高中数学知识重组、网络建构系列之集合与不等式：专题五 基本不等式
基本不等式●主干知识互联，提纲挈领
)
0,0
a b
≥>>称为基本不等式，常见的与这个不等式有关的其它不等式有：
()()
1
20,20
a b
x x ab
x b a
+≥>+≥>等．
●重点难点突破，抓住核心
考向1 利用基本不等式求函数最大值、最小值
【例
1】【2015高考湖南，文7】若实数,a b满足
12
a b
+=，则ab的最小值为（）
A．2 C．
．4
【答案】C．
【解析】
12
,0.
a b
a b
+=∴
>>
12
,ab
a b
=+≥∴
≥
当2
b a
=时取等号），ab
∴的最小值为
选C．
【例2】【2015高考福建文5】若直线
1(0,0)
x y
a b
a b
+=>>过点(1,1)，则a b
+的最小值等
于
（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由已知得
11
1
a b
+=，则
()112b a
a b a b
a b a b
??
+=++=++
?
??
．
●方法规律提升，融会贯通
1．应用基本不等式求最值的条件
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三
个条件：一正二定三相等，
(1)“一正”就是各项必须为正数；
(2) “二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的
二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
(3) “三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验
证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
2．利用基本不等式求最值问题的常见类型及解题策
略
(1)知和求积的最值．求解此类问题的关键：明确
“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①
具备条件——正数；②验证等号成立．
(2)知积求和的最值．明确“积为定值，和有最小
值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本
不等式求最值的条件．
(3)构造不等式求最值．在求解含有两个变量的代数
式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数
1”的替换，构造不等式求解．
0,0,2b a a b a b >>∴+≥ ，故
4a b +≥，当
a b
b a
=，即时2a b ==取等号． 【变式训练】【2016海南中学考前模拟】设,x y 均为正数，且
111
112
x y +=++，则xy 的最小值为（ ） A ．16 B ．15 C ．10 D ．9 【答案】D
考向2 利用基本不等式证明不等式
【例3】【2016枣庄段考】设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋ab c
≥a＋b ＋c ． 【解析】∵a ，b ，c 都是正数，∴bc a ，ca b ，ab
c
都 是正数．∴bc a ＋ca
b ≥2c，当且仅当a ＝b 时等号成
立，ca b ＋ab
c ≥2a，当且仅当b ＝c 时等号成立，
ab c ＋bc
a
≥2b，当且仅当a ＝c 时等号成立．三式相 加，得2? ??
??bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a＋b ＋c)，即
bc a ＋ca b ＋ab
c ≥a＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号 成立．
方法规律提升，融会贯通
利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等
式，则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的条件；若题目中
还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有1时，要注意1的代换．另外，解题中要时刻注意等号能否取到．
【变式训练】设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1
b 2＋ab≥22．
证明：由于a ，b 均为正实数，所以1a 2＋1
b 2≥2
1a 2·1b 2＝
2ab ，当且仅当1a 2＝1
b
2，即a ＝b 时等号成立，又因 为
2
ab
＋ab≥22ab ·ab＝22，当且仅当2ab ＝ab 时等号成立，所以1a 2＋1b 2＋ab≥2
ab
＋ab≥22，当且仅当