Ⅰ复习提问
1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别?学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的?
2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系?
答:将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点,将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为(x ,y ),在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立:
ρθρ
θy
sin x
cos =
=
3、 参数方程{
cos sin x r y r θθ
==表示什么曲线?
4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么?
5、 极坐标系的定义是什么?
答:取一个定点O ,称为极点,作一水平射线Ox ,称为极轴,在Ox 上规定单位长度,这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ,又∠xOP=θ.
ρ和θ的值确定了,则P 点的位置就
确定了。ρ叫做P 点的极半径,θ叫做P 点的极角,),(θρ叫做P 点的极坐标(规定ρ写在前,θ写在后)。显然,每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么?
Ⅱ 题型与方法归纳
1、 题型与考点(1)
{
极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化
(2)
{
参数方程与普通方程互化
参数方程与直角坐标方程互化
(3) {
利用参数方程求值域参数方程的几何意义
2、解题方法及步骤 (1)、参数方程与普通方程的互化
化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法;化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数,即选定合适的参数t ,先确定一个关系()x f t =(或()y g t =,再代入普通方程
(),0F x y =,求得另一关系()y g t =(或()x f t =).一般地,常选择的参数有角、有向
线段的数量、斜率,某一点的横坐标(或纵坐标)
例1、方程2222
t t t t
x t y --?=-?
?=+??(为参数)表示的曲线是( ) A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆
解析:注意到2t t
与2t
-互为倒数,故将参数方程的两个等式两边分别平方,再相减,即可消去含t 的项,()
()2
2
2222224t t
t t x y ---=--+=-,
即有22
4y x -=,又注意到
202222t t t y ->+≥=≥,,即,可见与以上参数方程等价的普通方程为
2242y x y -=≥().显然它表示焦点在y 轴上,以原点为中心的双曲线的上支,选B
练习1、与普通方程210x y +-=等价的参数方程是( )(t 为能数)
222
sin cos ....cos 1sin x t x tgt x t x A B C D y t y tg t y t y t
===????=?????==-==????? 解析:所谓与方程210x y +-=等价,是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且,x y 的变化范围也对应相同,按照这一标准逐一验证即可破解.
对于A 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈,,,,; 对于B 化为普通方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞,,,; 对于C 化为普通方程为210[0)(1]x y x y +-=∈+∞∈-∞,,,,; 对于D 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈,,,,.
而已知方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞,,,,显然与之等价的为B.
练习2、设P 是椭圆222312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值是 ,最小值为 .
分析:注意到变量(),x y 的几何意义,故研究二元函数2x y +的最值时,可转化为几何问题.若设2x y t +=,则方程2x y t +=表示一组直线,(对于t 取不同的值,方程表示不同的直线),显然(),x y 既满足222312x y +=,又满足2x y t +=,故点(),x y 是方程组
222312
2x y x y t
?+=?
+=?的公共解,依题意得直线与椭圆总有公共点,从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式0?≥问题.
解析:令2x y t +=,对于(),x y 既满足222312x y +=,又满足2x y t +=,故点(),x y 是方程组2223122x y x y t
?+=?+=?的公共解,依题意得()22
1182120y t y t -?+-=,由
()22644112120t t ?=-??-≥,
解得:t ≤≤所以2x y +
,
最小值为
(2)、极坐标与直角坐标的互化 利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题,这二者互化的前提条件是(1)极点与原点重合;(2)极轴与x 轴正方向重合;(3)取相同的单位长度.设点P 的直
角坐标为(),x y ,它的极坐标为(),ρθ,则 222
cos sin x y x y
y tg x ρρθρθθ?=+=??
??==
???
或;若把直角坐标化为极坐标,求极角θ时,应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ. 例2、极坐标方程2
4sin
52
θ
ρ?=表示的曲线是( )
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线的一支
D. 抛物线
分析:这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.
解析:由2
1cos 4sin
422cos 52
2
θ
θ
ρρρρθ-?=?
=-=,化为直角坐标系方程为
25x =,化简得225
54
y x =+
.显然该方程表示抛物线,故选D.
练习1、
已知直线的极坐标方程为sin 4πρθ
?
?+=
??
?,则极点到该直线的距离是
解析:极点的直角坐标为()0,0o
,对于方程sin 4πρθρθθ???
+
==? ???
???
可得sin cos 1ρθρθ∴+=,化为直角坐标方程为10x y +-=
练习2、极坐标方程2cos 0ρθρ-=转化成直角坐标方程为( )
A .201y y +==2x 或
B .1x =
C .201y +==2x 或x
D .1y =
分析:极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.
解析:(cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-==
===或,因此选C.
练习3、点M
的直角坐标是(1-,则点M 的极坐标为( )
A .(2,)3π
B .(2,)3π-
C .2(2,
)3π D .(2,2),()3
k k Z π
π+∈ 解析:2(2,2),()3
k k Z π
π+∈都是极坐标,因此选C.
(3)、参数方程与直角坐标方程互化
例题3:已知曲线1C 的参数方程为?????=+-=θ
θsin 10cos 102y x (θ为参数),曲线2C 的极坐标方
程为θθρsin 6cos 2+=.
(1)将曲线1C 的参数方程化为普通方程,将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)曲线1C ,2C 是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由. 解:(1)由????
?=+-=θ
θsin 10cos 102y x 得
10)2(22=++y x
∴曲线1C 的普通方程为10)2(22=++y x ∵θθρsin 6cos 2+=
∴θρθρρsin 6cos 22+=
∵θρθρρsin ,cos ,222==+=y x y x
∴y x y x 6222+=+,即10)3()1(22=-+-y x ∴曲线2C 的直角坐标方程为
10)3()1(22=-+-y x
(2)∵圆1C 的圆心为)0,2(-,圆2C 的圆心为)3,1( ∴10223)30()12(C 2221<=-+--=C
∴两圆相交
设相交弦长为d ,因为两圆半径相等,所以公共弦平分线段21C C
∴22
2
)10()2
23(
)2
(=+d ∴22=d
∴公共弦长为22
练习1、坐标系与参数方程.
已知曲线C :θ??
?θ
+=θ
+=(sin 21cos 23y x 为参数,0≤θ<2π), (Ⅰ)将曲线化为普通方程;
(Ⅱ)求出该曲线在以直角坐标系原点为极点,x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程.
解析:(Ⅰ)023222=--+y x y x
(Ⅱ)()
θ+θ=ρsin cos 32
(4)利用参数方程求值域
例题4、在曲线1C :?
??=+=)y x 为参数θθθ
(sin cos 1上求一点,使它到直线2C
:
12
(112
x t t y t
?
=-???
?=-??为参数)的距离最小,并求出该点坐标和最小距离。 解:直线C 2化成普通方程是x+y-22-1=0
D
A
F
E
O
B
C
设所求的点为P (1+cos θ,sin θ) 则C 到直线C 2的距离d=
2
|
122sin cos 1|-+++θθ
=|sin(θ+
4
π
)+2| 当234ππ
θ=+时,即θ=4
5π
时,d 取最小值1
此时,点P 的坐标是(1-22,-2
2
)
练习1、在平面直角坐标系xOy 中,动圆2228cos 6sin 7cos 80x y x y θθθ+--++=(θ∈R )的圆心为(,)P x y ,求2x y -的取值范
解:由题设得4c o s ,
3s i n x y θθ=??
=?(θ为参数,θ∈R ) 于是.
28c o s 3s i 73c o s ()x y θθθ?-=-+,
所以
2x y -
练习2、已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=,设直线L 的参数方程是??
???
=+-=,
542
53t
y t x (t 为参数).
(Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线L 与x 轴的交点是M ,N 曲线C 上一动点,求MN 的最大值.
解:(1)曲线C 的极坐标方程可化为:
θρρsin 22=
又 θρθρρsin ,cos ,222===
+y x y x .
所以,曲线C 的直角坐标方程为:
0222=-+y y x .
(2)将直线L 的参数方程化为直角坐标方程得:)2(3
4
--=x y 令 0=y 得 2=x 即M 点的坐标为)0,2(
又曲线C 为圆,圆C 的圆心坐标为)1,0(,半径1=r ,
则5=MC
∴15+=
+≤r MC MN
(5)直线参数方程中的参数的几何意义
例5、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=,
①写出直线l 的参数方程;
②设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ,求点P 到,A B 两点的距离之积.
解 (1)直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ?=+????=+??
,即1112x y t
?=????=+??.
(2
)把直线1112
x y t ?=+????=+??代入422=+y x ,
得2221
(1)(1)4,1)202
t t t +
++=+-=,122t t =-, 则点P 到,A B 两点的距离之积为2.
练习1、求直线415
315x t y t
?
=+????=--??
(为参数t
)被曲线)4πρθ=+所截的弦长.
解:将方程415315x t y t ?
=+???
?=--??
,)4
π
ρθ=+
分别化为普通方程:
3410x y ++=,220,x y x y +-+=
17
.
105
d =11圆心C (,-=,弦长=22
(6)、参数方程与极坐标的简单应用
参数方程和极坐标的简单应用主要是:求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.
例6、已知ABC ?的三个顶点的极坐标分别为55623A B C πππ??
????
- ? ? ?????
?
?
,,,,,,判
断三角形ABC 的三角形的形状,并计算其面积.
分析:判断△ABC 的形状,就需要计算三角形的边长或角,在本题中计算边长较为容易,不妨先计算边长.
解析:如图,对于55366
AOB BOC AOC πππ
∠=∠=∠=
,,,
又5,OA OB OC ===
222
2cos AC OA OC OA OC AOC
=+-??
∠(
2
25525cos
6
π
=+-?? 133=
,AC ∴
,BC =同理,,AC BC ∴=,ABC ∴?为等腰三角形,5AB OA OB ===又,所以
AB 边上的高
h =
=
, 152ABC S ?∴==
练习1、如图,点A 在直线x=5上移动,等腰△OPA 的顶角∠OPA 为120°(O ,P ,A 按顺时针方向排列),求点P 的轨迹方程.
解析:取O 为极点,x 正半轴为极轴,建立极坐标系,则直线5x =的极坐标方程为cos 5ρθ=,设A (0ρ,0θ),P (),ρθ,因点A 在直线cos 5ρθ=上,00cos 51ρθ∴=<> OPA ?为等腰三角形,且0120OPA OP OA ρρ∠=?==,而,,以及30
POA ∠=?
00302ρθθ∴=-?<>,且,把<2>
代入<1>,得点
P 的轨迹的极坐标方程为:()cos 305θ-?=.
Ⅲ趁热打铁
1.把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是( )
A .1
21
2x t y t -?=???=?
B .sin 1sin x t y t =???=??
C .cos 1cos x t y t =???=??
D .tan 1tan x t y t =???=?? 解析:D 1xy =,x 取非零实数,而A ,B ,C 中的x 的范围有各自的限制
2.曲线25()12x t
t y t
=-+??
=-?为参数与坐标轴的交点是( )
A .21(0,)(,0)5
2
、
B .11(0,)(,0)5
2
、 C .(0,4)(8,0)-、 D .5(0,)(8,0)9
、 解析:B 当0x =时,25t =
,而12y t =-,即15y =,得与y 轴的交点为1
(0,)5
; B
A
O x C
y P A
O x
当0y =时,12t =
,而25x t =-+,即12x =,得与x 轴的交点为1(,0)2
3.直线12()2x t
t y t
=+??
=+?为参数被圆229x y +=截得的弦长为( )
A .
125 B
C
D
解析:B
11221x x t y t y ?
=+?=+??
???
=+??=+??
,把直线122x t y t =+??=+?代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=
1212
5
t t -===
12t -=
4.若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2
4()4x t t y t ?=?=?
为参数上, 则PF 等于( )
A .2
B .3
C .4
D .5
解析:C 抛物线为24y x =,准线为1x =-,PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离,即为4
5.已知曲线2
2()2x pt t p y pt ?=?=?为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和,
120t t +=且,那么MN =_______________。
解析:14p t 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴。即x 轴,121222MN p t t p t =-=
6.圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθ
θθθ
=+??
=-?为参数,则此圆的半径为_______________。
解析: 由3sin 4cos 4sin 3cos x y θθθθ
=+??=-?得22
25x y += 故半径为5
7.分别在下列两种情况下,把参数方程1()cos 2
1()sin 2
t t t t x e e y e e θθ--?=+????=-??化为普通方程:
(1)θ为参数,t 为常数;(2)t 为参数,θ为常数; 解:(1)当0t =时,0,cos y x θ==,即1,0x y ≤=且; 当0t ≠时,cos ,sin 11()()2
2
t t
t t x y e e e e θθ--=
=
+-
而2
2
sin
cos 1θθ+=,即
2
2
22111()()4
4
t
t t
t x y e e e e --+
=+-
(2)当,k k Z θπ=∈时,0y =,1()2
t
t x e e -=±
+,即1,0x y ≥=且; 当,2k k Z πθπ=+∈时,0x =,1()2
t t
y e e -=±-,即0x =;
当,2k k Z πθ≠∈时,得2cos 2sin t t t t x e e y e e θθ--?+=????-=??,即222cos sin 222cos sin t
t x y e x y
e θθθθ-?=+????=-??
得222222(
)()cos sin cos sin t
t
x y x y e e
θθθθ
-?=+- 即22
2
21cos sin x y θθ
-=。
8
.过点(
2
P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N , 求PM PN ?的值及相应的α的值
解:设直线为cos ()sin x t t y t αα?=
???=?
为参数,代入曲线并整理得
223(1sin ))02
t t αα+++
= 则122321sin PM PN t t α
?==+
所以当2
sin 1α=时,即2
π
α=
,PM PN ?的最小值为
34,此时2
πα= 9.参数方程cos (sin cos )
()sin (sin cos )
x y θθθθθθθ=+??
=+?为参数表示什么曲线?
解:显然tan y x θ=,则22
222
111,cos cos 1y y x x
θθ
+==+ 2
222112tan cos sin cos sin 2cos cos 221tan x θθθθθθθθ=+=
+=?++ 即222222
22
2
1
11,(1)12
111y y y y x x x x y y y x x x
x x
+=?
+=+=++++ 得21y y
x x x
+=+,即220x y x y +--= Ⅳ 温故强化
1.下列在曲线sin 2()cos sin x y θ
θθθ=??
=+?
为参数上的点是( )
A
.1
(,2
B .31
(,)42
-
C
. D
. 解析:B 转化为普通方程:2
1y x =+,当34x =-时,12
y =
2.将参数方程2
2
2sin ()sin x y θ
θθ
?=+??=??为参数化为普通方程为( ) A .2y x =- B .2y x =+ C .2(23)y x x =-≤≤ D .2(01)y x y =+≤≤ 解析:C 转化为普通方程:2y x =-,但是[2,3],[0,1]x y ∈∈ 3. 若A
,B
,则|AB|=___________,
___________。(其中O 是极
点)
解析:在极坐标系中画出点A 、B ,易得
4.直线122
()112
x t t y t ?=-???
?=-+??为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________
解析: 直线为10x y +-=
,圆心到直线的距离d =
=
,弦长的一半为2
=
5. 直线
(t 为参数)上任一点P 到
的距离为__________
解析:所求距离为2|t|(把直线的参数方程化为标准形式) 6.
的轨迹方程为____________。 解析:设
由重心坐标公式,得:
消参,得点G 的轨迹方程为
7. 若方程
解析:将方程两边同乘以,化为:
8. 求椭圆
解析:(先设出点P 的坐标,建立有关距离的函数关系)
9.在椭圆
22
11612x y +=上找一点,使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值。
解析:设椭圆的参数方程为4cos x y θ
θ
=???=??
,d =
3)33
θ
θθθ=
-=+- 当cos()13
π
θ+=
时,min 5
d =
,此时所求点为(2,3)-。
10.
求直线11:()5x t
l t y =+???=-??为参数
和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标,及点P
与(1,5)Q -的距离。
解析:将15x t
y =+???=-+??
代入0x y --=
得t =,
得(1P +,而(1,5)Q -
,得PQ ==