九年级数学下学期三角函数测试卷
班级: 姓名: 座号: 成绩:
一、选择题
1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC = 1,AB = 4 , 则sinA 的值是 A .15
15 B .41 C .3
1 D .
4
15
2.当锐角α>30°时,则cosα的值是 A .大于
1
2 B .小于12
C 3
D 33.如图,沿AC 方向开山修路,为了加快施工进度,要在山的另一边同时施工,现在从AC 上取一点B ,使得∠ABD =145°,BD =500米,∠D =55°,要使A 、C 、
E 在一条直线上,那么开挖点E 离点D 的距离是
A .500sin55°米
B .500cos55°米
C .500tan55°米;
D .o
55tan 500米
4. 如图1,在Rt △ABC 中,ACB ∠90=o
,CD ⊥AB 于D ,若3BC =,4AC =,
则tan BCD ∠的值为 ( )
A.34 B.43 C.35 D.45
5. 在△ABC 中,90C ∠=o
,2B A ∠=∠,则cos A 等于(
)
A.
3
2
B.
12
3
D.
3
3
6. 如图2所示,旗杆AB 在C 处测得旗杆顶的仰角为30o
, 向旗杆前进12m 到达D ,在D 处测得A 仰角为45o
, 则旗杆的高AB 等于( )m . A.12 B.14
C.16
D.18
7. 在△ABC 中,90C ∠=o
,12
sin 13
A =,周长为45,CD 是斜边A
B 上的高,则CD 的长是( ) A.56
13
B.126
13
C.7
6
13
D.17
12
8.△ABC 中,∠A ,∠B 均为锐角,且有2
|tan 32sin 30B A +=(),则△ABC 是( )
A .直角(不等腰)三角形
B .等腰直角三角形
C .等腰(不等边)三角形
D .等边三角形
A
C
D
B
图1
A
C
D
B
图2
C
E
二、填空题:(每小题3
分,共30分)
1. 如图3,将三角板的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处,使斜边CD AB ∥.则α∠的余弦值为 2.已知:∠α是锐角,?=36cos sin α,则α的度数是 。
3. 如图4所示,某校课外活动小组测量旗杆的高度AD ,在离 旗杆3m 的E 处,测得旗杆顶的仰角为ο
30,测角仪CE 高
1.5m ,则AD =
.
4.已知∠A 是锐角,且______2
sin ,3tan ==A
A 则 。
5. 如图所示,铁路的路基横断面是等腰梯形,斜坡AB 的 坡度为1:AB 的水平宽度为,基面AD
宽为2m ,则AE = m ,α∠= ,BC =
m . 6.某山路的路面坡度ⅰ=1:399,沿此山路向前走200米,则人升高了___ __米.
7.在△ABC 中,若AC=3,则cosA=________.
8.学校为了筹备校园艺术节,要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯.如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致,台阶的侧面如图所示,台阶的坡角为30o
,90BCA ∠=o
,台阶的高BC 为2米,那么请你帮忙算一算需要 米长的地毯恰好能铺好台阶。(结果精确到0.1m ,取
1.414= 1.732=
9.如图,在△ABC 中,∠C=90°,sinB=5
3,AD 分∠CAB ,那么sin ∠CAD=_________.
10.如图,D 是△ABC 的边AC 上一点,CD=2AD,AE⊥BC 于点E,若BD=8,sin∠CBD=4
3,
则AE 的长为_______ ___。
C
D
α
A
B
O
30
o
图3
A
图4
图5
B
第10题图
第9题图
河
水
B A
C
D 三、解答题:(共50分)
1.计算:(1)ο
ο
ο
ο
30cos 45sin 60tan 30sin 2
2
2
+-+ (2)0
00
045tan 30tan 145tan 30tan ?-+
2.学校校园内有一块如图所示的三角形空地,计划将这块空地建成一个花园,以美化校园环境,预计花园1m 2
造价30元,学校建这个花园需要投资多少钱?(精确到1元)?
3. 一条水渠的横断面是等腰梯形,坡角为ο
60,渠深为2m ,渠底宽3m ,求水渠的上口宽和横断面的面积(保留四个有效数字).
4.为了测量汉江某段河面的宽度,秋实同学设计了如下图所示的测量方案:先在河的北岸选一定点A ,再在河的南岸选定相距a 米的两点B 、C (如图),分别测得∠ABC =α,∠ACB =β,请你根据秋实同学测得的数据,计算出河宽AD.(结果用含a 和含α、β的三角函数表示)
C
3m
A
5、如图10,在电线杆上离地面高度5米的C点处引两根拉线固定电线杆.一根拉线AC和地面成60°角,另一根拉线BC与地面成45°角,试求两根拉线的长度.
6、如图11为住宅区内的两幢楼,它们的高AB=CD=30m,两楼间的距离AC=24m,现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高?
7、如图,为测得峰顶A到河面B的高度h,当游船行至C处时测得峰顶A的仰角为α,前进m 米至D处时测得峰顶A的仰角为β(此时C、D、B三点在同一直线上).
(1)用含α、β和m的式子表示h ;
(2)当α=45°,β=60°,m=50米时,求h的值.
(精确到0.1m2≈1.413 1.73)
8.一艘轮船自西向东航行,在A处测得北偏东68.7°方向有一座小岛C,继续向东航行60海里到达B处,测得小岛C此时在轮船的北偏东26.5°方向上.之后,轮船继续向东航行多少海里,
距离小岛C最近?(参考数据:sin21.3°≈
9
25
,tan68.7°≈
2
5
,tan21.3°≈
2
5
,sin63.5°≈9
10
,tan26.5°≈
2
1
,tan63.5°≈2)
A B
C
北
东
( )() 2 2 2αβ β ααβ+=- -- 等), 如(1)已知2tan()5αβ+=,1tan()44πβ-=,那么tan()4πα+的值是_____ (答:3 22); (2)已知02πβαπ<<<<,且129cos()βα-=-,2 23 sin()αβ-=,求cos()αβ+的值 (答:490729 ); (3)已知,αβ为锐角,sin ,cos x y αβ==,3 cos()5 αβ+=- ,则y 与x 的函数关系为______(答:2343 1(1)555 y x x x =- -+<<) 三、解三角形 Ⅰ.正、余弦定理⑴正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin ===(R 2是AB C ?外接圆直径) 注:①C B A c b a sin :sin :sin ::=;②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===;③ C B A c b a C c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。 ⑵余弦定理:A bc c b a cos 22 2 2 -+=等三个;注:bc a c b A 2cos 2 22-+=等三个。 Ⅱ。几个公式: ⑴三角形面积公式:))(2 1 (,))()((sin 2 1 21c b a p c p b p a p p C ab ah S ABC ++= ---=== ?; ⑵内切圆半径r= c b a S ABC ++?2;外接圆直径2R= ;sin sin sin C c B b A a == ⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法:⊿ABC 中,sin A B A >?Ⅲ.已知A b a ,,时三角形解的个数的判定: 其中h=bsinA, ⑴A 为锐角时: ①a 三角函数公式 1.正弦定理: A a sin = B b sin =C c sin = 2R (R 为三角形外接圆半径) 2.余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注:奇变偶不变,符号看象限。 注:三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即:函数名不变,符号看象限 注:三角函数值等于α的 异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即: 函数名改变,符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式:(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式:(符号的选择由 2 θ 所在的象限确定) ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式: [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式: 锐角三角函数 单元测试 一、选择题(本题共8小题,每小题4分,共32分) 1. 60cos 的值等于( ) A . 2 1 B .22 C . 2 3 D .1 2.在Rt △ABC 中, ∠C=90?,AB=4,AC=1,则tanA 的值是( ) A .154 B .1 4 C .15 D .4 3.已知α为锐角,且2 3 )10sin(= ?-α,则α等于( ) A.?50 B.?60 C.?70 D.?80 4.已知直角三角形ABC 中,斜边AB 的长为m ,40B ∠=,则直角边BC 的长是( ) A .sin 40m B .cos 40m C .tan 40m D . tan 40 m 5.在Rt ABC △中,90C ∠=,5BC =,15AC =,则A ∠=( ) A .90 B .60 C .45 D .30 6.如图,小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A 处)位于她家北偏东60度500m 处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是( ) A .250m. B . 250.3 m. C .500.33 m. D .3250 m. 7.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将ABC △如图那样折叠,使点A 与点B 重合,折痕为DE ,则tan CBE ∠的值是( ) A . 24 7 B . 73 C . 724 D . 13 8.因为1 s i n 302= ,1sin 2102 =-,所以s i n 210s i n (18030)s i n =+=-; 因为2s i n 452 = ,2sin 2252=-,所以sin 225sin(18045)sin 45=+=-,由此猜想,推理知:一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-,由此可知:sin 240= ( ) 6 8 C E A B D (第7题) 第6题 1.2 30°、45°、60°角的三角函数值 教学分析: 本节在前两节介绍了正切、正弦、余弦定义的基础上,经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,进一步体会三角函数的意义,并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 因此本节的重点是利用三角函数的定义求30°、45°、60°这些特殊角的特殊三角函数值,并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.难点是利用已有的数学知识推导出30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值. 三角尺是学生非常熟悉的学习用具,教学中,教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识如“直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半”的特性,经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,发展学生的推理能力和计算能力. 课题 1.2 30°,45°,60°角的三角函数值 教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. (二)思维训练要求 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,发展学生观察、分析、发现的能力. 2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. (三)情感与价值观要求 1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯. 2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心. 教具重点 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. 2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.比较锐角三角函数值的大小. 教学难点 进一步体会三角函数的意义. 教学方法 自主探索法 教学准备 一副三角尺 多媒体演示 教学过程 Ⅰ.回顾与思考。 [师]我们前面学习了三角函数的定义,如果一个角的大小确定,那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定,请同学们回顾正弦,余弦,及正切的相关概念。 a 2sin 4-a 2cos 4a 2cos 2a 2sin ,21tan +-=则252 5-14114 1-a 4asin 2sin 41a 8sin -a 8cos +]sin )a 2[sin(2 1)cosa sin(a βββ-+-+§3.2.2 三角函数化简及证明 编者:任传军 【学习目标 细解考纲】 1. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简和恒等式证明(包括引出半角、积化和差、和差化积公式,但不要求记忆); 2. 掌握三角函数式的化简和证明的方法及步骤。 【知识梳理、双基再现】 1.cosαcosβ= ;sinαcosβ= 2.sinθ+sinφ= ; sinθ-sinφ= ; cos θ+cos φ= ; cos θ-cos φ= 【小试身手、轻松过关】 1.已知 的值是( ) A. B. C. D. 2. 4cos 22sin 2+-等于 ( ) A. 2sin B. 2cos - C. 2cos 3 D. 2cos 3- 3. 等于( ) A. cosa B. cos2a C. sina D a 2sin 4.化简4cos 224sin 12+++的结果是 。 【基本训练、锋芒初显】 5. 可化简为( ) A. ββsin )a 2sin(++- B. )a 2sin(β+-高中数学三角函数公式大全全解
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新北师大版九年级数学下册《一章 直角三角形的边角关系 2 30°,45°,60°角的三角函数值》教案_9
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