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【好题】高考数学试题含答案

一、选择题

1．如图所示的圆锥的俯视图为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

2．函数ln ||

()x

x f x e =

的大致图象是（） A ． B ．

C ．

D ．

3．给出下列说法：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 4．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 5．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为

A ．12

B ．16

C ．20

D ．24 6．已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为（） A ．1

B ．1-

C ．i

D ．i -

7．已知π

αβ+=

则(1tan )(1tan )αβ++的值是（）

A ．-1

B ．1

C ．2

D ．4

8．不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个必要不充分条件是（） A ．1x <-或4x >

B ．0x 或2x -

C ．0x <或2x >

D ．1

x -

或3x 9．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为5

2y x =，且与椭圆

1123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（） A ．221810

x y -=

B ．22145

x y -=

C ．22

154

x y -=

D ．22

143

x y -=

10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后

的几何体的三视图，则该几何体的体积为

A ．72

B ．64

C ．48

D ．32

11．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4

α+的值等于（） A ．

B ．

C ．

1322

D ．

318

12．已知,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，则a 与b 的夹角是（） A ．

π B ．3

π C ．23

π D ．

π 二、填空题

13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北

的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北

的方向上，仰角为

，则此山的高度

________ m.

14．曲线2

y x x

在点（1，2）处的切线方程为______________． 15．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是

16．复数()1i i +的实部为．

17．若x ，y 满足约束条件x y 102x y 10x 0

--≤??-+≥??≥?

，则x

z y 2=-+的最小值为______．

18．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________ 19．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．

20．设函数2

1()ln 2

f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为_______________.

三、解答题

21．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2AB AD ==

，

2CA CB CD BD ====. （1）求证：AO ⊥平面BCD ；

（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值；（3）求点E 到平面ACD 的距离．

22．已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>

的一个焦点为

)

，离心率为3

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.

23．已知函数()ln f x x x =. （1）若函数2()1

()f x g x x x

-，求()g x 的极值；（2）证明：2

()1x

f x e x +<-.

（参考数据：ln20.69≈ ln3 1.10≈ 3

2 4.48e ≈ 27.39e ≈）

24．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：

用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.

（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10个样本的均值x 和方差2s ；

（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在()

,x s x s -+之间，则满意度等级为“A 级”。试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比是多少？

5.92≈≈≈）

25．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，

BAD π∠=，PAD ?是等边

三角形，F 为AD 的中点，PD BF ⊥.

（1）求证：AD PB ⊥；（2）若E 在线段BC 上，且1

EC BC =

，能否在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD ？若存在，求四面体D CEG -的体积. 26．已知数列{}n a 与{}n b 满足：*1232()n n a a a a b n N ++++=∈，且{}n a 为正项等比

数列，12a =，324b b =+. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足*221

()log log n n n c n N a a +=

∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：

1n T <.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】

找到从上往下看所得到的图形即可．【详解】

由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形．故选C. 【点睛】

本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选B ，属于基础题.

2．A

解析：A 【解析】

由函数解析式代值进行排除即可. 【详解】解：由()x

ln x f x =e

，得()f 1=0，()f 1=0-

又()1f e =

0e e >，()1f e =0e e

--> 结合选项中图像，可直接排除B ，C ，D 故选A 【点睛】

本题考查了函数图像的识别，常采用代值排除法.

3．A

解析：A 【解析】【分析】

①②③根据定义得结论不一定正确.④画图举出反例说明题目是错误的. 【详解】

解：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;

②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图（1）所示;

③不一定．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图（2）所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;

④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等．故答案为:A

【点睛】

(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力;

(2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定; (3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可．

解析：D 【解析】【详解】

试题分析：()()(),34,24,32a b λλλλλ+=-+-=+--，由a b λ+与a 垂直可知

()()()·

0433201a b a λλλλ+=∴+---=∴=- 考点：向量垂直与坐标运算

5．A

解析：A 【解析】【分析】

本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【详解】

由题意得x 3的系数为31

4424812C C +=+=，故选A ．

【点睛】

本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．

6．B

解析：B 【解析】

设,,z a bi a b R =+∈（），由()1i 22z z i z +=?=--（）2a bi i a bi ?+=--（）

，2a bi b a i ?+=-+-（） ,

a b b a =-???=-? 1b ?=- ，故选B.

7．C

解析：C 【解析】【分析】由4

αβ+=

，得到1tan

αβ+=（），利用两角和的正切函数公式化简1tan αβ+=（），即可得到所求式子的值．【详解】由由4

αβ+=

，得到1tan

αβ+=（），所以11tan tan tan

tan tan αβ

αβαβ

++==-（），即1tan tan tan tan αβαβ+=-，

则

1112tan tan tan tan tan tan αβαβαβ++=+++=（）（）．故选C ．【点睛】

本题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题.

8．C

解析：C 【解析】【分析】

根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-

12或x≥3，题目可以转化为找x≤-1

或x≥3的必要不充分条件条件，依次分析选项即可得答案．【详解】

根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，则2x 2-5x-3≥0?x≤1

-或3x ，所以可以转化为找x≤-

或x≥3的必要不充分条件；依次选项可得：x 1<-或x 4>是1

x ≤-

或x≥3成立的充分不必要条件； x 0≥或x 2≤-是1

2x ≤-或x≥3成立的既不充分也不必要条件

x 0<或x 2>是1

x ≤-或x≥3成立的必要不充分条件；

x≤-12或x≥3是1

2x ≤-或x≥3成立的充要条件；故选C ．【点睛】

本题考查了充分必要条件，涉及一元二次不等式的解答，关键是正确解不等式2x 2-5x-3≥0．

9．B

解析：B 【解析】【分析】

根据渐近线的方程可求得,a b 的关系,再根据与椭圆22

1123

x y +=有公共焦点求得c 即可.

【详解】

双曲线C 的渐近线方程为y x =,可知b a =

①,椭圆221123x y +=的焦点坐标为(－3,0)和(3,0),所以a 2＋b 2＝9②,根据①②可知a 2＝4,b 2＝5. 故选：B. 【点睛】

本题主要考查了双曲线与椭圆的基本量求法,属于基础题型.

10．B

解析：B 【解析】【分析】

由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。【详解】

由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，

所以几何体的体积为1445443643

V V V =-=??-???=柱锥，故选B 。【点睛】

本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。

11．B

解析：B 【解析】【分析】

由题可分析得到()tan +tan 44ππααββ????

??=+-- ? ????

????

?,由差角公式,将值代入求解即可【详解】由题,

()()()21tan tan 3454tan +tan 21442211tan tan 54

4παββππααββπαββ??+---

?????????=+--=== ? ???????????+?++- ??

故选：B 【点睛】

本题考查正切的差角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值问题

12．B

解析：B 【解析】【分析】

利用向量垂直求得2

2a b a b ==?，代入夹角公式即可.

【详解】

设,a b 的夹角为θ；

因为(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，所以2

2a b

a b ==?，

则22

|2,|2a a b b a b =??=，

则2

12cos ,.23a

a b a b a

πθθ?===∴=

故选：B 【点睛】

向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ?=；二是向量的平方等于向量模的平方2

a a =.

二、填空题

13．1006【解析】试题分析:由题设可知在中由此可得由正弦定理可得解之得又因为所以应填1006考点：正弦定理及运用解析：

【解析】

试题分析:由题设可知在

中,

,由此可得

,由

正弦定理可得,解之得,又因为,所以

,应填

考点：正弦定理及运用．

14．【解析】设则所以所以曲线在点处的切线方程为即点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一用导数求切线方程的关键在于求出斜率其求法为：设是曲线上的一点则以为切点的切线方程是若曲线在点处的切线平行于轴（即解析：1y x =+

【解析】

设()y f x =，则21

()2f x x x

'=-，所以(1)211f '=-=，所以曲线2

y x x

在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=?-，即1y x =+．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是

000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不

存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．

15．【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有123知解得解析：(5,7)

【解析】【分析】【详解】由|3|4x b -<得

b b x -+<< 由整数有且仅有1，2，3知4013

4343b b -?

≤

，解得57b <<

16．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部解析：1-

【解析】

复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-. 考点：复数的乘法运算、实部.

17．-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域由图形求出最优解再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示由图形知当目标函数过点A 时取得最小值由解得代入计算所以的最小值为故答案为

解析：-1 【解析】【分析】

画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数1

z x y 2

=-+的最小值．【详解】

画出约束条件102100x y x y x --≤??

-+≥??≥?

表示的平面区域如图所示，

由图形知，当目标函数1

z x y 2

=-+过点A 时取得最小值，由{

x 0

x y 10=--=，解得

()A 0,1-，代入计算()z 011=+-=-，所以1

z x y 2

=-+的最小值为1-．

故答案为1-．【点睛】

本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．

18．【解析】【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i∴|z|故答案为【点睛】对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其 10

【解析】【分析】

利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】

解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ， ∴|z |22(1)310=-+= 10．【点睛】

对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复

数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +(,)a b 、共轭复数为

a bi -．

19．390【解析】【分析】【详解】用2色涂格子有种方法用3色涂格子第一步选色有第二步涂色共有种所以涂色方法种方法故总共有390种方法故答案为:390

解析：390

【解析】【分析】【详解】用2色涂格子有

种方法,

用3色涂格子,第一步选色有,第二步涂色,共有

种,

所以涂色方法种方法,

故总共有390种方法. 故答案为:390

20．【解析】试题分析：的定义域为由得所以①若由得当时此时单调递增当时此时单调递减所以是的极大值点；②若由得或因为是的极大值点所以解得综合①②：的取值范围是故答案为考点：1利用导数研究函数的单调性；2利用解析：

【解析】

试题分析：()f x 的定义域为()()1

0,,'f x ax b x

+∞=--，由()'00f =，得1b a =-，所以()()()11'ax x f x x

+-=

.①若0a ≥，由()'0f x =，得1x =，当01x <<时，

()'0f x >，此时()f x

单调递增，当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以1x =是()f x 的极大值点；②若0a <，由()'0f x =，得1x =或1

x a

.因为1x =是()f x 的极大值点，所以1

>，解得10a -<<，综合①②：a 的取值范围是1a >-，故答案为()1,-+∞. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值. 三、解答题

21．（1）见解析（22

（321

【解析】【分析】

（1）连接OC ，由BO ＝DO ，AB ＝AD ，知AO ⊥BD ，由BO ＝DO ，BC ＝CD ，知

CO ⊥BD ．在△AOC

中，由题设知AO 1CO ==，AC ＝2，故AO 2+CO 2＝AC 2，由此能够证明AO ⊥平面BCD ；

（2）取AC 的中点M ，连接OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点，知ME ∥AB ，OE ∥DC ，故直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．在△OME

中，11EM AB OE DC 1222

====，由此能求出异面直线AB 与CD 所成角大小的余弦；

（3）设点E 到平面ACD 的距离为h ．在△ACD

中，CA CD 2AD ===

，

ACD

2==，由AO ＝1

，知2CDE

1S 2242

，由此能求出点E 到平面ACD 的距离．【详解】

（1）证明：连接OC ，∵BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD ， ∵BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD ．

在△AOC

中，由题设知1AO CO ==，AC ＝2， ∴AO 2+CO 2＝AC 2，

∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC ． ∵AO ⊥BD ，BD ∩OC ＝O ， ∴AO ⊥平面BCD ．

（2）解：取AC 的中点M ，连接OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点，知ME ∥AB ，OE ∥DC ，

∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．在△OME

中，11

122

EM AB OE DC =

===， ∵OM 是直角△AOC 斜边AC 上的中线，∴1

OM AC =

=，

∴111

cos OEM +

-∠== ∴异面直线AB 与CD

所成角大小的余弦为

（3）解：设点E 到平面ACD 的距离为h ．

E ACD A CDE V V --=，

ACD

CDE

h S AO S ∴=

．．．，

在△ACD 中，2CA CD AD ===，，

∴

127

24222ACD

??=??-= ? ???

， ∵AO ＝1，21332242

CDE

S =

??=

， ∴3

121277

CDE ACD

AO S h S ?

=，

∴点E 到平面ACD 的距离为

217

．

【点睛】

本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题．

22．（1）22194

x y +=；（2）22

013x y +=. 【解析】【分析】【详解】

试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、

b 、

c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：

第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、

2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为

()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用

0?=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方

程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程. （1）由题意知

553a =?=，且有2235b -=2b =，

因此椭圆C 的标准方程为22

194

x y +=；

（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-，当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-，将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得

()()()2

2000094189360k

x k y kx x y kx ++-+--=，

()(

)

()2220000184949360k y kx k y kx ?????=--?+--=????

，化简得()2

940y kx k ---=，即()()2

9240x k kx y y --+-=，

则1k 、2

k 是关于k 的一元二次方程()()22

9240x k kx y y --+-=的两根，则

201220419

y k k x -==--，

化简得22

0013x y +=；

②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆

2213x y +=上.

综上所述，点P 的轨迹方程为2

13x y +=.

考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用?的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.

23．（1）见解析；（2）见证明【解析】【分析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；

（2）问题转化为证e x ﹣x 2﹣xlnx ﹣1＞0，根据xlnx ≤x （x ﹣1），问题转化为只需证明当x ＞0时，e x ﹣2x 2+x ﹣1＞0恒成立，令k （x ）＝e x ﹣2x 2+x ﹣1，（x ≥0），根据函数的单调性证明即可．【详解】（1）()()2

1ln 1(0)f x x g x x x x x x

=->，()2

2ln 'x g x x -=，当()

0,x e ∈，()'0g x >，

当()

,x e ∈+∞，()'0g x <，()g x ∴在(

0,e

上递增，在()2

,e +∞上递减，()g x ∴在

2x e =取得极大值，极大值为

e ，无极大值. （2）要证

f （x ）+1＜e x ﹣x 2．

即证e x ﹣x 2﹣xlnx ﹣1＞0，

先证明lnx ≤x ﹣1，取h （x ）＝lnx ﹣x+1，则h ′（x ）＝，

易知h （x ）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，

故h （x ）≤h （1）＝0，即lnx ≤x ﹣1，当且仅当x ＝1时取“＝”，故xlnx ≤x （x ﹣1），e x ﹣x 2﹣xlnx ≥e x ﹣2x 2+x ﹣1，故只需证明当x ＞0时，e x ﹣2x 2+x ﹣1＞0恒成立，

令k （x ）＝e x ﹣2x 2+x ﹣1，（x ≥0），则k ′（x ）＝e x ﹣4x+1，

令F （x ）＝k ′（x ），则F ′（x ）＝e x ﹣4，令F ′（x ）＝0，解得：x ＝2ln2， ∵F ′（x ）递增，故x ∈（0，2ln2]时，F ′（x ）≤0，F （x ）递减，即k ′（x ）递减， x ∈（2ln2，+∞）时，F ′（x ）＞0，F （x ）递增，即k ′（x ）递增，且k ′（2ln2）＝5﹣8ln2＜0，k ′（0）＝2＞0，k ′（2）＝e 2﹣8+1＞0，

由零点存在定理，可知?x 1∈（0，2ln2），?x 2∈（2ln2，2），使得k ′（x 1）＝k ′（x 2）＝0，

故0＜x ＜x 1或x ＞x 2时，k ′（x ）＞0，k （x ）递增，当x 1＜x ＜x 2时，k ′（x ）＜0，k （x ）递减，故k （x ）的最小值是k （0）＝0或k （x 2），由k ′（x 2）＝0，得＝4x 2

﹣1， k （x 2）＝﹣2

+x 2﹣1＝﹣（x 2﹣2）（2x 2﹣1），∵x 2∈（2ln2，2），∴k （x 2）＞

0，

故x ＞0时，k （x ）＞0，原不等式成立．【点睛】

本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于中档题．

24．（1）见解析；（2）均值83x =，方差233s =（3）50% 【解析】【分析】

（1）根据题意，由表格分析可得通过系统抽样分别抽取编号，据此可得样本的评分数据；（2）根据题意，由平均数和方差公式计算可得答案；

（3）根据题意，分析评分在(833333，

，即（77.26，88.74）之间的人数，进而计算进而可得答案．【详解】

（1）通过系统抽样抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40 则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89. （2）由（1）中的样本评分数据可得

()1

928486788974837877898310

x =

+++++++++=，则有

()()()()()()()()()()2222222222

21928384838683788389837483838378837783898310S ??=

-+-+-+-+-+-+-+-+-+-?

33=

所以均值83x =，方差233s =.

（3）由题意知评分在()

8333,8333-+即()77.26,88.74之间满意度等级为“A 级”，由（1）中容量为10的样本评分在()77.26,88.74之间有5人，则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为5

0.550%10

== 【点睛】

本题考查系统抽样方法以及数据方差的计算，关键是分析取出的数据，属于基础题． 25．（1）证明见解析；（2）112

. 【解析】【分析】

（1）连接PF ，BD 由三线合一可得AD ⊥BF ，AD ⊥PF ，故而AD ⊥平面PBF ，于是AD ⊥PB ；（2）先证明PF ⊥平面ABCD ，再作PF 的平行线，根据相似找到G ，再利用等积转化求体积．【详解】连接PF ，BD,

∵PAD ?是等边三角形，F 为AD 的中点， ∴PF ⊥AD ，

∵底面ABCD 是菱形，3

BAD π

∠=

，

∴△ABD 是等边三角形，∵F 为AD 的中点， ∴BF ⊥AD ，

又PF ，BF ?平面PBF ，PF ∩BF ＝F ， ∴AD ⊥平面PBF ，∵PB ?平面PBF ， ∴AD ⊥PB ．

（2）由（1）得BF ⊥AD ，又∵PD ⊥BF ，AD ，PD ?平面PAD ， ∴BF ⊥平面PAD ，又BF ?平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ，

由（1）得PF ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PF ⊥平面ABCD ，

连接FC 交DE 于H,则△HEC 与△HDF 相似，又1142EC BC FD ==，∴CH=1

CF ， ∴在△PFC 中,过H 作GH //PF 交PC 于G ，则GH⊥平面ABCD ，又GH ?面GED ，则面GED⊥

平面ABCD ，此时CG=

CP, ∴四面体D CEG -的体积

11311

223

382312

D CEG G CED CED

V V S

GH PF --==?=?????=．所以存在G 满足CG=13CP, 使平面DEG ⊥平面ABCD ，且112

D CEG V -=. 【点睛】

本题考查了线面垂直的判定与性质定理，面面垂直的判定及性质的应用，考查了棱锥的体积计算，属于中档题．

26．（1）2n

n a =，21n n b =-；（2）证明见解析.

【解析】【分析】

（1）由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2b n ①，n ≥2时，a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1＝2b n ﹣1②，①﹣②可得：a n ＝2（b n ﹣b n ﹣1）（n ≥2），{a n }公比为q ，求出a n ，然后求解b n ；（2）化简

221

log log n n n c a a +=

（n ∈N *），利用裂项消项法求解数列的和即可．

【详解】

（1）由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2b n ①

n ≥2时，a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1＝2b n ﹣1②

①﹣②可得：a n ＝2（b n ﹣b n ﹣1）（n ≥2）， ∴a 3＝2（b 3﹣b 2）＝8

∵a 1＝2，a n ＞0，设{a n }公比为q ， ∴a 1q 2＝8，∴q ＝2 ∴a n ＝2×2n ﹣1＝2n ∴(

)1231

212222222

212

n n n n b +-=++++=

=--，

∴b n ＝2n ﹣1．

（2）证明：由已知：()2211111

1n n 1

n n n c log a log a n n +===-++．

∴1231111

111111223

n n 11

n c c c c n ++++=-+-+

-=-<++ 【点睛】

本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．数列求和的常见方法有：列项求和，错位相减求和，倒序相加求和.