2013年中考数学模拟试题汇编 实验应用型

2013年中考数学模拟试题汇编 实验应用型

一、选择题

1、（2013江苏扬州弘扬中学二模）如图，在四边形ABCD 中，∠A =90°，AD =4，连接BD ，

BD ⊥CD ，∠ADB =∠C ．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为____________.

答案：4

二、填空题

1、如图所示，平面镜I 、II 的夹角是 15，光线从平面镜I 上O 点出发，照射到平面镜II 上的A 点，再经II 反射到B 点，再经C 点反射到D 点,接着沿原线路反射回去，则a ∠的大小为 度. 答案：45

2．数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对()a b ，进入其中时，会得到一个新的实数：

21a b ++．例如把(32)-，放入其中，

就会得到23(2)18+-+=．现将实数对（m m 2,-）放入其中得到实数4，则m = ．答案：－1或3

三、解答题

1、在北京举行的2008年奥运会中，某校学生会为了了解全校同学喜欢收看奥运会比赛项目的情况，随机调查了若干名同学（每人只能选其中一项），根据调查结果制作了频数分布表和统计图。请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）补全频数分布表和条形统计图；；

（2）根据以上调查，试估计该校1800名学生中，最喜欢收看篮球比赛的人数． （3）根据统计图和统计表，谈谈你的想法。．．．．．．．．．．．．．．．．．

1题图

I

答案：解：（1）最喜欢收看的项目 频数（人数） 频率足球 12

（2）最喜欢收看篮球比赛的人数=1800×25%，=450（人）；

（3）因为喜欢看乒乓球的人数最多，所以在观看比赛时优先安排看乒乓球． 2．（本小题满分8分）

如图，甲船从港口A 出发沿北偏东15°方向行驶，同时，乙船也从港口A 出发沿西北方向行驶。若干小时之后，甲船位于点C 处，乙船位于港口B 的北偏东60°方向，距离岸边BD 10海里的P 处。并且观测到此时点B 、P 、C 在同一条直线上。求甲船航行的距离AC 为多少海里（结果保留根号）？

答案：答案：解：过A 作AE ⊥BC ，过P 作PQ ⊥BD

310,3

1tan ,10=∴==BQ B PQ 同理，10310,10+==AB AQ

535,2

1

sin +=∴=

AE B

可

求

得

∠EAC =45°，

AE ⊥BC 2565+=∴AC

3．（本小题满分8分）

张先生前年在美美家园住宅小区订购了一套住房，图纸如图所示。已知：①该住房的价格

B

A C

D

P

第21题图

B A

C

D P Q E

15000=a 元/平方米；②楼层的电梯、楼梯及门厅前室面积由两户购房者平均负担；③每

户配置车库16平方米，每平方米以6000元计算； 根据以上提供的信息和数据计算：

（1）张先生这次购房总共应付款多少元？

（2）若经过两年，该住房价格变为21600元/平方米，那么该小区房价的年平均增长率为多少？车库价格变为多少？

（3）张先生打算对室内进行装修，甲、乙两公司推出不同的优惠方案：在甲公司累计购买10000元材料后，再购买的材料按原价的90％收费；在乙公司累计购买5000元材料后，再购买的材料按原价的95％收费．张先生怎样选择能获得更大优惠？

答案：解：（1）室内面积=41.1007.54.86.652.465.4=?+?+?（平方米） 楼梯电梯面积=38.3456.32.49.3=?+?（平方米） 需张先生负担的面积=6.117238.3441.100=÷+（平方米） 总费用=1860000600016150006.117=?+?（元） （2）设年增长率为x ，则有

21600)1(150002=+x 2.2,2.021-==∴x x （舍去） 年增长率为0.2（或20%）

（3）①如果累计购物不超过5000元，两个公司购物花费一样多；

②如果累计购物超过5000元而不超过10000元，在乙公司购物省钱； ③如果累计购物超过10000元，设累计购物为元（10000>x ）．

如果在甲公司购物花费小，则)100(9.010000)5000(95.05000-+>-+x x

单位：毫米

15000>x

如果在乙公司购物花费小，则)100(9.010000)5000(95.05000-+<-+x x

15000

而当花费恰好是15000元时，在两个店花费一样多．

所以，累计购物超过10000元而不到15000元时，在乙公司购物省钱；累计购物等于15000元，两个公司花费一样多；而累计购物超过15000元时，在甲公司购物省钱．'

4

4．（本小题满分8分）

小明打算用一张半圆形的纸做一个圆锥。在制作过程中，他先将半圆剪成面积比为1:2的两个扇形．

（1）请你在图中画出他的裁剪痕迹．（要求尺规作图，保留作图痕迹）

（2）若半圆半径是3，大扇形作为圆锥的侧面，则小明必须在小扇形纸片中剪下多大的圆才能组成圆锥？小扇形纸片够大吗（不考虑损耗及接缝）？

答案：解：（1）作图略'

3 （2）3=OA

ππ23180120

=?=

∴AC l 弧

∴小圆半径1=r ∴正好够剪（能简单描述即可） 5、（2013江西高安） 问题背景：

在ABC △中，AB 、BC 、AC

面积．

小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．

这

第24题图

A O

B C

样不需求ABC △的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将ABC △的面积直接填写在横线上．__________________ 思维拓展：

（2）我们把上述求ABC △面积的方法叫做构图法．．．．若ABC △

、

（0a >）

，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的ABC △，并求出它的面积． 探索创新：

（3）若ABC △三边的长分别

为

、

、（00m n >>，，且m n ≠），试运用构图法．．．求出这三角形的面积．

答案：（1）；（2）3;(3)5mn

6、在课外小组活动时，小伟拿来一道题（原问题）和小熊、小强交流.

原问题：如图1，已知△ABC , ∠ACB ＝90?

, ∠ABC ＝45?，分别以AB 、BC 为边向外作△

ABD 与△BCE , 且DA ＝DB , EB ＝EC ，∠ADB ＝∠BEC ＝90?，连接DE 交AB 于点F . 探究

线段DF 与EF 的数量关系.

小伟同学的思路是：过点D 作DG ⊥AB 于G ,构造全等三角形，通过推理使问 题得解.

小熊同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC ＝30?,∠ADB ＝∠BEC ＝60?. 小强同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况. 请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题： （1）写出原问题中DF 与EF 的数量关系；

（2）如图2，若∠ABC ＝30?，∠ADB ＝∠BEC ＝60?，原问题中的其他条件不变，你在

（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；

（3）如图3，若∠ADB ＝∠BEC ＝2∠ABC ，原问题中的其他条件不变，你在（1）中

得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.

（图①）

（图②）

A

C

B

图3

图2

图1

F

D

B

A

A

B

D

F

F E D

C

B

A

答案：（1）DF= EF . …………………………………………………（2分） （2）猜想：DF= FE .

证明：过点D 作DG ⊥AB 于G , 则∠DGB =90?. ∵ DA =DB ，∠ADB =60?.

∴ AG =BG ， △DBA 是等边三角形. ∴ DB =BA .

∵ ∠ACB =90?

， ∠ABC =30?， ∴ AC =

2

1

AB =BG . ∴ △DBG ≌△BAC . ∴ DG =BC . ∵ BE=EC ， ∠BEC =60? ， ∴ △EBC 是等边三角形. ∴ BC =BE ， ∠CBE =60?.

∴ DG = BE ， ∠ABE =∠ABC +∠CBE =90? . ∵ ∠DFG =∠EFB ，∠DGF =∠EBF ，

∴ △DFG ≌△EFB . ∴ DF= EF . ………………（7分）

（3）猜想：DF= FE .

过点D 作DH ⊥AB 于H ， 连接HC 、HE 、HE 交CB 于K ，则∠DHB =90?. ∵ DA =DB , ∴ AH =BH , ∠1=∠HDB . ∵ ∠ACB =90?，∴ HC =HB . ∵ EB =EC ，HE =HE ， ∴ △HBE ≌△HCE .

∴ ∠2=∠3，∠4=∠BEH . ∴ HK ⊥BC . ∴ ∠BKE =90?. ∵ ∠ADB =∠BEC =2∠ABC ， ∴ ∠HDB =∠BEH =∠ABC .

∴ ∠DBC =∠DBH +∠ABC =∠DBH +∠HDB =90?，

∠EBH =∠EBK +∠ABC =∠EBK +∠BEK =90?. ∴ DB //HE ， DH //BE . ∴ 四边形DHEB 是平行四边形.

∴ DF =EF . ………………………………………………………（12分）

7、如图①，将一张直角三角形纸片ABC 折叠，使点A 与点C 重合，这时DE 为折痕，△CBE 为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE 的对称轴EF 折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、 无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”．请完成下列问题：

K H B

F

E

C

A

D

2

4

3

1

（1）如图②，正方形网格中的△ABC 能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出

折痕；

（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC 为一边，画出一个斜△ABC ，使其顶点A 在格

点上，且△ABC 折成的“叠加矩形”为正方形；

（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么他必须满足的条件是 ．

（说明：只需画出折痕．） （2）

…………………………………………………………………3分

（说明：只需画出满足条件的一个三角形；答案不惟一，所画三角形的一边长与该边上的高相等即可．）

（3）三角形的一边长与该边上的高相等． ------------------------------------------------5分 8、问题探究：（1）如图1，在边长为3的正方形ABCD 内（含边）画出使∠BPC =90°的一个点P ，保留作图痕迹；

（2）如图2，在边长为3的正方形ABCD 内（含边）画出使∠BPC =60°的所有的点P ，保留

作图痕迹并简要说明作法；

（3）如图3，已知矩形ABCD ，AB =3

，BC =4，在矩形ABCD 内（含边）画出使∠BPC =60°，

且使△BPC 的面积最大的所有点P ，保留作图痕迹．

图3

图2

图1

A D

C

B

A

B

C

D

D C

B

A

答案：解：

B

（1）如图1，画出对角线AC 与BD 的交点即为点P ． ………………… 1分 注：以BC 为直径作上半圆（不含点B 、C ），则该半圆上的任意一点即可． （2）如图2， 以BC 为一边作等边△QBC ， 作△QBC 的外接圆⊙O 分别与AB ，DC 交于点 M 、N ， 弧MN 即为点P 的集合． ………………… 3分

（3）如图3， 以BC 为一边作等边△QBC ， 作△QBC 的外接圆⊙O 与AD 交于点 P 1、P 2 ， 点P 1、P 2即为所求． ………………… 5分 9、问题背景：

在ABC △中，AB 、BC 、AC

面积．

小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求ABC △的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将ABC △的面积直接填写在横线上．__________________ 思维拓展：

（2）我们把上述求ABC △面积的方法叫做构图法．．．

．若ABC △

、

（0a >），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画

出相应的ABC △，并求出它的面积． 探索创新：

（3）若ABC △三边的长分别

为

、

、（00m n >>，，且m n ≠），试运用构图法．．．求出这三角形的面积．

答案：（1）；（2）3

;(3)5mn

10.数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

（图①）

（图②）

A

C

B

A

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论

当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论： AE DB （填“>”,“<”或“=”）．

C

D

D

（2）特例启发，解答题目

解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE DB （填“>”,“<”或“=”）． 理由如下：如图2，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ．（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED =EC ．若△ABC 的边长为1，AE =2，求CD 的长（请你直接写出结果）． 答案：解：（1）= （2）= 在等边三角形中，

而由是正三角形可得 （3）1或3.

11.问题情境 已知矩形的面积为a （a 为常数，a

＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？ 数学模型

设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为2()a y x x =+

（x>0）

。 探索研究

⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1

(0)y x x x =+＞的图象性质。

1、填写下表，画出函数的图象：

②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；

③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到。请你通过配方求函数1

y x

x

=+(x＞0)的最小值。

解决问题：⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案。

答案：解：⑴①

17

4

，

10

3

，

5

2

，2，

5

2

，

10

3

，

17

4

．-------------2分

函数

1

y x

x

=+(0)

x>的图象如图．

-----------------------------------------------------

5分

②本题答案不唯一，下列解法供参考．

当01

x

<<时，y随x增大而减小；当1

x>时,y随x增大而增大；当1

x=时函数

1

y x

x

=+(0)

x>的最小值为2．--------------------------------------7分

③

1

y x

x

=+=22

+

=22

+-

=22

+

=0，即1x =时，函数1

y x x =+(0)x >的最小值为2． -------10分

--------------12分