高一数学教案：苏教版高一数学基本不等式3
第十课时 基本不等式（三）
教学目标：
通过这节课，使学生能够运用均值不等式定理来讨论与不等式有关的各类问题。
教学重点、难点：均值不等式定理的灵活运用。
教学过程：
1．复习回顾
2．例题讲解：
例1：已知a >1，0
解题思路分析：
由对数函数可知：log b a ＝1log a b ，log a b ＜0，因此由log a b ＋1log a b 的结构特点联想到用基本不等式去缩小，但条件显然不满足，应利用相反数的概念去转化。
∵log a b ＜0 ∴ －log a b ＞0
∴－log a b ＋1－log a b ≥2(－log a b )·1－log a b
＝2 ∴log a b ＋1log a
b ≤－2 即log a b ＋log b a ≤－2 当且仅当－log a b ＝1－log a b
，log a 2b ＝1，log a b ＝－1时，等号成立，此时ab ＝1。
例2：已知x ，y 为正实数，且x 2
＋y 2
2 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 解题思路分析：
因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 2
2 。同时还应化简1＋y 2 中
y 2前面的系数为 12
x 1＋y 2 ＝x
2·1＋y 22 ＝ 2 x ·12 ＋y 22 下将x ，12 ＋y 2
2 分别看成两个因式
x ·12 ＋y 2
2 ≤
x 2
＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34 ∴x 1＋y 2 ＝ 2 ·x
12 ＋y 22 ≤ 34 2
例3：已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.
解题思路分析：
若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b 2 ≤a 2＋b 2
2 ，本题很简单
3x ＋2y ≤ 2 （3x ）2＋（2y ）2 ＝ 2 3x ＋2y ＝2 5
否则，这样思考：
条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x
＋2y )＝20
∴ W ≤20 ＝2 5
例4：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.
解题思路分析：
这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，
再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用
基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
法一：a ＝30－2b b ＋1 ，ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30b b ＋1
由a ＞0得，0＜b ＜15
令t ＝b ＝1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34
∵t ＋16t ≥2t ·16t ＝8
∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 118
当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b
∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab
令u ＝ab 则u 2＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2
∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，y ≥118
评注：在法一，通过消元得到一个分式函数，在分子（或分母）中含有二次式。这种类
型的函数一般都可转化为x ＋1x 型，从而用基本不等式求解。其处理方法，请同学们仔细体
会。实际上，一般含二次式的分式函数y ＝ax 2＋bx ＋c mx 2＋nx ＋p
（a ，b ，c ，m ，n ，p 不全为零）均可用此方法求解。
例5：某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池（平面图如图），
如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建
造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最
低，并求出最低造价。
解题思路分析：
这是一道应用题，一般说来，涉及到“用料最省”、“造价最低”等实际问题时，考虑建
立目标函数，求目标函数的最大值或最小值。在建立关于造价的目标函数时，造价是由池外
圈周壁，中间隔墙造价，池底造价三部分组成，造价均与墙壁长度有关，应设相关墙壁长度
为未知数。
若设污水池长为x 米，则宽为 200x （米）
水池外圈周壁长：2x ＋200x （米）
中间隔墙长：2·200x （米）
池底面积：200（米2）
目标函数：y ＝400（2x ＋2·200x ）＋248· 200x ·2＋80×200＝800（x ＋324x ）＋1600
≥1600x ·324x ＋1600＝44800
3．课堂小结
注意利用转化思想，不等式使用的广泛性。
4．课后作业
1）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc
2）已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。
3）若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
4）某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1000m 2的楼房，楼 房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高5%。已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为400元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平方和的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成几层？