数学本质教学的个案研究

数学本质教学的个案研究

卜以楼( 南京市宁海中学分校 )

随着课程标准的建立和实施，数学教学活动即是数学活动的教学已成为更新数学教学观念的重要标志．于是乎，为了加强活动教学，其中一部分不要数学概念，没有论证，只是通过游戏、娱乐、比喻等“活动”走进了数学课堂. 笔者认为, 上述这些“活动”, 忽视了数学本质的揭示，舍弃了数学最本质的东西. 那么数学本质的内涵是什么呢？

数学是用数来揭示自然规律的科学. 数学本质就是用数学的眼光认识世界，揭示数学规律，总结数学方法，形成数学思想，提炼数学精神，并从上述活动中得到思想、心灵的升华，完善自己的人格. 为此，突出数学本质教学，就是要求我们在教学过程中，让学生理解数学概念，把握数学思想，感悟数学特有的数学思维方式，鉴赏数学之美，追求数学精神. 下面以个案来说明开展数学本质教学的问题.

一、“数学本质”教学的个案

1．呈现数学知识的内核

例1 “翻牌游戏”的教学

桌子上有7张正面向上的扑克牌，每次翻动其中任意2张(包括已翻过的牌)，使它们从一面向上变为另一面向上，这样一直做下去，能否使所有的牌都反面向上？

下面是关于该问题教学的一个“去数学化”的教学的片断.

当教师提出该问题时，学生感到一片茫然. 老师马上要求学生进行翻牌游戏，然后将实验结果进行交流汇总，得到答案，从而结束了该问题的教学.

笔者认为，此题是有理数知识应用的一道好题，教学中要把握好以下两个揭示数学本质的教学环节.

①将该问题向有理数知识迁移

此问题似乎与数学毫无关系，但是如果在每张牌的正面写上+1，反面写上-1，那么每翻动一张牌，桌子上所有牌所写的数的积就改变一次符号(由+1变为-1)，则该问题就变成了“把7个+1每次改变其中2个符号，若干次后能否都变成-1？”

②对该问题进行数学本质的揭示

本问题可以抽象出如下数学本质：

若设先给定正面向上的扑克牌m张，每次翻动n张(m不能被n整除), 由此可引发下列问题：

若m为奇数，n为奇数或为偶数，能做到扑克牌反面都向上吗？

若m为偶数，n为奇数或为偶数，能做到扑克牌反面都向上吗？

如果在每张牌的正面写上+1，反面写上-1，那么原先所有正面向上牌所写的数的积，不管m是奇数还是偶数都是+1；而所有反面向上牌所写的数的积，当m是奇数时为-1，m 是偶数时为+1．

我们知道，每翻动一张牌，桌子上所有牌所写的数的积就改变一次符号(由+1变为-1)，若一次翻动n张，就改变n次符号．因此，若n为奇数，由于奇数个-1的积为-1，桌子上所有牌所写的数的积就改变了符号；而若n为偶数，由于偶数个-1的积为+1，桌子上所有牌所写的数的积仍保持原来的符号．

当m为奇数时，要将所有正面向上的牌最终翻动成都反面向上，须改变积的符号．由上可见，若n为偶数，那是不可能做到的；而若n是奇数，则有可能做到，且翻动的次数必须奇数次．

当m是偶数时，要将所有正面向上的牌最终翻动成都反面朝上，不须改变积的符号．由上可见，若n为奇数，须翻动偶数次可达目的；若n是偶数，翻动次数可以是奇数也可以是偶数．

上述结果列表表示如下：

2．挖掘数学教学的价值

例2 “三角形内角和”的教学

还是让我们来先看两个“去数学化”的教学的片断.

片断1：

要求学生每个人用硬纸板或塑料片做一个“精确一点”(大一点)的三角形(模型)，然后要求学生：一部分人用量角器量出3个角，并把它们加起来；另一部分同学把它剪成了3块，再把3个角无重叠、无缝隙地拼接，然后问学生：三角形3个内角和是多少度？

学生的回答是180°，一个平角，也就是180°．

探索活动到此为止，接下的是运用定理巩固练习．

片断2：

在片断1 的基础上，增加了下列教学环节：

用木条a与木条b作由下图1到下图2的变化, 再次验证三角形的内角和等于180°.接下的是运用定理巩固练习.

笔者认为，片断1只是机械重复小学里学过的知识，只是简单的“炒冷饭”，没有很好训练学生的思维力度。片断2没有抓住设置的情境，探求三角形的内角和为什么等于180°.

而初中“三角形内角和的”教学，不是要求学生知道“是什么”，而是要求学生知道“为什么”？该命题的价值在于从公理出发进行演绎推理．因此，教学中要引导学生对得到的结果进行反思. 这时应追问学生“三角形三个内角的为什么是180°？”在学生对这个关键问题进行纷纷议论之后指出：从数学本质看，要获得这一规律，就要从我们目前的知识储备出发，通过理性证实“三角形内角和为180°”．

方法1：运用知识储备——平角的度数为180°(图3)；

方法2：运用知识储备——两邻补角和为180°(图4)；

方法3：运用知识储备——两直线平行内角之和为180°(互补)(图5).

C

B

图3

D

B

图4

C B

图5

C

2

1

b

a

B

A

图1

C

c

A

B

a

b

1

图2

3． 注意数学模型的提炼

例3 “用糖水浓度作‘不等式’的思想模型”的教学

笔者在一次“分式”起始课的“拓展延伸”这一教学环节中，设计了“根据向一杯糖水中，加入一些糖(设加入的糖全部溶解)，糖水会变得更甜”这一事实，请你判断：a ＞b ＞0，m ＞0时，a b

和

m

a m

b ++的大小.

这是一个学生生活中最为熟悉的“生活事实”，从而让学生探究“a ＞b ＞0，m ＞0时，a

b ＜

m

a m

b ++的大小”这样一个“数学事实”. 在探究过程中，引导学生多角度思考，让学生交流

各自的结论和成果，在让学生提示数学本质的同时，造就了学生学习的成功感.

在解决完这道题，再次提出现实生活中，还有哪些属于该不等式的模型呢？ 学生经过讨论交流，得到：

如“一间窗户面积(a)小于地板面积(b)的房子里，窗户与地板的面积同时增加m ，则采光条件可变得更好.”等等.

接着，又提出了“若把两杯不一样甜的糖水倒在一起，甜度会怎样？从中又可以得到什么数学模型？

学生由于对上述问题有了本质的认识，很快就得到了：当a ＞b ＞0， c ＞d ＞0, 且

c

d ＞

a

b 时，a

b ＜

c

a d

b ++＜

c

d 的结论.

4． 强化理性思维的训练

例4 “公说公有理，婆说婆有理”的教学

某企业有5个股东，100名工人，年底公布经营业绩，如下表所示：

请大家分别根据此表的数据，画出老板红利、工人工资分别与年份的函数图像，并剖析老板红利、工人工资的变化情况.

这是香港教材中的一道习题, 是培养学生理性思维的一个较好案例. 笔者在教学过程中, 主要从以下几个环节来揭示数学的本质：

首先，将该问题作为一次函数教学内容的一节活动课，要求学生进行小组学习.

其次，按小组汇报学习活动的结果. 再次，进行点评.

本题我们可以从以下三个方面进行思考：

从老板角度思维，他应该画出图6的图像，他认为，有福共享，有难同当，股红、工资平行增长”．

从工会主席角度思维，他应该画出图7的图像，他认为，“股红翻了一番，工资只增加到150%，所以工资应该增长得快一些”．

从工人角度思维，他应该画出图8的图像，他认为，“股东的红利从1万美元增至2万美元，工人的工资从1000美元增到1500美元，工资太低了．”

本题的数学本质是, 以上三种说法，都是根据数据“实话实说”，没有造假，因此都有理，没有好坏之分，只有角度不同，何者合适，全凭自已的立场而异．我们常说，数学对于任何人都一样，其实数学的结果确实对任何人都相同，但是运用数学方法的出发点，解释数据的角度可以不同. 所以, 我们要善于抓住数学的本质，培养培养学生的理性思维.

二 、 “数学本质”教学的注意点 1． 既要教“活动”，又教“数学化”

张奠宙教授认为，在实际教学中，教学本质常被两种活动所掩盖：一是过度的形式化，把光彩照人的数学女王，用x 光看成一副“管架”；另一种是教条式的教学改革，只图表面热闹，“去数学化”的走过场．因此在数学教学中，一要教“活动”，要将数学知识演变成数学思维活动，来激发学生学习数学的积极性，反对呈现过度的形式化的数学. 二要教“数学化”，不能把数学课上成一般的、失去“数学味道”的“活动课”，而要突出数学知识的内核，注重数学思想方法的提炼，强化数学素质的培养．

6(年份

图老板所画)

5

15

图8 (工人所画年份

)

1

10

20

7 (年份

图5 (工会主席所画)

工会主席所画)

图

2．要创设适合学生实际的数学思维情境

新课程要求课堂教学“从学生熟悉的生活情境出发，构建与学生生活经验紧密结合的学习(或教学)情境，使学生在解决相应问题的过程中，学会相应的数学知识．”于是乎，近年来课堂教学存在把“创设了日常生活情境了吗？”作为评课的必不可少的标极端做法．因此，在数学教学中，在反对将数学知识过分“逻辑化”的同时，也要反对过度追求“生活情境化”. 要把两者有机的结合起来，营造学生积极思维的“数学情境”. 这里所说的数学思维情境，既有从数学知识结构生长出来的“纯数学”情境，又有从现实生活中提炼出来的“生活情境”. 笔者认为，数学教学的出发点和落脚点是数学思维情境的创设和生成，任何情境、联系实际、学生的探究活动等都应以是否有利于学生理解和掌握数学知识为标准.

3．教师要有较高的数学素养

数学本质主要从数学内部（又从数学的内容、表现形式及研究过程等几个角度）、数学与社会的关系、数学与其它学科的关系、数学与人的发展的关系等几个方面表现出来，它们都从某一个侧面反映了数学的本质特征，这就要求我们教师有较好的数学素养.

中国数学教育传统历来重视教师的数学专业水平．人们常说，做一个数学教师，要想给学生一杯水，自已先要有一桶水．但是，现在的数学教育界存在着这样的误区，说什么不需要一桶水，一杯水也够了，关键看你能不能把水倒给学生；甚至还说，数学教师没有水也可以，大家一齐去打井，就会有水了．试想一个没有一定的数学素质，对数学缺乏理解力的教师怎能培养出具有一定数学理性思维、与时俱进的新一代公民呢？

最后要说的是，数学本质的教学，没有固定的模型和程式，但需要创造一种环境，使学生身临其境地介入数学的发现或创造过程，鼓励并推动学生解决一些理论或实际问题.

参考文献：

张奠宙．教育数学是具有教育形态的教学．数学教育学报，2005．3

章建跃．当前数学课改中的一些问题．中学数学教学参考(初中)，2006．1—2

隋鸣，许敏慧．数学实验活动与数学教学．数学教育学报，2004．2

郑瑄．自然的，才是真正永恒的．中学数学杂志(初中)，2005．5

作者联系方式南京市宁海中学分校邮编210000

电话134******** E-mail bu_yl@https://www.wendangku.net/doc/4915572406.html,

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