基本初等函数与图像大全
基本初等函数
. 幂函数(a为实数)
要记住最常见的几个幂函数的定义域及图形
.
1.当u为正整数时，函数的定义域为区间
)
,
(+∞
-∞
∈
x，他们的图形都经过原点，并当u>1
时在原点处与X轴相切。且u为奇数时，图形关于原点对称；u为偶数时图形关于Y轴对称；
2.当u为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。
3.当u为正有理数m/n时，n为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）.
如果m>n图形于x轴相切,如果m 奇数时,跟原点对称 .4.当u为负有理数时,n为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数. . 指数函数 定义域：， 值域：， 图形过（0，1）点，a>1时，单调增加；a时，单调减少。今后用的较多。 1.当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减. 2.不论x为何值,y总是正的,图形在x轴上方. 3.当x=0时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点. . 对数函数 定义域：， 值域：， 4.与指数函数互为反函数，图形过（1，0）点，a>1时，单调增加；a<1时，单调减少。 1.他的图形为于y轴的右方.并通过点(1,0) 5.当a>1时在区间(0,1),y的值为负.图形位于x的下方,在区间(1, + ),y值为正,图形 位于x轴上方.在定义域是单调增函数.a<1在实用中很少用到 . 三角函数 ，奇函数、有界函数、周期函数； ，偶函数、有界函数、周期函数； ，的一切实数，奇函数、 周期函数 ，的一切实数，奇函数、 周期函数； ， . 反三角函数 ；； ；。 以上是五种基本初等函数，关于它们的常用运算公式都应掌握。注：（1）指数式与对数式的性质 由此可知，今后常用关系式， 如： （2）常用三角公式 积化和差 sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 和差化积 sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2) 六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）； α 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 基本初等函数及图形 基本初等函数为以下五类函数： (1) 幂函数 ,y x μμ=是常数； 1.当μ为正整数时，函数的定义域为区间(,)x ∈-∞+∞，他们的图形都经过原点，并当μ>1时在原点处与x 轴相切。且μ为奇数时，图形关于原点对称；μ为偶数时图形关于y 轴对称； 2.当μ为负整数时。函数的定义域为除去x =0的所有实数。 3.当μ为正有理数m n 时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。函数的图形均经过原点和(1,1). 如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m ，n 均为奇数时,跟原点对称 .4.当μ为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时,定义域为去除x =0以外的一切实数. (2) 指数函数 x a y =(a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ； 1.当μ为正整数时，函数的定义域为区间 ，他们的图形都经过原点，并当μ>1时在原点处与x 轴相切。且μ为奇数时，图形关于原点对称；μ为偶数时图形关于y 轴对称； 2.当μ为负整数时。函数的定义域为除去x =0的所有实数。 3.当μ为正有理数m n 时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。函数的图形均经过原点和(1,1). 如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m ,n 均为奇数时,跟原点对称. 4.当μ为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去除x =0以外的一切实数. (3) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； 1. 他的图形为于y 轴的右方.并通过点(1,0) 2. 当a >1时在区间(0,1),y 的值为负.图形位于x 的下方,在区间(1,)+∞,y 值为正,图形位于x 轴上方.在定义域是单调增函数.a <1在实用中很少用到. (4) 三角函数 正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 函数名 一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 解析式 )0()(≠+=a b ax x f )0()(≠= k x k x f 图像 定义域 R R {}0|≠x x R 值域 R ） ，（∞+0 必过点 ）（b ,0 ） ，（c 0 ) 1,(1,--k k ） （ ） （1,0 周期性 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 单调性 在R 上单增 )2-a b -∞，（为减 ),2+∞-a b （为增 ）为减，（0-∞）为减，（∞+0 为减 为增，101<<>a a 最大最小值 在R 不存在最大最小值 开口向上有最小值 a b a c y 442min -= 不存在最大最小值 在R 上不存在最大最小值 奇偶性 非奇非偶函数 为奇函数00≠=b b 偶函数 为非奇非为偶函数，00≠=b b 奇函数 非奇非偶函数 对称性 为常数。 对称， 函数图像关于直线任何一点对称；关于图像上t t x a y +=1 - 对称 直线函数图像关于 a b x 2-= 函数图像关于原点对称； 对称。 直线和关于 对称，直线图像关于x y x y -== 既不成中心对称也不成轴对称。 渐近线 无 无 . 00==y x 直线或者直线 .0=y 直线 ) 0()(2≠++=a c bx ax x f ) 10()(≠=a a a x f x 且＞0＞a ＞a 0 ＞k ) ,44[ 2 +∞-a b a c ），（），（∞+?∞00-x a y =) 10(<a x y O 1 函数名 对数函数 幂函数的一个例子 双钩函数 含绝对值函数 解析式 ) 10(log ≠>=a a y x a 且 ) 0(≥=x x y b a b x a x y <-+-=设为了研究方便 图像 O 1 y x ) 10(log <<=a y x a ) 1(log >=a y x a O y x x y =1 1 定义域 ()∞+，0 [)∞+，0 0}x |{x ≠ R 值域 R [) ∞+，0 (][) ∞+∞，，ab ab 22--Y [)+∞-,a b 必过点 ）（0,1 () 1,1 )2,(2,ab a b ab a b -- ）（ ) ,(,a b b a b a --）（ 周期性 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 单调性 单调递减。 单调递增。，, 101<<>a a 为增函数 定义域内 递增。递减，，递减，递增，，???? ??+∞???? ????? ? ? ????? ??∞,00,---a b a b a b a b (][)函数。 上为常值为增函数。 为减函数。 ，],[,-b a b a +∞∞ 最大最小值 无最大最小值 最小值为 0min =y ，无最 大值 无最大最小值 a b y -=min 奇偶性 非奇非偶 非奇非偶 奇函数 对称性 既不是轴对称也不是中心对称 既不是轴对称也不是中心对称 关于原点成中心对称 关 于 直 线 2 b a x += 对称。 渐近线 直线x=0 ax y =和0=x O y x a b a b -ab 2ab 2-O y x a b a b -的情况 只了解中学研究方便通常 ） （00>>+=b a x b ax y 为偶函数0=+b a 基本初等函数及图形 (1) 常值函数（也称常数函数） y =c （其中c 为常数） (2) 幂函数 μ x y =，μ是常数； (3) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ； (4) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； 1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间) ,(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当 u>1时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称； 2. 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）. 如果m>n 图形于x 轴相切,如果m 正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 正切函数 x y tan =， 2π π+ ≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ， 余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ； 五、基本初等函数及其性质和图形 1.幂函数 函数称为幂函数。如，， ，都是幂函数。没有统一的定义域，定义域由值确定。如 ,。但在内 总是有定义的，且都经过（1,1）点。当 时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数： 的图形，如图1-1-2、图1-1-3。 图1-1-2 图1-1-3 2.指数函数 函数称为指数函数，定义域 ，值域；当时函数为单调增加 的；当时为单调减少的，曲线过点。高等 数学中常用的指数函数是时，即。以与 为例绘出图形，如图1-1-4。 图1-1-4 3.对数函数 函数称为对数函数，其定义域 ，值域。当时单调增加，当 时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面 内。与互为反函数。当时的对数 函数称为自然对数，当时，称为常用对数。以为例绘出图形，如图1-1-5。 图1-1-5 4.三角函数有 ，它们都是周期函 数。对三角函数作简要的叙述： （１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。图形为图1-1-6、图1-1-7。 图1-1-6正弦函数图形 图1-1-7余弦函数图形 （２）正切函数，定义域，值 域为。周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8 图1-1-8 （３）余切函数，定义域，值域为 ，周期。在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。 图1-1-9 （４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。 图1-1-10 （５）余割函数，定义域，值域为 ，为无界函数，周期在定义域为奇函 数，图形如图1-1-11。 一、一次函数与二次函数 （一）一次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质 ①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递 增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =- 时，2max 4()4ac b f x a -=． 二、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x α =叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． 三、指数函数 （1）根式的概念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数 指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质 六大基本初等函数图像及其性质 一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）； α 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 除x=0以外的一切实数。 三、指数函数x a y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ； [无界函数] 1.指数函数的图象： 2. 1）当1>a 时函数为单调增,当10< 基本初等函数 1?函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则 2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性复习的时候一定要从这四个方面去研究函数。 3.每个函数的图像很重要 O.幕函数（a为实数） 定义域：随a的不同而不同，但无论a取什么值，x A a在「’内总有定义值域：随a的不同而不同有界性: 单调性：若a>0,函数在；…内单调增加；若a<0,函数在人-内单调减少。 奇偶性: - 「要知道这些函数那 些事奇函数，那些是偶函数 周期性： 0.指数函数 八 定义域：.，■‘ I 有界性: 单调性： 若a>1函数单调增加；若0 O.对数函数"司唯口几3>0卫圧1) 1、定义域：：? r值域：'」‘) 有界性： 单调性：a>1时，函数单调增加；0 ?. 三角函数强调：图像 （―巩+ 正弦函数: j/ = sin 定义域： （-0D,十8） 有界性：[-1,1]有界函数 单调性：（-T/2,T/2）单调递增 奇偶性：奇函数 周期性：以心巧为周期的周期函数; 值域：[-1,1] 余弦函数：兀（一叫十 00） 定义域：I ■" 1值域：[-1,1] 有界性：[-1,1]有界函数 单调性： 奇偶性：偶函数 周期性：（腕） 基本初等函数图像及性 质大全(初中高中) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 一、一次函数与二次函数 （二）二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质 顶点坐标 2 4 , 24 b a c b a a ? ? - - ? ? ? 值域 2 4 , 4 ac b a ?? - +∞ ? ?? 2 4 , 4 ac b a ?? - -∞ ? ?? 单调区间 , 2 b a ?? -∞- ? ?? 递减 , 2 b a ?? -+∞ ? ?? 递增 , 2 b a ?? -∞- ? ?? 递增 , 2 b a ?? -+∞ ? ?? 递减 ①.二次函数2 ()(0) f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为, 2 x a =- 顶点坐标是 2 4 (,) 24 b a c b a a - - ②当0 a>时，抛物线开口向上，函数在(,] 2 b a -∞-上递减，在[,) 2 b a -+∞上递增，当2 b x a =-时， 2 min 4 () 4 ac b f x a - =；当0 a<时，抛物线开口向下，函数在(,] 2 b a -∞-上 递增，在[,) 2 b a -+∞上递减，当 2 b x a =-时， 2 max 4 () 4 ac b f x a - =． 二、幂函数 （1）幂函数的定义 叫做幂函数，其中x为自变量，α是常数． 基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）； α 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 一、一次函数与二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3 ①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2b x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =- 时，2 min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,) 2b a -+∞上递减，当2b x a =-时，2 max 4()4ac b f x a -=． 二、幂函数 （1）幂函数的定义 叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． 过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． （1）根式的概念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂 的意义是：0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂 等于0． ②正数的负分数指数幂 的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 基本初等函数及其性质和图形 1.幂函数 函数称为幂函数。如，，， 都是幂函数。没有统一的定义域，定义域由值确定。如 ,。但在内总是有定义的，且都经过（1,1）点。当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数： 的图形，如图1-1-2、图1-1-3。 图1-1-2 图1-1-3 2.指数函数 函数称为指数函数，定义域，值域 ；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲 线过点。高等数学中常用的指数函数是时，即。以与为例绘出图形，如图1-1-4。 图1-1-4 3.对数函数 函数称为对数函数，其定义域，值域。当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0） 点，都在右半平面内。与互为反函数。当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。以 为例绘出图形，如图1-1-5。 图1-1-5 4.三角函数有，它们都是周期函数。对三角函数作简要的叙述： （１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值 域都是。它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。图形为图1-1-6、图1-1-7。 图1-1-6 正弦函数图形 图1-1-7 余弦函数图形 （２）正切函数，定义域，值域为。周 期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图 1-1-8 图1-1-8 （３）余切函数，定义域，值域为，周期。在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。 图1-1-9 （４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。 图1-1-10 （５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。 图1-1-11 5.反三角函数 反正弦函数，定义域，值域，为有界函数，在其定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-12； （高数）基本初等函数图像与性质 1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则 2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性 3.每个函数的图像很重要 一、幂函数 a x =y (a 为常数） 最常见的几个幂函数的定义域及图形 1.当a 为正整数时，函数的定义域为区间(,)x ∈-∞+∞，他们的图形都经过原点，并当a>1时在原点处与x 轴相切。且a 为奇数时，图形关于原点对称；a 为偶数时图形关于y 轴对称； 2.当a 为负整数时。函数的定义域为除去x =0的所有实数。 3.当a 为正有理数m n 时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。函数的图形均经过原点和(1,1)； 如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m ，n 均为奇数时,跟原点对称。 4.当a 为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时,定义域为去除x =0以外的一切实数。 二、指数函数 x a y =(a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x 图形过（0，1）点，a>1时，单调增加；0 考研高数基本初等函数 图像与性质 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 （高数）基本初等函数图像与性质 1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则 2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性 3.每个函数的图像很重要 一、幂函数 a x =y (a 为常数） 最常见的几个幂函数的定义域及图形 1.当a 为正整数时，函数的定义域为区间(,)x ∈-∞+∞，他们的图形都经过原点，并当a>1时在原点处与x 轴相切。且a 为奇数时，图形关于原点对称；a 为偶数时图形关于y 轴对称； 2.当a 为负整数时。函数的定义域为除去x =0的所有实数。 3.当a 为正有理数 m n 时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。函数的图形均经过原点和(1,1)； 如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟 y 轴对称;m ，n 均为奇数时,跟原点对称。 4.当a 为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时,定义域为去除x =0以外的一切实数。 二、指数函数 x a y =(a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x 图形过（0，1）点，a>1时，单调增加；0 正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 正切函数 x y tan =， 2π π+ ≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ， 余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ； 五、反三角函数 反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ， ]2,2[π π- ∈y ， 反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ， 反正切函数 x y arctan =，),(+∞-∞∈x ， )2,2(π π- ∈y ， 反余切函数x y cot arc =，),(+∞-∞∈x ，),0(π∈y ． Αα：阿尔法 Alpha Ββ：贝塔 Beta Γγ：伽玛 Gamma Δδ：德尔塔 Delte Εε：艾普西龙 Epsilon ζ ：捷塔 Zeta Ζ η：依塔 Eta Θθ：西塔 Theta Ιι：艾欧塔 Iota Κκ：喀帕 Kappa ∧λ：拉姆达 Lambda Μμ：缪 Mu Νν：拗 Nu Ξξ：克西 Xi Οο：欧麦克轮 Omicron ∏π：派 Pi Ρρ：柔 Rho ∑σ：西格玛 Sigma Ττ：套 Tau Υυ：宇普西龙 Upsilon Φφ：fai Phi Χχ：器 Chi Ψψ：普赛 Psi Ωω：欧米伽 Omega 高中数学基本初等函数图像及性质 一次函数 一次 函数k ， b 符号 图象 性质二次函数 f x y kx b(b0) 的图象及性质 y kx b(b 0) k 0 k 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 y y y y y y O x O x O x O x O x O x y 随x的增大而增大y 随x的增大而减小 f x ax2 bx c a 0 的图像及性质 ax2 bx c a 0 a 0 a 0 图像 x b x b 2a 2a 定义域, 对称轴x b 2a 顶点坐标 b , 4ac b2 2a 4a 值域4ac b2 , , 4ac b2 4a 4a , b 递减 b 递增 , 2a 2a 单调区间 b , 递增 b , 递减 2a 2a 指数函数y a x (a 0, a1) 图象及性质 y a x 0 a 1a 1 (a 0, a1) y y 函 数 图（ 0,1） （ 0,1） 象 x x 定义域 性, 值域 0,即正数的任何次幂恒为正数 质恒过定点0,1 即a0 1 单调性在定义域上为减函数在定义域上为增函数 对数函数 y log a x (a 0,a 1,x 0) 图像及性质 y log a x 0 a 1 a 1 (a 0,a 1,x 0) Y Y 函 数 图（ 1,0） 象X （ 1,0）X 定义域 性0, 值域 , 质恒过定点1,0 即log a1 0 单调性在定义域上为减函数在定义域上为增函数补充性质“同”正“异”负 正弦函数 y sin x 1. 定义域： R ； 2. 值域： [ 1,1]. 3. 单调性：在区间 [ 2k ,2k ]( k Z ) 内，函数单调递增； 在区间 [ 2 2 Z ) (k 2k , 2 k ]( k Z ) 内，函数单调递减； 3 2 2 4. 对称性：对称轴 x k ，对称中心 (k ,0), k Z . 2 5. 周期性： T 2 ； 6. 奇偶性：由 sin( x)sin x 知，正弦函数是奇函数； 余弦函数 y cosx 1. 定义域： R. 2. 值域： [ 1,1]. 3. 单调性：在区间在区间 2k ,2 k (k Z ) 2k ,2 k (k Z ) 内，函数单调递增； 内，函数单调递减； 4. 对称性：对称轴 x k ，对称中心 (k,0), k Z . 5. 周期性： T 2 ； 6. 奇偶性：由 cos( x) cos x 知，余弦函数是偶函数； 为高等数学小结的——基本初等函数 1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则 2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性复习的时候一定要从这四个方面去研究函数。 3.每个函数的图像很重要 . 幂函数(a为实数) 定义域：随a的不同而不同，但无论a取什么值，x^a在内总有定义。 值域：随a的不同而不同 有界性： 单调性：若a>0,函数在内单调增加；若a<0,函数在内单调减少。 奇偶性：要知道这些函数那些事奇函数，那些是偶函数 周期性： 每种函数的图像 . . 指数函数 定义域：值域： 有界性： 单调性：若a>1 函数单调增加；若0 今后用的较多这个函数的图形，性质要记清楚 1、 . 对数函数 1、定义域：值域： 有界性： 单调性：a>1时，函数单调增加；0 . 三角函数强调：图像 正弦函数： 定义域：值域：[-1,1]有界性：[-1,1] 有界函数 单调性：（-T/2,T/2）单调递增 奇偶性：奇函数 周期性：以为周期的周期函数； 余弦函数： 定义域：值域：[-1,1] 有界性：[-1,1] 有界函数 单调性： 奇偶性：偶函数 周期性： 正切函数： 定义域：值域：有界性： 单调性： 奇偶性：奇函数 周期性： 高中数学基本初等函数图像及性质 一次函数(0)y kx b b =+≠的图象及性质 二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像及性质 指数函数x y a =(0,1)a a >≠图象及性质 对数函数log a y x =(0,1,0)a a x >≠>图像及性质 1.定义域：R ； 2.值域：[-1,1]. 3.单调性：在区间[2,2]()2 2 k k k Z ππππ-++∈内，函数单调递增； 在区间3[2,2]()2 2 k k k Z ππππ++∈()k Z ∈内，函数单调递减； 4.对称性：对称轴2 x k π π=+，对称中心(,0),k k Z π∈. 5.周期性：2T π=； 6.奇偶性：由sin()sin x x -=-知，正弦函数是奇函数； 余弦函数 x y cos = 1.定义域：R. 2.值域：[-1,1]. 3.单调性：在区间[]2,2()k k k Z πππ-∈内，函数单调递增； 在区间[]2,2()k k k Z πππ+∈内，函数单调递减； 4.对称性：对称轴x k π=，对称中心(,0),2 k k Z π π+∈. 5.周期性：π=T ； 6.奇偶性：由cos()cos x x -=知，余弦函数是偶函数； 1.定义域：??? ???∈+≠z k k x x ,2|ππ； 2.值域：R 3.单调性：在开区间z k k k ∈?? ? ??++-ππππ2 ,2 内，函数单调递增。 4.对称性：对称中心：(,0),2 k k Z π ∈，没有对称轴. 5.周期性：π=T ； 6.奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； 一、一次函数与二次函数 （一）一次函数 （二）二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质 ①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2b x a =- 顶点坐标是2 4(, )24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减， 在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,) 2b a -+∞上递减，当2b x a =-时，2max 4()4ac b f x a -=． 二、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． 三、指数函数 （1）根式的概念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质 为高等数学小结的——基本初等函数 . 幂函数(a为实数) 1、图形：要记住最常见的几个幂函数的定义域及图形； 2、定义域：随a的不同而不同，但无论a取什么值，x^a在内总有定义。 值域：随a的不同而不同 3、主要性质：若a>0,函数在内单调增加；若a<0,函数在内单调减少。 . . 指数函数 1、图形： 2、定义域：值域：， 3、主要性质：图形过（0，1）点暨 a^0=1 若a>1 函数单调增加；若0 . 三角函数 正弦函数：，[-1,1], 奇函数、有界函数、周期函数； 以为周期的周期函数； 单调增区间：单调减区间： 余弦函数：，[-1,1], 偶函数、有界函数、周期函数周期： ；单调增区间：单调减区间： 正切函数：，的一切实数，奇函数、 周期函数周期 定义域：值域 单调增区间：单调减区间： 函数的铅直渐近线 余切函数：，的一切实数，奇函数、 周期函数； 定义域：值域 单调增区间：单调减区间： 函数的铅直渐近线 ， . 反三角函数 饭正弦函数：---定义域值域：单调增加；奇函数反余弦函数：---定义域值域：单调减少 饭正切函数：---定义域值域：单调增加；奇函数函数图形的水平渐近线： 反余切函数---定义域值域：单调减少； 函数图形的水平渐近线： 指数函数及其性质 一、指数与指数幂的运算 （一）根式的概念 1、如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n 是偶数时，正数a 的正的n 的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． 2 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． 3、根式的性质 ：n a =；当n 为奇数时 ， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． 2 、正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 (a ≠0) a -p = 1/a p (a ≠0；p ∈N *) 4、指数幂的运算性质 (0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。 二、指数函数的概念 一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：○ 1 指数函数的定义是一个形式定义； ○ 2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1．(完整版)六大基本初等函数图像及其性质
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