第1章 1.2 极坐标系
阶段一
阶段二
学
业
分
层
测
评
1.2 极坐标系
1.2.1 平面上点的极坐标
1.2.2 极坐标与直角坐标的关系
1.了解极坐标系的意义，能用极坐标系刻画点的位置.(难点)
2.了解极坐标系与直角坐标系的联系，能进行极坐标与直角坐标的互化.(重点)
[基础·初探]
1.平面上点的极坐标
(1)极坐标系：在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox ，一个
及计算角度的 (通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系，O 点称为 ，Ox 称为 .
(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度á和从Ox 到OM
的角度?来刻画.这两个数组成的有序数对 称为点M 的 .á称为 ，?称为 .
长度单位正方向极点极轴(á，?)极坐标极径极角
2.点与极坐标的关系
(á，?)和
代表同一个点，其中k 为整数.特别地，极点O 的
坐标为(0，?)(?∈R ).如果限定á≥0， ，则除
外，平面上的点就与它的极坐标构成 关系.
(á，?＋2k à)极点一一对应0≤?<2 à
3.极坐标与直角坐标的关系
(1)互化背景：设在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x
轴的正半轴，以?＝à
2的射线作为y轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位
不变，建立一个直角坐标系(如图1-2-1所示).
图1-2-1
(2)互化公式：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(á，?)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
点M 直角坐标(x ，y )
极坐标(á，?) 互化公式
x ＝ácos ?y ＝á
sin ?
á2
＝x 2
＋y 2
tan ?＝y
x (x ≠0)
[思考·探究]
1.极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？
【导学号：62790002】【提示】极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系，用来刻画平面内点的位置.
2.极坐标系所在平面内的点与极坐标是否能建立一一对应关系？
【提示】建立极坐标系后，给定数对(á，?)，就可以在平面内惟一确定一点M；反过来，给定平面内一点M，它的极坐标却不是惟一的.所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一对应关系.
3.联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？
【提示】任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带.
事实上，若á>0，则sin ?＝y
á，cos ?＝
x
á，
所以x＝ácos ?，y＝ásin ?，á2＝x2＋y2，tan ?＝y x.
[自主·测评]
1.极坐标系中，点M(1,0)关于极点的对称点为()
A.(1,0)
B.(－1，à)
C.(1，à)
D.(1,2 à)
【解析】∵(á，?)关于极点的对称点为(p，à＋?)，∴M(1,0)关于极点的对称点为(1，à).
【答案】 C
2.极坐标系中，到极点的距离等于到极轴的距离的点可以是()
A.(1,0)
B.(2，à4)
C.(3，à
2) D.(4，à)
【答案】 C
3.点A 的极坐标是(2，7 à
6)，则点A 的直角坐标为( )
A.(－1，－3)
B.(－3，1)
C.(－3，－1)
D.(3，－1)
【解析】 x ＝ácos ?＝2cos 7
6à＝－3， y ＝ásin ?＝2sin 76à＝－1.
【答案】 C
4.点M的直角坐标为(0，à
2)，则点M的极坐标可以为()
A.(à
2，0) B.(0，
à
2)
C.(à
2，
à
2) D.(
à
2，－
à
2)
【解析】∵á＝x2＋y2＝à
2，且?＝
à
2，
∴M的极坐标为(à
2，
à
2).
【答案】 C
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________ 疑问3：______________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________
类型一确定极坐标系中点的坐标
设点A(2，à
3)，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A
关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定á>0，－à
【精彩点拨】欲写出点的极坐标，首先应确定á和?的值.
【尝试解答】如图所示，关于极轴的对称点为B(2，－à3).
关于直线l的对称点为C(2，2
3à).
关于极点O的对称点为D(2，－2
3à).
四个点A，B，C，D都在以极点为圆心，2为半径的圆上.
1.点的极坐标不是惟一的，但若限制á>0,0≤?<2 à，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的.
2.写点的极坐标要注意顺序：极径á在前，极角?在后.
[再练一题]
1.在极坐标系中，B (3，à4)，D (3，7
4à)，试判断点B ，D 的位置是否具有对称性，并求出B ，D 关于极点的对称点的极坐标(限定á>0，?∈[0,2 à)).
【解】 由B (3，à4)，D (3，7 à
4)，
知|OB |＝|OD |＝3，极角à4与7 à
4的终边关于极轴对称. 所以点B ，D 关于极轴对称.
设点B (3，à4)，D (3，7 à
4)关于极点的对称点分别为E (á1，?1)，F (á2，?2)， 且á1＝á2＝3.
当?∈[0,2 à)时，?1＝5 à4，?2＝3 à
4， ∴E (3，5 à4)，F (3，3 à
4)为所求.
类型二 将点的极坐标化为直角坐标
写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限. (1)(2，4 à3)；(2)(2，－23à)；(3)(2，－à3). 【精彩点拨】 点的极坐标(á，?)―→
x ＝ácos ?
y ＝ásin ?
―→点的直角坐标(x ，y )―→
判定点所在象限.