中考数学专题之圆的综合应用

2012年中考“圆” 热点题型分类解析

知识点一、圆的定义及有关概念

1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。

在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。

例 P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；?最长弦长为_______．

解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和OP 垂直的弦，答案：10 cm ，8 cm.

知识点二、平面内点和圆的位置关系

平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内 当点在圆外时，d ＞r ；反过来，当d ＞r 时，点在圆外。 当点在圆上时，d ＝r ；反过来，当d ＝r 时，点在圆上。 当点在圆内时，d ＜r ；反过来，当d ＜r 时，点在圆内。

例 如图，在Rt ABC △中，直角边3AB =，4BC =，点E ，

F 分别是BC ，AC 的中点，以点A 为圆心，AB 的长为半径

画圆，则点E 在圆A 的_________，点F 在圆A 的_________．

解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部

练习：在直角坐标平面内，圆O 的半径为5，圆心O 的坐标为(14)--，．试判断点(31)P -，

与圆O 的位置关系． 答案：点P 在圆O 上． 知识点三、圆的基本性质

1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。

3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。 圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

圆周角定理推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。 圆周角定理推论２：直径所对的圆周角是直角；９０°的圆周角所对的弦是直径。

例1 如图，在半径为5cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距

离为3cm ，则弦AB 的长是（ ）

A ．4cm

B ．6cm

C ．8cm

D ．10cm

解题思路：在一个圆中，若知圆的半径为R ，弦长为a ，圆心到此弦的距离为d ，?根据垂径定理，有R2=d2+（2

a

）2，所以三个量知道两个，就可求出第三个．答案C

例2、如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC 的大小是( )

A 、60°

B 、45°

C 、30°

D 、15°

解题思路：运用圆周角与圆心角的关系定理，答案：A

例3、如图1和图2，MN 是⊙O 的直径，弦AB 、CD ?相交于MN ?上的一点P ， ∠APM=∠CPM ．

（1）由以上条件，你认为AB 和CD 大小关系是什么，请说明理由． （2）若交点P 在⊙O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

C

https://www.wendangku.net/doc/4b16127808.html,

P

N

(1) (2)

解题思路：（1）要说明AB=CD ，只要证明AB 、CD 所对的圆心角相等，?只要说明它们的一半相等．

上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的． 解：（1）AB=CD

理由：过O 作OE 、OF 分别垂直于AB 、CD ，垂足分别为E 、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF

连结OD 、OB 且OB=OD ∴Rt △OFD ≌Rt △OEB ∴DF=BE 根据垂径定理可得：AB=CD

（2）作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足为E 、F ∵∠APM=∠CPN 且OP=OP ，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt △OPE ≌Rt △OPF ∴OE=OF 连接OA 、OB 、OC 、OD

易证Rt △OBE ≌Rt △ODF ，Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD

例4．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？

解题思路：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D

是BC 的中点，?只要连结AD 证明AD 是高或是∠ 解：BD=CD

理由是：如图24－30，连接AD

∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即AD ⊥ 又∵AC=AB ∴BD=CD

B A

C

知识点四、圆与三角形的关系

1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。

3、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。

4、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。

5、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。 例1 如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24－49所示，A 、B 、C ?为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，?要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．

https://www.wendangku.net/doc/4b16127808.html, A

C

解题思路： 连结AB 、BC ，作线段AB 、BC 的中垂线，两条中垂线的交点

即为垃圾回收站所在的位置．

例 2 如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，

则∠BOC=（ ）

A ．130°

B ．100°

C ．50°

D ．65°

解题思路：此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，答案A

例3 如图，Rt △ABC ，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，则它的外心与顶点C

的距离为（ ）． A ．5 cm B ．2.5cm C ．3cm D ．4cm

解题思路：直角三角形外心的位置是斜边的中点，答案 B

知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离

当直线和圆相交时，d＜r；反过来，当d＜r时，直线和圆相交。

当直线和圆相切时，d＝r；反过来，当d＝r时，直线和圆相切。

当直线和圆相离时，d＞r；反过来，当d＞r时，直线和圆相离。

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径

切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角。

例1、在中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r 多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？

解题思路：作AD⊥BC于D

在中，∠B=30°∴

在中，∠C=45°

∴ CD=AD

∵ BC=6cm ∴

∴

∴当时，⊙A与BC相切；当时，⊙A与BC 相交；当时，⊙A与BC相离。

例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB= ∠A．

（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．

（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．

A

D

解题思路：（1）要说明CD 是否是⊙O 的切线，只要说明OC 是否垂直于CD ，垂足为C ，?因为C 点已在圆上．

由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10 解：（1）CD 与⊙O 相切 理由：①C 点在⊙O 上（已知） ②∵AB 是直径

∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90° 综上：CD 是⊙O 的切线． （2）在Rt △OCD 中，∠D=30°

∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10

答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10． 知识点六、圆与圆的位置关系

重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用． 难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题． 外离：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的外部相离： 内含：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的内部 相切：

外切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部

内切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部

相交：两圆只有两个公共点。

设两圆的半径分别为r 1、r 2，圆心距（两圆圆心的距离）为d ，则有两圆的位置关系，d 与r 1和r 2之间的关系．

外离?d>r1+r2

外切?d=r1+r2

相交?│r1－r2│

内切?d=│r1－r2│

内含?0≤d<│r1－r2│（其中d=0，两圆同心）

例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．

（1）(2) 解题思路：要求∠TPN，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图2所示．

解：∵PO=OO′=PO′∴△PO′O是一个等边三角形∴∠OPO′=60°

又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=90°，∠NPO′=90°

∴∠TPN=360°－2×90°－60°=120°

例2．如图1所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm，求：（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少？

(1) (2)

(2）作⊙A与⊙O相内切，并求出此时⊙A的半径．

解题思路：（1）作⊙A和⊙O外切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=r O+r A；（?2）?作OA与⊙O相内切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=r A－r O．

解：如图2所示，（1）作法：以A为圆心，r A=15－7=8为半径作圆，则⊙A?的半径为8cm

（2）作法：以A点为圆心，r A′=15+7=22为半径作圆，则⊙A的半径为22cm 例3．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上．（1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；

（2）若⊙B过M（－2，0）且与⊙A相切，求B

（1）AB=5>1+3，外离．

（2）设B（x，0）x≠－2，则B半径为

①设⊙B与⊙A，

当x>－2，平方化简得：x=0符题意，∴B（0，0），

当x<－2－x－1，化简得x=4>－2（舍），

②设⊙B与⊙A=│x+2│－1，

当x>－2，得x=4>－2，∴B（4，0），

当x<－2－x－3，得x=0，

知识点七、正多边形和圆

重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、?边长之间的关系．

难点：使学生理解四者：正多边形半径、中心角、?弦心距、边长之间的关系．

正多边形的中心：所有对称轴的交点；

正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。

正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。

正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。

正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角

形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。

例1．如图，已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是a，?求正六边形的周长和面积．

解题思路：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB 垂于M，在Rt△AOM?中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．

解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于360

6

?

=60°，

△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，所求的正六边形的周长为6a

在Rt△OAM中，OA=a，AM=1

2

AB=

1

2

a

利用勾股定理，可得边心距

∴

AB×OM=6×a=

3

2

2

例2．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC?的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24－94的设计方案是使AC=8，BC=6．

（1）求△ABC的边AB上的高h．

（2）设DN=x，且h D N N F

h A B

-

=，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？

（3）实际施工时，发现在AB上距B

点1．85的M处有一棵大树，问：这

棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．

h

F

D

E

C A

N

解题思路：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，?应用圆的对称性就能圆满解决此题．

解：（1）由AB·CG=AC·BC 得h=

86

10

AC BC AB ?= =4.8 （2）∵h=h DN NF h AB -=且DN=x ∴NF=10(4.8)

4.8x - 则S 四边形DEFN =x·104.8（4.8－x ）=－2512x 2+10x=－2512

（x 2－120

25x ）

=－2512 [（x －6025）2－3600625]=－25

x

（x －2.4）2+12

∵－25x （x －2.4）2≤0 ∴－25

x

（x －2.4）2+12≤12 且当x=2.4时，取等

号

∴当x=2.4时，S DEFN 最大．

（3）当S DEFN 最大时，x=2.4，此时，F 为BC 中点，在Rt △FEB 中，EF=2.4，BF=3．

∴

∵BM=1.85，∴BM>EB ，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案．

∵当x=2.4时，DE=5 ∴AD=3.2，

由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:

https://www.wendangku.net/doc/4b16127808.html,.c F

D E

C B A

G 此时，?AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避

开大树．

知识点八、弧长和扇形、圆锥侧面积面积

重点：n°的圆心角所对的弧长L=180n R π，扇形面积S 扇=2

360

n R π、圆锥侧面积

面积及其它们的应用．

难点：公式的应用． 1．n°的圆心角所对的弧长L=

180

n R π 2．圆心角为n°的扇形面积是S 扇形=2

360

n R π

3.全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积=πrL+r2． 例1．操作与证明：如图所示，O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 处，并将纸板绕O 点旋转，求证：正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ．

解题思路：如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB 、AD ?分别交于点M 、N ，连结OA 、OD ． ∵四边形ABCD 是正方形

∴OA=OD ，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO ， 又∠MON=90°，∠AOM=∠DON ∴△AMO ≌△DNO ∴AM=DN ∴AM+AN=DN+AN=AD=a

特别地，当点M 与点A （点B ）重合时，点N 必与点D （点A ）重合，此时AM+AN 仍为定值a ．故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ．

例2．已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm 2． （1）求扇形的弧长；

（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？

解题思路：（1）由S 扇形=2

360

n R π求出R ，再代入L=180n R π求得．（2）若将此

扇形卷成一个圆锥，?扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，?圆锥母线为腰的等腰三角形．

解：（1）如图所示：

∵300π=2120360

R π ∴R=30

∴弧长L=

12030

180

π??=20π（cm ）

（2）如图所示：

∵20π=20πr ∴r=10，R=30

∴S 轴截面=12

×BC×AD

=12

×2×10×cm 2）

因此，扇形的弧长是20πcm 卷成圆锥的轴截面是2．

最新考题

中考要求及命题趋势 1、理解圆的基本概念与性质。 2

3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。

4、直线和圆的位置关系。

5、圆的切线的性质 和判定 。

6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。

7、圆和圆的五种位置关系。

8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式。两圆相切、相交的性质。

9、掌握弧长、扇形面积计算公式。 10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。 11、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算。

2010年中考将继续考查圆的有关性质，其中圆与三角形相似（全等）。三角函数的小综合题为考查重点；直线和圆的关系作为考查重点，其中直线和圆的位置关系的开放题、探究题是考查重点；继续考查圆与圆的位置五种关系。对弧长、

扇形面积计算以及圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算是考查的重点。

应试对策

圆的综合题，除了考切线必须的问题。一般圆主要和前面的相似三角形，和前面大的知识点接触。就是说几何所有的东西都是通的，你学后面的就自然牵扯到前面的，前面的忘掉了，简单的东西忘掉了，后面要用就不会用了，所以几何前面学到的知识、常用知识，后面随时都在用。直线和圆以前的部分是重点内容，后面扇形的面积、圆锥、圆柱的侧面积，这些都是必考的，后面都是一些填空题和选择题，对于扇形面积公式、圆锥、圆柱的侧面积的公式记住了就可以了。圆这一章，特别是有关圆的性质这两个单元，重要的概念、定理先掌握了，你首先要掌握这些，题目就是定理的简单应用，所以概念和定理没有掌握就谈不到应用，所以你首先应该掌握。掌握之后，再掌握一些这两章的解题思路和解题方法就可以了。你说你已经把一些这个单元的基本定理都掌握了，那么我可以在这里面介绍一些掌握的解题思路，这样你把这些都掌握了，解决一些中等难题。都是哪些思路呢？我暂认为你基本知识掌握了，那么，在圆的有关性质这一章，你需要掌握哪些解题思路、解题方法呢？第一，这两章有三条常用辅助线，一章是圆心距，第二章是直径圆周角，第三条是切线径，就是连接圆心和切点的，或者是连接圆周角的距离，这是一条常用的辅助线。有几个分析题目的思路，在圆中有一个非常重要，就是弧、常与圆周角互相转换，那么怎么去应用，就根据题目条件而定。

考查目标一、主要是指圆的基础知识，包括圆的对称性，圆心角与弧、弦之间的相等关系，圆周角与圆心角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，以及垂径定理等内容。这部分内容是圆的基础知识，学生要学会利用相关知识进行简单的几何推理和几何计算

例1、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，

交

BC 于D ．

(1)请写出五个不同类型的正确结论； (2)若BC =8，ED ＝2，求⊙O 的半径． 解题思路：运用圆的垂径定理等内容 解：(1)不同类型的正确结论有：

①BE =CE ;②弧BD=弧CD ③∠BED =90°④∠BOD =∠A ;⑤AC ∥OD ，

⑥AC ⊥BC ;

⑦OE 2+BE 2=OB 2;⑧S △ABC ＝BC ·OE ;⑨△BOD 是等腰三角形，

⑩△BOE ∽△BAC ;

(2)∵OD ⊥BC ， ∴BE ＝CE =1

2

BC =4．

设⊙O 的半径为R ，则OE =OD －DE=R －2． 在Rt △OEB 中，由勾股定理得

OE 2＋BE 2=OB 2，即(R －2)2＋42=R 2．解得R ＝5． ∴ ⊙ O 的半径为5 例2.已知：如图等边ABC △内接于⊙O ，点P 是劣弧PC 上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP =，连结CD ．

（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PDC △是什么三角形？并说明理由．

（2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形？为什么？ 解题思路：（1）PDC △理由：ABC ∵△为等边三角形AC BC =∴，

又∵在⊙O 中

PAC DBC ∠=∠ 又AP BD =∵

APC BDC ∴△≌△． PC DC =∴又AP ∵过圆心O ，AB AC =，60BAC ∠=°

1

302BAP PAC BAC ∠=∠=∠=∴° 30BAP BCP ∠=∠=∴°，30PBC PAC ∠=∠=°

303060CPD PBC BCP ∠=∠+∠=+=∴°°° PDC ∴△为等边三角形．

（2）PDC △仍为等边三角形

理由：先证APC BDC △≌△（过程同上） PC DC =∴

60BAP PAC ∠+∠=∵° 又BAP BCP ∠=∠∵，PAC PBC ∠=∠ 60CPD BCP PBC BAP PAC ∠=∠+∠=∠+∠=∴°

又PC DC =∵ PDC ∴△为等边三角形．

例3.(1)如图OA 、OB 是⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，点C 是OB 延长线上任意一点：过点C 作CD 切⊙O 于点D ，连结AD 交DC 于点E ．求证：CD=CE

图①

图②

(2)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B’，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么?

(3)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA 的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么

解题思路：本题主要考查圆的有关知识，考查图形运动变化中的探究能力及推理能力．

解答：(1)证明：连结OD 则OD⊥CD，∴∠CDE+∠ODA=90°

在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°

在⊙O中，OA=OD∴∠A=∠ODA，∴∠CDE=∠AEO

又∵∠AEO=∠CED，∠CDE=∠CED ∴CD=CE

(2)CE=CD仍然成立．

∵原来的半径OB所在直线向上平行移动∴CF⊥AO于F，

在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°．

连结OD，有∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD ．∠A=∠ODA

∴∠AEF=∠CDE 又∠AEF=∠CED ∴∠CED=∠CDE∴CD=CE

(3)CE=CD仍然成立．

∵原来的半径OB所在直线向上平行移动．AO⊥CF

延长OA交CF于G，在Rt△AEG中，∠AEG+∠GAE=90°

连结OD，有∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD∴∠ADO=∠OAD=∠GAE ∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE

考查目标二、主要是指点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆

的位置关系的相关内容。学生要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题。

例1、AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连BC ．若30P ∠= ，

求B ∠的度数．

解题思路：运用切线的性质 .

PA 切⊙O 于A AB ，是⊙O 的直径， ∴90PAO ∠= ．

30

P ∠= ，∴60AOP ∠= ．∴1

302

B AOP ∠=

∠=

例2.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE CD ⊥，垂足为

E ，DA 平分BDE ∠．

（1）求证：AE 是⊙O 的切线；

（2）若301cm DBC DE ∠== ，，求BD 的长． 解题思路：运用切线的判定

（1）证明：连接OA ，DA 平分BDE ∠，BDA EDA ∴∠=∠OA OD ODA OAD =∴∠=∠ ，．OAD EDA ∴∠=∠． OA CE ∴∥．

AE DE ⊥ ，9090AED OAE DEA ∴∠=∠=∠= ，．

AE OA ∴⊥．AE ∴是⊙O 的切线．

（2）BD 是直径，90BCD BAD ∴∠=∠=

．

3060DBC BDC ∠=∠= ，，120BDE ∴∠= ．

DA 平分BDE ∠，60BDA EDA ∴∠=∠= ．30ABD EAD ∴∠=∠= ．

在Rt AED △中，90302AED EAD AD DE ∠=∠=∴= ，，

． 在Rt ABD △中，903024BAD ABD BD AD DE ∠=∠=∴== ，，． DE 的长是1cm ，BD ∴的长是4cm ．

考查目标三、主要是指圆中的计算问题，包括弧长、扇形面积，以及圆柱与圆锥的侧面积和全面积的计算，这部分内容也是历年中考的必考内容之一。学

P

生要理解圆柱和其侧面展开图矩形、圆锥和其侧面展开图扇形之间的关系。

例1、如图，已知在⊙O 中，AB=34，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于F ，∠A=30°.

(1)求图中阴影部分的面积；

(2)若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径. 解题思路：（1）法一：过O 作OE ⊥AB 于E ，则AE=2

1AB=23。

在Rt △AEO 中，∠BAC=30°，cos30°=

OA

AE

∴OA=?

30cos AE

=

2

332=4．

又∵OA=OB ，∴∠ABO=30°

．∴∠BOC=60°．

∵AC ⊥BD ，∴ BC CD =．∴∠COD =∠BOC=60°．∴∠BOD=120°．

∴S 阴影=2

π360

n OA ?=212016π4π360

3

= ．

法二：连结AD ．

∵AC ⊥BD ，AC 是直径，∴AC 垂直平分BD 。

∴AB=AD ，BF=FD ， BC CD =。∴∠BAD=2∠BAC=60°，∴∠BOD=120°．

∵BF=21AB=23，sin60°=

AB AF

， AF=AB·sin60°=43×2

3=6。 ∴OB 2=BF 2+OF 2．即222(6)OB OB +-=．∴OB=4．∴S 阴影=3

1S 圆=16π3

。 法三：连结BC ．

∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ABC=90°。 ∵AB=43，∴8cos30AB AC ===?

∵∠A=30°， AC ⊥BD ， ∴∠BOC=60°，∴∠BOD=120°． ∴S 阴影=360

120π·OA 2=31×42·π=16π3

。

以下同法一。

（2）设圆锥的底面圆的半径为r ，则周长为2πr ，∴1202ππ4180r =

∴4

3r =。 例2.如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90

（1）求这个扇形的面积（结果保留π）． （2）在剩下的三块余料中，能否从第③此扇形围成一个圆锥？请说明理由．

（3）当⊙O 的半径(0)R R >为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

解题思路：（1）连接

BC ，由勾股定理求得：

AB AC ==2S =

（2）连接AO O 交于E F ，， 2EF AF AE =-=弧BC 的长：1802

n R l π=

=π 22r π=

π ∴圆锥的底面直径为：22

r =

22

<

，∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥． （3）由勾股定理求得：AB AC == 弧BC 的长：180n R l R π=

= 2r R π=

∴圆锥的底面直径为：22

r R =

2(2EF AF AE R R =-==

B B

22<

且0R >

(22

R R ∴<

即无论半径R 为何值，2EF r <

∴ 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．

【专题专点剖析】

本专题包括圆的有关性质、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系、正多边形和圆四方面内容，它们是初中数学中最核心的内容之一．2011年各省、市的考题中反映出的考点主要有：

1．准确理解与圆有关的概念及性质，能正确辨别一类与圆有关的概念型试题．

2．既会从距离与半径的数量关系确定点与圆、直线与圆、?圆与圆的位置关系，又能从点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系探索相应半径与距离的数量关系．

3．利用圆心角、圆周角、弦切角的定义及它们之间特有的关系，解证与角、?线段相关的几何问题．

4．会运用垂径定理、切线长定理、相交弦定理、切割线定理、?割线定理证明一类与圆相关的几何问题．

5．会利用圆内接正多边形的性质，圆的周长、扇形的弧长、圆、扇形、?弓形的面积公式，解决一类与圆柱、圆锥、圆台展开图有关的计算问题，并会借助分割与转化的思想方法巧求阴影部分的面积．

6．会准确表述有关点的轨迹问题，会用分析法证明一类简单的几何问题． 7．会用T 形尺找出圆形工件的圆心，会选用作垂直平分线的方法寻找在实际背景中的圆心问题，会作满足题设条件的圆和圆的切线、圆内接正多边形，并会以圆弧和圆的基本元素设计各种优美图案．

8．充分利用圆中的有关知识解决一类与圆有关的实际应用问题、?动态型问题、探索型问题，并会探索平面图形的镶嵌问题，且能用几种常见的图形进行简

单的镶嵌设计．

9．综合运用圆、方程、函数、三角、?相似形等知识解决一类与圆有关的中考压轴题．

10．本专题主要考查对称作图的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想以及观察、想象、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比等数学方法；同时，考查学生逻辑推理的能力、分析和解决问题的能力，以及创新意识和实践的能力．

【解题方法技巧】

1．与圆有关的概念

正确理解弦、劣弧、优弧、圆心角等与圆有关的概念，并能正确分析它们的区别与联系．

2．与圆有关的角

掌握圆周角和圆心角的区别与联系，将圆中的直径与90°的圆周角联系在一起，一般地，若题目无直径，往往需要作出直径．

3．圆心角、弧、弦之间的关系与垂径定理

定理与推论是在圆的旋转不变上推出来的，需注意“在同圆或等圆中”这个关系．

4．与圆有关的位置关系

了解点和圆、直线和圆、圆与圆共有几种位置关系，并能恰当地运用数量关系来判断位置关系是学习的关键．

5．切线长定理

切线长定理是圆的对称性的体现，它为说明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据．

6．弧长、扇形面积计算问题

通过作图、识图、阅读图形、探索弧长、扇形及其组合图形面积的计算方法和解题规律，把不规则图形的问题转化为规则图形的问题．

7．圆锥的侧面积、全面积的计算

正确区分圆锥侧面展开图中各元素与圆锥间的各元素的对应关系是处理此类问题的关键．