课例：抛物线定义及标准方程教学目的 引导学生探索抛物线及标准方程的推导过程,使学生掌握抛物线定

课例：抛物线定义及标准方程

张玉起 山东省高青县第一中学 256300

教学目的 引导学生探索抛物线及标准方程的推导过程，使学生掌握抛物线定 义及标准方程；培养学生直觉、想象思维能力和逻辑思维能

力，灵活应用知识独立解决有关问题的能力。

教学过程：

通过前面的学习，我们知道椭圆和双曲线都是满足平面上到定点距离与到定直线距离的比为定值的动点的轨迹。这个定值我们称之为离心率。不同的是定值0＜e ＜1时，轨迹为椭圆，e ＞1时，轨迹为双曲线，并且求出了它们的标准方程。（用幻灯片打出表格如图1）

图1 观察图表，我们自然会想到这样一个问题：e ＝1时，轨迹是什么形状的曲线呢？曲线方程如何求呢？是不是也有?标准?方程呢？

生A ：轨迹是不是圆呢？

师：为什么这样猜呢？

生A ：这一章中就是圆没有讲离心率了。（笑声）

生B ：圆与椭圆开头相近，e=1时椭圆就变成圆了。

生C ：B 判断不正确a →b 时,椭圆形状趋近于圆,但由

21e a

b -=,此时e = 0。

因此若说圆有离心率的话，离心率e=0。

师：C同学分析得很正确。A同学说得也有道理，因为我们总是先考虑已知的曲线，同学显然是从圆与椭圆形状的相似来思考的，不是圆，是不是直线？（沉默）现在看来，判断曲线的形状不容易，那么能否判断出曲线的某些特征呢？

（轻松愉快和谐的课堂氛围可以使学生思维活跃，激发潜能，只要学生的想法有一点可取之处，也要给予鼓励。创造宽松的心理情境，容易暴露学生的认知缺陷，便于及时澄清。）

给大学几分钟思考时间。教师巡视，观察，询问学生思维进程，引导学生开展思维：

（1）盯住条件，读一遍；

（2）试着在纸上描描点，什么位置的点才满足条件呢？

（3）能确定下某些点吗？能作出这些点吗？

（4）曲线是否呈现出某种整体特征？类似椭圆和双曲线，是封闭还是开放曲线？有无对称性？对称中心或对称轴在哪里？

师：下面请大家汇报一下自己的发现。

生E：过定点F引定直线的垂线m，则定点与垂足连线的中点一定是轨迹上的点。（如图2所示）

m

生F：过F引直线的垂线n，在直线n上F点的上下两侧分别取B和C两点，使BF=CF=KF，过B、C、分别向l作垂线，垂足分别为B、C，显然|BB‘|=|BF|=CF=CC’，所以B、C是也是曲线上的点。（如图3所示）

图3

师：E 和F 两同学发现了曲线的三个点，这是曲线的局部特征，能判断出曲线的一些整体特征吗？

生G ：我觉得曲线绕定点F 具有某种称性……

生H ：但不是关于F 中心对称，显然A 关于F 的对称点A ’不符合条件。

师；现在我们确定了曲线上三点，又发现整体有某种对称性，根据这些信息，想象一下曲线的形状，试着画一画！

生I ：关于直线m 对称！

（通过对抛物线形状的探求，引导学生从局部与整体上把握抛物线的特征，培养学生的形象思维，直觉思维能力。）

师：好！我们能否用尺规作图法画出曲线来呢？类似画椭圆和双曲线的办法？（让学生思考，教师逐步引导）条件中有?两个距离相等?，能联想到什么？如何转化？

生J ：由条件联想到了垂直平分线，为此在定线1上任取一点N ，作出线段MN 垂分线，然后过N 作l 的垂线，它与MN 的垂分线的交点M 就满足MF=MN ，而MN 就是M 到l 的距离，所以M

图4

m

师：按照J 同学的作法，再做出更多点，描点连线即可画出曲线。下面，我们通过几何画板把曲线画出来。教师打开几何画板，利用追踪功能，画出光滑连续的抛物线，让学生观察是否具有所做判断的特征。

师：我们把这条曲线叫抛物线，定点F 和定直线l 叫焦点和准线，A 叫它的顶点。下一步我们要求出它的方程。设KF=P 。下面，大家自己建立坐标系，来求抛物线的方程。

教师巡视观察，指导学生将自己推导的方程与周围同学得出的方程进行比较。启发学生思考所得出方程形式的特点。

师：大家得出了三种形式：

)2(22p x p y -= px y 22=， )2

(22p x p y += 都是以直线m 为x 轴，分别以准线为y 轴、KF 的中点A 为原点、焦点F 为原点建立坐标系得到的，如图5所示。

以A 为原点的建立坐标系，方程形式简单在哪里？为什么？

生K ：因为这样建系，抛物线过原点，（0，0）适合方程，从而方程一定不含常数项。

师：分析得很好。这是曲线过原点的位置特征决定了方程形式中无常数项的特点。观察方程形式，还有哪些类似情形呢？

生L ：以抛物线的对称轴为x 轴，因此不含y 的一次项，而抛物线不关于y 轴对称，所以含x 的一次项，实际上这里与椭圆及双曲线标准方程情形是相似的。

师：以上的分析给我们这样的启发：图形位置特征与方程形式特征有内在联系，注意把握它们之间的联系，有助于研究曲线的性质和方程特点，我们把px y 22= 叫抛物线的标准方程，这时焦点F (p/2,0)，顶点（0，0），准线：x=-p/2。抛物线标准

方程不止一个，大家看还有哪些形式的标准方程，怎样推导？

生M ：还有焦点在其它三个半轴上的情形。

生N ：不必重新推证，根据对称性，可由写出其它三个标准方程来。

师：下面大家就用N 同学方法把方程写出来，并写出相应的焦点坐标、准线方程（打出幻灯片）。

引导学生完成表格。

（讨论曲线特征与其方程形式之间的关系，使学生认识曲线特征是如何反映在

方程形式上，方程形式又是如何体现曲线特征的，并应用这种思想解决实际问题。）

师：下面我们来看几个与抛物线有关问题。

例1：（1）求2221x y =的焦点坐标； （2）求准线方程为y=1的抛物线标准方程。

教师引导学生辨别标准方程，求P ，写出相应焦应焦点坐标；由准线判断标准方程形式，求P ，再写出相应方程。指出两类问题都要正确地写出P 。

师：抛物线标准方程中有一个参数P ，椭圆及双曲线标准方程中有两个参数为a 和b 。由前面的学习我们知道，参数a ，b 有相应的几何意义，其大小反映了椭圆及双曲线的形状特征，那么P 的大小是不是也反映了抛物线的形状特征呢？

生S ：由推导方程可知P 的几何意义是焦点到准线的距离即|KF|，P 的变化就是这个距离的变化。

生T ：从这个角度看不出P 如何影响抛物线形状的……

生R ：不，能够看出来，因为前面确定了B 、C 是抛物线上两点（如图3所示）。∵|BF|=|CF|=P ，∴P 变小，|BF 、|CF|也变小，∴抛物线开口变窄。

标准方程 焦点坐标 准线方程 px y 22=(p/2,0) (-p/2,0) (0,p/2) x=-p/2 y= -p/2

生P：不正确。P变小，|KF|也变小，F点也向顶点A靠近，不见得开口就变窄。

生Q：通过画y2=2与y2=4x两个抛物线，我发现P越大，其开口越大。

师：下面我们用几何画板来观察是不是符合同学Q的发现。教师打开几何画板，利用课件演示：P越大，开口越大。

生Z：我觉得可以这样理解：对于同一个x，P越大，y的绝对值越大，也就是说开口越大。

生Y：还有，虽然P变化，但抛物线总过原点。

师：把Z同学和Y同学所说的结合起来，就能够说明这一规律了。

（多媒体工具可以动态演示变化趋势，形象直观，会给学生留下深刻的印象，但演示的毕竟是一种外在的现象，而不是本质规律，不能用它来代替学习者的思考与探求，应该将两者结合起来，使多媒体工具成为培养学生思维能力的有利手段。）学生做课本练习题，然后教师小结。

师：现在我们就可以把开始上课时的表格填完整了。从这个表格我们可以看到虽然定义相近，仅仅是比值的不同，曲线形状差别就如此之大。

打开几何画板，引导学生观察，当e连续变化时，轨迹是如何变化的，启发学生把前后知识联系起来，从整体上掌握五种圆锥曲线的特征。

从这里我们进一步看到随着e的变化，曲线由渐变到突变，体会用量变引起质变的辩证思维来认识事物的运动规律。

（思维的高级形式是辨证思维，从局部与整体的对立统一上把握事物的特征，用联系、变化发展的观点认识事物，都是辨证唯物主义观的体现，教学中要引导学生用辨证思维来思考问题，树立辨证唯物主义观。）