(完整版)几种证明全等三角形添加辅助线的方法
教学过程
构造全等三角形几种方法
在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。现分类加以说明。
一、延长中线构造全等三角形
例1. 如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。
证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE。如图2。
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。
又∵∠1＝∠2，AD＝DE，
∴△ABD≌△ECD（SAS）。AB＝CE。
∵在△ACE中，CE＋AC＞AE，
∴AB＋AC＞2AD。
二、沿角平分线翻折构造全等三角形
例2. 如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。求证：AB＋BD＝AC。
证明：将△ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC上截取AE＝AB，连接ED。如图4。
∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AE，
∴△ABD≌△AED（SAS）。
∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。
而∠AED＝∠C＋∠EDC，
∴∠C＝∠EDC。所以EC＝ED＝BD。
∵AC＝AE＋EC，∴AB＋BD＝AC。
三、作平行线构造全等三角形
例3. 如图5，△ABC中，AB＝AC。E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。求证：EF＝FD。
证明：过E作EM∥AC交BC于M，如图6。
则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF。
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。
∴∠B＝∠EMB。故EM＝BE。
∵BE＝CD，∴EM＝CD。
又∵∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF，
∴△EFM≌△DFC（AAS）。EF＝FD。
四、作垂线构造全等三角形
例4. 如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。M是AC边的中点。AD ⊥BM交BC于D，交BM于E。求证：∠AMB＝∠DMC。
证明：作CF⊥AC交AD的延长线于F。如图8。
∵∠BAC＝90°，AD⊥BM，
∴∠FAC＝∠ABM＝90°－∠BAE。
∵AB＝AC，∠BAM＝∠ACF＝90°，
∴△ABM≌△CAF（ASA）。
∴∠F＝∠AMB，AM＝CF。
∵AM＝CM，∴CF＝CM。
∵∠MCD＝∠FCD＝45°，CD＝CD，
∴△MCD≌△FCD（SAS）。所以∠F＝∠DMC。
∴∠AMB＝∠F＝∠DMC。
五、沿高线翻折构造全等三角形
例5. 如图9，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD＞∠CAD。求证：AB＞AC。
证明：把△ADC沿高AD翻折，点C落在线段DB上的E点处，即：在DB 上截取DE＝DC，连接AE。如图10。
∴△ADC≌△ADE（SAS）。AC＝AE，∠C＝∠AED。
∵∠AED＞∠B，∴∠C＞∠B。从而AB＞AC。
六、绕点旋转构造全等三角形
例6. 如图11，正方形ABCD中，∠1＝∠2，Q在DC上，P在BC上。求证：PA＝PB＋DQ。
证明：将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABM，即：延长CB到M，使BM＝DQ，连接AM。如图12。
∴△ABM≌△ADQ（SAS）。
∴∠4＝∠2＝∠1，∠M＝∠AQD。
∵AB∥CD，∴∠AQD＝∠BAQ＝∠1＋∠3＝∠4＋∠3＝∠MAP。
∴∠M＝∠MAP。
∴PA＝PM＝PB＋BM＝PB＋DQ（因BM＝DQ）。
【课堂练习】
1、如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC
2、如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.F为CD中点求证：CD=2CE
3、如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．
4、已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C
5、已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．
6、如图，已知C为线段AB上的一点，?ACM和?CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：?CEF是等边三角形。
A
B C
D
A B
C
M
N
E
F
1
2
7、如图所示，已知AE ⊥AB ，AF⊥AC，AE=AB ，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF
8、如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．
求证：CG
AE ；
9、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD 于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．
求证：BD＝CG．
A
E
B
M
C
F
10、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E 。求证：（1）△BFC ≌△DFC ；（2）AD=DE
11、
已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2
12、 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
13、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.
F
E
D
C
B A A
B C D E
F 2 1
E
D F C
B
A
补充：
常见辅助线的作法有以下几种：
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等
变换中的“对折”．
2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用
的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三
角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的
“平移”或“翻转折叠”
5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某
条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
1、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD
2、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.
（1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长.
3、
C
E
D
G F C
B A