仰角和俯角
初四上册第二章第5节《解直角三角形的应用之仰角、俯角
问题》“微课堂教学设计”
一、目标设计
1.理解仰角、俯角的意义，能准确运用仰角、俯角的概念来解决实际问题，提高学生的解题能力.
2.培养学生用数学的意识，培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力.
二、过程设计
板块一：知识链接
同学们，回忆我们在前几节研究的锐角三角函数的概念?还学习哪些特殊角的三角函数？
【设计意图】承上启下，为新知打开突破口.
板块二：探究新知
（1）.了解仰、俯角的意义
水平线
① 结合图例认识仰角和俯角.
② 合作交流，能正确作出判断.
③ 总结：从观察的目标时，与所成的锐角叫仰
角；反之，从观察的目标时，与所成的锐角叫俯角。
（2）.自主探究
出示问题：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果保留根号）Array
①自主探索
②合作探索
③班内展示交流
④请一位同学板讲
⑤教师结合课件进行补充
⑥反思总结提升
【设计意图】让学生产生认知冲突，让学生置身于问题情景里，把实际问题中的仰角、俯角问题化归为直角三角形中边角关系的数学问题。通过反思，让学生感知研究这类问题的一般过程是
1.将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）添加辅助线；
2.根据条件的特点，选用适当锐角三角形函数等去解直角三角形；
3.得到数学问题的答案；
4.得到实际问题的答案.
三、评价设计
通过板块二中的（1）了解仰、俯角的意义达成教学目标------理解仰角、俯角的意义，能准确运用仰角、俯角的概念来解决实际问题，提高学生的解题能力.
通过板块二中的（2）探究新知达成教学目标------培养学生用数学的意识，培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力.
初四上册第二章第5节《解直角三角形的应用之仰角、俯角
问题》“微课堂命题设计”
一、目标设计
【考查的知识点】仰角俯角的意义、利用直角三角形求线段长.
【考查的能力题】解题分析能力、提思提升能力.
【考查的题型】解答题
【考查的试题来源】课本题
二、评价设计
如图甲乙两人分别在相距20米C 、 B两处测得古塔顶A的仰角分别为60°和 30°，二人身高都是1.5m，且B 、 C 、 D在一条直线上，计算古塔的高度（精确到1米）．
【考查点】仰角俯角的意义、三角函数概念.
【设计意图】考查学生对仰角俯角意义、三角函数概念的综合运用能力，锻炼学生分析解决问题的能力，提升学生思维的水平.
【处理策略】（1）自主探索（2）合作探索（3）班内展示交流（4）请同学进行板讲（5）教师投影进行补充说明（6）反思提升------让学生明确如下问题：
①解决此类问题的关键是什么？
②本题都涉及到哪些知识点？
③用到哪些数学思想方法？
变式：汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60。求A、B两个村庄间的距离（结果用根号表示）．
【考查点】仰角俯角意义，添加辅助线构造直角三角形，用直角三角形解决实际问题.
【设计意图】考查学生对构造直角三角形解决实际问题的综合运用能力，感知条件变化点在本题中的作用？能否从上题的解题分析中体会出解决此类问题的关键是什么？从而提炼出解决出此类题目的解题规律，从而进一步锻炼学生分析问题解决问题的能力，提升学生的思维水平.
【处理策略】（1）自主探索（找一生尝试板演）（2）合作探索（3）班内展示交流（4）请同学进
行板讲解题思路（5）归纳总结（6）反思提升-----明确解决此类问题的关键是构造直角三角形把实际问题化归为解直角三角形中边角关系的数学问题.
三、试题答案
1.解：∵∠B=30°∠ACD=60°
∴∠BAC=30°（三角形外角定理）
∴AC=BC=20（等角对等边）
在Rt ⊿ACD 中
∵sin60°=
∴ = ∴AD=
2.
解：∵PQ ∥AC
∠QPA=30°∠QPB=60°
∴ ∠ PAC=30° ∠PBC=60°
在Rt ⊿PBC 中
∵sin60°=
∴ = ∴BP= 3300 经检验，该值是原方程的解。
又∠ PAC=30° ∠PBC=60°
∴∠BPA=30°（三角形外角定理）
∴AB=BP= 3300 （等角对等边）
答:A 、B 两村的距离是 3300 米。
AD AD 202
1.5PC BP 450
BP
解直角三角形(仰角,俯角)
解直角三角形 学习目标 1、探索直角三角形中锐角的三角函数值与 三边之间的关系，掌握三角函数定义。 2、掌握特殊角的三角函数值，并会进行有 关特殊角的三角函数值的计算。 3、能综合运用直角三角形的勾股定理与边 角关系解决实际问题，提高数学建模能力。 重点：合理构造直角三角形、解直角三角形 实际应用。 难点：如何理解题意对实际问题建立模型解 题。 教学过程： 一、知识梳理： （一）锐角三角函数 1.三角函数的定义: (1)正弦 (2)余弦 . (3)正切 2.特殊角的三角函数值 （二）直角三角形中的边角关系
1.三边之间的关系 2.两锐角之间的关系 3.边角之间的关系 （三）解直角三角形的应用：仰角和俯角二、例题 例题: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m） C
例1如图，直升飞机在跨江大桥AB 的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB . 例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO . 三、变式训练 变题1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两
端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO . 变题2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离.
仰角、俯角的测量
课题解直角三角形（三） 一、教学目标 1、使学生了解什么是仰角和俯角 2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法． 3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决观测问题． 二、教学重点、难点 重点：用三角函数有关知识解决观测问题 难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 三、教学过程 （一）复习引入 平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？（三种，重叠、向上和向下）结合示意图给出仰角和俯角的概念 （二）教学互动 例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)? 分析：在中，，.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC. 解:如图, ，,
答:这栋楼高约为277.1m. （三）巩固再现 1、为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)． 2、在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)． 3、上午10时，我军驻某海岛上的观察所A发现海上有一艘敌军舰艇正从C处向海岛驶来，当时的俯角，经过5分钟后，舰艇到达D处，测得俯角。已知观察所A距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之内，以便及时还击。 解：在直角三角形ABC和直角三角形ABD中，我们可以分别求出： （米） （米） （米）
仰角与俯角教案
教学设计- 1 - 25.3 解直角三角形——仰角与俯角苏州市彩香中学数学团队教学目标：一、知识与技能．1、进一步掌握解直角三角形的方法；2、比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题；3、培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。 二、过程与方法．1、在课堂中渗透数形结合的数学思想，让学生感受到生活中处处有数学； 2、加强解直角三角形的两种基本图形的训练； 3、让学生相互探讨，能够应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题。三、情感、态度与价值观．1、积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯；2、在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心；3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生生活中应用数学的意识。教学重点：一、能够灵活应用边与边、角与角、边与角的关系解直角三角形二、要求学生善于将某些与仰角、俯角有关的实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决。解决措施：在课堂中渗透数形结合的数学思想，培养学生的学习兴趣，加强解直角三角形的两种基本图形的训练。教学难点：一、把实际问题转化为数学问题的能力的培养，二、灵活应用解直角三角形的知识、仰角、俯角等知识解决综合的实际问题解决措施：通过例题讲解与配套练习加以巩固。教学设计思路：为充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生在整个教学活动中始终处于主动探索的积极状态，根据本课特点我将课堂结构设计如下：1、概念的介绍；2、简单例题的导入（把解题格式呈现给学生）；3、从同一个点观测不同物体(讲练同步)； 4、从不同点观测同一物体（讲练同步）； 5、从不同点观测不同物体及实际问题的应用。（让学生自己探究）理论依据：知识的建构主义理论教学设计- 2 - 教学过程：（一）回忆知识1．解直角三角形指什么2．解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理：a 2 ＋b 2 ＝c 2 (2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°(3)边角之间的关系斜 边的对 A sin 边 A 斜边的 A cos 邻边 A 边边的邻 A 的对 A tan A 对边邻边的A 的A cot A （二）新授概念1．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。(教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．) 2．导入：试一试1：如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200 米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=30°，求飞机A到控制点B距离。（让学生自己寻求辅助线的两种方法）Ａ解：ＤA A B B B C 解：（略，让学生自己构造图形）试一试2 .如图，为了测量椰子树的高度AB，在离椰子树20 米的C处，用高1.25 米的测角仪CD测得椰子树顶端B的仰角α＝30°求椰子树AB的高（保留根号）图19.4.4 A B C D 教学设计- 3 - C B A D 例1：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高? 解：（略，让学生自己构造图形）练习一：建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m 的D处观察旗杆顶部A的仰角为50°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度。(精确到0.1m) sin50°＝0.766，cos50°＝0.643，tan50°＝1.192 练习二：如图，测得两楼之间的距离30 米，从楼顶点A 观测点D 的俯角为30°，观测点C 的俯角为45°，求这两幢楼的高度？（保留根号）让学生自己构图，探索发现两种辅助线的方法：B C 30米A D F 30°45° E B C 30米A D F 30°45°E A B C D E F 30°45°30米A B C D 30米A α=30°β=60°120米B C D 教学设计- 4 - E A C B D 30°60°例2 ：如图, 在上海黄埔江东岸，矗立着亚洲第一的电视塔“东方明珠”，某校学生在黄埔江西岸B 处，测得塔尖D 的仰角为45°，后退340m到 A 点测得塔尖D 的仰角为30°，设塔底C 与A、B在同一直线上,试求该塔的高度。（保留根号）练习三：在山顶上D处有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°，在塔底D测得点A的俯角β=45°，已知塔高BD=30 米，求山高CD。C A 解：（三）能力提高动动脑？如图，测量楼房AC的
仰角、俯角练习题
1.某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A 、B 相距 3 米，探测线与地面的夹角分别是30°和 60°（如图），试确定生命所在点 C 的深度． （结果精确到0.1米，参考数据：73.13,41.12≈≈ ） 2.为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度． 3.如图，为了测量某建筑物CD 的高度，先在地面上用测角仪自A 处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m ，此时自B 处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m ，请你计算出该建筑物的高度．（取732.13=，结果精确到1m ） 4. 摩天轮是嘉峪关市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C 处 测得摩天轮的最高点A 的仰角为45°，再往摩天轮的方向前进50 m 至D 处，测得最高点A 的仰角为 60°．求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB 。 （ 732.13≈ ，结果保 留整数）． 5.建于明洪武七年（1374年），高度33米的光岳楼是目前我国现存的最高大、最古老的楼阁之一（如图①）．喜爱数学实践活动的小伟，在30米高的光岳楼顶楼P 处，利用自制测角仪测得正南方向商店A 点的俯角为60，又测得其正前方的海源阁宾馆B 点的俯角为30（如图②）．求商店与海源阁宾馆之间的距离（结果保留根号）． 6. 汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30°，B 村的俯角为60°,求A 、B 两个村庄间的距离．（结果精确到米，） 参考数据2≈1.414，732.13≈ 7. 小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）（参考数据： ） 8.如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为多少米？（精确到0.1）．（参考数据：732.13,414.12≈≈ ） A B C D 45° 60°图② 图① Q B C P A 450 60? 30? o o o o 33711 sin37tan37sin 48tan485 4 10 10 ≈≈≈≈，，，B 37°48° D C A
(完整版)28.2仰角俯角问题(包含答案),推荐文档
28.2仰角俯角问题 一．选择题（共8小题） 1．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平 面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂 直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距 离为（ ） A．100mB．50m C．50m D．m 2．如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度 AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°，则飞机A与指挥台B的 距离为（ ） A．1200m B．1200m C．1200m D．2400m 3．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时 热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离 是（ ） A．200米B．200米C．220米D．100（）米 4．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（ ）
A．10米B．10米C．20米D．米 5．兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2m 的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为（ ） A．B．C．D． 6．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（ ） A．米B．30sinα米C．30tanα米D．30cosα米 7．小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（ ） A．600﹣250米B．600﹣250米C．350+350米D．500米 8．如图，在水平地面上，由点A测得旗杆BC顶点C的仰角为60°，点A到旗
华师大版2020-2021年九年级数学上册导学案：24.4 第2课时 仰角、俯角问题【含答案】
华师大版2020-2021年九年级数学上册导学案 第24章解直角三角形 24.4解直角三角形 第2课时俯角、仰角问题 学习目标： 1.理解仰角、俯角的概念（重点）. 2.能够解决与仰角、俯角有关的实际问题（难点）. 自主学习 一、新知预习 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水 平线上方的角叫做_______，在水平线下方的角叫做_______． 合作探究 一、探究过程 探究点：利用仰角、俯角解决实际问题 【问题1】如图，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥BC，从B出发沿着BC方向向前走1000 m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°，求山的高度AC(结果保留根号)． 【归纳总结】在解直角三角形时，若仰角、俯角不是直角三角形的内角时，应利用已知条件将它转化为直角三角形的内角，再利用直角三角形的边角关系列方程求解． 【问题2】如图，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB，已知观察点C到旗杆的距离(CE 的长度)为8m，测得旗杆顶的仰角∠ECA为30°，旗杆底边的俯角∠ECB为45°，那么旗杆AB的高度是() A．(82＋83)m B．(8＋83)m
C ．(82＋833)m D ．(8＋8 3 3)m 【归纳总结】解此类问题，要作好辅助线，将问题分为仰角和俯角两个问题来解直角三角形． 【针对训练】 1.如图,某飞机在空中A 处探测到地面的目标B,此时从飞机上看目标B 的俯角为α,若测得飞机与目标B 之间的距离AB 大约为2400米,且sinα=0.52,求飞机的飞行高度AC . 2.如图,一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树10m 的E 处,测得树顶的仰角∠ACD=54°.已知测角器的架高CE=1.5 m,求树高AB(精确到0.1 m.参考数据：tan54°≈1.38). 二、课堂小结 仰角俯角问题 图解 在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角中，当视线在水平方向上时，叫做_____角；当视线在水平方向下时，叫做_____角 当堂检测 1．如图某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞机高度AC ＝b （m ），从飞机上看地面上挥台B 的俯角为α，则飞机A 到指挥台B 的距离为（ ） A ． m B ．b cos α m C ． m D ．B sin αm
仰角和俯角
初四上册第二章第5节《解直角三角形的应用之仰角、俯角 问题》“微课堂教学设计” 一、目标设计 1.理解仰角、俯角的意义，能准确运用仰角、俯角的概念来解决实际问题，提高学生的解题能力. 2.培养学生用数学的意识，培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力. 二、过程设计 板块一：知识链接 同学们，回忆我们在前几节研究的锐角三角函数的概念?还学习哪些特殊角的三角函数？ 【设计意图】承上启下，为新知打开突破口. 板块二：探究新知 （1）.了解仰、俯角的意义 水平线 ① 结合图例认识仰角和俯角. ② 合作交流，能正确作出判断. ③ 总结：从观察的目标时，与所成的锐角叫仰 角；反之，从观察的目标时，与所成的锐角叫俯角。 （2）.自主探究 出示问题：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果保留根号）Array ①自主探索 ②合作探索 ③班内展示交流 ④请一位同学板讲 ⑤教师结合课件进行补充 ⑥反思总结提升
【设计意图】让学生产生认知冲突，让学生置身于问题情景里，把实际问题中的仰角、俯角问题化归为直角三角形中边角关系的数学问题。通过反思，让学生感知研究这类问题的一般过程是 1.将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）添加辅助线； 2.根据条件的特点，选用适当锐角三角形函数等去解直角三角形； 3.得到数学问题的答案； 4.得到实际问题的答案. 三、评价设计 通过板块二中的（1）了解仰、俯角的意义达成教学目标------理解仰角、俯角的意义，能准确运用仰角、俯角的概念来解决实际问题，提高学生的解题能力. 通过板块二中的（2）探究新知达成教学目标------培养学生用数学的意识，培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力. 初四上册第二章第5节《解直角三角形的应用之仰角、俯角
仰角、俯角练习题
1?某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点 A 、B 相距 3米，探测线与地面的夹角分别是 30°和60°（如图），试确定生命所在点 C 的深度. （结果精确到米，参考数据： 2 1.41, , 3 1.73 ） 5. 建于明洪武七年（1374年），高度33米的光岳楼是目前我国现存的最高大、最古老的楼阁之一（如图 ①）.喜爱数学实践活动的小伟，在 30米高的光岳楼顶楼 P 处，利用自制测角仪测得正南方向商店 A 点 的俯角为60,又测得其正前方的海源阁宾馆 B 点的俯角为30 （如图②）?求商店与海源阁宾馆之间的距 2?为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状， 交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌 （如 图）?已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端 C 点和底端B 点的仰角分别是60。和45° ?求 6. 汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去 A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面 450米上空的P 点，测得 A 村的俯角为30°, B 村的俯角为60° ,求A 、B 两个村庄间的距离.（结果精确到米，） 3.如图，为了测量某建筑物 CD 的高度，先在地面上用测角仪自 A 处测得建筑物顶部的仰角是 30°,然 后在水平地面上向建筑物前进了 100m ，此时自B 处测得建筑物顶部的仰角是 45°.已知测角仪的高度 7. 小明家所在居民楼的对面有一座大厦 AB , AB = 80米?为测量这座居 民楼与大厦之间的距离，小明从 自己家的窗户 C 处测得大厦顶部 A 的仰角为37°,大厦底部B 的俯角为48°?求小明家所在居民楼与 大厦的距离CD 的长度.（结果保留整数）（参考数据：） 3 3 7 11 sin37o -, tan37o -,sin 48°— , tan48o 一 5 4 10 10 .摩天轮是嘉峪关市的标志性景观之一?某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度?如图，他们在 C 处 测得摩天轮的最高点 A 的仰角为45°，再往摩天轮的方向前进 50 m 至 D 处，测得最高点 A 的仰角为 8. 如图所示，小明在 家里楼顶上的点 A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高， 在点A 处看电梯楼顶部点 B 处的仰角为60°,在点A 处看这栋电梯楼底部点 C 处的俯角为45°，两栋楼之间 的距离为30m ，则电梯楼的高 BC 为多少米（精确到）?（参考数据： 2 1.414,. 3 1.732 ） 离（结果保留根 号） 图① 路况显示牌BC 的高度. 参考数据.2 -, 3 1.732 是，请你计算出该建筑物的高度. （取3 1.732，结果精确到1m ） E D 60° ?求该兴趣小组测得的摩天轮的高度 AB o （ 3 1.732 ，结果保 留整数）.
湘教版数学九年级上册4.4 第1课时 仰角、俯角问题2教案
4.4 解直角三角形的应用 第1课时 仰角、俯角问题 一．教学三维目标 (一)、知识目标 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． (二)、能力目标 逐步培养分析问题、解决问题的能力． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 三、教学过程 （一）回忆知识 1．解直角三角形指什么？ 2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：a 2+b 2=c 2 (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90° (3)边角之间的关系： tanA=的邻边的对边 A A ∠∠ （二）新授概念 1．仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义． 2．例1：如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度 斜边 的邻边 A A ∠=cos 斜边的对边 A A ∠=sin
AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′， 求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米) 解：在Rt △ABC 中sinB=AB AC ∴AB=B AC sin =2843.01200 =4221(米) 答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米． 例2：2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P 点的距离是多少？（地球半径约为6400km ，结果精确到0.1km ） 分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。将问题放到直角三角形FOQ 中解决。 例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式 sinA= 斜边的对边 A ∠ 来解决的两个实际问题即已知α∠和斜边， 求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边． （三）．巩固练习 1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为600 ，热气球与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m ）
仰角与俯角
课题 解直角三角形仰角与俯角（三） 一、教学目标 1、使学生了解什么是仰角和俯角 2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法． 3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决观测问题． 二、教学重点、难点 重点：用三角函数有关知识解决观测问题 难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 三、教学过程 （一）复习引入 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： （1）三边之间的关系 （2）两锐角之间的关系 ∠A ＋∠B ＝90° （3）边角之间的关系 平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？ （三种，重叠、向上和向下） 结合示意图给出仰角和俯角的概念 （二）教学互动 例热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o ，看这栋离楼底部的俯角为60o ，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到 0.1m)? 2 22c b a =+c a A A =∠= sin c b B B =∠= sin c b A A =∠= cos c a B B =∠= cos b a A A A =∠∠= tan a b B B B =∠∠= tan
分析：在中，，.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC. 解:如图, ，, 答:这栋楼高约为277.1m. （三）巩固再现 【例1】如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB . 变题1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O 三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO . 例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
中考数学复习指导：实际问题中的仰角和俯角问题.doc
实际问题中的仰角和俯角问题 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 计算原理:视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知 仰角、俯角和另一边，利用解直角的知识就可以求出物体的高度. 梳理总结：（1）仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同 位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”.在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽 象为数学问题. ⑵在测量山的高度时，要用“化曲为直”的原则把曲的山坡“化整为零地分成一些小段，把 每一小段山坡长近似地看作直的，测出仰角求出每一小段山坡对应的高，再把每部分高加起来，就 得到这座山的高度. 例1如图2 ,甲、乙两栋高楼的水平距离〃〃为90米，从甲楼顶部C点测得乙楼顶部力点的仰 角Q为30。，测得乙楼底部〃点的俯角0为60。，求甲乙两栋高楼各有多高？（计算过程和结果 都不取近似值. 分析:过点C作CE±AB于点E,在RUBCE和R2ACE中，BE和AE可用含CE（即为水平距离） 的式子表示出来,从而求得两楼的高. 解:作CE丄AB于点E, ?/CE||DB, CD||AB,且zCDB二90°,二四边形BECD 是矩形.??CD二BE, CE=BD. < CZJ CZ3甲 匸 1—1 % % X ■= = %%Q \ %□ A o o
在Rt^BCE 中，n 0 二60°, CE=BD=90 米. tan P = , .*.BE=CE ? tan /? = 90x tan 60° = 90\/3 （米）. CE .?.CD二BE二90VJ （米）. 在Rt^ACE 中，za = 30°,CE=90 米. AE T tan a —-- . CE 「.AE二CE tan^ = 90xtan30° =90x—= 30^3 （米）. 3 .?.AB二AE+BE二30^3 + 90^3 = 120^3 （米）. 答:甲楼高为90A/3米，乙楼高为120侖米. 反思:仰角和俯角问题是解直角三角形中的常见题型，作辅助线构造直角三角形（一般同时得到两个直角三角形）并解之是解决这类问题的常用方法. 例2如图3 ,小山上有一棵树.现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A到水平地面的距离AB. 要求：⑴画出测量示意图； ⑵写出测量步骤（测量数据用字母表示）； ⑶根据（2）中的数据计算. 分析：要测量底步不能到达的物体的高度，要转化为双直角三角形问题,测量方案如图 2,计算的关键是求AE,可设AE二x,则在RZAGF和R2AEF中， 利用三角函数可得HE =」一，EF = ——，再根据HE-FE二CD二in tan a tan p 建立方程即可. ra A
仰角和俯角的概念和解直角三角形
仰角和俯角的概念和解直角三角形教学设计 大同市南郊区实验中学任淑君 教学目标 一、知识技能 1、比较熟练的应用仰角和俯角的概念和解直角三角形的知识解决实际问题。 2、培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。 二、过程与方法 1、在课堂中渗透数形结合的数学思想，使学生感受生活中处处有数学。 2、让学生相互探讨，能仰角和俯角的概念和解直角三角形解决实际问题。 三、情感、态度和价值观 1、让学生积极参与数学活动，培养兴趣，养成善于思考问题的习惯。 2、在数学中获得成功的体验，树立自信心。 3、渗透数学来源于生活又服务于生活的观点，培养学生生活中应用数学的意识 教学重点： 1、理解仰角、俯角的概念。 2、要求学生善于把仰角、俯角有关的实际问题中数量关系归结为直角三角形元素之间的关 系，从而利用仰角和俯角的概念和解直角三角形的知识来解决。 教学难点： 1、理解仰角、俯角的概念。 2、把仰角、俯角的实际问题转化为数学模型 3、把数学模型转化为解直角三角形问题 教学过程： 一、引入新课 仰角、俯角的概念
二、探究讨论 例热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为300，看这栋楼的底部的俯角为600，热气球与楼的水平距离为120m,这栋楼有多高？（结果取整数）？ 分析我们知道视线与水平线所成 的角中，视线在水平上方的是仰 角.如图: α=300 视线在水平线下方的是俯角，β=600 在Rt△ABD中，α=300，AD=120m，所以可以利用 解直角三角形的知识求出BD,类似地可以求出CD;进而求出BC 解题过程略 三、练习 从高出海平面55m的灯塔处收到一艘帆船的求助信号，从灯塔看帆船的俯角为21゜，此时帆船距灯塔有多远（结果取整数）？ 四、作业 习题28.2第3题 五、小结 谈谈本微课的收获，你学到了什么？ 六、反思 解此实际问题时要注意两个转化：一是将实际问题转化为数学模型；二是将数学模型转化为解直角三角形问题，当图中没有直角三角形时，通过作垂线把问题转化为解直角三角形问题。
仰角、俯角问题
解直角三角形的应用作业 陈亮 一、填空： 1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝3，则sin A 2＝________. 2、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝15 8，则AB＝________. 第2题图第3题图 3、如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为________米。(结果保留一位小数。参考数据：sin54°＝ 0.8090，cos54°＝0.5878，tan54°＝1.3764) 4、如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝62米，背水坡CD的坡度i＝1∶3(i为DF与FC的比值)，则背水坡CD的坡长为________米． 第4题图第5题图 5、如图，在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC＝4 km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A、B的游 船速度分别为v1、v2，若回到A、B所用时间相等，则v1 v2＝________．(结果保 留根号)
二、解答题： 1、为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米(即CD＝2米)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB ＝1∶1)，如图所示．已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC. (参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2) 第1题图 2、如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路(即线段AC)，经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100 km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？(参考数据：3≈1.73) 第2题图 3、小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2米，∠BCA＝30°，且B、C、D三点在同一直线上． (1)求树DE的高度； (2)求食堂MN的高度．
中考数学复习指导：实际问题中的仰角和俯角问题
实际问题中的仰角和俯角问题 在进行测量时，从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角. 计算原理:视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角、俯角和另一边，利用解直角的知识就可以求出物体的高度. 梳理总结：⑴仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”.在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题. ⑵在测量山的高度时，要用“化曲为直”的原则把曲的山坡“化整为零地分成一些小段，把每一小段山坡长近似地看作直的，测出仰角求出每一小段山坡对应的高，再把每部分高加起来，就得到这座山的高度. 例1 如图2，甲、乙两栋高楼的水平距离BD 为90米，从甲楼顶部C 点测得乙楼顶部A 点的仰角α为30?，测得乙楼底部B 点的俯角β为60?，求甲乙两栋高楼各有多高？(计算过程和结果都不取近似值. 分析:过点C 作CE ⊥AB 于点E, 在Rt △BCE 和Rt △ACE 中, BE 和AE 可用含CE(即为水平距离)的式子表示出来,从而求得两楼的高. 解:作CE ⊥AB 于点E, ∵CE ∥DB,CD ∥AB,且∠CDB=090,∴四边形BECD 是矩形. ∴ CD=BE,CE=BD. 铅垂线 图 1 E 图2
在Rt △BCE 中, ∠β=060,CE=BD=90米. ∵,tan CE BE = β∴BE=CE 39060tan 90tan 0=?=?β(米). ∴CD=BE=390(米). 在Rt △ACE 中, ∠α=030,CE=90米. ∵ ,tan CE AE =α ∴AE=CE 3303 3 9030tan 90tan 0=? =?=?α(米). ∴AB=AE+BE=3120390330=+(米). 答:甲楼高为390米,乙楼高为3120米. 反思:仰角和俯角问题是解直角三角形中的常见题型,作辅助线构造直角三角形(一般同时得到两个直角三角形)并解之是解决这类问题的常用方法. 例2 如图3，小山上有一棵树．现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A 到水平地面的距离AB ． 要求：⑴画出测量示意图； ⑵写出测量步骤（测量数据用字母表示）； ⑶根据（2）中的数据计算AB ． 分析：要测量底步不能到达的物体的高度,要转化为双直角三角形问题,测量方案如图2,计算的关键是求 AE,可设AE=x,则在Rt △AGF 和 Rt △AEF 中, 利用三角函数可得αtan x HE =,β tan x EF = ,再根据HE-FE=CD=m 建立方程即可. A B 图3 A E F H C D B 图4
仰角俯角
课题:解直角三角形应用（仰角俯角） 编写：钟珍玖 审核：初三备课组 使用时间：2014-12-4 【【学习目标】⒈ 理解仰角俯角的含义，会运用仰角俯角解决实际问题. 【学习重点】仰角俯角的定义及应用． 【导学方案】问题一 仰角与俯角 在进行测量时，从低处向高处看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 在进行测量时，从高处向低处看，视线与水平线的夹角叫做俯角角. 问题二 仰角与俯角应用 例1、如图，为了测量电线杆的高度AB ，在离电线杆22.7米的C 处，用高1.20米的测角仪CD 测得电线杆顶端B 的仰角a ＝22°，求电线杆AB 的高．（精确到0.1米） 例2、在山脚C 处测得山顶A 的仰角为45°.问题如下： 沿着水平地面向前300米到达D 点，在D 点测得山顶A 的仰角为600 , 求山高AB. 变式： 沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D 点，在D 点测得山 顶A 的仰角为600 ,求山高AB. 练习： 1.如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200 米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′，求飞机A 到控制点B 的距离.(精确到1米） 2. 如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD ，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60°．沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH 与水平宽度AH 的比） （1）求点B 距水平面AE 的高度BH ；（2）求广告牌CD 的高度． （测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732） 【学习反思】我的收获___________________我的困惑____________________. B E A D C 22 °
三角函数---仰角、俯角
解直角三角形的应用——仰角俯角 如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（） 0米 米 CD为150米，且点A、D、B在同一直线上，建筑物A、B间的距离为（） 508000米 座楼AB与CD相距50米，则楼CD的高度约为（）米．（结果保留三个有效数字）．（sin13°≈0.2250，cos13°≈0.9744，tan13°≈0.2309，sin52°≈0.7880，cos52°≈0.6157tan52°≈1.2799）
如图，由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从A沿倾斜角为30°的山坡前进1500米到B，再次测得山顶D的仰角为60°，则山高CD为（） （（（ 如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB 约为_________m（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，，1.73） 如图所示，小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°．若该楼高为26.65m，小杨的眼睛离地面1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐．求广告屏幕上端与下端之间的距离CD是_________m（取≈1.732，结果精确到0.1m）．
如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼上的C处测得旗杆低端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，如旗杆与教学楼的水平距离CD 为9m，则旗杆的高度是多少？（结果保留根号） 如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF 的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） （1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？ （2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？ 如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数，≈1.73，≈1.41）