探索和实践，达到完成初、高中教学衔接的目的。

浅谈初高中数学的衔接

浅谈初高中数学的衔接 摘要：高中数学教师在教学中应该重视初高中数学的衔接，要想做好衔接工作，除了要对高中数学教材充分理解外，对初中数学教材也应该很熟悉。就高中数学教学过程中如何以学生已有的初中数学经验为基础，开展课堂教学做好衔接工作谈一些见解。 关键词：衔接；导入；挖掘拓宽；补充过渡 “数学难学”是高中生普遍反映的问题，这也是高中数学教师十分关心的问题，我觉得高中数学教师在课堂教学中应该重视初高中数学的衔接，要想做好衔接工作，对初中数学教材也应该很熟悉。以下就本人在高中数学教学过程中如何以学生已有的初中数学经验为基础，开展课堂教学做好衔接工作谈几点个人的见解。 一、利用旧概念，导入衔接新概念 高中教师要熟悉初中数学教材和课程标准，对初中数学的概念及其深度要做到心中有数，高中数学的新授课就可以从与之相衔接的初中内容引入新课。比如，在教学人教A 版必修1的《1.2.1函数的概念》时，我利用了学生以前学过的北师大版七年级下册第六章“变量之间的关系”中的《小车下滑的时间》《变化中的三角形》《温度的变化》《一

次函数》中的相应内容做导入衔接：“我们生活在一个变化的世界中，变量和变量之间存在着关系，即一个量的变化会引起另一个量的变化，例如，小车下滑的时间会随着支撑物高度的变化而变化，三角形的面积（高不变）会随着底边的变化而变化，温度会随着时间的变化而变化等等。这种变量之间的关系具有一个共同的特征：都有两个变量，给定其中某一个变量（自变量）的值，相应的就确定了另一个变量（应变量）的值。函数正是刻画变量与变量之间这种依赖关系的重要模型，在初中，我们是这样定义函数的：一般的，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x的值，相应的就确定了一个y的值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是应变量。”这样为这一节课《函数的概念》的导入起到了一个很好的衔接作用，使初中函数与高中函数架起一座桥梁，为导入新课奠定了良好的基础。只要我们充分了解了学生原有的认知结构，就可以找到导入问题的切入点，从而顺利地从旧概念过渡到新概念。 二、利用旧知识，挖掘拓宽新内容 新内容是在旧知识的基础上产生的，合理地利用旧知识可以挖掘和拓宽新内容，使学生利用以往的初中知识更好地理解新内容，达到更好的衔接作用。的解简化了它的过程。在初中生只学过二元一次方程组和简单的三元一次方程组，对于三元二次方程组的解法肯定是有困难的，因此，我们应

2019初高中数学衔接知识点及习题

数学 亲爱的2019届平冈学子： ?恭喜你进入平冈中学！你们是高中生了,做好了充分的准备吗?其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真做题,善于总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。 从2016年开始，广东省高考数学试题使用全国I卷，纵观今年高考数学试题，我们发现它最大的特点就是区分度特别大,选拔性很明显,难度相比以前广东自主命题难度大大提升。打铁还需自身硬，因此，让自己变强大才是硬道理。假期发给你们的这本小册子,是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性,能有效地克服知识和方法上的跳跃,利于激发你们学习数学的兴趣。你们一定要利用好暑假，做好充分的准备工作。 这里给大家几个学数学的建议： １、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。记录本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。 2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 ３、熟记一些数学规律和数学小结论,使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 ４、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”,如表格化,使知识结构一目了然;经常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。 5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座,多做数学课外题,加大自学力度,拓展自己的知识面。 6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆,进行适当的反复巩固,消灭前学后忘。 7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如:①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 8、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识,数学思想方法是什么,为什么要这样想,是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。 9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位,而不是一味地去追求速度或技巧,这是学好数学的重要问题。 初高中数学衔接呼应版块 １.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容， 6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下;左、右平移，两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念（如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 ９．角度问题,三角函数问题。在初中只涉及360°范围内的角，而高中是任意角。三角函数在初中也只是锐角三角函数，高中是任意角三角函数，定义的范围大大不同。同时,度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。 10．高中阶段特别注重数学思维,数学思想方法的培养。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。

初高中数学衔接的问题及对策

初高中数学衔接的问题及对策 发表时间：2010-09-03T13:43:36.687Z 来源：《当代教育之窗》2010年第6期供稿作者：刘全[导读] 高中数学难学，难就难在初中与高中衔接中出现的“高台阶”。 刘全（渠县职业中专学校四川渠县635200）高中数学难学，难就难在初中与高中衔接中出现的“高台阶”。刚从初中升上高中的学生普遍不能一下子适应过来，都觉得高一数学难学，特别是对意志品质薄弱和学习方法不妥的那部分学生更是使他们过早地失去学数学的兴趣，甚至打击他们的学习信心。如何搞好高初中数学教学的衔接，如何帮助学生尽快适应高中数学教学特点和学习特点，跨过“高台阶”，就成为高一数学教师的首要任务。本文试图从以 下四个方面探讨高中新生在学习数学中存在的问题和可能的解决对策。 1．存在的问题 1．1 初、高中数学教材的差别显著。现行高中数学课本（必修本），与初中数学相比，初步分析有其以下显著特点：从直观到抽象；从单一到复杂；从浅显至严谨；从定量到定性。初中数学教材的文字叙述通俗易懂，语法结构简单、运用的数学知识基本上是四则运算。且其公式参量也较少，因此，学生对初中数学并不感到太难。高中数学语言叙述较为严谨、简练，叙述方式较为抽象、概括、理论性较强。对学生的思维能力和方式的要求大大地提高和加宽了。再加之教材从数学的知识体系出发，将最难的部分“函数”放在高一阶段，也就必然会给学生的学习带来困难，造成障碍。 1．2 学生学习方法上的不适应。初中生的数学学习方法比较机械、简单。习惯于背，不习惯于推理、归纳、论证；习惯于简单的计算，不习惯于复杂计算；习惯于仿，不习惯于创；习惯于课堂合唱，不习惯于独立思考。进入高中后，由于定义、概念、公式多，叙述多，进度快，方法灵活，题型花样多，加之科目多，如果仍靠初中那种以机械记忆为主的学习方法，显然是无能为力了。由于理解能力差，即使背得到定义、公式，因不解其意，对万花筒式的题型变化，更是束手无策，望而生畏，失去了信心。 1．3 学生不重视“听”和基础。许多同学进入高中后，还像初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。没有真正理解所学内容。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基本知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高鹜远，重“量”轻“质”，陷入题海。到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”。 2．解决的对策 高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动为主动。针对学生学习中出现的上述情况，教师应当采取以加强学法指导为主，化解分化点为辅的对策： 2．1 妥善过渡，降低台阶，有助于树立学生的学习信心。开始时，适当放慢进度，降低难度。新课的引入，尽量从初中的角度切入，注意新旧对比，前后联系（这要求教师必须熟悉初中教材）。另外，对教学中涉及到的数学知识，要作必要的复习与讲解，这样有利于培养学生运用数学知识的能力。例题、作业和测试题一开始不宜太难，以免学生盲目乐观或丧失信心。对书本上精练的概念、的叙述，要作适当的语法上的分析，用浅显的语言剖析含义，从多角度去阐述它们（文字、公式、图像等）。对学生中想当然的经验错误，一定要及时针对学生情况，帮助他们找出错的原因，并及时纠正（同时还要注意有的错误还可能重犯）。从而改变学生对高中数学的恐怖认识，提高能学好数学的信心。 2．2 温故知新，同化新知，有助于培养学生的学习兴趣。高中教师要熟悉初中数学教材和课程标准对初中的数学概念和知识的要求做到心中有数，把高中教材研究的问题与初中教材研究的问题在文字表述、研究方法、思维特点等方面进行对比，明确新旧知识之间的联系与差异，高中数学新授课就可以从复习初中内容的基础上引入新内容。高一数学的每一节内容都是在初中基础发展而来的，故在引入新知识、新概念时，注意旧知识的复习，用学生已熟悉的知识进行铺垫和引入。如在讲任意角的三角函数时，要先复习初三学过的锐角三角函数的概念，进而提出任意角的三角函数概念而引入坐标定义法。教师在教学过程中，帮助学生以旧知识，同化新知识，使学生掌握新知识，顺利达到知识的迁移。从而提高学生的学习兴趣。 2．3 改进教学，循序渐进，有助于提高学生的思维能力。亚里斯多德说过：“思维开始于疑问与惊奇，问题启动于思维”。例如，在初一代数教学中，要着重发展学生的抽象概括能力；在初二数学教学中应加强推理的训练，发展形式思维的能力；在初三应通过数形结合和解题思路的探索活动，来发展学生思维的预见性、反省性和独创性，以达到为理论型抽象思维的发展做准备、打基础的目的。至于高中数学教学，则要进一步注意理论观点对数学思维活动的指导作用，注意从具体的实践活动中，发展并丰富数学观念系统。所以在衔接阶段，要使学生的思维训练和思维发展阶段相适应。过难、过急是不行的，过易、过慢也是不行的，要设计好教学程序，使教学既要符合学生思维结构所具有的水平，又要有一定强度和适当难度。改进课堂教学，每一节课都设法创造思维情境，组织学生的思维活动，培养学生的概括能力、判断能力、抽象能力、和综合分析能力。【文章编号】1236-3619（2010）06-20-0144

初中高中数学知识点

初一 第一章有理数 1．1正数和负数 1．3有理数的加减法 1．4有理数的乘除法 1．5有理数的乘方 第二章整式的加减 2．1整式 2．2整式的加减 第三章一元一次方程 3．1从算式到方程 3．2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项3．3解一元一次方程（二）——去括号与去分母3．4实际问题与一元一次方程 第四章图形认识初步 4．1多姿多彩的图形 4．2直线、射线、线段 4．3角 第五章相交线与平行线 5.1相交线 5.2平行线及其判定 5.3平行线的性质 第六章平面直角坐标系 6.1平面直角坐标系 6.2坐标方法的简单应用 第七章三角形 7.1与三角形有关的线段 7.2与三角形有关的角 7.3多边形及其内角和 7.4课题学习镶嵌 第八章二元一次方程组 8.1二元一次方程组 8.2消元——二元一次方程组的解法 8.3实际问题与二元一次方程组 8.4三元一次方程组解法举例 第九章不等式与不等式组 9.1不等式 9.2实际问题与一元一次不等式 9.3一元一次不等式组 第十章数据的收集、整理与描述 10.1统计调查 10.2直方图

10.3课题学习从数据谈节水，设计制作长方体形状的包装纸盒。初二 第十一章全等三角形 11.1全等三角形 11.2三角形全等的判定 11.3角的平分线的性质 第十二章轴对称 12.1轴对称 12.2作轴对称图形 12.3等腰三角形 第十三章实数 13.1平方根 13.2立方根 13.3实数 第十四章一次函数 14.1变量与函数 14.2一次函数 14.3用函数观点看方程（组）与不等式 14.4课题学习选择方案 第十五章整式的乘除与因式分解 15.1整式的乘法 15.2乘法公式 15.3整式的除法 第十六章分式 16.1 分式 16.2 分式的运算 16.3 分式方程 第十七章反比例函数 17.1 反比例函数 17.2 实际问题与反比例函数 第十八章勾股定理 18.1 勾股定理 18.2 勾股定理的逆定理 第十九章四边形 19.1 平行四边形，平行四边形法则 19.2 特殊的平行四边形 19.3 梯形 19.4 课题学习重心 第二十章数据的分析 20.1 数据的代表 20.2 数据的波动 20.3 课题学习体质健康测试中的数据分析

初高中数学衔接教学的探讨

实施有轨尝试学习 搞好初高中数学衔接 宁阳一中数学教研室程若礼 二０００年四月 我省自2000年暑假后开始所招的高中新生，将使用新教材进行国家数学新课程标准的试验。新教材将融进近代、现代数学内容，精简整合传统高中数学内容，与现行教材相比，教学内容将增多，教材明显变厚，与义务教育初中阶段的课程相比，其教学容量和教学难度大为提高，而高中新课程的课时数还将比现在减少。如何研究新教材，按照高中学生的个性特点和认知结构，设计出指导学生高效率学习的有效方法，以使学生适应新教材，顺利完成初高中数学衔接学习，培养学生自学、探索和创新能力，体现新课程标准的原则精神，将十分紧迫地摆在我们面前。这使市教研室数学组主持的泰安市教学研究重点课题“初高中数学衔接问题研究”变得具有十分重要的现实意义。宁阳一中数学教研室作为泰安市高中数学学科教研活动基地，承担着该课题的“衔接教学学法指导”的研究。为适应新教材，搞好衔接教学学法指导的研究，必须研究设计一种科学的学习方法，以提高学习效率，变传统的被动学习为主动学习，使学生不仅达到“学会”而且实现“会学”，为此我们提出了实施“有轨尝试学习”这一切实可行的学习方法。本文将就实施“有轨尝试学习”进行初步的理性思考和实践探索。 一、有轨尝试学习的涵义 从九三年开始，我在宁阳一中全校主持实施了“高中数学有轨尝试目标教学实验与研究”，该课题是泰安市“九五”规划教科研重点课题（市拨经费资助）。课题实验的特色是指导学生进行有轨尝试学习，即在编印以课时为单位的教学实验提纲的基础上，通过教师的指导，让学生有步骤、有轨道地尝试学习和目标形成训练，使每个学生都能够达到教学目标的水平。 有轨尝试学习的设计，要依据学生的学习原理，有针对性地创设条件，

浅析初高中数学衔接教学

浅析初高中数学衔接教学 高中新教材教学内容与义务教育初中阶段的课程相比，其教学容量和教学难度大为提高，从初中到高中，学生一下子不适应高中教材的跨度，老师对学生以前的基础知识结构、能力结构也不是很了解。如何研究新教材，按照高中学生的个性特点和认知结构，设计出指导学生高效率学习的有效方法，以使学生适应新教材，顺利完成初高中数学衔接学习，培养学生自学、探索和创新能力，体现新课程标准的原则精神，将十分紧迫地摆在我们面前。这使如何做好初高中数学衔接教学变得具有十分重要的现实意义。 一、学生层面分析 1、环境与心理的变化 对高一新生来讲，环境可以说是全新的，新教材、新同学、新教师……学生有一个由陌生到熟悉的适应过程。其次，经过紧张的中考复习，总算考取了自己理想的高中，有些学生产生“松口气”的想法，入学后无紧迫感。也有些学生有畏惧心理，在入学前就耳闻高中数学很难学。以上这些因素都影响高一新生的学习质量。在初中，教师讲得细，类型归纳得全，练得熟，考试时常见题多，一般均可对号入座。因此，学生习惯于围着教师转，不注重独立思考和对规律的归纳总结。到高中，由于内容多时间少，教师只能选讲一些具有典型性的题目，以落实“三基”培养能力。然而，刚入学的高一新生，往往继续沿用初中学法，这显然不利于良好学法的形成和学习质量的提高。其次，学生在初中三年已形成了固定的学习方法和学习习惯。学生遇到新的问题不是自主分析思考，而是寄希望老师讲解整个解题过程，依赖性较强；不会自我科学地安排时间，缺乏自学能力 2、初高中教学内涵存在两大差异 (1)知识思维层次上的差异(由直观的到抽象的)。初中学生的逻辑思维能力只限于平面几何证明，知识逻辑关系的联系较少，运算要求降得较低，分析解决问题的能力基本得不到培养，至于立体几何，也只能依靠要求较低的零散的，立体几何知识来呈现，想象能力较差。相对来说，高中对数学能力和数学思想的运用要求比较高，高中数学教学中要突出四大能力，即运算能力，空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题解决问题的能力。要渗透四大数学思想方法，即数形结合，函数与方程，等价与变换、划分与讨论。这些虽然在初中教学中有所体现，但在高中教学中才能充分反映出来。 (2)知识体系的差异(初高中的跨度太大，人为造成的不衔接)。随着近几年新教材改革，虽然初高中教材都降低了难度，但相比之下，初中降低的幅度大。因此，从一定意义上讲，调整后的教材不仅没有缩小初高中教材内容的难度差距，反而加大了。数学语言在抽象程度上发生突变，思维方法向理性层次跃迁，使相当一部分成绩中等及偏下的学生陷入困境，认为数学高不可攀。

初高中衔接数学基本知识点

初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 1 绝对值： ⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?-<<； ||(0)x a a x a >>?<-或x a > 2 乘法公式： ⑴平方差公式：22()()a b a b a b -=+- ⑵立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+， 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ ⑸完全立方公式：33223 ()33a b a a b ab b ±=±+± 3 分解因式： ⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。 4 一元一次方程：

⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 ⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a =； ②当0a =，0b ≠时，方程无解 ③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组： （1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 （2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。 6 不等式与不等式组 （1）不等式： ①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。 ②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。 ③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。 ④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。 （2）不等式的解集： ①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 ②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 ③求不等式解集的过程叫做解不等式。 （3）一元一次不等式： 左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。 （4）一元一次不等式组： ①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一