人教新版 九年级(上)数学 第21章 一元二次方程 专题训练

第21章一元二次方程专题训练

一．选择题

1．将一元二次方程2x2+7＝9x化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A．2，9 B．2，7 C．2，﹣9 D．2x2，﹣9x

2．若a为方程x2+x﹣5＝0的解，则a2+a+1的值为（）

A．12 B．6 C．9 D．16

3．关于x的方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤3 B．m≥3 C．m≤3且m≠2 D．m＜3

4．受非洲猪瘟及其他因素影响，2019年9月份猪肉价格两次大幅度上涨，瘦肉价格由原来23元/千克，连续两次上涨x%后，售价上升到60元/千克，则下列方程中正确的是（）A．23（1﹣x%）2＝60 B．23（1+x%）2＝60

C．23（1+x2%）＝60 D．23（1+2x%）＝60

5．如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（）

A．（62﹣x）（42﹣x）＝2400 B．（62﹣x）（42﹣x）+x2＝2400

C．62×42﹣62x﹣42x＝2400 D．62x+42x＝2400

6．一元二次方程（x+1）2﹣2（x﹣1）2＝7的根的情况是（）

A．无实数根B．有一正根一负根

C．有两个正根D．有两个负根

7．一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡72张，则这个小组有（）

A．12人B．18人C．9人D．10人

8．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定

9．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方

步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．“如果设矩形田地的长为x步，那么同学们列出的下列方程中正确的是（）

A．x（x+12）＝864 B．x（x﹣12）＝864

C．x2+12x＝864 D．x2+12x﹣864＝0

10．已知a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则﹣的值为（）A．B．C．﹣1 D．1

二．填空题

11．一元二次方程x（x﹣3）＝3﹣x的根是．

12．一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝2x+1化为一般形式是．

13．若关于x的方程x2﹣k|x|+4＝0有四个不同的解，则k的取值范围是．

14．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2m＝0有两个不相等的实数根x

1、x

2

．若x

1

﹣2x

2

＝6，

则实数m的值为．

15．某商品经过两次连续的降价，由原来的每件25元降为每件16元，则该商品平均每次降价的百分率为．

16．已知t是实数，若a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2x+t﹣1＝0的两个非负实根，则（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是．

三．解答题

17．解方程：

（1）x2﹣x﹣20＝0；

（2）x2﹣9x+5＝0．

18．如图1，某小区的平面图是一个占地长500米，宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的19%，南北空地等宽，东西空地等宽．

（1）求该小区四周的空地的宽度；

（2）如图2，该小区在东、西、南三块空地上做如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路，小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200

米，南侧绿化带的长为300米，绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度．

19．已知关于x 的一元二次方程：x 2﹣（m ﹣3）x ﹣m ＝0． （1）试判断原方程根的情况；

（2）若方程的两根为x 1，x 2，且（x 1﹣3）（x 2﹣3）＝10，求m 的值．

20．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．

（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率． （2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？

21．如图，用99米长的木栏围成一个矩形菜园ABCD ，已知矩形菜园的一边靠墙，墙长MN 为20米，其中AD ≤MN ，BC 边上留了一个宽1米的进出口，设AD 边长为x 米． （1）用含x 的代数式表示AB 的长．

（2）若矩形菜园ABCD 的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长．

参考答案

一．选择

1．解：2x2+7＝9x化成一元二次方程一般形式是2x2﹣9x+7＝0，则它的二次项系数是2，一次项系数是﹣9．

故选：C．

2．解：∵a为方程x2+x﹣5＝0的解，

∴a2+a﹣5＝0，

∴a2+a＝5

则a2+a+1＝5+1＝6．

故选：B．

3．解：当m﹣2＝0，即m＝2时，方程变形为2x+1＝0，解得x＝﹣；

当m﹣2≠0，则△＝22﹣4（m﹣2）≥0，解得m≤3且m≠2，

综上所述，m的范围为m≤3．

故选：A．

4．解：当猪肉第一次提价x%时，其售价为23+23x%＝23（1+x%）；

当猪肉第二次提价x%后，其售价为23（1+x%）+23（1+x%）x%＝23（1+x%）2．

∴23（1+x%）2＝60．

故选：B．

5．解：设道路的宽为x米，根据题意得（62﹣x）（42﹣x）＝2400．

故选：A．

6．解：∵（x+1）2﹣2（x﹣1）2＝7，

∴x2+2x+1﹣2（x2﹣2x+1）＝7，

整理得：﹣x2+6x﹣8＝0，

则x2﹣6x+8＝0，

（x﹣4）（x﹣2）＝0，

解得：x

1＝4，x

2

＝2，

故方程有两个正根．

故选：C．

7．解：设这个小组有n人

×2＝72

n ＝9或n ＝﹣8（舍去）

故选：C ．

8．解：在这个式子中，如果把x ＝1代入方程，左边就变成a +b +c ，又由已知a +b +c ＝0可知：当x ＝1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1． 故选：C ．

9．解：设矩形田地的长为x 步，那么宽就应该是（x ﹣12）步． 根据矩形面积＝长×宽，得：x （x ﹣12）＝864． 故选：B ．

10．解：∵知a 是方程x 2+x ﹣1＝0的一个根， ∴a 2+a ﹣1＝0， ∴a 2+a ＝1，即a （a +1）＝1，

∴

﹣

＝

＝

＝1．

故选：D ．

二．填空题（共6小题） 11．解：x （x ﹣3）+x ﹣3＝0， （x ﹣3）（x +1）＝0，

x ﹣3＝0或x +1＝0．

所以x 1＝3，x 2＝﹣1． 故答案为x 1＝3，x 2＝﹣1． 12．解：（x ﹣2）（x +3）＝2x +1，

x 2+3x ﹣2x ﹣6＝2x +1， x 2+3x ﹣2x ﹣6﹣2x ﹣1＝0， x 2﹣x ﹣7＝0．

故答案为：x 2﹣x ﹣7＝0．

13．解：∵关于x 的方程x 2﹣k |x |+4＝0有四个不同的解， ∴△＝b 2﹣4ac ＝k 2﹣16＞0，

即k 2＞16，

解得k ＜﹣4或k ＞4，

而k ＜﹣4时，x 2﹣k |x |+4的值不可能等于0， 所以k ＞4． 故填空答案：k ＞4． 14．解：由题意知x 1+x 2＝3， ∵x 1﹣2x 2＝6，即x 1+x 2﹣3x 2＝6， ∴3﹣3x 2＝6， 解得：x 2＝﹣1，

代入到方程中，得：1+3+2m ＝0， 解得：m ＝﹣2， 故答案为：﹣2．

15．解：设平均每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得 25×（1﹣x ）2＝16，

解得x 1＝0.2，x 2＝1.8（不符合题意，舍去）， 即该商品平均每次降价的百分率为20%． 故答案是：20%．

16．解：∵a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +t ﹣1＝0的两个非负实根， ∴可得a +b ＝2，ab ＝t ﹣1≥0， ∴t ≥1，

又△＝4﹣4（t ﹣1）≥0，可得t ≤2， ∴2≥t ≥1，

又（a 2﹣1）（b 2﹣1）＝（ab ）2﹣（a 2+b 2）+1＝（ab ）2﹣（a +b ）2+2ab +1， ∴（a 2﹣1）（b 2﹣1）， ＝（t ﹣1）2﹣4+2（t ﹣1）+1， ＝t 2﹣4， 又∵2≥t ≥1， ∴0≥t 2﹣4≥﹣3， 故答案为：﹣3． 三．解答题（共5小题）

17．解：（1）方程x 2﹣x ﹣20＝0， 分解因式得：（x ﹣5）（x +4）＝0， 可得x ﹣5＝0或x +4＝0， 解得：x 1＝5，x 2＝﹣4； （2）方程x 2﹣9x +5＝0， 这里a ＝1，b ＝﹣9，c ＝5， ∵△＝81﹣20＝61， ∴x ＝，

解得：x 1＝

，x 2＝

．

18．解：（1）建筑区的面积是500×400×（1﹣19%）＝162000（平方米）． 设建筑区的长度为5x 米，则宽为4x 米．根据题意得： 5x ?4x ＝162000， 整理得 x 2＝8100，

解得 x 1＝90，x 2＝﹣90（不合题意）， 则东西两侧道宽：（500﹣5x ）÷2＝25（米）， 南北两侧道宽：（400﹣4x ）÷2＝20（米）．

答：小区的东西两侧道宽为25米，南北两侧道宽为20米；

（2）设小区道路的宽度为z 米，则

（20﹣z ）×300+2×（25﹣z ）×200＝5500， 解得z ＝15．

答：小区道路的宽度是15米． 19．解：（1）△＝（m ﹣3）2﹣4（﹣m ） ＝m 2﹣6m +9+4m ＝m 2﹣2m +9 ＝（m ﹣1）2+8， ∵（m ﹣1）2＞0，

∴（m ﹣1）2+8＞0，即△＞0， ∴方程有两个不相等的两个实数根；

（2）根据题意得x 1+x 2＝m ﹣3，x 1?x 2＝﹣m ， ∵（x 1﹣3）（x 2﹣3）＝10， ∴x 1?x 2﹣3（x 1+x 2）+9＝10， ∴﹣m ﹣3（m ﹣3）+9＝10， ∴m ＝2．

20．解：（1）设年平均增长率为x ，由题意得： 20（1+x ）2＝28.8，

解得：x 1＝20%，x 2＝﹣2.2（舍去）．

答：东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为20%． （2）设每杯售价定为a 元，由题意得： （a ﹣6）[300+30（25﹣a ）]＝6300， 解得：a 1＝21，a 2＝20．

∴为了能让顾客获得最大优惠，故a 取20．

答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额． 21．解：（1）AB ＝＝

（米）；

（2）依题意有

x ?＝450，

解得x 1＝10，x 2＝90． ∵10＜20，90＞20， ∴x ＝10．

故所利用旧墙AD 的长为10米．