高一数学竞赛及试题答案

高一数学竞赛试题及答案

时间: 2016/3/18

注意:本试卷均为解答题、 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、总分150分,考试时间120分钟、

1.(本小题满分15分)

设集合{}()(){}

222320,2150,A x x x B x x a x a a R =-+==+++-=∈, (1)若{}2A

B =求a 得值; (2)

若A B A =,求a 得取值范围;

(3)

若(),U U R A C B A ==,求a 得取值范围、

2、(本小题满分15分)设},)]([|{},)(|{x x f f x N x x f x M ====

（1）求证:;N M ?

（2）)(x f 为单调函数时,就是否有N M =？请说明理由、

3.(本小题满分15分)

已知函数444)cos (sin )cos (sin 2)(x x m x x x f +++=在]2,0[π

∈x 有最大值5,

求实数m 得值.

4.(本小题满分15分)

已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝f (2＋x ),f (7－x )＝f (7＋x )且在闭区间[0,7]上,只有f (1)＝f (3)＝0,(1)试判断函数y ＝f (x )得奇偶性;

(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2 011,2 011]上根得个数,并证明您得结论. 5.(本小题满分15分)

已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ,设方程x x f =)(得两个实数根为1x 与2x 、

(1)如果4221<<x ;

(2)如果21

6.(本小题满分15分)

如图,直三棱柱111C B A ABC -中,121

AA BC AC ==,D 就是棱1AA 得中

点,BD DC ⊥1。

（1） 证明:BC DC ⊥1; （2） 求二面角11C BD A --得大小。

7.(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy 中,设二次函数

f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R)得图象与两坐标轴有三个交点.经过三点得圆记为C 、

(1)求实数b 得取值范围;

(2)求圆C 得方程;

(3)问圆C 就是否经过定点(其坐标与b 无关)？请证明您得结论.

A B

C D 1A 1

B 1

C

8.(本小题满分20分) 设f(x)就是定义在R 上得偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任

意x 1,x 2∈[0,

2

1]都有).()()(2121x f x f x x f ?=+且f(1)=a ＞0. (Ⅰ));4

1(),21(f f 求 (Ⅱ)证明)(x f 就是周期函数;

(Ⅲ)记),212(n

n f a n +=求).(ln lim n n a ∞→ 9.(本小题满分20分)设)(x f 就是R 上得奇函数,且当0

>x 时,)10lg()(2+-=ax x x f ,R a ∈、

(1)若5lg )1(=f ,求)(x f 得解析式;

(2)若0=a ,不等式0)14()2(>+++?k f k f x x 恒成立,求实数k 得取值范围;

(3)若)(x f 得值域为R ,求a 得取值范围、 高一数学竞赛试题参考答案

1、解:{

}2,1=A (1)∵{}2A B = ∴B ∈2

即,0)5(2)1222

2=-+?+?+a a （,解得13-=-=a a 或 ① 当3-=a 时, {

}

{}2044|2==+-=x x x B ② 当1-=a 时, {}{}2,204|2-==-=x

x B 综上{}3,1--∈a (2)∵A B A =

∴A B ?

① 当φ=B 时,则该一元二次方程无解,即△<0,

∴()[]0)5(41222

<-?-+a a ,即3-

1、 当3-=a 时,{}2=B

2、 当3->a 时,该一元二次方程有两个不同实数根1与2

∴ )1(221+-=+a ,即2

5-=a 5212-=?a ,即7±=a (舍) ,∴综上(]3,-∞-∈a

(3)∵(),U U R A C B A == ∴φ=B A

① 当△<0时,即3-

② 当△=0时,即3-=a ,{}2=B ,φ≠B A ,舍

③ 当△>0时,即3->a ,所以只需B B ??21且

将1代入方程中得31±-=a ;将2代入方程中得13-=-=a a 或

所以3113±-≠-≠-≠a a a 和、

综上,a 得取值范围为

()()()()()

+∞+-+---------∞-,3131,11,3131,33 ， 2、 证明：（1）若M φ=，显然有;M N ? 若M φ≠，则存在0x M ∈，满足()

00f x x =， 所以()()000f f x f x x ==????，故0x N ∈，所以;M N ? （2）.M N =用反证法证明 假设M N ≠，由于M

N ?，必存在1,x N ∈ 但1x M ?，因此()11f x x ≠，

3、解:422222)cos (sin cos sin 4)cos (sin 2)(x x m x x x x x f ++-+= 42)cos (sin )cos sin 2(2x x m x x ++-= 令]2,1[)4sin(2cos sin ∈+=+=π

x x x t ,

则1cos sin 22-=t x x ,从而12)1()1(2)(24422++-=+--=t t m mt t x f

令]2,1[2∈=t u ,由题意知12)1()(2

++-=u u m u g 在]2,1[∈u 有最大值5、 当01=-m 时,12)(+=u u g 在2=u 时有最大值5,故1=m 符合条件; 当01>-m 时,5122)2()(max =+?>≥g u g ,矛盾！

当01<-m 时,512)(≤+

综上所述,所求得实数1=m .

4、解 (1)若y ＝f (x )为偶函数,

则f (－x )＝f (2－(x ＋2))＝f (2＋(x ＋2))＝f (4＋x )＝f (x ),

∴f (7)＝f (3)＝0,这与f (x )在闭区间[0,7]上,

只有f (1)＝f (3)＝0矛盾;因此f (x )不就是偶函数.

若y ＝f (x )为奇函数,则f (0)＝f (－0)＝－f (0),

∴f (0)＝0,这些f (x )在闭区间[0,7]上,

只有f (1)＝f (3)＝0矛盾;因此f (x )不就是奇函数.

综上可知:函数f (x )既不就是奇函数也不就是偶函数.

(2)∵f (x )＝f [2＋(x －2)]＝f [2－(x －2)]＝f (4－x ), f (x )＝f [7＋(x －7)]＝f (7－(x －7))＝f (14－x ),

∴f (14－x )＝f (4－x ),即f [10＋(x －4)]＝f (4－x )

∴f (x ＋10)＝f (x ),即函数f (x )得周期为10、

又∵f (1)＝f (3)＝0,∴f (1)＝f (1＋10n )＝0(n ∈Z),

f (3)＝f (3＋10n )＝0(n ∈Z),

即x ＝1＋10n 与x ＝3＋10n (n ∈Z)均就是方程f (x )＝0得根.

由－2 011≤1＋10n ≤2 011及n ∈Z 可得n ＝0,±1,±2,±3,…,±201,共403个; 由－2 011≤3＋10n ≤2 011及n ∈Z 可得n ＝0,±1,±2,±3,…,±200,－201,共402 个;所以方程f (x )＝0在闭区间[－2 011,2 011]上得根共有805个.

5、解:设1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ,则0)(=x g 得二根为1x 与2x 、

(1)由0>a 及4221<<<0)4(0)2(g g ,即???>-+<-+0

34160124b a b a ,即

① 若()11f x x >，由于()f x 为单调增函数， 所以()()11f f x f x >????，即()11x f x >，矛盾； ②若()11f x x <，由于()f x 为单调增函数， 所以()()11f f x f x

综合①、②可知()11f x x =，因此1,x M ∈与假设矛盾， 所以假设不能成立，即.M N =

???

????<+?--<-?+,043224,043233a a b a a b 两式相加得12

b ,所以,10->x ; (2)由a

a b x x 4)1()(2221--=-, 可得 1)1(122+-=+b a 、 又0121>=a

x x ,所以21,x x 同号、 ∴ 21

)1(1202212b a x x , 即 ???????+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或???

????+-=+>>-1)1(120)0(0)2(2b a g g

解之得 41

7>b 、 6、【解析】(1)在Rt DAC ?中,AD AC =

得:45ADC ?∠=

同理:1114590A DC CDC ??∠=?∠=

得:111,DC DC DC BD DC ⊥⊥?⊥面1BCD DC BC ?⊥

(2)11,DC BC CC BC BC ⊥⊥?⊥面11ACC A BC AC ?⊥

取11A B 得中点O ,过点O 作OH BD ⊥于点H ,连接11,C O C H

1111111AC B C C O A B =?⊥,面111A B C ⊥面1A BD 1C O ?⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥?⊥ 得:点H 与点D 重合

且1C DO ∠就是二面角11C BD A --得平面角

设AC a =,

则1C O =

,111230C D C O C DO ?==?∠= 既二面角11C BD A --得大小为30?

7、【解答】 (1)令x ＝0,得抛物线与y 轴交点就是(0,b ); 令f (x )＝x 2

＋2x ＋b ＝0,由题意b ≠0且Δ＞0,解得b ＜1且b ≠0、

(2)设所求圆得一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0、

令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0,这与x 2＋2x ＋b ＝0就是同一个方程,

故D ＝2,F ＝b 、

令x ＝0得y 2＋Ey ＋b ＝0,此方程有一个根为b ,

代入得出E ＝―b ―1、

所以圆C 得方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0、

(3)圆C 必过定点,证明如下:

假设圆C 过定点(x 0,y 0)(x 0,y 0不依赖于b ),将该点得坐标代入圆C 得方程, 并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0、(*)

为使(*)式对所有满足b <1(b ≠0)得b 都成立,必须有1－y 0＝0,结合(*)式得x 20＋y 2

0＋2x 0－y 0＝0,

解得??? x 0＝0

y 0＝1或????? x 0＝－2y 0＝1

经检验知,点(0,1),(－2,1)均在圆C 上,因此,圆C 过定点.

9、解:(1)6,5lg )11lg()(,5lg )1(==-==a a x f f 所以则因为

所以 故又时，当,0)0(),106lg()()(02

=++-=--=

???<++-=>+-=0),106lg(0,00),106lg()(22x x x x x x x x f

(2)0)14()2()(0>+++?=k f k f R x f a x x 上单调递增，故在，则若等价于

恒成立，

在于是，另),0(01),

0(201422+∞>+++>=>+++k kt t t t k k x x x

1)(2+++=k kt t t g 设

(1)0<-0

)0(02g k ,解得0>k

综上,222+->k

(3)设10)(2+-=ax x x h ,

由题意知,若函数)(x f 得值域为R,只需 1026,1)(00min <≤≤<>a x h x 解得：时，