量子力学导论答案完整版(上)
第一章 量子力学的诞生
1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ???<<><∞=a
x a
x x x V 0,0,0,)(
试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2
=?
=n n a λ
n a /2=∴λ （1）
又据de Broglie 关系 λ/h p = （2） 而能量
()
,3,2,12422/2/2
2222
222
22==?===n ma n a m n h m m p E πλ （3）
1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有
()?==? ,3,2,1,
x x x
n h n dx p
即 h n a p x x =?2 （a 2：一来一回为一个周期）
a h n p x x 2/=∴,
同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,
,3,2,1,,=z y x n n n
粒子能量 ???
? ??++=++=222222222
222)(21c n b n a n m
p p p m E z y x z y x n n n z
y x π ,3,2,1,,=z y x n n n
1.3设质量为m 的粒子在谐振子势222
1
)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,,2,1,
x V E m p n nh x d p -===??
)(x V
解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：221
()2
x a E V x m a ω===
。 a - 0 a x
由此得 2/2ωm E a =
， （2）
a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件
2222222
a
a
a
p dx dx m m a m a nh
ωπ
ωωπ++--?===?
==??
?
得ω
ωπm n
m nh a 22
=
=
（3） 代入（2），解出 ,3,2,1,
==n n E n ω （4）
积分公式：
c a
u a u a u du u a ++-=-?
arcsin 2222
22
2
1.4设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。 提示：利用
,,2,1,20
==?
n nh d p π
?? ?p 是平面转子的角动量。转子的能量I p E 2/2
?=。
解：平面转子的转角（角位移）记为?。
它的角动量.
??I p =（广义动量），?p 是运动惯量。按量子化条件
,3,2,1,220
===?
m mh p dx p ?
π
?π
mh p =∴
?，
因而平面转子的能量
I m I p E m 2/2/222
==?，
,3,2,1=m
第二章 波函数与Schr?dinger 方程
2.1设质量为m 的粒子在势场)(r V
中运动。 （a ）证明粒子的能量平均值为 ω?=?
r d E 3，
ψψψψωV m
**2
2+?= （能量密度）
（b ）证明能量守恒公式 0=??+??s t w ???
? ?????+???-=**22ψψψψt t m s （能流密度） 证：（a ）粒子的能量平均值为（设ψ已归一化）
V T r d V m E +=???
? ??+?-=?3
22*
2ψψ （1）
?=ψψV r d V *3 （势能平均值） （2）
()()()[]
?????-???-=????
???-=ψψψψψ
ψ**3222*
3
2)(2动能平均值r d m
m r d T 其中T 的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此
ψψ???=?
*322r d m T （3）
结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度,2**2
ψψψψωV m
+???= （4） 且能量平均值 ?
?=ωr d E 3
。
（b ）由（4）式，得
...
2
**.....
2*22**.
.
2
222
*2222V V t m t t t t
V V m t t t t t t s V V t m t m s E ωψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ
??
??*??*???=
???+???++?????????
?
??????*??*??*??? ? ?=
???+?-?+?++?? ? ??????????????????*?=-??+-?++-?+ ? ???????=-??+..*
t t ψψψψ???*? ?
+ ?????
ρt E s ??+?-?=
（ρ ：几率密度）
s
?-?= （定态波函数，几率密度ρ不随时间改变）
所以
0=??+??s t
w
。 2.2考虑单粒子的Schr?dinger 方程
()()()()[]()t r r iV r V t r m
t r t i ,,2,2122
ψψψ++?-=?? （1） 1V 与2V 为实函数。
（a ）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b ）证明粒子在空间体积τ内的几率随时间的变化为
()
???
?????+??-?-=τ
τψψψψψψψψ*
32*
**322r d V S d im r d dt d S
证：（a ）式（1）取复共轭， 得
()*21*
22*2ψψψiV V m
t i -+?-
=??- （2） ?*
ψ（1）-?ψ（2）,得
()()
()
ψ
ψψψψψψψψψψψψψ*2**2
2**22
*2*2222iV m
V i m
t i +?-???-=+?-?-=?? ()()()
ψψψψψψψψ*2***22
V im t +?-???-=??∴
（3） 即 022≠=??+??ρρ
V j t ， 此即几率不守恒的微分表达式。
（b ）式（3）对空间体积τ积分，得
()()()
()
ψψψψψψψψψψψψψψτ
τ
ττ*
23***233***32222rV d S d im rV d r d im r d t S ??????????????+??-?-=+?-???-=??
上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积τ的几率（S d j
?-=?? ） ，而第二项代表体积τ中“产
生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。
2.3 设1ψ和2ψ是Schr?dinger 方程的两个解，证明
()()0,,2
*13
=?
t r t r r d dt d ψψ。 证： 12
212ψψ???
? ??+?-=??V m t i （1） 22
222ψψ???
? ??+?-=??V m t i （2） 取（1）之复共轭： *12
2*12ψψ???
? ??+?-=??-V m t i （3） ?2ψ（3）?-*1ψ（2）,得
()()
22*1*1222
2*12ψψψψψψ?-?-=??-m
t i 对全空间积分：
()()[]
???-?-=-22
*1*122322*132,,ψψψψψψr d m
t r t r r d dt d i ()()()()()[]
????+???-?-???-=2*
1*122*1*12322ψψψψψψψψr d m
()[]
??-???-=2*1*1232
2ψψψψr d m
()
022*1*122=??-?-=?S d m
ψψψψ，（无穷远边界面上，0,21→ψψ） 即 ()()
0,,.2*
13=?t r t r r d dt
d ψψ。
2.4）设一维自由粒子的初态()
/00,x ip e
x =ψ， 求()t x ,ψ。
解： () /2200,???
?
??-=t m p x p i e t x ψ
2.5 设一维自由粒子的初态()()x x δψ=0,，求()2
,t x ψ。
提示：利用积分公式
()()2sin cos 2
2
πξξξξ=
=??+∞
∞
-+∞
∞
-d d
或 []
[]4exp exp 2ππξξi d i =
?
+∞
∞
-。
解：作Fourier 变换： ()()?+∞
∞
-=
dp e p x ipx
?πψ210,， ()()
πδπ?π?21)(210,21==
=
?
?+∞
∞
--+∞
∞
--dx e x dx e
x p ipx ipx ，
()()()?
+∞
∞
--=
∴
dp e p t x Et px i
/21,?πψ （m p E 22=） ?∞+∞
-???
?
??--=
dp e px t m
p i 22
21
π （指数配方）
?+∞
∞-??????????? ??--=
dp t mx p m it e t
imx
2
22ex p 21
2
π 令 2
22??
?
??-=t mx p m t ξ，则
()?????????? ?
?-=
??
=?=
-+∞
∞
--?42exp 2221
221,24/2222
2ππππξπψπξt mx i t m
e e t
m d e t m e
t x i t imx i t
imx
()t
m
t x πψ2,2
=
。
2.6 设一维自由粒子的初态为()0,x ψ，证明在足够长时间后，
()[]??
?
??????????-=t mx t imx i t m t x ?πψ2exp 4exp ,2
式中 ()()?+∞
∞
--=
dx e
x k ikx
0,21ψπ
?是()0,x ψ的Fourier 变换。
提示：利用 ()x e e x
i i δπ
ααπα=-∞
→2
4/lim
。 证：根据平面波的时间变化规律
()t kx i ikx e e ω-→ ， m k E 22 ==ω，
任意时刻的波函数为
()()(
)dk e
k t x m
tk kx i 2/221, -+∞∞
-?=
?πψ
()???
?
??????? ??--?=?
∞
+∞
-2
2/2ex p 212t mx k m t i k dk e
t
imx ?π
（1）
当时间足够长后（所谓∞→t ） ，上式被积函数中的指数函数具有δ函数的性质，取
m t 2 =α ， ??
?
??
-
=t mx k u ， （2） 参照本题的解题提示，即得
()()?+∞
∞
--??? ??
-?≈
k d t mx k k e t m e
t x i t
imx δ?ππ
ψπ4/2221,2 ??
?
??=
-t mx e e t m t imx i ?π2/4/2 （3） ()
2
2
,??
? ??≈t mx t m t x ?ψ （4） 物理意义：在足够长时间后，各不同k 值的分波已经互相分离，波群在x 处的主要成分为t mx k =，即
m kt x =，强度()2
k ?∝，因子t m 描述整个波包的扩散，波包强度t 12
∝ψ
。
设整个波包中最强的动量成分为0k ，即0k k =时()2
k ?最大，由（4）式可见，当t 足够大以后，2
?的最大值出现在0k t mx = 处，即m t k x 0 =处，这表明波包中心处波群的主要成分为0k 。
2.7 写出动量表象中的不含时Schr?dinger 方程。
解：经典能量方程 ()r V m
p E
+=22 。 在动量表象中，只要作变换p p →，dp
d
i r
→ 所以在动量表象中，Schr?dinger 为：
()()p E p dp d i V m
p ψψ=???
??????? ??+ 22。
第三章一维定态问题
3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，
?
??∞<<<<=其余区域 ,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如b a = ，能级的简并度如何？
解：能量的本征值和本征函数为
m
E y
x n n 222π =
)(2
22
2b n a n y
x +
,2,1, ,sin
sin
2==
y x y x n n n n b
y
n a
x
n ab
y
x
ππψ
若b a =，则 )(2222
22y x n n n n ma
E y
x +=π a
y n a x n a y x n n y
x
ππψsin sin 2
=
这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11'
'
==y x n n ）
3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即
??
?∞<<<<<<=其余区域
,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如c b a ==，讨论能级的简并度。
解：能量本征值和本征波函数为
)(2222
222
22c
n b n a
n m n n n E z
y
x
z
y x +
+=π ,
,3,2,1,, ,sin sin sin 8
==z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n z
y x πππψ
当c b a ==时，
)(2222222z y x
n n n ma n n n E z y x ++=π a y n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsin
sin sin 22
3
??
? ??= z y x n n n ==时，能级不简并；
z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。
z y x n n n ,,三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。
如 ???→++=++→++=++)
9,6,3()10,5,1(20
86161210)
11,3,1()9,7,1(10438652
22222
2
22222
3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，
??
?><∞<<=a
x 0, ,0 ,0),(x a x y x V 证明处于定态)(x n ψ的粒子
)61(12)x -(x ,22222π
n a a x -==
讨论∞→ n 的情况，并于经典力学计算结果相比较。
证：设粒子处于第n 个本征态，其本征函数
x a
n a x n πψsin 2)(=
. 2
sin 2022
0a xdx a n x a dx x x a a
n 分部??=
=πψ （1） 4
)(2
2
2
2
2
2
a dx x x x x x n
a
-=-=-?ψ
4
)2cos 1(212202a dx a x n x a a --?=?π )61(12222π
n a -= （2） 在经典情况下，在()a ,0区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于x x dx →+范围的几率为a
dx ，故
2
a
a dx x x a
=?
=? ， （3） 3
20
2
2
a a dx x x a
=?=?
，
4
3)(2
22
2
2
a a x x x x -=-=- （4）
当∞→n 时，量子力学的结果与经典力学结果一致。
3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，
?
?
?<∞<=2 ,2
,0),(a x a x y x V 处于基态)1(=n ，求粒子的动量分布。
解：基态波函数为 a
x
a πψcos 21=
, （参P57，（12））
2cos
22cos 12cos
112121121
)(2
11
cos 221)(2
2223
222222
)()(2
2
22pa
p a q pa p a pa p a a e e p a i e e p a i a dx e e
a
dx e e e
a dx a
x a e p a p a i a p a i a p a i a p a i a
a p a i p a i a x
i a x i a
a ipx
a
a ipx
-=
??????????????+
+-=???????
??????
??????
???-???? ??+-+????????-???? ??-=??
????+=
+?=?
=
∴??? ??+??? ??+-??? ??--??? ??--+-------?
?
?ππππππππππππφππππππππ
动量的几率分布()
2cos 4)()(2
2
2222
3
2
pa p a a p p -=
=π
π?ρ 3.5）设粒子处于半壁高的势场中
??
?
??><<-<∞=a
x a x V x V ,00,
x ,)(0 （1） 求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。 解：分区域写出eq s .:
a
x ,0)()(a x 0 ,0)()(22
"2
12'"1>=-<<=+x k x x k x ψψψψ （2）
其中 ()'2
202
2
22, k E
k V E μ
μ=
+=
（3）
方程的解为
kx
kx
x ik x ik De
Ce x Be Ae x --+=+=)()(21'
'
ψψ （4）
根据对波函数的有限性要求，当∞→x 时，)(2x ψ有限，则
0=C
当0=x 时，0)(1=x ψ，则0=+B A 于是
a
x , )(x 0 ,sin )(2'1>=<<=-kx
De x a x k F x ψψ （5）
在a x =处，波函数及其一级导数连续，得
ka ka kDe a k F k De a k F ---=='''cos ,sin （6）
上两方程相比，得 k
k a k tg '
'
-= （7）
即 ()E E V E V a
tg +--=??
????+002
2 μ
（7’） 若令 ηξ==a a k k ,'
（8） 则由（7）和（3），我们将得到两个方程：
22
202( 9)(10)
2 ctg V a ηξξμξη=-??
?+=??
（10）式是以a V r 202 μ=为半径的圆。对于束缚态来说，00<<-E V ，
结合（3）、（8）式可知，ξ和η都大于零。（10）式表达的圆与曲线ξξηctg -=在第一象限的交点可决定束缚
态能级。当2π≥r ，即
222
πμ≥a V ，亦即 82220 πμ≥a V （11）
时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。
3—6）求不对称势阱中粒子的能量本征值。 解：仅讨论分立能级的情况，即20V E <<，
()ψψ E V m dx
d -=∴22
2 当±∞→x 时，0→ψ，故有
()()()()???
??-=<<=<<+-=<=-
E V m k x a e A mE k a x kx A E V m k x e A x
k x k 222
1112,,2,0,
sin 2,0,
21πδδψ 由
dx d ψ
ln 在0=x 、
a x =处的连续条件，得
()δδ+-==ka kctg kctg k 21k , （1）
由（1a ）可得 1
2sin mV k =
δ （2）
由于k k k ,,21皆为正值，故由（1b ），知δ+ka 为二，四象限的角。 因而 ()2
2sin mV k ka ±
=+δ （3）
又由（1），余切函数()ctg 的周期为π，故由(2)式，
1
1
12sin mV k n -+=πδ (4)
由(3)，得 21
2sin mV k n ka --=+πδ (5)
结合(4),(5)，得 1
112122sin 2sin mV k n mV k n ka -----=ππ
或 2
1
1
1
2sin 2sin mV k mV k n ka ----=π （6）
,3,2,1=n
一般而言，给定一个n 值，有一个解n k ，相当于有一个能级：
m
k E n
n 22
2 = （7）
当12V V ≠时，仅当
1
2
1
2
sin 2
2V V mV a --≥
π
才有束缚态 ，故21,V V 给定时，仅当 ???
? ??-≥
-1212s i n 22V V mV a π
（8） 时才有束缚态（若V V V ==21，则无论V 和a 的值如何，至少总有一个能级） 当a V V ,,21给定时，由(7)式可求出n 个能级（若有n 个能级的话）。相应的波函数为:
()()()()()????
?
????-=>-<<+-=<=---
E V m k a x e mV k A a x x k A E V m k x e mV k A n a x k n n n
n n n n x
k n
n n n 22221
111
2,
, 21,0
, sin 2, 0, 22δψ
其中 ()n n n k k a A 21112++=
3—7）设粒子（能量0>E ）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。 解：势阱为 ??
?><-=.
0,0,
0,)(0x x V x V
在区域Ⅰ上有入射波与反射波，在区域Ⅱ上仅有透射波。故
()
mE k Ce E V m k Be Ae x
ik x ik x ik 2,2,220112
1
1
==+=+=-ψψ 由)0()0(21ψψ=，得 C B A =+。 由)0()0('
2'
1ψψ=，得 ()C k B A k 21=-。
从上二式消去c, 得 ()()B k k A k k 2121+=-。
反射系数 ()()
2
212
21222
k k k k A B r R +-=== 将21,k k 代入运算，可得
()
?
?
?<<->>=++=
000
2204
20,41,16V E V E V E E V E
E V
V R
3—8）利用Hermite 多项式的递推关系（附录A3。式（11）），证明 谐振子波函数满足下列关系
()()()()[]
)(21)(12)(121
)()(21
)(21)(222
21
1x n n x n x n n x x x n x n x x n n n n n n n +-+-+++++-=??????++=
ψψψαψψψαψ
并由此证明，在n ψ态下， 2 ,0n E V x == 证：谐振子波函数 )()(2
2
2x H e A x n x n n αψα-= （1）
其中，归一化常数 ωαπαm ,!
2=??=
n A n
n （2）
)(x H n α的递推关系为 .0)(2)(2)(11=+--+x nH x xH x H n n n αααα （3）
[]
()()??
????++=
??+?
+???
+???
-???
=
?????+
?????=+=?=
?=∴+-+-+---+----+---)(21
)(21)(2
1!
121
)(2
!
121
)
(!
221)(!
21
)(2)(21)(221
)()(1
112
112112
12
112
22
22222
22
22
2222
2x n x n x H e n n x H e n n x H e n x nH e n x nH x H e A x x xH e A x xH e A x x n n n x n n x n n x n
n x n
n n x n n x n n x n n ψψααπαα
απα
α
απαα
απαα
αααααα
αψααα
α
α
αα
()()()()[]
)(21)(12)(121)(22)(2121)(2)(2121)(21
)(21)(222
2
221
12x n n x n x n n x n x n n x n x n n x x n x x n x x n n n n n n n n n n +-+-+-+++++-=????????????????+++++??????+-=??
????++=
∴ψψψα
ψψψψαψψαψ
0)(21
)(21)(11**
=??
????++?==+-+∞
∞-+∞∞-??dx x n x n x dx x x n n n
n n
ψψαψψψ
()()22121122121)(122121)()(21)(2222*
22*
n n n n n E n n m dx
x n m x dx
x x m x V =???
??+=+??=+???=??=??+∞
∞
-ωα
ωψα
ωψψωψ
3—9）利用Hermite 多项式的求导公式。证明（参A3.式（12））
()()()()[
]
222
2
211211212)(21
2)(+-+-+++
+--=??????+-=n n n n
n n n n n n n n x dx d n n x dx d ψψψαψψψαψ
证：A3.式（12）：)(2dx
)
(dH
),(2)(1n 1'
x H n x nH H n n n αααξξ--==
(
)
[]
?
?
????+-=?+??
????++-=+-=?+-?=+--+-----)(21)(2)
(2)(21)(2)
(2)()(2)()(1111112122222222x n x n x n x n x n x n x x x H n e x H e x A x dx
d
n n n n n n n n x n x n n ψψαψαψψααψψαααααψαα
()()()()[]
222
2
222211212
2221212212)(+-+-+++
+--=
???
?????????????+-+?+-??????--?=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x dx d ψψψαψψαψψααψ
()021211*
*=??
????+-
?-=??? ??-=??+-dx n n i dx dx d i p n n n n n ψψαψψψ ()()()()[]
()()2
2121124124211212
2222*
22222
*2222*2
n
n n n n n n n n E n n m m dx n m dx n n n n n m dx dx d m m p T =??? ??+=+??=+?=++++--?-=???? ??-?==???+-ωωψψαψψψαψψψ
3—10）谐振子处于n ψ态下，计算
()
2
1
2
??????-=?x x x ，()
21
2
?
?
????-=?p p p ，?=???p x 解：由题3—6），ωω
ωm n m E m V x x n ??? ??
+====212 ,02
22
由题3—7），ω m n mE T m p p n ??
?
??+
====212 ,02
()
(
)
()
(
)
??? ?
?
+=????
?
???????
??+=-=?
?
????
-=???
?
????
?? ??+=-=?
?
????-=?2121212
1
2
1
2
2
2
1
22
12
1
2
2
2
1
2
n p x m n p
p p p p m n x
x x x x ωω
对于基态，2,0 =???=p x n ，刚好是测不准关系所规定的下限。
3—11）荷电q 的谐振子，受到外电场ε的作用，
x q x m x V εω-=
222
1
)( （1） 求能量本征值和本征函数。
解： x q H x q x m m p H εεω-=-+=
022221
2 （2） 0H 的本征函数为 )(2
2
2x H e A n x n n αψα
-=，
本征值 ()
ω ??
? ??+
=210n E n 现将H 的本征值记为n E ，本症函数记为)(x n ?。 式（1）的势能项可以写成 ()[]
2
2022
1)(x x x m x V --=
ω 其中 2
0ωεm q x = （3） 如作坐标平移，令 0'
x x x -= （4）
由于 ''p dx
d
i dx d i p =-=-=
（5） H 可表成 2022,22'2
1212x m x m m p H ωω-+=
（6） （6）式中的H 与（2）式中的0H 相比较，易见H 和0H 的差别在于变量由x 换成'
x ，并添加了常数项
??
?
??-20221x m ω，由此可知 ()2
202
1x m E E n n ω--= （7） )()()(0'x x x x n n n -==ψψ? （8）
即
,2,1,0 ,22121212
2
22
22=-??
? ??
+=???
???-??? ??+=n m q n m q m n E n ωεωωεωω （9）
??
?
?????? ??-
=?
?
? ??--22
2
22)(ωεα?ωεαm q x H e
A x n m q x n n (10) 其中 ωαπαm ,!
2=??=
n A n
n (11)
3—12）设粒子在下列势阱中运动，
???
??><∞=.0,2
1,0,)(2
2x x m x x V ω 求粒子能级。
解：既然粒子不能穿入0
() ,2,1,0 ,232=+=k k E k ω
3—13）设粒子在下列势阱中运动，
()??
?>--<∞=.
0,,0,
)(x a x r x x V δ ()0,>a r (1) 是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。
解：S.eq: ()ψψδψE a x r dx d m =---
2
2
22 (2) 对于束缚态（0 β (3) 则 ()0222 22=-+-ψδψβψa x mr dx d (4) 积分 ? +-ε ε a a dx ,+→0ε,得'ψ跃变的条件 )(2)()(2''a mr a a ψψψ - =--+ (5) 在a x ≠处，方程(4)化为 02 22=-ψβψdx d (6) 边条件为 ()束缚态0)( ,0)0(=∞=ψψ 因此 ? ??><≤=-.,, 0,)(a x Ae a x x sh x x ββψ (7) 再根据a x =点)(x ψ连续条件及)(' x ψ跃变条件(5)，分别得 )(a Ae a sh a ψββ==- (8) )(22a mr a ch Ae a ψββββ - =--- (9) 由（8）（9）可得（以)(a a ψ-乘以（9）式，利用（8）式） 2 2coth mra a a a = +βββ (10) 此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。 当势阱出现第一条能级时，- →0E ，所以+ →0a β, 利用 1lim coth lim 00 ==→→a th a a a a a ββββββ, （10）式化为 + +=+=01coth 22 a a a mra βββ , 因此至少存在一条束缚态能级的条件为 122 ≥ mra （11） 纯δ势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为0)(≡x ψ，对0≤x ）。束缚态存在与否是要受到影响的。纯δ势阱的特征长度mr L 2 = 。 条件（11）可改写为 2L a ≥ （12） 即要求无限高势垒离开δ势阱较远（2L a ≥）。才能保证δ势阱中的束缚态能存在下去。显然，当∞→a （即 2L a >>），∞→a β时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时1coth →a β，式（10）给出 22 mr =β 即 2 2 2222 mr m E =-=β （13） 与势阱)()(x r x V δ-=的结论完全相同。 令ηβ=a ， 则式（10）化为 ()2 2coth 1 mra = +ηη （14） 由于()1c o t h 1≥+ηη，所以只当122≥ m r a 时，式（10）或（14）才有解。解出根η之后，利用 mE a a 2-==βη，即可求出能级 2 2 22ma E η -= （15） 第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1）设A 与B 为厄米算符，则 ()BA AB +21 和()BA AB i -21也是厄米算符。由此证明，任何一个算符F 均可分解为-++=iF F F ，+F 与-F 均为厄米算符，且 ()()+++-=+= F F i F F F F 21 ,21 证：ⅰ）()()()()BA AB AB BA B A A B BA AB +=+=+=?? ? ???++++++ 21212121 ()BA AB +∴2 1 为厄米算符。 ⅱ）()()()()BA AB i AB BA i B A A B i BA AB i -=--=--=?? ? ???-+++++ 21212121 ()BA AB i -∴21 也为厄米算符。 ⅲ）令AB F =，则()BA A B AB F ===+ + + + ， 且定义 ()()+++-=+= F F i F F F F 21 ,21 （1） 由ⅰ），ⅱ）得-+ -++ +==F F F F ,，即+F 和-F 皆为厄米算符。 则由（1）式，不难解得 -++=iF F F 4.2）设),(p x F 是p x ,的整函数，证明 [][]F , F,,p i F x x i F p ?? =??-= 整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞ == ,),(n m n m mn p x C p x F 。 证： （1）先证[ ][] 11 , ,,--=-=n n m m p ni p x x mi x p 。 [][][][][ ] [][ ] [ ]()()[ ] ()1 111113 3 1 3 32312 2211 1 1,1,3,,2,,,,,------------------=---=+--==+-=++-=++-=+=m m m m m m m m m m m m m m m m m m x mi x i x i m x x p x i m x x p x i x x p x x p x x i x x p x x p x x i x x p x p x x p 同理， [][][][][] [ ]1 2 2 1 22211 1 ,2,,,,,--------==+=++=+=n n n n n n n n n p ni p p x p i p p x p p x p p i p p x p x p p x 现在， [][] ()∑∑∑∞ =-∞ =∞=-= =??????=0 ,1 ,0,,,,n m n m mn n m n m mn n m n m mn p x mi C p x p C p x C p F p 而 () ∑∞ =--=??-0 ,1n m n m mn p x mi C x F i 。 []F , x i F p ?? -=∴ 又 [][] () ∑∑∑∞ =-∞ =∞== =??????=0 ,1 ,0,,,,n m n m mn n m n m mn n m n m mn p ni x C p x x C p x C x F x 而 ( ) ∑∞ =-=??0 ,1n m n m mn p ni x C p F i []F , p i F x ??=∴ 4.3）定义反对易式[]BA AB B A +=+,，证明 [][][][][][] + + + + -=-=C A B C B A BC A B C A C B A C AB ,,,,,, 证： [][][]()()[][]B C A C B A B CA AC CB BC A CAB ACB ACB ABC B C A C B A C AB ++-=+-+=-+-=-=,,,,, [][][]()()[][] + + -=+-+=-+-=+=C A B C B A CA AC B C BA AB BCA BAC BAC ABC C A B C B A BC A ,,,,, 4.4）设，，为矢量算符，和的标积和矢积定义为 () ∑∑=?=?αβγ βααβγα ααεB A B A , 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 第六章 中心力场 6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式 相对动量 ()21121p m p m M r p -==? μ （1） 总动量 1p p R M P +==? （2） 总轨迹角动量p r P R p r p r L L L ?+?=?+?=+=221121 （3） 总动能 μ 22222 22 221 21p M P m p m p T + =+= （4） 反之，有 ,11r m R r μ+ = r m R r 2 2μ-= （5） p P m p +=2 1μ ，p P m p -= 1 2μ （6） 以上各式中，()212121 ,m m m m m m M +=+=μ 证： 2 12 211m m r m r m R ++= ， （17） 21r r r -=， （18） 相对动量 ()211221212 11p m p m M r r m m m m r p -=??? ? ??-+= =? ?? μ （1’） 总动量 ()212 1221121p p m m r m r m m m R M P +=+++==? ?? （2’） 总轨迹角动量 221121p r p r L L L ?+?=+= )5(2211p r m u R p r m u R ???? ? ??-+????? ?? += () () 2112 211p m p m M r p p R -? ++?= ) 2)(1(p r P R ?+?= 由（17）、(18)可解出21,r r ，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。 总动能()22 11 2 262221212222m p P m m p P m m p m p T ??? ? ??-+ ? ?? ? ??+=+= μμ 2 12 2 2 2 2 122 11 2 2 2 2 12 2222m m p P u m p P m m u m m p P u m p P m m u ?- + + ?+ + = 09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为 第六章 中心力场 6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式 相对动量 ()21121p m p m M r p -==? μ （1） 总动量 1p p R M P +==? （2） 总轨迹角动量p r P R p r p r L L L ?+?=?+?=+=221121 （3） 总动能 μ 22222 22 221 21p M P m p m p T + = + = （4） 反之，有 ,11r m R r μ+ = r m R r 2 2μ-= （5） p P m p += 2 1μ ，p P m p -= 1 2μ （6） 以上各式中，()212 121 ,m m m m m m M +=+=μ 证： 2 12211m m r m r m R ++= ， （17） 21r r r -=， （18） 相对动量 ()211221212 11p m p m M r r m m m m r p -=??? ? ??-+= =? ?? μ （1’） 总动量 ()212 1221121p p m m r m r m m m R M P +=+++==? ?? （2’） 总轨迹角动量 221121p r p r L L L ?+?=+= )5(2211p r m u R p r m u R ????? ? ?-+????? ?? += () () 2112 211p m p m M r p p R -? ++?= ) 2)(1(p r P R ?+?= 由（17）、(18)可解出21,r r ，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。 总动能()2 2 11 2 262221212222m p P m m p P m m p m p T ??? ? ??-+ ? ?? ? ??+=+= μμ 2 12 2 2 2 2 122 11 2 2 2 2 12 2222m m p P u m p P m m u m m p P u m p P m m u ?- + + ?+ + = 量子力学试题(1)(2005) 姓名 学号 得分 一. 简答题（每小题5分，共40分） 1. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=? ，写出粒子位于dx x x +~间的几率。 2. 粒子在一维δ势阱 )0()()(>-=γδγx x V 中运动，波函数为)(x ψ，写出)(x ψ'的跃变条件。 3. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开： ∑=n n n x c x )()(ψψ， 写出展开式系数n c 的表达式。 4. 给出如下对易关系： [][][] ?,? ,? ,===z x y z L L p x p z 5. 何谓几率流密度？写出几率流密度),(t r j ? ?的表达式。 6. 一维运动中，哈密顿量)(22 x V m p H +=，求[][]?,?,==H p H x 7. 一质量为μ的粒子在一维无限深方势阱?? ?><∞<<=a x x a x x V 2,0, 20,0)( 中运动，写出其状态波函数和能级表达式。 8. 已知厄米算符A 、B 互相反对易：{}0,=+=BA AB B A ；b 是算符B 的本征态： b b b B =，本征值 0≠b 。求在态b 中，算符A 的平均值。 二. 计算和证明题 1. 设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 2. 考虑如下一维波函数：0/0()n x x x x A e x ψ-?? = ??? ， 其中0,,A n x 为已知常数。利用薛定谔 方程求位势()V x 和能量E 。对于它们，该波函数为一本征函数（已知当,()0x V x →∞→）。 3.一质量为m 的粒子沿x 正方向以能量E 向0=x 处 的势阶运动。当0≤x 时，该势为0；当0>x 时，该势为 E 4 3 。问在0=x 处粒子被反射的的几率多大？（15分） 0 X 4.设粒子处于()?θ,lm Y 状态下， 1)证明在的本征态下，0==y x L L 。（提示：利用x y z z y L i L L L L η=-， []y L i η=-=z x x z x z L L L L L ,L 求平均。） 2)求()2 x L ?和() 2 y L ? (附加题)5. 设),(p x F 是p x ,的整函数，证明 [][]F , F,,p i F x x i F p ?? =?? -=η η 整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞ ==0 ,),(n m n m mn p x C p x F 。 结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案 量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1，ψ2，ψ3，…。 正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。1106、│ψ(x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2 代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱 中运动， 则其本征函数集为____________，本征 值 谱 为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为 2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____，E '= 2 2827ma h 的简 并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子，其势能为V =kx 2/2，它 的 薛 定 谔 方 程 是 第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。 在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。 其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。 量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 （2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+= 第九章 力学量本征值问题的代数解法 9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2 1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于2 1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数 jm m m j 21121 解：8.2节式（21a ）（21b ）: ()21),0( 21+=≠-=m m l l j j j ljm φ???? ??-+++=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-= j l j ljm φ???? ??++---=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ） ()21++j l 此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2 12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。 因此，（21a ）式可重写为 jm ∑=222112 211m jm m j m j m j m j 2 12121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ??????? ? ??-???? ??++-???? ??++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ， 21111112212121??? ? ??++=＋j m j jm m j 而2 12-=m 时， 曾谨言《量子力学导论》习题解答第三章一维定态问题 3.1)设粒子处在二维无限深势阱中， ,,,,0, 0xa,0yb,V(x,y), ,,, 其余区域, a,b求粒子的能量本征值和本征波函数。如，能级的简并度如何, 解:能量的本征值和本征函数为 2222nn,,yx(，)E, nn22xy2mab ny,nx,2yx,sinsin, n,n,1,2,？ ,nnxyxyabab 22,,22a,bE,(n，n)若，则 nnxy2xy2ma ny,nx,2yx,sinsin ,nnxyaaa n,10,n,5这时，若n,n，则能级不简并;若n,n，则能级一般是二度简并的(有偶然简并情况，如xyxyxy ''n,11,n,2与) xy 3.2)设粒子限制在矩形匣子中运动，即 ,,,,,,0, 0xa,0yb,0zc,,V(x,y,z) ,,, 其余区域, a,b,c求粒子的能量本征值和本征波函数。如，讨论能级的简并度。 解:能量本征值和本征波函数为 22222nnn,,yxzE, ,(，，)222nnnm2abcxyz ny,nxnz,,8yxz,sinsinsin,,nnn abcabcxyz n,n,n,1,2,3,？xyz a,b,c当时， 22,,222 E,(n，n，n)xyz2nnn2maxyz 32ny,nxny,,2,,yxz ,sinsinsin,,,nnnaaaaxyz,, n,n,n时，能级不简并; xyz n,n,n三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。 xyz 三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。 n,n,nxyz 222222,5，6，8,3，4，10(1,7,9),(1,3,11)如 ,22222210，12，16,6，8，20(1,5,10),(3,6,9), 3.3)设粒子处在一维无限深方势阱中， 0, 0,x,a,V(x,y), ,,, x,0,x,a, 证明处于定态的粒子 ,(x)n 2aa62x,,,, (x-x)(1) 22212n,讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。n , , 证:设粒子处于第n个本征态，其本征函数 ,2n(x),sinx. ,naa 2aa2n,a分部2 (1) ,,sin xxdxxxdx,n,,002aa 2a2a2222(,),,,,, xxxxxdxn,04 2a212n,xa2,,(1,cos), xdx ,024aa 2a6,,(1) (2) 22n,12 在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞(设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改，，0, a dxxxdx,，变，但动能、速度不变)外，来回作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故 a adxa ， (3) ,,,xx,02a 2adxa22,,,xx， ,03a 222aa22() (4) x,x,x,x,,34 当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。 n,, 第三章一维定态问题 3.1）设粒子处在二维无限深势阱中， ?? ?∞<<<<=其余区域 ,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如b a = ，能级的简并度如何？ 解：能量的本征值和本征函数为 m E y x n n 222π = )(2 22 2b n a n y x + ,2,1, ,sin sin 2== y x y x n n n n b y n a x n ab y x ππψ 若b a =，则 )(22 22 22y x n n n n ma E y x +=π a y n a x n a y x n n y x ππψsin sin 2= 这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11' ' ==y x n n ） 3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即 ? ??∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如c b a ==，讨论能级的简并度。 解：能量本征值和本征波函数为 )(222 2 222 22c n b n a n m n n n E z y x z y x + +=π , ,3,2,1,, , sin sin sin 8 == z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n z y x πππψ 当c b a ==时， )(2222222z y x n n n ma n n n E z y x ++=π a y n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsin sin sin 22 3 ??? ??= z y x n n n ==时，能级不简并； z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?， 因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 在这里，利用了 以及 最后，对 2002级量子力学期末考试试题和答案 B 卷 一、（共25分） 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分） 3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、在一维情况下，求宇称算符P ?和坐标x 的共同本征函数。（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。（5分） 二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B ?的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）线性谐振子在0=t 时处于状态 )21exp(3231)0,(2 2x x x ααπαψ-??????-=，其中 ημω α=，求 1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。 2、0>t 时体系波函数和体系能量 的取值几率及平均值 四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵 ??? ?? ? ?++λλλλλλ23303220 21的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。 五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? 一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。 2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。 3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为： [])()()()(21 12212211q q q q S ????φ+= 4、宇称算符P ?和坐标x 的对易关系是：P x x P ?2],?[-=，将其代入测不准关系知，只有当0?=P x 时的状态才可能使P ?和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符P ?和x 的共同本征函数。 5、设F ?和G ?的对易关系k ?i F ?G ?G ?F ?=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F ?、G ?和k 在态ψ中的平均值，令 F F ?F ?-=?，G G ?G ?-=?， 则有 42 2 2 k )G ?()F ?(≥???，这个关系式称为测不准关系。 时间t 和能量E 之间的测不准关系为： 2η ≥ ???E t 二、1、由于1?2=A ，所以算符A ?的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ?的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ?的矩阵是：???? ??-=1001)(?A A 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 '=??? ? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 0115=-?+ --kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 闽江学院 教案 课程名称：原子物理 课程代码： 21100430 授课专业班级： 2010级物理学（师范类）授课教师：翁铭华 系别：电子系 2012年8 月30 日 第三章量子力学导论 教学目的和要求： 1．了解量子化物质波粒二象性的概念。 2．理解测不准原理； 3．掌握波函数及物理意义； 4．了解薛定谔方程；了解量子力学问题的几个简例； 5．了解氢原子的薛定谔方程；了解量子力学对氢原子的描述。 教学重点和难点: 1. 教学重点：波函数及统计解释 2．教学难点：波函数及统计解释 教学内容： 1. 玻尔理论的困难 2. 波粒二象性 3. 不确定关系 4. 波函数及其统计解释 5. 薛定谔方程及应用 19世纪末的三大发现(1896年发现放射性，1897年发现电子，1900年提出量子化概念)为近代物理学的序幕。1905年爱因斯坦在解释光电效应时提出光量子概念，1913年玻尔将普朗克-爱因斯坦量子概念用于卢瑟福模型，提出量子态观念，成功地解释了氢光谱。此外，利用泡利1925年提出的不相容原理和同年乌仑贝克、古兹米特提出的电子自旋假说，可很好地解释元素周期性、塞曼效应的一系列实验事实。至此形成的量子论称为旧量子论，有严重的缺陷。 在“物质粒子的波粒二象性”思想的基础上，于1925-1928年间由海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克等人建立了量子力学，它与相对论成了近代物理学的两大理论支柱。 量子力学的本质特征在1927年海森堡提出的不确定关系中得到明确的反映，它是微观客体波粒二象性的必然结果。量子力学的主要内容：1)相关的几个重要实验；2)有别于经典物理的新思想； 3)解决具体问题的方法。 §3-1玻尔理论的困难 玻尔理论将微观粒子视为经典力学中的质点，把经典力学的规律用于微观粒子，使其理论中有难以解决的内在矛盾，故有重大缺陷。如：为什么核与电子间的相互作用存在，但处于定态的加速电子不辐射电磁波？电子跃迁时辐射（或吸收）电磁波的根本原因何在？……（薛定谔的非难“糟透的跃迁”：在两能级间跃迁的电子处于什么状态？） 玻尔理论在处理实际问题时也“力不从心”，如无法解释氢光谱的强度及精细结构，无法解释简单程度仅次于氢原子的氦光谱，无法说明原子是如何组成分子及构成液体和固体。…… §3-2波粒二象性 1.经典物理中的波和粒子 经典物理学中，波和粒子各自独立，在逻辑上不允许同时用这两个概念描写同一现象。粒子可视为质点，具有定域性，有确定的质量、动量、速度和电荷等，波可以在空间无限扩展，波有确定 华中 2001 一． 见华中98 T2 二． 见华中98 T3 三． 见华中98 T4 四．质量为μ的粒子沿X 方向以能量E 向x=0处势阶运动。势 ???>≤=0x ,E 0 x ,0)x (U 43 ，问在x=0处被反射的粒子几率有多大？ 解：写出分区薛定谔方程为： ???????>=ψ-μ+ψ≤=ψμ+ψ0x ,0)E 43E (2dx d 0x ,0E 2dx d 22222 121212 ???????>=ψ+ψ≤=ψ+ψ?0 x ,0)2k (dx d 0x ,0k dx d 2222212 1 212 其解为?????>=ψ≤+=ψ-0x ,De 0x ,Re e x i 2ikx ikx 12 k 由x=0处的连续性条件，可得到： D i )R 1(ik )0()0(D R 1)0()0(2k 2121=+?ψ'=ψ'=+?ψ=ψ 解得：D=3/4，R=1/3 从 而 几 率 流 密 度 为 x x 22k D x x 2 R x e ?9k 8e ?|D |J ,e ?9k e ?|R |k J ,e ?k J μ=μ=μ-=μ-=μ= 所以，反射几率 91|J ||J |R R == 透射几率： 98|J ||J |D D = = 满足 R+D=1 五．两个质量为μ自旋为1/2的全同粒子处于一维无限深势阱(0 2．粒子间有相互作用势能V （x 1-x 2）,这可看成微扰，以一阶微扰理论计算第二、第三最低能态的能量，将你的结果保留在积分式。 解：1.（参见汪P274 T9.1.4） 求粒子体系的能量本征值和本征函数： 忽略两粒子间的相互作用时，体系总能量 )n n (a 2E E E 222 12 2221+μπ=+= 考虑到是全同费米子体系，体系的总波函数)s ,s ()x ,x (z 2z 121χψ=ψ必须是反对称的， 第一最低能态：n 1=1,n 2=1, 22 211a 22E μπ= ，则 )] s ()s ()s ()s ([a x sin a x sin a 2z 2z 1z 2z 1211121212121χχ-χχππ= ψ-- 由于空间运动波函数是对称的，故自旋运动的波函数必为反对称的，且基态为非简并态。 第二最低能态：n 1,n 2分别取1和2，22212a 25E μπ= 可组成如下四个态： 三重态： )x ,x ()x ,x (21S 21A ) 3,2,1(12χψ=ψ ) s ()s (]a x sin a x 2sin a x 2sin a x [sin a 2z 2z 1212112 2121) 2,1(±±χχππ-ππ=ψ )] s ()s ()s ()s (][a x sin a x 2sin a x 2sin a x [sin a 2z 2z 1z 2z 12121) 3(12 21212121χχ+χχππ-ππ= ψ-- 单态： )x ,x ()x ,x (21A 21S ) 4(12 χψ=ψ 第一章 量子力学的诞生 1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ???<<><∞=a x a x x x V 0,0,0,)( 试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2 =? =n n a λ n a /2=∴λ （1） 又据de Broglie 关系 λ/h p = （2） 而能量 () ,3,2,12422/2/2 2222 222 22==?===n ma n a m n h m m p E πλ （3） 1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有 ()?==? ,3,2,1, x x x n h n dx p 即 h n a p x x =?2 （a 2：一来一回为一个周期） a h n p x x 2/=∴, 同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, ,3,2,1,,=z y x n n n 粒子能量 ??? ? ??++=++=222222222 222)(21c n b n a n m p p p m E z y x z y x n n n z y x π ,3,2,1,,=z y x n n n 1.3设质量为m 的粒子在谐振子势222 1 )(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,,2,1, x V E m p n nh x d p -===?? )(x V 解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：221 ()2 x a E V x m a ω=== 。 a - 0 a x 量子力学试题(1)(2005) 姓名 学号 得分 一. 简答题（每小题5分，共40分） 1. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ= ，写出粒子位于dx x x +~间的几率。 2. 粒子在一维δ势阱 )0()()(>-=γδγx x V 中运动，波函数为)(x ψ，写出)(x ψ'的跃变条件。 3. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开： ∑=n n n x c x )()(ψψ， 写出展开式系数n c 的表达式。 4. 给出如下对易关系： [][][] ?,? ,? ,===z x y z L L p x p z 5. 何谓几率流密度？写出几率流密度),(t r j 的表达式。 6. 一维运动中，哈密顿量)(22 x V m p H +=，求[][]?,?,==H p H x 7. 一质量为μ的粒子在一维无限深方势阱?? ?><∞<<=a x x a x x V 2,0, 20,0)( 中运动，写出其状态波函数和能级表达式。 8. 已知厄米算符A 、B 互相反对易：{}0,=+=BA AB B A ；b 是算符B 的本征态： b b b B =，本征值0≠b 。求在态b 中，算符A 的平均值。 二. 计算和证明题 1. 设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 2. 考虑如下一维波函数：0/0()n x x x x A e x ψ-?? = ??? ， 其中0,,A n x 为已知常数。利用薛定谔 方程求位势()V x 和能量E 。对于它们，该波函数为一本征函数（已知当,()0x V x →∞→）。 3.一质量为m 的粒子沿x 正方向以能量E 向0=x 处 的势阶运动。当0≤x 时，该势为0；当0>x 时，该势为 E 4 3 。问在0=x 处粒子被反射的的几率多大？（15分） 0 X 4.设粒子处于()?θ,lm Y 状态下， 1)证明在的本征态下，0==y x L L 。（提示：利用x y z z y L i L L L L =-， []y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L 求平均。） 2)求()2 x L ?和() 2 y L ? (附加题)5. 设),(p x F 是p x ,的整函数，证明 [][]F , F,,p i F x x i F p ?? =??-= 整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞ ==0 ,),(n m n m mn p x C p x F 。量子力学教程课后习题答案
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