高中数学解析几何知识点总结大全

高中数学解析几何知识点大总结

第一部分:直线

一、直线的倾斜角与斜率

1.倾斜角α

(1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。 (2)范围：?<≤?1800α

2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.

αtan =k

（1）.倾斜角为?90的直线没有斜率。 （2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。

（3）设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ， 则当21x x ≠时，2

121tan x x y y k --=

=α；当21x x =时，o

90=α；斜率不存在；

二、直线的方程

1.点斜式：已知直线上一点P （x 0,y 0）及直线的斜率k （倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0)

注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =；

2.斜截式：若已知直线在y 轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：kx y = 注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。

3.两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠则直线的方程：

1

21

121x x x x y y y y --=--；

注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；

②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。

4截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （0,0≠≠b a ）则直线方程：

1=+b

y

a x ； 注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。 2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直

线方程可设为x-y=a

5一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：0=++C By Ax ；（B A ,不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。

注意：①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数C B A ,,是否为0才能确定。

②指出此时直线的方向向量：),(A B -，),(A B -，???

?

??+-+222

2,B A A B

A B （单位向量）；直线的法向量：),(B A ；（与直线垂直的向量）

6(选修4-4)参数式?

??+=+=bt y y at

x x 00（t 参数）其中方向向量为),(b a ，

单位向量???? ??++222

2,b a b

b

a a ； a

b k =；2

2||||b a t PP o +=； 点21,P P 对应的参数为21,t t ，则2

22121||||b a t t P P +-=

；

??

?+=+=α

α

sin cos 00t y y t x x （t 为参数）其中方向向量为)sin ,(cos αα， t 的几何意义为||o PP ；斜率为αtan ；倾斜角为)0(παα<≤。

设两直线的方程分别为：

222111::b x k y l b x k y l +=+=或0

:0

:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ；当21k k ≠或

1221B A B A ≠时它们相交，交点坐标为方程组???+=+=2211b x k y b x k y 或???=++=++00222

111C

y B x A C y B x A

解；

注意：①对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：),(),(2211B A B A λ= 对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如0),(),(2211=?B A B A

②若两直线的斜率都不存在，则两直线 平行 ；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 0 ，则两直线垂直。

③对于02121=+B B A A 来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用起来更方便．

④斜率相等时，两直线平行(或重合)；但两直线平行(或重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。 四、两直线的交角

（1）1l 到2l 的角：把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角；它是有向角，其范

围是πθ<≤0；

注意：①1l 到2l 的角与2l 到1l 的角是不一样的；②旋转的方向是逆时针方向；③绕“定点”是指两直线的交点。

（2）直线1l 与2l 的夹角：是指由1l 与2l 相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范围是2

0π

θ<

≤；

（3）设两直线方程分别为：

222111::b x k y l b x k y l +=+=或0

:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ①若θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-=

θ或2

1211

221tan B B A A B A B A +-=θ；

②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-=

θ或2

1211

221tan B B A A B A B A +-=θ；

③当0121=+k k 或02121=+B B A A o

注意：①上述与k 有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。 ②直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α：)2

(π

θθα≤=或)2

(π

θθπα>

-=；

五、点到直线的距离公式：

1.点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2

2

00|

|B

A C By Ax d +++=

；

2.两平行线0:11=++C By Ax l ，0:22=++C By Ax l 的距离为：2

2

21||B

A C C d +-=；

六、直线系：

（1）设直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222

=++C y B x A l ，经过21,l l 的交点

的直线方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（除去2l ）；

如：①011=--?+=kx y kx y ，即也就是过01=-y 与0=x 的交点)1,0(除去0=x 的直线方程。

②直线5)12()1(:-=-+-m y m x m l 恒过一个定点 。

注意：推广到过曲线0),(1=y x f 与0),(2=y x f 的交点的方程为：0)()(21=+x f x f λ； （2）与0:=++C By Ax l 平行的直线为01=++C By Ax ； （3）与0:=++C By Ax l 垂直的直线为01=+-C Ay Bx ； 七、对称问题： （1）中心对称：

①点关于点的对称：

该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点),(b a A 关于),(d c C 的对称点

)2,2(b d a c --

②直线关于点的对称：

Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再

由两点式求出直线方程； Ⅱ、求出一个对称点，在利用21//l l 由点斜式得出直线方程； Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。

如：求与已知直线0632:1=-+y x l 关于点)1,1(-P 对称的直线2l 的方程。 （2）轴对称：

①点关于直线对称：

Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。 Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。

如：求点)5,3(-A 关于直线0443:=+-y x l 对称的坐标。 ②直线关于直线对称：（设b a ,关于l 对称）

Ⅰ、若b a ,相交，则a 到l 的角等于b 到l 的角；若l a //，则l b //，且b a ,与l 的距

离相等。

Ⅱ、求出a 上两个点B A ,关于l 的对称点，在由两点式求出直线的方程。 Ⅲ、设),(y x P 为所求直线直线上的任意一点，则P 关于l 的对称点'P 的坐标适合a

的方程。

如：求直线042:=-+y x a 关于0143:=-+y x l 对称的直线b 的方程。 八、简单的线性规划：

（1）设点),(00y x P 和直线0:=++C By Ax l ，

①若点P 在直线l 上，则000=++C By Ax ；②若点P 在直线l 的上方，则

0)(00>++C By Ax B ；

③若点P 在直线l 的下方，则0)(00<++C By Ax B ； （2）二元一次不等式表示平面区域：

对于任意的二元一次不等式)0(0<>++C By Ax ，

①当0>B 时，则0>++C By Ax 表示直线:=++C By Ax 上方的区域；

0<++C By Ax 表示直线:=++C By Ax 下方的区域；

②当0++C By Ax 表示直线:=++C By Ax 下方的区域；

0<++C By Ax

注意：通常情况下将原点)0,0(代入直线C By Ax ++中，根据0>或0<来表示二元一次不等式表示平面区域。 （3）线性规划：

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解),(y x 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。

注意：①当0>B 时，将直线0=+By Ax 向上平移，则By Ax z +=的值越来越大； 直线0=+By Ax 向下平移，则By Ax z +=的值越来越小；

②当0

如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数ay x z +=取得最小值的最优解有无数个，则a 为 ； 第二部分：圆与方程

2.1圆的标准方程：2

2

2

)()(r b y a x =-+-圆心),(b a C ，半径r 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：2

2

2

r y x =+. 2.2点与圆的位置关系：

1. 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： (1)点在圆上 d=r ；(2)点在圆外 d ＞r ；(3)点在圆内 d ＜r ．

2.给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.

①M 在圆C 22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-?

（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? 2.3 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .

当042

2

>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心???

??--2,2

E D C ，半径2

422F

E D r -+=

.

当0422=-+F E D 时，方程表示一个点???

?

?--

2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.

注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422>-+AF E D .

圆的直径系方程：已知AB 是圆的直径

0))(())((),(),(21212211=--+--?y y y y x x x x y x B y x A

2.4 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，d 是圆心到直线的距离，(2

2

B

A C Bb Aa d +++=

(1)

相离r d ；(2)

=???=相切r d ；（3）

0>???<相交r d 。

2.5 两圆的位置关系

设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21。

（1）条公切线外离421??+>r r d ；（2）条公切线外切321??+=r r d ；

x

y

O

A(1,1)

B(5,1)

C(4,2)

（3）条公切线

相交2

2

1

2

1

?

?

+

<

<

-r

r

d

r

r；（4）条公切线

内切1

2

1

?

?

-

=r

r

d；

（5）无公切线

内含?

?

-

<

<

2

1

0r

r

d；

外离外切相交内切内含

2.6 圆的切线方程：

1.直线与圆相切：(1)圆心到直线距离等于半径r；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）

2.圆2

2

2r

y

x=

+的斜率为k的切线方程是r

k

kx

y2

1+

±

=过圆0

2

2=

+

+

+

+F

Ey

Dx

y

x上一点)

,

(0

y

x

P的切线方程为：0

2

2

=

+

+

+

+

+

+F

y

y

E

x

x

D

y

y

x

x.

一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x– a)(x0– a)+(y– b)(y0– b)=R2.

特别地，过圆2

2

2r

y

x=

+上一点)

,

(0

y

x

P的切线方程为2

r

y

y

x

x=

+.

若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则

?

?

?

?

?

+

-

-

-

=

-

=

-

1

)

(

)

(

2

1

1

1

1

R

x

a

k

y

b

R

x

x

k

y

y

，联立求出?

k切线方程.

2.7圆的弦长问题：1.半弦

2

L

、半径r、弦心距d构成直角三角形，满足勾股定理：2

2

2

2

d

R

L

-

=

?

?

?

?

?

2.弦长公式（设而不求）：

]

4

)

[(

1

)

(

2

1

2

2

1

2

2

2

1

2

2

1

x

x

x

x

k

y

y

x

x

AB

-

+

+

=

-

+

-

=

）

（

）

（

第三部分:椭圆

一．椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数()21

2F

F

a>的点的轨迹叫做

椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；

这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。

（c

F

F

a2

2

2

1

=

=时为线段

2

1

F

F，c

F

F

a2

2

2

1

=

<无轨迹）。

2．标准方程：

222

c a b

=-

①焦点在x 轴上：122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0）

②焦点在y 轴上：122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ）

注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，2

2

2

c b a +=并且椭圆的焦点总在长轴上；

②一般形式表示：

22

1x y m n

+=或者 ),0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+ 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围

（1）椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b

（2）椭圆122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a

2.对称性

椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点

（1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）

（2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率

（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比

22c a ，即a

c

称为椭圆的离心率， 记作e （10<

2

22

1()b e a a

==-c

e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆;

e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁；

注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆。（

e d

PF =|

|）