导数导学案
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§3.1 变化率与导数（１）
学习目标
1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景； 2．会求函数在某一点附近的平均变化率；
学习过程
一、新课导学
问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
问题2：高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t （单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
新知：平均变化率：_______________=_______
试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ?，即
x ?= 或者2x = ，x ?就
表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变
化量或增量记为y ?，即y ?= ；如果它
们的比值y
x ??，则上式就表示为 ，
此比值就称为平均变化率.
反思：所谓平均变化率也就是 的增量
与 的增量的比值.
※ 典型例题
例1已知函数2
()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，1.1]； （2）[1，2]
变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点
(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+?-+?，则y
x
??=
小结
1.函数()f x 的平均变化率是
2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率
※ 学习探究二
问题3：计算运动员在49
65
0≤
≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什
么问题吗？
新知：
1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 2．导数的概念
2
从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:
0000()()lim lim
x x f x x f x y
x
x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记
作'
0()f x 或0
'|x x y =，即
0000
()()
()lim
x f x x f x f x x
?→+?-'=?
说
明
：
00000 1. ()2. ()3. ()4. f x x x f x x f x ''?'与的值有关.不同的 ,其导数值一般也不相同.
与的具体取值无关。可以不存在。
瞬时变化率与导数是的两个名称.同一概念※ 典型例题
f(x)=3x+5, 2＇
例2求f （）
:)()31,2.
s s t t t =+= 练习 位移s(t)(单位:m)与时间t(单位的关系为: 求时的瞬时速度v
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0
c ）为
2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h
时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
小结
利用导数的定义求导，步骤为：
第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；
第二步：求平均变化率
0()
f x x y x x
+??=
??； 第三步：取极限得导数00()lim x y
f x x
?→?'=?.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
2. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +?时，函数的改变量y ?为（ ）
A ．0()f x x +?
B ．0()f x x +?
C ．0()f x x ?
D ．00()()f x x f x +?- 3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +?中，相应的平均速度为（ ） A ．6t +? B ．9
6t t
+?+? C ．3t +? D ．9t +?
4. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____
5. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +?时，物体
的位移为s ?，那么0lim t s t
?→??为（ ）
Ａ．从时间t 到t t +?时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为t ?时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +?时物体的平均速度
6. 2y x =在 x =1处的导数为（ ） A ．2x B ．2 C ．2x +? D ．1
7. 在0000
()()
()lim x f x x f x f x x
?→+?-'=?中，x ?不可
能（ ）
A ．大于0
B ．小于0
C ．等于0
D ．大于0或小于0 8.如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为
-可编辑修改-
9. 若0()2f x '=-，则
0001[]()2lim k f x k f x k
→--等于
课后作业
1. 国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W 表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？
2. 一质量为3kg 的物体作直线运动,设运动距离s(单位：cm)与时间（单位：s ）的关系可用函数
2()1s t t =+表示，并且物体的动能21
2
U mv =. 求物
体开始运动后第5s 时的动能.
1. 的变化情况.
2．已知函数()f x 的图象,试画出其导函数()f x '图象的大致形状.
§3.2.1几个常用函数导数
学习目标
1.掌握四个公式，理解公式的证明过程；
2.学会利用公式，求一些函数的导数；
3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. 学习过程
一、课前准备
（预习教材88~89，找出疑惑之处）
4
复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果
)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点
（)(,00x f x ）处的切线方程为
复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量y ?=
（2）求平均变化率y
x
?=?
（3）取极限，得导数/
y ＝()f x '=x
y x ??→?0lim
=
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一：函数()y f x c ==的导数. 问题：如何求函数()y f x c ==的导数
新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 .
若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 即一直处于静止状态.
试试： 求函数()y f x x ==的导数
反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 .
若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数
2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求
它们的导数.
（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？
（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个
增加得最慢？ （3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？
※ 典型例题
例1 求函数1
()y f x x
==的导数
变式： 求函数2()y f x x ==的导数
小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限.
例2 画出函数1
y
x
=的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.
变式1：求出曲线在点(1,2)处的切线方程.
变式2：求过曲线上点(1,1)且与过这点的切线垂直的直线方程.
小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的.
※动手试试
练1. 求曲线2
21
y x
=-的斜率等于4的切线方程. (理科用)练2.
求函数()
y f x
==
三、总结提升
※学习小结
1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：，， .
2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.
※知识拓展
微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点.关于微积分的地位，恩格斯是这样评价的：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神
.”
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1.()0
f x=的导数是（）
A．0 B．1 C．不存在D．不确定2.已知2
()
f x x
=,则(3)
f'=（）
A．0 B．2x C．6 D．9
3. 在曲线2
y x
=上的切线的倾斜角为
4
π的点为（）
A．(0,0)B．(2,4)C．11
(,)
416
D．11
(,)
24 4. 过曲线1
y
x
=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是
5. 物体的运动方程为3
s t=，则物体在1
t=时的速度为，在4
t=时的速度为
.
1. 已知圆面积2
S r
π
=，根据导数定义求()
S r'.
-可编辑修改-
6
2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气，那么t 天后，氡气的剩余量为()5000.834t A t =?，问氡气的散发速度是多少？
§3.2.2基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则
1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；
2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数.
9092 复习1：常见函数的导数公式：
0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；
x x sin )'(cos -=； ()ln (0)x
x
a
a a a '=>；()x
x
e
e '=；
1()(0,ln log a x a x a '=>且1)a ≠；1
(ln )x x '=.
复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数
（1）6y x =
（2）y = （3）21
y x =
（4）
y =
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务：两个函数的和(或差)积商的导数
新知：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±
[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+g
2
()()()()()
[
]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'=
试试：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数323y x x =-+的导数.
※ 典型例题
例1 假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下
函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价.假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?
-可编辑修改-
变式：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？
例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：
元）为5284
()(80100)100c x x x
=<<-. 求净化到下列
纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90%； （2）98%.
小结：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.
※ 动手试试
练1. 求下列函数的导数：
（1）2log y x =； （2）2x y e =； （3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =-.
练2. 求下列函数的导数：
（1）3
2log y x x =+；（2）n x
y x e =；（3）31sin x y x
-=
8
三、总结提升 ※ 学习小结
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导
数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简
单函数的导数.
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的
基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而
且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施
化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的
运算失误.
※ 知识拓展
1．复合函数的导数：设函数()u g x =在点x 处有
导数()x
u g x ''=，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数()u y f u ''=，则复合函数(())y f g x =在点x
处也有导数，且x u x u y y '''?= 2．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导—
—相乘——回代．
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 函数1
y x x =+的导数是（ ）
A ．211x -
B ．11x -
C ．211x +
D ．1
1x
+
2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（ ）
A ．cos2cos x x -
B ．cos2sin x x +
C ．cos2cos x x +
D ．2cos cos x x +
3. cos x
y x =的导数是（ ）
A ．2sin x
x
- B ．sin x -
C ．2sin cos x x x x +-
D ．2
cos cos x x x x +-
4.
函数2()138f x x =-+，且0()4f x '=， 则0x =
5.曲线sin x
y x
=在点(,0)M π处的切线方程为
1.
求描述气球膨胀状态的函数()r V =.
2. 已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数在点1x =处的切线方程.
理: §3.2.2 复合函数求导
复合函数的分解，求复合函数的导数.
-可编辑修改-
一、课前准备
（预习教材P 16~ P 17，找出疑惑之处） 复习1：求)4(2
3
-=x x y 的导数
复习2：求函数2
(23)y x =+的导数
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一：复合函数的求导法则 问题：求(sin 2)x '=?
解答：由于(sin )cos x x '=，故
(sin 2)cos2x x '= 这个解答正确吗?
新知：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，
如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称
这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，
记作：(())y f g x =
复合函数的求导法则：
两个可导函数复合而成的复合函数的导数等
于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量
的导数.用公式表示为：x u x y y u '''=g ，其中u 为中间
变量.即： y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x
的导数的乘积.
试试：(sin 2)x '=
反思：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。
※ 典型例题
例1 求下列函数的导数：
（1）2(23)y x =+； （2）0.051x y e -+=； （3）sin()y x π?=+（其中π，?均为常数）
变式：求下列函数的导数：
（1）cos 3
x y =； （2
）y =
小结：复合函数的求导不仅可以推广到三重，还可推广到四重、五重.
例2
求描述气球膨胀状态的函数()
r V=
数.
小结：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。
※动手试试
练1.
函数()
r V=
合? 练2. 一个距地心距离为r，质量为m的人造卫星，与地球之间的万有引力F由公式
2
GMm
F
r
=给出，其中M为地球队质量，G为常量，求F对于r的瞬时变化率.
三、总结提升
※学习小结
1. 会分解复合函数.
2. 会求复合函数的导数.
x u x
y y u
'''
=g；其中u为中间变量.
即：y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
※知识拓展
人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
10
-可编辑修改-
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 设2sin y x =，则y '=（ ）
A ．sin 2x
B ．2sin x
C ．22sin x
D ．2cos x 2.
已知()ln(f x x =，则()f x '是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数
3. 若函数3()log ()(0,1)a f x x ax a a =->≠在区间1
(,0)2
-内单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．1[,1)4 B ．3[,1)4 C ．9(,)4+∞ D ．9(1,)4
4. 2(log (23))x '-+=
5. (lg tan )x '=
1. 求下列函数的导数；
（1）99
(1)y x =+； （2）2x
y e -=；
（3）2sin(25)y x x =+
2. 求下列函数的导数；
（1）2tan y x x =； （2）3
2
(2)(31)y x x =-+；
（3）2ln x y x =； （4）2
3
(21)x
y x =+
§3.3.1函数的单调性与导数
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
8993
复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有＝ ，那么函数f (x )就是区间I 上的 函数.
复习2： 'C = ；()'n x = ；(sin )'x = ；(cos )'x = ；(ln )'x = ；
(log )'a x = ；()'x e = ；()'x a = ；
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：
问题：我们知道，曲线()y f x =的切线的斜率就是函数()y f x =的导数.从函数342
+-=x x y 的图
像来观察其关系：
12
在区间（2，∞+）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增
大而 ，即0y '>时，函数()y f x =在区间（2，
∞+）内为 函数；
∞-，2）内，切线的斜率为 ，函数
的增大而 ，
/
<时，）内为 函数并求出单调区间：
y =f (x )=x 2－4x +3 切线的斜率 f ′(x )
(2，+∞) (－∞，2)
3
2
1
f x () = x 2-4?x ()+3
x
O
y
B A
-可编辑修改-
三、总结提升 ※ 学习小结
用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的定义域； ②求函数f (x )的导数()f x '. ③令()0f x '=，求出全部驻点；
④驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内()f x '的符号，由此确定()f x 的单调区间 注意：列表时，要注意将定义域的“断点”要单独作为一列考虑.
※ 知识拓展
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝
对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些. 如图，函数()y f x =在(0,)b 或(,0)a 内的图象“陡峭”，在(,)b +∞或(,)a -∞内的图象“平缓”.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若3
2
()(0)f x ax bx cx d a =+++>为增函数，则
一定有（ ）
A ．2
40b ac -< B ．2
30b ac -<
C ．240b ac ->
D ．230b ac -> 2. （2004全国）函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ）
A ．3(,)22ππ
B ．(,2)ππ
C ．35(,)22
ππ
D ．(2,3)ππ
3. 若在区间(,)a b 内有()0f x '>，且()0f a ≥，则在(,)a b 内有（ ）
A ．()0f x >
B ．()0f x <
C ．()0f x =
D ．不能确定
4.函数3()f x x x =-的增区间是 ，减区间是
5.已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '等于
课后作业
1. 判断下列函数的的单调性，并求出单调区间： （1）32()f x x x x =+-；（2）3()3f x x x =+； （3）()cos ,(0,)2
f x x x x π
=+∈.
2. 已知汽车在笔直的公路上行驶：
（1）如果函数()y f t =表示时刻t 时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点. （2）如果函数()y f t =表示时刻t 时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？
14
§3.3.2函数的极值与导数
学习目标
1.理解极大值、极小值的概念；
2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
3.掌握求可导函数的极值的步骤.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P 93~ P 96，找出疑惑之处）
复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的 函数.
复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数
f (x )的导数()f x '. ②令 解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令 解不等式，
得x 的范围，就是递减区间 .
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一：
问题1：如下图，函数()y f x =在,,,,,,,a b c d e f g h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附
近，()y f x =的导数的符号有什么规律？
看出，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其它点的函数值都 ，()f a '= ；且在点x a =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0.
类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其它点的函数值都 ，()f b '= ；而且在点x b =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0. 新知：
我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值. 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.
极值反映了函数在某一点附近的 ， 刻画的是函数的 . 试试：
（1）函数的极值 （填是，不是）唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值. (3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点.
反思：极值点与导数为0的点的关系： 导数为0的点是否一定是极值点. 比如：函数3()f x x =在x=0处的导数为 ，但它
（是或不是）极值点.
即：导数为0是点为极值点的 条件.
-可编辑修改-
※ 典型例题
例1 求函数31
443
y x x =-+的极值.
变式1：已知函数3
2
()f x ax bx cx =++在点0x 处取
得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点
(1,0)，(2,0)
c 的值.
小结：求可导函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义域； (2)求导数f ′(x )； (3)求方程f ′(x )=0的根
（4）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在
这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么
f (x )在这个根处无极值.
变式2：已知函数32()3911f x x x x =--+. （1）写出函数的递减区间；
（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图象.
※ 动手试试
练1. 求下列函数的极值：
（1）2()62f x x x =--；（2）3()27f x x x =-；
（3）3()612f x x x =+-；（4）3()3f x x x =-.
练2. 下图是导函数()
y f x'
=的图象，试找出函数()
y f x
=的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.
三、总结提升
※学习小结
1. 求可导函数f(x)的极值的步骤；
2. 由导函数图象画出原函数图象；由原函数图象画导函数图象.
※知识拓展
函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点.
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 函数23
2
y x x
=--的极值情况是（）A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．既有极大值又有极小值
D．既无极大值也极小值
2. 三次函数当1
x=时，有极大值4；当3
x=时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（）A．32
69
y x x x
=++B．32
69
y x x x
=-+ C．32
69
y x x x
=--D．32
69
y x x x
=+-
3. 函数322
()
f x x ax bx a
=--+在1
x=时有极值10，则a、b的值为（）
A．3,3
a b
==-或4,11
a b
=-=
B．4,1
a b
=-=或4,11
a b
=-=
C．1,5
a b
=-=D．以上都不正确
4. 函数32
()39
f x x ax x
=++-在3
x=-时有极值10，则a的值为
5. 函数32
()3(0)
f x x ax a a
=-+>的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围为
课后作业
1.如图是导函数()
y f x'
=的图象,在标记的点中，在哪一点处（1）导函数()
y f x'
=有极大值？（2）导函数()
y f x'
=有极小值？（3）函数()
y f x
=
有极大值？（4）导函数()
y f x
=有极小值？
2. 求下列函数的极值：
（1）2
()62
f x x x
=++；（2）3
()48
f x x x
=-.
§3.3.3函数的最大（小）值与导数
学习目标
⒈理解函数的最大值和最小值的概念；
⒉掌握用导数求函数最值的方法和步骤.
学习过程
一、课前准备
（预习教材96~98，找出疑惑之处）
复习1：若
x满足0
)
(
=
'x
f，且在
x的两侧)
(x
f的导数异号，则
x是)
(x
f的极值点，)
(
x
f
是极值，并且如果)(x
f'在
x两侧满足“左正右
16
-可编辑修改-
负”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是
)(x f 的 点，)(0x f 是极 值
复习2：已知函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠在
1x =±时取得极值，且(1)1f =-，
（1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断1x =±时函数有极大值还是
极小值，并说明理由.
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一：函数的最大（小）值
问题：观察在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象，
你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？
在图1中，在闭区间[]b a ,上的最大值是 ，最小值是 ；
在图2中，在闭区间[]b a ,上的极大值是 ，极小值是 ；最大值是 ，最小值是 .
新知：一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值. 试试：
上图的极大值点 ，为极小值点为 ； 最大值为 ，最小值为 . 反思：
1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
2.函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭
区间[]b a ,上有最大值与最小值的 条件 3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可能一个没有.
※ 典型例题 例1 求函数31
()443
f x x x =-+在[0,3]上的最大值
与最小值.
小结：求最值的步骤
（1）求()f x 的极值；（2）比较极值与区间端点值，其中最大的值为最大值，最小的值为最小值.
例2 已知23()log x ax b
f x x
++=,x ∈(0,+∞).
是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条
件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[1,)+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1； 若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由.
变式：设213a <<，函数323
()2
f x x ax b =-+在区间[1,1]-上的最大值为1，最小值为6
，求函数
的解析式.
图1 图2
小结：本题属于逆向探究题型.解这类问题的基本方法是待定系数法，从逆向思维出发，实现由已知向未知的转化，转化过程中通过列表，直观形象，最终落脚在比较极值点与端点值大小上，从而解决问题．
※动手试试
练1. 求函数3
()3,[1,2]
f x x x x
=-∈的最值．
练2. 已知函数32
()26
f x x x a
=-+在[2,2]
-上有最小值37
-.（1）求实数a的值；（2）求()
f x在[2,2]
-
上的最大值．三、总结提升
※学习小结
设函数)(x
f在[]b a,上连续，在(,)a b内可导，则求)(x
f在[]b a,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x
f在(,)
a b内的极值；
⑵将)(x
f的各极值与)(a
f、)(b
f比较得出函数)
(x
f在[]b a,上的最值.
※知识拓展
利用导数法求最值，实质是在比较某些函数值来得到最值，因些我们可以在导数法求极值的思路的基础上进行变通.令()0
f x'=得到方程的根
1
x，
2
x，L，直接求得函数值，然后去与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合，也可以求最值.
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 若函数3
()3
f x x x a
=--在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M N
-的值为（）A．2 B．4 C．18 D．20
2. 函数32
()3(1)
f x x x x
=-<（）
A．有最大值但无最小值
B．有最大值也有最小值
C．无最大值也无最小值
D．无最大值但有最小值
3. 已知函数223
y x x
=--+在区间[,2]
a上的最大值为15
4
，则a等于（）
A．3
2
-B．
1
2
C．1
2
-D．
1
2
或3
2
-
4.
函数y x=-[0,4]上的最大值为
5. 已知32
()26
f x x x m
=-+（m为常数）在[2,2]
-
上有最大值，那么此函数在[2,2]
-上的最小值是
18
-可编辑修改-
1. a 为常数，求函数3()3(01)f x x ax x =-+≤≤的最大值.
2. 已知函数32()39f x x x x a =-+++，（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间[2,2]-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
§3.4生活中的优化问题举例（1）
1．进一步理解导数的概念，会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立它们
的导数模型；
2．掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函数模型，求函数的最值.
101102，找出疑惑之处） 复习1：函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________
复习2：函数()sin f x x x =-在[0,]2
π
上的最大值为
_____；最小值为_______.
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一：优化问题
问题：张明准备购买一套住房，最初准备选择购房一年后一次性付清房款，且付款时需加付年利率为4.8%的利息，这时正好某商业银行推出一种年利率低于4.8%的一年定期贷款业务，贷款量与利率的平方成正比，比例系数为(0)k k >，因此他打算申请这种贷款在购房时付清房款. （1）若贷款的利率为,(0,0.048)x x ∈，写出贷款量()g x 及他应支付的利息()h x ；（2）贷款利息为多少时，张明获利最大？ 新知：
生活中经常遇到求 、 、 等问题，这些问题通常称为优化问题.
试试：在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去边长都为x 的小正方形，
再
把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
反思：利用导数解决优化问题的实质是 .
※典型例题
例1班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为2
128dm，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
变式：如图用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为a2m，为使所用材料最省，底宽应为多少？例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是2
0.8r
分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.问（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
小结：⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单
※动手试试
练1. 一条长为100cm的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
20
导数的概念导学案
导数的概念导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
预习目标：“导数的概念”了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速 度，理解导数(瞬时变化率)的概念 预习内容： 问题1 我们把物体在某一时刻的速度称为________。一般地，若物体的运动规律为 )(t f s =，则物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t ?+这段时间内，当_________时平均速度的极限，即t s v x ??=→?0lim =___________________ 问题2 函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 0()()lim lim x x f x x f x f x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的______，记作'0()f x 或________，即___________________________________________________________. 提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑? 课内探究学案 一：探究求导数的步骤： （即________变化率） 二：精讲点拨 例1(1)求函数23x y =在1=x 处的导数. (2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 三：有效训练 求22+=x y 在点x=1处的导数. );()()1(00x f x x f y -?+=?求增量;)()()2(00x x f x x f x y ?-?+=??算比值时）（在求0.)3(0→???='=x x y y x x
高中数学 第3章《导数及其应用》复习 精品导学案2 苏教版选修1-1
江苏省响水中学高中数学 第3章《导数及其应用》复习2导学案 苏 教版选修1-1 复习要求： 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间. 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值． 课前预习： 1．知识要点回顾： (1)函数的导数与单调性的关系： (2)函数的极值与导数： (3)函数的最值与导数 ①函数f(x)在[a ，b]上有最值的条件：如果在区间[a ，b]上函数y ＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． ②求y ＝f(x )在[a ，b]上的最大(小)值的步骤： （4）若函数f(x)在定义域A 上存在最大值与最小值，则①对任意x ∈A ，f(x)＞0? ＞0；②存在x ∈A ，f(x)＞0? ＞0. 2．判断： (1)函数f(x)在区间(a ，b)内单调递增，则f′(x)>0；( ) (2)函数的极大值一定比极小值大；( ) (3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件；( ) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值。( ) 3．函数f(x)＝x ＋4x 的单调减区间是 4.函数f(x)＝xex 的极小值点是 5．已知f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是 课堂探究：
2.已知函数f(x)＝x－alnx． (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值． 3.已知函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6a x. (1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值． 变式：已知函数f(x)＝(x－k)ex (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值． 3.设函数f(x)＝x3－3ax＋b (a≠0)． (1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y＝8相切，求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
导数学案(有答案)
3.1.1平均变化率 课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题． 1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________． 2．函数y＝f(x)的平均变化率Δy Δx＝ f(x2)－f(x1) x2－x1 的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)图象 上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________． 一、填空题 1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号) ①在[x0，x1]上的平均变化率； ②在x0处的变化率； ③在x1处的变化率； ④以上都不对． 2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________. 3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝ ________. 4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________． 5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________． 6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________． 7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______． 8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________． 二、解答题 9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
第三章 导数 导学案
§3.1.1 变化率问题 1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义； 2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化. 7880 复习1：曲线22 1259 x y +=与曲线 22 1(9)259x y k k k +=<--的（ ） A ．长、短轴长相等 B ．焦距相等 C ．离心率相等 D ．准线相同 复习2：当α从0 到180 变化时，方程22cos 1x y α+=表示的曲线的形状怎样变化？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一： 问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率 吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象? 问题2：高台跳水，求平均速度 新知：平均变化率： 2121()()f x f x f x x x -?=-? 试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ?，即 x ?= 或者2x = ，x ?就表 示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ?，即y ?= ；如果它们 的比值y x ??，则上式就表示为 ， 此比值就称为平均变化率. 反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值. ※ 典型例题 例 1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1P 和(1,1)Q x y +?+?作曲线的割线，求出当0.1x ?=时割线的斜率. 变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点 (1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+?-+?，则y x ??= 例 2 已知函数2 ()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001] 小结：
导数在函数中的应用
第二课时 导数在函数中的应用 【学习目标】 1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用； 2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。 3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 【重点难点】 ①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。 【高考要求】B 级 【自主学习】1． 函数的单调性 ⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .（逆命题不成立） (2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f . 注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的 ； ② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； ③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间； ④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性. 2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念：设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点. ⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '；
导数及其应用学案+作业 (答案)
变化率与导数、导数的计算 1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 2.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义：f ′(x 0)是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 二、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝lo g a x f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln x f ′(x )＝1x 三、导数的运算法则 1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3.????f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 (g (x )≠0)． 1.函数求导的原则 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 1．用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x 2. [自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝(x ＋Δx )2－x 2 Δx
导数导学案8
§132利用导数研究函数极值 学习目标 1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值; 3.掌握求可导函数的极值的步骤 . 心学习过程 - ■—?■"—■- ~ —? ■—— -- ——~—-_-—I _■■- ? ?- —■—— 一、课前准备 (预习教材P27~ P30，找出疑惑之处) 复习1：设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内 这个区间内为_____ 函数；如果在这个区间内y 0 ,那么函数 函数. 复习2:用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f 等式，得x的范围就是递增区间.③令______________ 解不等式，得 二、新课导学探学习探究探究任务一：问题1:如下图，函数y f(x)在a,b,c,d ,e, f ,g,h等点的函数值与这些点附近的函数值有什 么关系？ y f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y f(x)的导数的符号有什么 看出，函数y f(x)在点x a的函数值f(a)比它在点x a附近其它点的函数值都—， f (a) 且在点x a附近的左侧f (x)_0，右侧f (x)_0. 类似地，函数 y f(x)在点x b的函数值f(b)比它在点x b附近其它点的函数值都_____________ ，f (b)— 而且在点x b附近的左侧f(X) _______ 0，右侧f(X) _____ 0. 新知： 我们把点a叫做函数y f (x)的极小值点，f(a)叫做函数y f (x)的极小值；点b叫做函数y f (x) 的极大值点，f(b)叫做函数y f(x)的极大值. 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的_________________ ， 刻画的是函数的_____________ . 试试: (1) ________________ 函数的极值 (填是，不是)唯一的. (2)一个函数的极大值是否一定大于极小值________ ⑶函数的极值点一定出现在区间的______ (内，外)部，区间的端点 极值点. 反思：极值点与导数为0的点的关系: 导数为0的点是否一定是极值点. y 0，那么函数y=f(x)在 y=f(x)在为这个区间内的 _ (x).②令 _____________ 解不 x的范围，就是递减区间. (能，不能)成为
变化率与导数、导数的计算学案(高考一轮复习)
20XX 年高中数学一轮复习教学案 第二章 函数、导数及其应用 第11节 变化率与导数、导数的计算 一．学习目标： 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义； 2．能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1 x 的导数； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 二．学习重、难点： 1．学习重点：能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数； 2．学习难点：理解导数的几何意义. 三．学习方法：讲练结合 四．自主复习： 1．导数的概念 (1)函数在x ＝x 0处的导数 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是__________________________＝lim Δx →0 Δy Δx ， 称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0 . (2)导函数：当上式中的x 0看作变量x 时，函数f ′(x )为f (x )的________． (3)导数的几何意义：f ′(x 0)是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的________，相应的切线方程是_____________________．
2．基本初等函数的导数公式 3.运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝_________________； (2)[f(x)·g(x)]′＝________________________； (3)[f(x) g(x) ]′＝_______________________ (g(x)≠0)．五．复习前测： 1．已知函数f(x)＝sin x＋ln x，则f′(1)的值为() A．1－cos1 B．1＋cos1 C．cos1－1 D．－1－cos1
导数的综合应用学案(教师版)
第3课时 导数与函数的综合问题 题型一 导数与不等式 命题点1 证明不等式 典例 (2017·贵阳模拟)已知函数f (x )＝1－x －1 e x ，g (x )＝x －ln x . (1)证明：g (x )≥1； (2)证明：(x －ln x )f (x )>1－1 e 2. 证明 (1)由题意得g ′(x )＝x －1 x (x >0)， 当0
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